PENCARIAN JALUR TERPENDEK PADA
JARINGAN STOKASTIK
TESIS
Oleh
AZISKHAN 107021021/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
PENCARIAN JALUR TERPENDEK PADA
JARINGAN STOKASTIK
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika Pada
Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
AZISKHAN 107021021/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Judul Tesis : PENCARIAN JALUR TERPENDEK PADA JARINGAN STOKASTIK
Nama Mahasiswa : AZISKHAN Nomor Pokok : 107021021 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr.Saib Suwilo,MSc) (Prof.Dr.Tulus,M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal: 11 Agustus 2012
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr.Saib Suwilo,MSc Anggota : 1. Prof.Dr.Tulus,M.Sc
ABSTRAK
Parameter-parameter jaringan secara umum, seperti jumlah node dan panjang busur transisi dari node sumber kenode tujuan (sink). Untuk memperoleh pan-jang jalur minimal dalam jaringan tidak lengkap didefinisikan sabagai suatu jalur terpendek probabilistik. Ketika panjang busur antar node diberikan dalam bentuk variable acak dalam sebuah jaringan tidak lengkap, maka akan diperoleh suatu jaringan stokastik sering mengalami kemandulan (ambiguitas) akibat dari hukum probabilitas. Beberapa penulis telah membahas pencarian lintasan terpendek pa-da jaringan dengan panjang busur variabel acak. Umumnya hanya himpunan pa-dari node tengah (intermediate) yang dipilih sesuai dengan hukum probabilitas yang dapat digunakan untuk lengkap. Pada tesis ini, perhitungan panjang minimal dalam jarring stokastik tidak lengkap diperjalanan waktu antara node diperke-nankan untuk didistribusikan ke variable acak eksponensial, dirumuskan sebagai masalah pemrograman linear.
ABSTRACT
Common network parameters, such as number of nodes and arc lengths are fre-quently subjected to ambiguity as a result of probability law. A number of au-thors have discussed the calculation of the shortest path in networks with random variable arc lengths. Generally, only a subset of intermediate nodes chosen in accordance with a given probability law can be used to transition from source node to sink node. The determination of a priori path of the minimal length in an incomplete network is de?ned as a probabilistic shortest path problem. When arc lengths between nodes are randomly assigned variables in an incomplete network the resulting network is known as an incomplete stochastic network. In this paper, the computation of minimal length in incomplete stochastic networks, when travel times between nodes are allowed to be exponentially distributed random variables, is formulated as a linear programming problem.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT penulis panjatkan atas limpahan rahmat dan karunia-Nya atas terselesaikannya penulisan tesisini yang berjudul ”Penca-rian Jalur Perpendek Pada Jaringan Stokastik”.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Bapak Prof. Dr.Ir.A.Rahim Matondang.M.SIE, Selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara yang sudah memberikan kesempatan ke-pada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika disekolah Pa-scasarjana Universitas Sumatra Utara.
Bapak Prof. DR. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Ma-gister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara dan selaku Anggota Komisi Pembimbing yang telah membantu dalam penyelesaian tesis ini. Bapak Dr. Saib Suilo, M. Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Mate-matika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara yang telah memberikan motivasi kepada penulis.
Bapak Dr. Saib Suilo, M. Sc, selaku Ketua Komisi Pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan bimbingan kepada penulis.
Bapak Dr. Saib Suilo, M. Sc, dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M. Sc, selaku Pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan bimbingan kepada penulis’ Rektor UR, dan Dekan FMIPA-UR, dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA-UR yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk melanjutkan Pendidik-an di Sekolah PascasarjPendidik-ana Universitas Sumatra Utara.
Bantuan Dana Pendidikan dari UR Fakultas MIPA dan Jurusan yang telah memberikan bantuan dana baik untuk pendidikan mau penelitian selama penu-lis menempuh pendidikan di sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatra Utara. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematik Sekolah Pascasar-jana Universitas Sumatra Utara. Yang telah membimbing dan membantu selama penulis menempuh pendidikan.
men-doakan untuk keberhasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan ini.
Kepada semua teman-teman dan semua pihak yang tidak dapat disebutkan namanya satu persatu penulis ucapkan terima kasih dan dorongan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat waktu. Tidak lupa terima kasih untuk ibu Misyani, A. Md., selaku staff administrasi Program Studi Magister Matematika sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatra Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.
Penulis telah berusaha sekuat tenaga untuk menyempurnakan tesis ini, kritik dan saran guna perbaikan penulis terima dengan senang hati. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi yang membutuhkannya.
Medan, Penulis,
RIWAYAT HIDUP
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . i
ABSTRACT . . . ii
KATA PENGANTAR . . . iii
RIWAYAT HIDUP . . . v
DAFTAR ISI . . . vii
BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 2
1.3 Tujuan Penelitian . . . 2
1.4 Manfaat Penelitian . . . 2
1.5 Metode Penelitian . . . 2
BAB 2 PROGRAM STOKASTIK . . . 3
2.1 Pengertian Program Stokastik . . . 3
2.2 Jalur Terpendek Pada jaringan acak . . . 5
2.3 Jaringan Tak Lengkap . . . 6
2.4 Program Stokastik Dua Tahap . . . 7
2.5 Analisis Persoalan Program Stokastik Dua Tahap . . . 10
2.6 Program Stokastik Tahap Ganda . . . 16
2.7 Pengertian pembentukan pohon skenario . . . 23
BAB 3 PEMODELAN . . . 28
3.1 Rancangan pemodelan . . . 28
3.2 Algorima . . . 28
3.3.1 Algoritma Skenario generasi . . . 31
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN . . . 34
4.1 Kesimpulan . . . 34
4.2 Saran . . . 35
ABSTRAK
Parameter-parameter jaringan secara umum, seperti jumlah node dan panjang busur transisi dari node sumber kenode tujuan (sink). Untuk memperoleh pan-jang jalur minimal dalam jaringan tidak lengkap didefinisikan sabagai suatu jalur terpendek probabilistik. Ketika panjang busur antar node diberikan dalam bentuk variable acak dalam sebuah jaringan tidak lengkap, maka akan diperoleh suatu jaringan stokastik sering mengalami kemandulan (ambiguitas) akibat dari hukum probabilitas. Beberapa penulis telah membahas pencarian lintasan terpendek pa-da jaringan dengan panjang busur variabel acak. Umumnya hanya himpunan pa-dari node tengah (intermediate) yang dipilih sesuai dengan hukum probabilitas yang dapat digunakan untuk lengkap. Pada tesis ini, perhitungan panjang minimal dalam jarring stokastik tidak lengkap diperjalanan waktu antara node diperke-nankan untuk didistribusikan ke variable acak eksponensial, dirumuskan sebagai masalah pemrograman linear.
ABSTRACT
Common network parameters, such as number of nodes and arc lengths are fre-quently subjected to ambiguity as a result of probability law. A number of au-thors have discussed the calculation of the shortest path in networks with random variable arc lengths. Generally, only a subset of intermediate nodes chosen in accordance with a given probability law can be used to transition from source node to sink node. The determination of a priori path of the minimal length in an incomplete network is de?ned as a probabilistic shortest path problem. When arc lengths between nodes are randomly assigned variables in an incomplete network the resulting network is known as an incomplete stochastic network. In this paper, the computation of minimal length in incomplete stochastic networks, when travel times between nodes are allowed to be exponentially distributed random variables, is formulated as a linear programming problem.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penggunaan dari persoalan jalur terpendek dapat dijumpai pada sebahagian besar bidang optimasi kombinatorial. Pencarian jalur dengan panjang minimal pada jaringan tidak lengkap dapat didefinisikan sebagai persoalan jalur terpendek probabilistik. Apabila panjang busur antara node dipilih sebagai variabel acak disebuah jaringan tidak lengkap maka jaringan yang dihasilkan disebut sebagai jaringan stokastik tak lengkap. Persoalan jalur terpendek ini dengan panjang bu-sur tertentu telah dikaji secara intensif sehingga diperolehnya sejumlah algoritma efisien, Bellman(1954), Dijkstra(1959), Dreyfus(1964). Dalam jaringan determi-nistik sejumlah node, panjang busur dan lain-lain didefinisikan terlebih dahulu sebelum persoalan optimasi diselesaikan. Oleh karenanya, sejumlah algoritma efektif dapat digunakan untuk persoalan jalur terpendek. Namun ada situasi di-mana terdapat satu atau lebih parameter-parameter jaringan yang merupakan variabel acak.
2
1.2 Perumusan Masalah
Ketika salah satu parameter lebih dari sebuah jaringan yang tak lengkap yang diizinkan untuk variabel acak, maka jaringan yang dihasilkan dikenal se-bagai jaringan stokastik tidak lengkap, untuk memperoleh panjang jalur yang diharapkan minimal diketahui sebagai jalur terpndek pada jaringan stokastik tak lengkap. Ada sebahagian literatur yang menangani ketidak pastian ini, terbatas pada analisis masalah dengan asumsi jarak acak antara node dalam jaringan ja-ringan stokastik lengkap. Akibatnya ada kebutuhan untuk pengenalan metodologi untuk menghitung panjang diharapkan minimum dan distribusi dari node sumber kenode tujuan pada jaringan stokastik tak lengkap, ketika salah satu komponen dari panjang busur (perjalan waktu atau kecepatan) diizinkan sebagai variabel acak.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari jalur terpendek pada ja-ringan stokastik tak lengkap.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi kebidang aeronau-tika, logisti, komunikasi, transportasi umum, tehnik sipil, mekanik dan listrik. Pada sebuah metode yang dipilih untuk pencarian jalur terpendek. , serta men-jadi acuan bagi peneliti lainnya dalam melakukan penelitian yang sama ataupun lebih kompleks lagi.
1.5 Metode Penelitian
BAB 2
PROGRAM STOKASTIK
2.1 Pengertian Program Stokastik
Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan yang dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari persoal-an data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualpersoal-an atau kapasitas. Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel x1 +x2 +x3 +...+xn. Sebagai
contoh xi menyatakan produksi ke−i dari n produk. Bentuk umum program
matematikanya adalah :
min f(x1, x2, x3 · · ·,xn)
Kendala:
g1(x1, x2, x3 · · · , xn)≤0
g2(x1, x2, x3 · · · , xn)≤0 (2.1.1)
...≤...
gm(x1, x2, x3 · · · , xn)≤0
x1, x2, x3, . . . , xn∈X.
dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif.
Stokastik programming adalah sebuah nama yang menyatakan program ma-tematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi de-ngan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa:
4
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program ma-tematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala meng-andung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pa-da prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin pa-dari pa-data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum di-gambarkan pada elemen w∈ W. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Recourse Models (Model Rekursif)
2. Probabilistically Constrained Models (model Kendala Berpeluang)
Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah ke-putusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan) sebagai konsekwensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai model Reco-urse. Andaikanxadalah vektor keputusan yang diambil, dan y(ω) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekwensi dari x. Him-punan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari
ω. Formulasi dua tahapnya adalah
min f1(x) + nilaiharapan[f2(y(ω), ω)]
Kendala:
g1(x),· · · , gm(x)≤0
h1(x, y(w))≤0, ∀ω ∈W (2.1.2)
... ≤ ...
hk(x, y(w))≤0, ∀ω ∈W
5
Himpunan kendala h1, h2,· · · , hk, menggambarkan hubungan antara keputusan
tahap pertamaxdan keputusan tahap keduay(ω). Di catat bahwa dipersyaratkan (diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap
ω ∈W yang mungkin.Fungsif2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Model Recourse dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan ta-hap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa keti-dakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan ke-putusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut :
min f(x1, x2, x3 · · · , xn)
Kendala:
P r[g1(x1, x2, x3 · · · , xn)≤0,· · · , gm(x1, x2, x3 · · · , xn)≤0]≥α
...≤... (2.1.3)
h1(x1, x2, x3 · · · , xn)≤0
h2(x1, x2, x3 · · · , xn)≤0
x1, x2, x3, . . . , xn∈X
2.2 Jalur Terpendek Pada jaringan acak
6
acak pada panjang jalur ataupun lintasan, tidak akan terlepas dari persoalan sto-kastik. Hal-hal yang akan dibahas bagaimana menyajikan suatu tehnik untuk menghitung fungsi distribusi dari panjang jalur sumber ke panjang jalur tujuan. Dapat digunakan untuk menghitung jalur terpendek, yang diarahkan ke suatu jaringan acyclic yang panjang busurnya memiliki jangkauan terbatas. Bereanu (1966)merumuskan masalah program linear stokastik dengan fungsi objective se-bagai koefisien acak. Studi ini memberikan penyelesaian yang memerlukan pe-ngetahuan tentang dasar probabilitas yang optimal. Grimmett dan Welsh (1982), mempetimbangkan aliran maksimum dalam jaringan dengan kapasitas distribusi yang independent (bebas) dan identik. Dan juga menemukan Teorema limit untuk kasus-kasus dimana jaringan graph lengkap dan cabang pohon. Frieze, Grimmett, dan Andretta(1985) bersama teman-temannya dengan pendekatan masing-masing memeriksa situasi dimana panjang busur adalah variabel acak, dan jalur dengan probabilitas maksimum yang terpendek adalah tetap.
2.3 Jaringan Tak Lengkap
7
panjang busur (travel time or speed) antara node dipilih sebagai variable acak,
2.4 Program Stokastik Dua Tahap
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua ta-hap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakuk-an sebelum kondisi acak dari persoaldilakuk-an ditentukdilakuk-an. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompen-sasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari ren-cana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Andaikan terdapat persoalan berikut :
8
Andaikan elemen dari matiks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) ber-nilai acak. Maka untuk proses acak penyelesaian dari persoalan (2.4.1)–(2.4.4) akan dibagi menjadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pa-da kondisi pa-dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X0 yang
memenuhi kondisi (2.4.2). Pada tahap kedua ditentukan spesikasi ω0 dari setiap
kejadian acak yang bersamaan (sesuai)dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung
divergensi B(ω0) = A(ω0)X0 yang muncul pada kondisi (2.4.3) setelah
realisa-si ω0 ∈ Ω. definisikan vektor konpensasi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan berikut:
D(ω0Y(ω0) = B(ω0)−A(ω0)X0, (2.4.5)
dimanaD=kdijk,i= 1,2,3, . . . , nadalah matriks kompensasi yang berisi elemen
acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergntung pada pemilihan rencana pendahuluan X0.
Perhatikan persoalan program matematika berikut: Tentukan vektorX ber-dimensi n dan vektor Y(ω) berdimensi n1, ω ∈Ω yang menghasilkan;
H adalah vektor penalti yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor Y(ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi mate-matika setelah ditentukan rencana awalX0, kita pilih komponen vektorY(ω)
de-ngan cara menjamin penalti minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu
9
Persoalan (2.4.10) akan mempunyai banyak rencana, vektor Y(ω) tidak dapat ditentukan pada tiap ω ∈ W yang menjamin penemuhan kondisi (2.4.8). perso-alan (2.4.6)–(2.4.9) dikenal sebagai persoperso-alan program stokastik dua tahap dan persoalan (2.4.10) adalah persoalan tahap kedua.
Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik (dina-mik) dua tahap dapat digunakan untuk perspektitif perencanaan dan operasional manajemen, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah di-rencanakan dan sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang sensintif terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang me-nyebabkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap pertama yang diperlukan untuk setiapω ∈W, terdapat vektorY ≥0 sedemikian hingga,
D(ω)Y(ω) =B(ω)−A(ω)X (2.4.11)
Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (2.4.11) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (2.4.7) sudah diten-tukan.
Andaikan himpunanK1 ={X :A0 =B0, X ≥0}didefinisikan oleh kendala
yang sudah ditentukan tetapi
K2 ={X :∀ω∈Ω,∃Y ≥0, A(ω)X =B(ω)−D(ω)Y(ω)}
didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan K =K1∩K2 adalah himpunan vektor X yang layak/memenuhi persoalan (2.4.6)–(2.4.9).
Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan A0X = B, X ≥0 dan disamping itu, persoalan tahap kedua (2.4.3) akan memiliki banyak rencana.
Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut :
Teorema 2.1 . HimpunanK dengan vektorX pada persoalan program stokastik dua tahap adalah konveks.
Bukti. K =K1∩K2 tetapi K1 ={X :A0 =B0, X ≥0}adalah konveks.
10
sedemikian hingga A(ω)X = B(ω)−D(ω)Y(ω) adalah konveks. Hal ini menya-takan bahwa K2 =∩ω∈ΩK2ω danK =K1∩K2 adalah himpunan konveks sebagai
pertolongan himpunan konveks.
2.5 Analisis Persoalan Program Stokastik Dua Tahap
Himpunan K dari rencana pendahuluan untuk persoalan program stokas-tik dua tahap secara implisit telah ditentukan. Pada kasus generalisasi tidak diketahui bagaimana untuk mengkonstruksi himpunan K2. Untuk beberapa ka-sus parsial, dimana sangat penting untuk banyak aplikasi, himpunan K2 mirip
dengan Rn. Diasumsikan bahwa rank dari matriks D adalah sama dengan m,
kecuali (2.4.8) dapat disubstitusikan untuk relasi ekivalen padap baris, sehingga:
OY =B −AX,
dimana O adalah vektor berisi nol berdimensi m dan p adalah banyaknya baris bergantung padaD. Asumsikan bahwa rank dari matrikDyang berdimensimxn
adalah sama dengan m dan m kolom pertama adalah linier independen.
Andaikan bahwa untuk setiap v ∈Rn terdapat Y ≥0 sedemikian hingga :
DY =v. (2.5.1)
Lema 2.1 (Kall, 1994) Jika asumsi di atas dipenuhi, maka D mempunyai pa-ling sedikit (m+ 1) kolom, yaitu : n ≥(m+ 1).
Teorema 2.2 (Kall, 1994) Karena sistem persamaan DY =v mempunyai pe-nyelesaian non-negatif untuk setiap v ∈ Rn, maka hal ini cukup menunjukkan
bahwa terdapat penyelesaian non-negatif untuk sistem homogen dari persamaan linier :
Dπ = 0 (2.5.2)
π lebih besar dari pada 0 untukj = 1,2, ..., m
Bukti. Sistem persamaan DY =v selalu mempunyai penyelesaian. Mula-mula, andaikan ˆYj 6= 0 untuk j = 1,2, ..., mtetapi yang lainnya sama dengan nol.
Selanjutnya hubungan α(Dπ) +DYˆ = υ akan dipenuhi untuk sembarang
11
persamaan (2.5.1). Kondisi (2.5.2) sulit dibuktikan dengan ekspektasi beberapa kasus parsial.
Andaikannmenjadi sama denganm = 1, maka kondisi cukup akan menjadi:
m+1
X
j=1
πjDj = 0,
karena jika πm+1 = 0 akan diperoleh dependen linier darim kolom pertama Dj,
yang mana akan kontradiksi dengan fakta bahwa matriks D mempunyai rankm. Konsekwensinya adalah πm+1 >0, sehingga diperoleh :
−Dm+1 =
Sistem di atas adalah persamaan linier yang hanya mempunyai satu penyelesaian. Jika positif maka K2 =Rn.
Kondisi Teorema 2.2 tidak cukup tetapi perlu, sedemikian hingga DY =
v mempunyai penyelesaian cukup untuk keperluan pemecahan non-negatif dari
DY = vtidak untuk setiap v ∈ Rm tetapi hanya untuk v = B −AX dengan
setiap X ∈ K1ω ∈ W dan setiap ω ∈ W sehingga v jauh dari memenuhi untuk
semua Rm.
Persoalan (2.4.1)–(2.4.4) dapat diinterpretasi sebagai perencanaan produksi, dimana A adalah matriks untuk metode teknologi dasar dan D adalah matriks untuk metode teknologi secara kebetulan pada penentuan varian yang mungkin untuk kompensasi pada divergensi di dalam sistem yang dikondisikan. Pada kasus kondisi dari Teorema 2.2 dapat diinterpretasikan dengan cara berikut. Sehingga untuk sembarang divergensi v ∈ Rm, kompensasi Y dapat diterima temuannya,
yang dicukupkan oleh metode teknologi kebetulan menyatakan sebuah sistem ter-tutup, karena itu terdapat intensitas tidak nol, yang mana semua hasilnya dieks-ploitasikan oleh metode produksi tertentu dapat dikonsumsi oleh yang lainnya. Sebagai contoh : penjualan dan pembelian dipisahkan dengan baik.
Teorema 2.3 Karena persoalan (2.4.10) mempunyai penyelesaian yang berhing-ga, maka hal ini perlu dan cukup menunjukkan bahwa sistem pertidaksamaan
12
mempunyai penyelesaian
Pembuktian teorema diatas dapat dilihat dengan jelas pada teorema dua-litas program linier yang diajukan oleh Dantzig (1959). Jika persoalan (2.4.10) dapat diselesaikan dan mempunyai penyelesaian optimal maka dualnya jiga da-pat diselesaikan dan begitu juga sebaliknya. Kendala dari persoalan dual untuk (2.4.10) adalah kondisi (2.5.3)
Kondisi dari Teorema 2.3 memiliki kegunaan secara ekonomi. Sehingga bi-aya pada eksploitasi pada metode teknologi kebetulan dilikuidasi dari divergensi yang berhingga, karena itu cukup dan perlu terdapat sistem estimasi Z untuk menghasilkan metode teknologi kebetulan. Biaya produksi yang disebabkan oleh estimasi output pada metode teknologi yang ke-i tidak lebih tinggi pada eksplo-itasi dengan singular intensity dari pada pengeluaran pada eksploeksplo-itasi dengan singular intensity.
Teorema 2.4 (Judin (1974)) Andaikan matriks D mempunyai m + 1 kolom dan memenuhi kondisi Teorema 2.2 yaitu :
−Dm+1 =
m
X
j+1
πjDj, πj >0, j = 1,2,3,· · ·m
maka untuk pemenuhan kondisi Teorema 2.3 adalah syarat perlu dan cukup bahwa digantikan relasi (hubungan) berikut
m
X
j=1
πjhj +hm+1 ≥0, , , j = 1,2,3,· · · (2.5.3)
Bukti. Syarat perlu. Andaikan persoalan tahap kedua (2.4.10) dapat diselesaik-an, maka kumpulan rencana dari masalah dual menjadi tidak kosong. Andaikan vektor Z0 memenuhi kondisi (2.5.3) persoalan dual yaitu :
13
Dari kondisi (2.5.5) dan (2.5.6) diperoleh hasil (2.5.3) syarat cukup.
Andaikan (2.5.3) digantikan oleh fungsi tujuan pada persoalan tahap kedua (2.4.10) yang tidak berkendala pada himpunan rencana, maka himpunan rencana persoalan dual untuk persoalan tahap kedua adalah kosong.
Z|ZD≤H =∅ (2.5.7)
Dari linear independen vektor-vektorD1, D2, ..., Dm jika mengikuti sistem ;
ZDj =hj, j = 1,2, ..., m, (2.5.8)
hanya mempunyai penyelesaian Z0, karena persamaan (2.5.7) diperoleh
Z0Dm+1 > hm+1, (2.5.9)
Dari kondisi teorema dan persamaan (2.5.8), (2.5.9) diperoleh
Z0Dm+1 =−
yang mana kontradiksi dengan kondisi (2.5.3) sehingga teorema dipenuhi.
Kondisi (2.5.3) menguntungkan secara ekonomi pada persoalan penjadwal-an. Andaikan metode teknologi berbentuk sistem tertutup, maka biaya dari explo-itasi metode accindetal output yang bertujuan kompensasi divergensi akan ber-hingga, jika tidak mungkin mendapatkan keuntungan dari rezim yang tidak jalan dari pekerjaan (jika persamaan (2.5.2) dapat dipenuhi). Dalam pekerjaan yang diajukan oleh Kall (1964) ditunjukan bahwa kondisi analog yang hilang dari ke-untungan juga tergantikan dalam kasus ketikan > m+ 1, tetapi kondisi ini hanya syarat perlu.
Perhatikan sebuah deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik dua tahap pada (2.4.6)–(2.4.9) dan tunjukkan bahwa persoalan (2.4.6)–(2.4.9) adalah persoalan program konveks. Dual untuk persoalan tahap kedua (2.4.10) adalah ;
(Z, B −AX)→max (2.5.10)
14
Andaikan penyelesaian persoalan (2.4.10) ada dan berhingga, maka terdapat pe-nyelesaian berhingga untuk persoalan (2.5.10)–(2.5.11) dan nilai optimal untuk keduanya telah dikerjakan oleh Dantzig (1956). Definisikan nilai fungsi sebagai . Dapat diperoleh bahwa (X, A, B) menjadi titik maksimum (2.5.10) yang di-capai dengan kondisi (2.5.11) untuk X, A, B yang ditetapkan. Sehingga untuk sembarang X1 dan X2 nilai ekstrimum fungsi tujuan (2.5.10) adalah berhingga, diperoleh ;
Z(αX1+ (1−α)X2, B)(B−A(αX1+ (1−α)X2) =
Z(αX1+ (1−α)X2, A, B)[α(B−AX1) + (1−α)(B−AX2)]≤
αZ(X1, A, B)(B−AX1) + (1−α)Z(X2, A, B)(B−AX2)
Andaikan∅adalah fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen, maka ada-lah fungsi konveks, karena kombinasi non-negatif fungsi konveks adaada-lah fungsi konveks. Dari konveksitas fungsi tujuan mengikuti kontinuitas pada setiap titik dalam dari himpunan konveks K. Oleh karena itu dibuktikan oleh pernyataan berikut.
Teorema 2.5 Deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik dua-tahap
(2.4.6)–(2.4.9) adalah persoalan program konveks. Pernyataan selanjutnya mem-berikan dasar teori untuk mengkonstruksi pendekatan numerik pada penyelesaian persoalan dua-tahap. Perhatikan metode untuk menyelesaikan persoalan dua ta-hap diperlukan penggunaan hubungan (persamaan) fungsi dasar untuk ∅(X) dan menyediakan kondisi differensiabel ∅(X). Pada bagian ini akan digunakan fungsi dasar untuk fungsi konveks F(µ) pada titik µ0 ∈ M, untuk fungsi linear L, jika F(µ)−F(µ0 ≥ (L, µ,−µ0) untuk setiapµ∈ M. Hal ini dapat dilihat pada Judin
adalah dasar untuk fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen pada titik X0 ∈K.
15
tujuan ∅(X) yang merupakan persoalan deterministik ekivalen adalah kontinu differensiabel setiap tempat pada himpunan K.
Untuk investigasi kondisi optimalitas rencanaX pada persoalan tahap per-tama, dibutuhkan vektor CX =E[C−Z∗(A, B, X)A] dan bentuk linear
Lx = (Cx1, X) =E[C−Z
∗(A, B, X)A]. Judin (1974) mengajukan formulasi
kon-disi perlu untuk optimalitas pada rencanaXdi dalam persoalan program stokastik dua tahap.
Teorema 2.7 Jika X∗ adalah rencana deterministik untuk persoalan dua tahap
maka untuk sembarang X ∈K,
LX(X∗)≤LX(X). (2.5.12)
Bukti. Andaikan X∗ adalah rencana optimal tetapi X rencana yang diterima untuk persoalan dua tahap. Dapat diperoleh : ∅(X∗)≤ ∅(X)
E(CX∗+Z∗(A, B, X∗)(B−AX∗))≤E(CX +Z∗(A, B, X)(B−AX)) (2.5.13)
E(Z∗(A, B, X∗)(B −AX∗))≥E(Z∗(A, B, X)(B−AX)). (2.5.14)
Kurangkan (2.5.14) dari (2.5.13), dan diambil Z∗(A, B, X∗) sebagai rencana op-timal untuk masalah dual dan diperoleh hasil (2.5.12).
Melalui pekerjaan yang diajukan oleh Efimov (1970) dan Judin (1974) dipe-roleh bahwa kemungkinan untuk membuat kegunaan secara ekonomi pada kondisi (2.5.12). VektorZ∗(A, B < X) adalah penyelesaian masalah dual untuk persoalan dua tahap dan merupakan vektor estimasi untuk produk jarang (kurang) atau ber-lebihan pada intensitasX dari metode teknologi setelah matriks teknologiA dan vektor permintaan B yang di realisasikan. Estimasi ini mendefinisikan pengaruh dari nilai divergensi pada pengeluaran untuk likuidasi ekonomi dari divergensi. Nilai
m
X
i=1
aijZi∗(A, B, X)−Cj
16
kasus di dalam eksploitasi metode teknologi yang dikerjakan dengan intensitas X. Jika vektor X∗ mendefinisikan rencana awal optimal untuk persoalan program dua tahap, rekaptulasi keuntungan rata-rata pada intensitas X∗ selama penggu-naan metode produksi teknologi dihitung pada optimasi optimal yang tidak lebih kecil dari rekapitulasi keuntungan rata-rata yang dihitung pada estimasi optimal untuk sembarang rencana lain X yang dibolehkan.
Akan diformulasi tanpa pembuktian teorema pada kondisi cukup dan perlu dari optimalitas untuk rencana persoalan program stokastik dua tahap.
Teorema 2.8 AndaikanX∗ titik internal (dala) dari himpunanK, tetapi sebuah
fungsi objektif (X) pada persoalan deterministik ekivalen terhadap persoalan dua tahap yang diferensiabel di dalam neighbourhood dari titik X∗. Maka persoalan
dual Z∗(A, B, X∗) sedemikian hingga
C∗
X =E[C−Z∗(A, B, X∗)A] = 0 (2.5.15)
Jika dan hanya jika X∗ adalah penyelesaian persoalan dua tahap (Judin, 1974).
2.6 Program Stokastik Tahap Ganda
17
atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Kebergantungan (keadaan) pada bermacam-macam proses aktual yang da-pat dimodelkan, menyebabkan persoalan dinamik akan memiliki salah satu ben-tuk berikut yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distri-busi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan men-jadi : (a) jika oleh momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) jika oleh mo-men pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mo-mengenai realisasi parameter acak (termasuk kondisi) yang dinyatakan tahapan, tetapi nilai dari pa-rameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui. Terdapat relasi tertentu antara persoalan tahap ganda dengan yang tidak dapat dikondisikan dan kon-disi kendala. Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir pada penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang membe-rikan penyelesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputuan
Konstruksi model probabilistik dinamik dan melaksanakan metode untuk realisasi yang ditampilkan akan sangat sulit. Pada bagian ini akan diberikan beberapa persoalan yang berisi model matematika untuk persoalan tahap ganda dan prosedur untuk mengkonstruksi penyelesaiannya.
Untuk perhitungan selanjutnya dan analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terda-pat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0,1, ..., n untuk beberapa ruang kejadian elementer
ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian
produ-ct Ωi, i = 1,2, ..., k;ωk = (ω1, ..., ωk),Ωn = Ω dan andaikan pada Ω
diberik-an ukurdiberik-an probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka
pk(A) =p(AxΩk+1x...xΩn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω,P
, P) dengan
P
probabi-18
VariabelXkdinyatakan sebagai descartian product X
i, i= 1,2, . . . , k;Xk =
(x1, . . . , xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimanaX0,X1, . . . ,Xn adalah barisan himpunan dari
struktur sembarangXk ∈Xk, k= 0,1, . . . , ndan himpunanXtermasuk satu titik
X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωkXk) berdimensi
untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, ..., n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω
pa-da himpunan X fungsi ϕ0(ωnXn). Masukkan himpunan acak G0k = G0k(ωk) dan
bk(ωk−1)mk fungsi vektor. Bk berdimensi acak dari ωk−1 (dibatasi dan terukur)
dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimen-si bk(ωk−1)Pki=1mi. Akhirnya, Ewk(U(ωk)|ωk−1) menyatakan kondisi ekspektasi
matematika U(ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1 yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas. Andaikan terda-pat persoalan program stokastik tahap ganda :
Eϕ0 = (ω
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah ken-dalah yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian per-soalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan
19
oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe - pengamatan keputusan pengapengamatan ... keputusan Keputusan pengapengamatan -keputusan - ... - -keputusan Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972). Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan adalah
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struk-tur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda de-ngan kendala kondisional. Model kongkrit dari (2.6.1) –(2.6.3) pada kasus perso-alan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah :
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi .Biasanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan ke-mudian jika didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak k, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan k. Dikatakan
bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan k−1 tetapi sebelum penga-matan k, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada Xk − 1 dan
k−1.
20
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari
persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan k; aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga
Xk=Xk(k). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang
diten-tukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan k−1, tetapi sebelum pengamatan k. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk=Xk(k−1)
Biasanya, persoalan (2.6.7) –(2.6.9) atau (2.6.10)–(2.6.12) dikenal sebagai perso-alan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (2.6.8) atau (2.6.11) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan de-ngan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikondisikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah diker-jakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974).
AndaikanU adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan sto-kastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U ={Xk∈Gi×...×Gn|Eϕk(ωk, Xk)} ≥bk, k= 1,2, ..., n
dan V[bn(ωn−1)] adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi
sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 2.9 Teorema 3.9. Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi
21
penyelesaian layak dari persoalan (2.6.4)–(2.6.6) dan (2.6.7)–(2.6.9) atau (2.6.10)– (2.6.12) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentuknya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) =bk.
Pernyataan diatas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat mena-rik. Jika fungsiϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕk adalah konkaf
pada X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimal dari fungsi objektif yang dica-pai pada distribusi penyelesaian dapat dicadica-pai juga dengan aturan penyelesaian. Konveksitas dari ϕ0 dan −ϕk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi
opti-mal murni dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari fungsi tujuan.
Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimal sebelumnya pada persoalan sto-kastik tahap ganda didalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan distribusi pe-nyelesaian optimal sebelumnya.
22
Teorema 2.10 (a) Andaikan ukuran probabilistik Fω didalam Ω ≡ Ωn adalah
kontinu (b) Andaikan terdapat fungsi positif g0(ω) dan gk(ωk) berkendala atas
menurut moduleϕ0(ωn, Xn)dan semua komponenϕk(ωk, Xk). Maka penyelesaian
aturan optimal sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefinisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimal sesudahnya.
Bukti: Untuk persoalan stokastik satu tahap diberikan oleh Judin (1972).
Bukti. Untuk persoalan stokastik satu tahap diberikan oleh Judin (1972).
Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional dapat disubstitusikan untuk sistem persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. An-daikan akan dibahas persoalan (2.6.10)–(2.6.12) yang diselesaikan dengan strategi murni (dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya).
Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-i bekaitan dengan himpunan:
Ki ={Xi ∈G0|∃{yi+1 ∈G0i+1, ..., yn∈G0n};
i menyatakan proyeksi Gi terhadap hyper-plane dari kordinat yang
didefini-sikan oleh komponen vektor Xi. Persyaratan keberadaan dari vektor yi+s, s =
1,2, ..., n−iyang memenuhi kondisi (2.6.13) adalah ekivalen terhadap keberadaan kendala didalam persoalan dua tahap. Kondisi cukup dan perlu untuk menyele-saikan persoalan (2.6.10)–(2.6.12) adalah kondisiK1 6= Φ (fungsi objektif (2.6.10) dengan asumsi berkendala). Jika disamping K1 6= Φ, Ki 6= Φ, i= 2,3, ..., n.
Fungsi tujuan dari persoalan Qi(Xi) pada tahap ke-i mengatakan
kondi-sional ekspektasi matematika ϕ0(ωn, Xn) pada asumsi semua tahapan sebelum
tahap ke-i, himpunan ωi−1 merupakan parameter yang direalisasikan dengan
kon-disi persoalan dan komponen keputusan himpunan Xi−1, dan sesudah tahap ke-i
keputusan optimal berikutnya: X∗
i+1, ..., Xn∗:
Qi(Xi) = Eωn|ωi−1(ωn, Xi−1, Xi, Xi+1, ..., X∗
23
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke-i dari per-soalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan perper-soalan program matematika berikut
Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.
2.7 Pengertian pembentukan pohon skenario
24
Gambar 2.1 : Gambar.1 Pohon Skenario
tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap daripadanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak.
Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh Kt, untuk t = 1, ...T. Buhul disetiap tahap
dapat dilabel secara berurutan dengan kt = 1, ..., Kt untuk semua t. Dt(k)
me-nyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k. Misalnya dalam pohon skenario di Gambar 2.1 . D3(1) memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1 yang merupakan dua buhul paling kiri dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun
k dalam tahap T, andaikan Pk
t merupakan probabilitas terkait dari keterjadian
skenario. Untuk t =T−1,− − − −1, pk
t diberikan oleh
pkt+1 = X
lǫDt+1 plt+1
dengan pl = 1
Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk persoalan dimana banyak mengandung faktor acak.
25
a. Bootstrap Data Historis
b. Pemodelan statistika dengan pendekatan ”value at risk”
c. Model vektor Autoregressi
a. Bootstrap Data Historis
Pendekatan paling sederhana untuk membangun skenario hanya memakai data yang ada tanpa pemodelan matematika. Setiap skenario merupakan sampel dari perolehan aset yang diperoleh dengan mensampling perolehan yang diamati di masa lalu. Waktu dari catatan historis yang tersedia dipilih secara acak dan untuk setiap waktu dalam sampel dibawa perolehan dari semua kelas tersebut. Ini merupakan skenario perolehan bulanan. Jika ingin dibangun skenario perolehan untuk horizon waktu panjang misalnya 1 tahun, disampel perolehan 12 bulan dari titik waktu yang berbeda. Susunan perolehan dari deretan yang disampel merupakan perolehan 1 tahun. Dengan pendekatan ini korelasi diantara kelas aset dipertahankan.
b. Model Statistika dari Konsep Value-at-Risk
Analisis deret waktu dari data historis dapat dipakai untuk mengestimasi perubahan dari matriks korelasi antara kelas aset. Matriks korelasi ini dipakai untuk mengukur resiko dengan metode Value-at-Risk (VaR).
Nyatakan peubah acak dengan vektor acak k−dimensi w. Dimensi w sama dengan jumlah faktor resiko yang ingin dimodelkan. Dengan mengandaikan bah-wa peubah acak secara gabungan bersebaran normal dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluang dari w sebagai.
f(w) = (2π)−p/2|Q|−1/2exp
disiniwadalah ekspektasi dariwdanY matriks kovarian dan dapat dihitung dari data historis.
26
Simulasi dapat diterapkan secara berulang pada status berbeda dari pohon kejadian. Segitupun, mungkin saja ingin dipersyaratkan nilai acak yang dibangun pada nilai-nilai yang diperoleh oleh beberapa peubah acak.
Sampling bersyarat dari peubah normal multivariat dilakukan seperti beri-kut. Peubahwdipartisi menjadi 2 subvektorw1 danw2denganw1 vektor dimensi
K, dari peubah acak untuk nama beberapa informasi tambahan tersedia dan w2
adalah vektor dimensiK2−K−K1 dari peubah sisa. Vektor nilai ekspektasi dan matriks kovarian dipartisi secara analog sebagai
¯
Fungsi kepadatan peluang marginal dari w2 dengan diketahui w1 = w∗
1
di-dimana nilai ekspektasi bersyarat dan matriks kovarian diberikan oleh
¯
w2.1(w1∗) = ( ¯w2−Q21Q11−1µ1) +Q21Q−111w∗1
dan
Q22.1 =Q22−Q21Q−111Q12
Skenariow2 untuk periode t dipersyaratkan pada nilaiw1 diberikan oleh wt
1
dapat dibangun dari peubah normal multivariat melalui pernyataan
w2ti =w02iexp[σi
√
tw2i]
denganwt
2i nilai hari ini danσi adalah perubahan periode tunggal dari komponen
ke ipeubah acak w2.
c. Model Vektor Autoregressi
27
Terpisah dari perolehan atas aset-aset ini, setiap skenario harus mengandung in-formasi tentang pertumbuhan gaji masa datang untuk menghitung nilai masa datang pensiun.
Model vektor autoregressi untuk membentuk skenario perolehan aset dan pertumbuhan gaji adalah
Rt=c+V ht−1+ǫt, ǫt∈N(0, Q), t= 1,2, ..., T
Rit = ln(1 +πit), i= 1,2, ..., T
Denganmjumlah deret waktu aset,πit laju perubahan diskrit dari peubahi
ditahun t, Rt vektor dimensi-m dari laju majemuk, cvektor koefisien berdimensi
m, V adalah matriks koefisien m×m, ǫt vektor dimensi m dari pencilan dan Q
matriks kovariansi m×m.
BAB 3
PEMODELAN
3.1 Rancangan pemodelan
Untuk merancang suatu model dalam kombinasi jaringan program mate-matika yang bertujuan menentukan jalur terpendek, dimana keputusan yang di-hasilkan akan bergantung kepada perhitungan yang diberikan oleh algoritma dan formulasi. Dalam kombinasi jaringan dari graphGyang mempunyai pasangan no-de dan busur. MisalkanG= (N, A),N adalah suatu node yang mampu menerima dan mengirim pesan, sedangkan busur A adalah suatu alat komunikasi satu arah dalam menghubungkan pesan node. Himpunan node N dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian yaitu N1 dan N2 Juliet. P (1992). N1 merupakan jumlah node yang beroperasi tampa kegagalan dimana kardinal |N1| = m(m > 2),N2
adalah himpunan node dengan kegagalan dari kardinal |N2|=n.
3.2 Algorima [Peter S.K.(2007)]
Langkah-langkah dasar yang dipakai untuk menetukan jalur terpendek dapat di-berikan oleh algoritma berikut:
Langkah 1 : Baca N1 =m, N2 =n, N, A, K = 25, i= 0, j = 1, ω, pk, prk(ω);
Langkah 2 : Set K = 1;
Langkah 3 : Hitung ω dari prk(ω) =ncωp
w
k (1−pk)n−ω ;
Langkah 4 : Hitung N′
=N1+ω ; Langkah 5 : Hitung tij = 1logf.00024(t) ;
Langkah 6 : Tingkatkan i=i+ 1, j =j+ 1;
Langkah 7 : Periksa i= (m+n−1) dan j = (m+n);
Langkah 8 : Jika ya, kembali kelangkah 6. Jika tidak kembali kelangkah 2; Langkah 9 : Merumuskan masalah LP dan menyelesaikan Jalur terpendek; Langkah 10: Periksa K = 25. Bila ya , Lanjut kelangkah 12. Jika tidak, lanjut ke langkah 11;
29
3.3 Formulasi Model
Pesan yang diasumsikan perjalan antara node dengan kecepatan tertentu yang bervariasi untuk pasangan yang berbeda dari node, dan pesan transmisi waktu dari node i ke node j adalah variaber acak. Selanjutnya masalah jalur terpendek dapat dirumuskan menjadi masalah (LP) pemrogaman linier dimana koefisien fungsi tujuan adalah variabel acak. Perjalan waktu antara pasangan node dan kecepatan antara pasangan node sebagai variabel. Taha A.H (1997) adalah variabel acak. Sehingga masalah jalur terpendek dapat dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier (LP) dimana koefisien fungsi objektif adalah variabel acaktij dengan perjalanan waktu antara pasangan node danxij sebagai kecepatan
antara pasangan variabel node Taha (1997).
Minimize z =P
Dari persamaan (3.3.1), diketahui, tij adalah koefisien fungsi tujuan, yang
merupakan variabel acak waktu perjalanan antara nodei dan j. xij = kecepatan
Transmisi antara node-node i dan j,
lij = kecepatan bawah terikat antara node-node i dan j.
uij = kecepatan atas terikat antara node-node i dan j. Metodologi yang
disa-jikan Jaillet. P (1992) digunakan untuk mendapatkan jaringan tidak lengkap, dan dimulai dengan mengambil himpunan node N dalam jaringan G = (N, A). Himpunan node N dipartisi menjadi dua himpunan bagian yaitu; N1 dan N2, dimana N1 adalah himpunan node tanpa kegagalan atau selalu bekerja yang di-sebut (node ”hitam”) dari kardinalitas |N1| = m(m ≥ 2), karena node sumber
dan node tujuan adalah simpul milik N1 dan N2 adalah himpunan node dengan kegagalan yang mungkin terjadi atau selalu tidak bekerja (n ”node putih” ), dari kardinalitas |N2|=n.
Asumsikan bahwaP probablilitas yang diberikan himpunan kuasa Ω, dima-naN2 adalah suatu anggotawhasil pendefinisian himpunan bagian dariN2 tanpa kegagalan pada contoh ini. Disini dibatasi P untuk bisa menjadi kardinalis yang sama dan memiliki kemungkinan yang sama terjadi yaitu;
w1 ∈Ω, w2 ∈Ω,|w1|=|w2| ⇒P(w1) = P(w2) (3.3.2)
ke-30
gagalan, kita harus memiliki:
Pr(W =|w|=nC|w|P(w)
Hasilnya mengakibatkan, model probabilistik dapat ditentukan ekivalennya, de-ngan memberikan probabilitasP atau distribusi probabilitas dariW. Ingat bahwa pembatasan yang dilakukan pada P mengisyaratkan bahwa, W =K, dimana K
node yang dipilih secara acak seragam antara himpunan dari n node, untuk se-tiap probabilitas P yang memenuhi persamaan (3.3.2) maka akan disebut node invarian.
Contoh, probabilitas dari masing-masing node putih yang muncul adalah proses Bernouilli dengan parameter p, dimana p adalah probabilitas setiap node putih yang muncul, secara bebas dari yang lainnya, maka
P(w) =p|w|(1−p)n−|w| (3.3.3)
dimana w= 0,1,2,3, ..., n, maka
Pr(W =|w|) =nC|w|P(w)(1−p)n−|w| (3.3.4)
Untuk n dan p, nilai Pr(W) dapat dibaca dari table-tabel distribusi
Bino-mial, dan dengan demikian variabel acak W =|w| dapat dihitung. Selanjutnya, misalkan jaringan menjadi G′ = (N′, A′), dimana N′ adalah himpunan node hi-tam N1 dan ”ω”, adalah kardinalitas dari N′ = m′, dan A′ adalah himpunan gabungan semua busur node N′. Sebuah lintasan node C akan diberikan oleh urutan node dari sumber s ke node t yang didefinisikan dengan
C = (s, n1, n2, ..., nk, tj)
Asumsikan bahwa P diberikan probabilitas pada Ω, kekuatan himpunanaN2 (se-buah hasil mendefinisikan himpunan bagianN2 tanpa kegagalan pada contoh ini).
Membatasi P harus sedemikian rupa sehingga semua hasil dari kardinalitas yang sama memiliki kemungkinan yang sama terjadi. sangan node bervariasi secara eksponensial ,dan panjang busur antara pasangan node juga bervariasi. Kemudi-an variabel acakt dapat dihitung dengan kemungkinan sebagai berikut. Misalkan distribusi probabilitas dari waktu t dapat diwakili oleh persamaan berikut.
31
Dimana ,t = waktu tempuh pesan antara dua node.
f(t) = fungsi kepadatan probabilitas dari waktu T.
B = konstanta tergantung pada waktu perjalanan pesan.
Mengevaluasi ”B” untuk probabilitas komutatif (CP ) dari hubungan ber-ikut
Dengan pertimbangan pesan waktu perjalanan bervariasi dari 0 sampai ke 10 unit. Kemudian, untuk kepadatan fungsi probabilitasnya , dimana ”B” dihitung sebagai berikut:
B = 1/(1−e−10) = 1.00024
Sehingga fungsi densitas probabilitas menjadi
f(t) = 1.00024e−t
3.3.1 Algoritma Skenario generasi
Dibagian berikut ini akan disajikan suatu skenerio generasi Heuristik. Un-tuk memperoleh algorithma skenario generasi dapat ditenUn-tukan dengan langkah-langkah sebagai berikut;
• Langkah 0. Pilih parameter dengan toleransi positip ǫ1, ǫ2 dan ǫs dan pilih
ǫ1 > ǫ2. Himpunan k = 1
• Langkah 1. Misalkan F ={F}Tt=1 penyaring turunan Ft={Et,⊘}
Tentukan turunan pohon sebagai;
- T1 = (N1, A1) terdiri dari jalur tunggal
- S1 menjadi skenario tunggal, P1
s = 1
• Langkah 2. (Memecahkan masalah gabungan) Selesaikan masalah MSLP terkait dengan pohonTk . MSLP ini adalah masalah sepenuhnya gabungan.
Solusi dari masalah ini menghasilkan primal-dual
xk
j, πmk :j, m∈Nk yang
32
• Langkah 3. Hitung δn dan ηn untuk setiap n ∈ Nk dengan ¯pn > ǫ3 (jika
noden seperti ¯pn≤ǫ3 kemudian node diabaikan).
• Langkah 4. (aturan berhenti). Bila δn < ǫ1, ηn < ǫ2∀n ∈ Nk dan ǫ3 ≤ ǫ2
dan kemudian berhenti. Kebijakan yang dihasilkan secara optimal sudah cukup memadai untuk masalah yang benar.
• Langkah 5. ( ǫ3 reduction / pengurangan). Bila ¯pn < ǫ3∀n ∈Nk kemudian
himpunan ǫ3 ←ǫ3/2 dan lanjutkan ke Langkah 3.
• Langkah 6. (clustering / pengelompokan) Himpunan ¯
memiliki N skenario ˆξt,i dengan probabilitas p
i sehingga
- Misalkan buatlah suatu proses stokastik ˆξtr yang memilikiKT skenario ˆξk
seperti ˆξk t = ˆξ
αt(i)
t jika i∈CTK, k= 1, . . . , KT, t= 1, . . . , T.
- (splinting/pemisahan)
• Langkah. 7. (splinting / pemisahan). Misalkan L=
n ∈Nk|p¯ n > ǫ3
- Jika ada n ∈ L sehingga δn > ǫ1 kemudian misalkan ¯n menjadi δn =
maxn∈L{δn}. Terapkan prosedur tree update pada node ¯n hal ini
menye-babkan skenario pohon baru Tk+1 . Himpunan k←k+ 1 dan lanjutkan ke
Langkah 2.
- Jika untuk semua node n ∈ L sehingga δn > ǫ1 tetapi disana ada node m ∈ L oleh karena itu misalkan ¯n merupakan node L dengan ηn adalah
pohon yang diperbaharui (tree update).
Sebuah catatan dalam rangka merancang suatu algoritma dengan menggu-nakan parameter, untuk memilih node ke partisi memungkinkan untuk mengiden-tifikasi probabilitas yang lemah dan biaya yang tinggi sehingga dapat memperce-pat penghentian. Berkenaan dengan membelah simpul berdasar indeks infeasible
(tidak layak), dalam beberapa kasus veriabel acak menyebabkan infisibeliti pada node dengan indeks yang tinggi. Dengan demikian mempertimbangan dua node
33
mempromosikan perhitungan sejajar/terditribusi sebab pengerjaan perhitungan termasuk perhitungan ∂n dan ηn dapat dilakukan oleh node-node yang
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Tesis ini membahas pencarian jalur terpendek pada jaringan stokastik . Program stokastik yang merupakan program matematika dimana data yang dimuat, pada tujuan dan kendala mengandung ketidakpastian, biasanya dicirikan dengan pe-luang pada parameter. Program matematika yang dapat berupa linier , cacah, cacah campuran, non linier tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa : 1. Pada program matematika deterministik , data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (terten-tu). 2. Pada program stokastik. Data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Suatu algoritma telah disajikan dalam merancang pencarian jalur terpen-dek dalam jaringan komunikasi satu arah yang menghubunkan pasangan node. Dengan suatu formulasi model , pesan yang diasumsikan sebagai suatu perjalan node i ke j dengan kecepatan tertentu xij yang bervariasi untuk pasangan yang
berbeda dari node i ke j adalah variabel acak. Dalam aplikasinya model alter-natif ternyata efektif untuk mencari panjang yang diharapkan terpendek dalam jaringan stokastik tak lengkap. Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung Pro-babilitas komulatif (CP) untuk waktu yang berbeda antara waktu tempuh pesan (T), dan menghasilkan bilangan acak. Untuk memperoleh fungsi tujuan dalam persamaan (3.3.1) persoalan ini dapat diselesaikan dengan metode simpleks.
Sedangkan untuk bilangan acak yang berbeda, yang dihasilkan dari berba-gai aliran waktu perjalanan dapat diterapkan dalam mencari fungsi tujuan untuk memperoleh himpunan jalur terpendek yang diharapkan dalam menentukan dis-tribusi.
35
4.2 Saran
Untuk penelitian masa mendatang, penulis menyarankan agar
1. Model ini dilanjutkan untuk menghitung distribusi jalur terpendek dalam jaringan tidak lengkap dan diarahkan untuk mempelajari pengaruh para-meter dari fungsi distribusi pada waktu perjalanan pesan.
2. Model yang diusulkan juga dapat digunakan pada kecepatan perjalanan pes-an variabel acak, bukpes-an waktu perjalpes-anpes-an pespes-an variabel acak, untuk meng-hitung jalur terpendek antara node.
3. Ada aplikasi yang luas dari model ini di berbagai bidang seperti: kendaraan routing, penerbangan perencanaan, penjadwalan pedagang keliling, dll.
DAFTAR PUSTAKA
Andretta, G. Ricaldone, F Romeo, L. 1985 Exploring stochastic shortest path problems, ATTI Giomale di Lavaro, Tecnoprint, (121)557-567.
Bereanu, B. 1966 On stochastic linear programming. The Laplace transform of the distribution of the optimum and applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications (15) 280-294.
Bellman, R. E 1958 On a routing problem,Quarterly of Applied Mathematics , (16),87–90.
Birge J.R. and F. Louveaux(1997)Introduction to stochastic programming. Springer Series In Operations Research. Spinger-Verlag.
Dijkstra, E.W. 1959 A note on two problems on connexion with graphs,Numerische Mathematik (1) 69-271.
Dreyfus, S. E 1969 An appraisal of some shortest-path algorithm.Operations Re-search (17) 395-412.
Eiger. A Mirchandani,A. B and H. Soroush.1985 Path preferens and optimal paths in probabilistic networks. Transportation Science. 19 (1):75-84.
Fan, Y. Kalaba, R. Moore, J. 2005 Shortest paths in stochastic networks with cor-related link costs,Computers and Mathematics with Applications (49) 1549-1564.
Frank, H 1996 Shortest paths in probabilistic graphs, Operations Research (17) 583-599.
Frieze, A. Grimmett, G. 1985 The shortest-path problem for graphs with random arc-lengths, Discrete Applied Mathematics (10) 57-77.
Grimmett, G.R. Welsh, D.J. 1982 Flow in networks with random capacities, Sto-chastics (7) 205-229.
Jaillet, P 1992 Shortest path problems with node failures, Networks (22) 589-605.
Kall, P.,and Wallace.S.W.(1994) Stochastic Programming,John Wiley, Chicester and Networks.
Kulkarni, V. G. (1986) Shortest paths in networks with exponentially distributed arc lengths,Networks (16) 255-274.
Loui R.P. 1993 Optimal paths in graphs with stochastic or multidimensional wei-ghts. Comunications of the ACM. 26:670-676,
Martin, J. 1965 Distribution of time through a directed acyclic network,Operations Research (13) 46-66.
Murthy I. and Sarkar S. A 1996 relaxation-based pruning technique for a class of stochastic shortest path problems. Transportation Science, 30(3):220-236.
Provan J.S. A 2003 Polynomial-time algorithm to find shortest paths with recourse.
37
Psaraftis H.N. and Tsitsiklis. 1993 Dynamic shortest paths in acyclic networks with Markovian arc costs.Operations Research, 41(1):91-101.
Snyder, T.L. Steele, J.M. 1995 Probabilistic networks and network algorithms, in:
Handbooks in Operations Research and Management Science, vol. 7, North-Holland Publishing, Amsterdam, pp. 401-424.
Taha, H. A 1997Operations Research An Introduction, sixth ed. Prentice-Hall, New Jersey.
Sharma,D. K,Peter S.K.(2007) Finding Shortest paths with Stocastic Network,
