Analisis Empirical Orthogonal Function (Eof) Berbasis Eigen Value Problem (Evp) Pada Dataset Suhu Permukaan Laut Indonesia

ANALISIS

EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION

(EOF)

BERBASIS

EIGEN VALUE PROBLEM

(EVP) PADA DATASET

SUHU PERMUKAAN LAUT INDONESIA

SITI MUAWANAH ROBIAL

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Berbasis Eigen Value Problem (EVP) pada Dataset Suhu Permukaan Laut Indonesia adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

RINGKASAN

SITI MUAWANAH ROBIAL. Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Berbasis Eigen Value Problem (EVP) pada Dataset Suhu Permukaan Laut Indonesia. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan ARDHASENA SOPAHELUWAKAN.

Indonesia merupakan negara maritim yang sebagian besar wilayahnya adalah lautan sehingga daerahnya beriklim tropis. Daerah dengan iklim tropis memberi pengaruh kuat antara atmosfer dan lautan. Karena pengaruh kuat tersebut, laut mempunyai peranan penting dalam proses perubahan iklim maupun cuaca. Terdapat beberapa unsur penting di laut yang menjadi parameter kunci dalam memengaruhi proses perubahan tersebut. Salah satu yang menjadi parameter kunci adalah suhu permukaan laut (SPL). SPL merupakan parameter yang memberikan informasi keadaan air di permukaan laut. SPL di Indonesia mengalami variasi dari waktu ke waktu yang menyebabkan kondisi cuaca dan iklim berubah dalam rentang waktu tertentu. Oleh karena itu, perlu adanya pengamatan khusus atau penelitian terhadap data SPL di wilayah Indonesia.

Berdasarkan hal tersebut, masalah ini dianalisis menggunakan metode Empirical Orthogonal Function (EOF) berbasis Eigen Value Problem (EVP). Metode ini bertujuan untuk mendapatkan pola-pola dominan yang ditentukan oleh data dan berevolusi dalam ruang dan waktu. Cara kerja dari metode ini adalah mereduksi data yang berukuran besar menjadi beberapa mode EOF tanpa menghilangkan informasi dari data asli. Adapun tujuan penelitian ini adalah mengkaji metode EOF berbasis EVP untuk mereduksi data SPL dalam rentang waktu 600 bulan. Selanjutnya, menganalisis pola dominan dari data secara temporal dan spasial serta menentukan nilai kesalahan untuk melihat kualitas dari hasil reduksi.

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data SPL. Data ini merupakan arsip data global bulanan yang telah direkonstruksi secara terus menerus. Rekonstruksi ini berawal dari bulan Januari 1854 sampai bulan Desember 2012, sehingga lebih dikenal dengan The Extended Reconstructed Sea Surface Temperature (ERSST). Data ERSST ini memiliki resolusi spasial 22 dan resolusi temporal bulanan.

Analisis terhadap data SPL Indonesia selama 600 bulan menghasilkan komponen utama yang diinisialkan dengan mode EOF. Setiap mode EOF mengandung koefisien yang memuat variabel yaitu data grid dan vektor eigen. Data grid menggambarkan letak geografis dan vektor eigen menggambarkan dimensi waktu. Dasar pemilihan mode EOF ini bergantung pada persentase kontribusi dari nilai eigen. Persentase kontribusi lebih dari 80% akan memberikan aturan pemilihan mode EOF yang mempertahankan sebagian besar informasi dari data asli. Berdasarkan analisis tersebut diperoleh empat mode EOF terbesar dengan 94.2% variasi total. Mode EOF pertama (EOF1) menjelaskan 51.4% dari variasi total. Mode EOF ini merupakan pola dominan yang dapat menjelaskan hampir seluruh data. Mode EOF2 menunjukkan 26.7% dari variasi total. Mode EOF3 dan EOF4 masing-masing menjelaskan 11.2% dan 4.9% dari variasi total.

reduksi menggunakan teknik error norm matriks. Teknik ini menghasilkan pola hubungan antara tingkat kesalahan relatif (relative error) dan mode EOF. Pola hubungan tersebut memperlihatkan semakin banyak mode yang diambil maka kesalahan relatif akan semakin kecil. Hal ini berarti tingkat kesalahan menjelaskan representasi hampiran data hasil reduksi terhadap data asli.

SUMMARY

SITI MUAWANAH ROBIAL. Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis of Indonesian Sea Surface Temperature Data Based on Eigen Value Problem (EVP). Supervised by SRI NURDIATI and ARDHASENA SOPAHELUWAKAN.

Indonesia is a maritime country. Most of Indonesian territory was covered by sea, so Indonesia has a tropical climate. Therefore, an area with a tropical climate gives strong influence between the atmosphere and oceans. Because of its strong influence, sea plays important role in the process of climate change and weather. There are important elements in the sea which are become a key parameter in influencing the process. One of the key parameters is sea surface temperature (SST). SST is a parameter that gives information about the state of water at sea level. SST in Indonesia has changed by time and cause weather and climate change within a certain time. Therefore, it is necessary to conduct special observations of the SST data in Indonesian ocean.

In this study, the analysis was performed using the method of Empirical Orthogonal Function (EOF) based on Eigen Value Problem (EVP). An EOF is used to obtain the dominant mode of the data and to evolve in time and space. It works by reducing the large number of variable from the original data to a few variable without substantially reducing the original data information. So the purpose of this study is to examine the method of EOF based on EVP for reducing SST data for 600 months. Subsequently, analyzing the dominant pattern of temporal and spatial data and determine the error value to see the quality of the result of the reduction.

Data that will be used in this research is SST data. It is a monthly global data archive that has been reconstructed continuously. This reconstruction begins in January 1854 up to December 2012, so it was known as the Extended Reconstructed Sea Surface Temperature (ERSST). It has a spatial resolution

 

2

2  and monthly temporal resolution.

The analysis which was conducted on Indonesian SST for 600 months produces several principle component that called as EOF mode. For each EOF, there is a variable which are contained by two coefficients the grid data and the eigenvector. The grid data describes the geographical location and the eigenvector presents the time series variability. Basic selection of EOF mode depends on the percentage of eigenvalues. The percentage contribution more than 80% will give the election rules EOF mode that retains most of the information from the original data. An analysis was performed on the Indonesian SST data for 600 months, resulting in several EOFs where we analyze the four dominant modes with the largest variances. The results show that the first mode explained 64.5% of the total variance, represents the majority data. The second mode explained 20.3% of the total variance, while the third and the fourth mode explain 7.3% and 3.7% of the total variance respectively.

means is explaining approximation error rate data from the reduction of the original data.

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains

pada

Program Studi Matematika Terapan

ANALISIS

EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION

(EOF)

BERBASIS

EIGEN VALUE PROBLEM

(EVP) PADA DATASET

SUHU PERMUKAAN LAUT INDONESIA

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2016

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2014 ini ialah analisis EOF terhadap data suhu permukaan laut. Adapun judul penelitian ini adalah Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) Berbasis Eigen Value Problem (EVP) pada Dataset Suhu Permukaan Laut Indonesia.

Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa telah memperoleh dorongan dan bantuan baik moril maupun materil dari berbagai pihak untuk melengkapi keterbatasan-keterbatasan yang dimiliki penulis.

1. Ayahanda dan Ibunda tercinta, Bapak Itang W, SAg MM dan Ibu Ila Ruhilah serta Suami tersayang E Zaenal Ramadhan, SPd MM.

2. Ketua Komisi Pembimbing, Ibu Dr Ir Sri Nurdiati, MSc.

3. Anggota Komisi Pembimbing, Bapak Dr Ardhasena Sopaheluwakan, BSc MSc.

4. Ketua Program Studi Matematika Terapan, Bapak Dr Jaharuddin, MS. 5. Penguji Luar Komisi, Bapak Dr Ir Fahren Bukhari, MSc.

6. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika.

7. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Program Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).

8. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan dan mendoakan untuk keberhasilan studi penulis.

9. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman angkatan tahun 2013 di Program Studi S2 Matematika Terapan.

10.Seluruh rekan-rekan Gugus Mahasiswa Pascasarjana Matematika (GUMAPASTIKA).

11.Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.

Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan memperkaya wawasan bagi semua pembaca.

Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar serta wawasan kita semua.

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vii

DAFTAR LAMPIRAN vii

1 PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Perumusan Masalah 2

Tujuan Penelitian 3

Manfaat Penelitian 3

2 TINJAUAN PUSTAKA 3

Suhu Permukaan Laut 3

Ruang Vektor 4

Matriks 5

Ortogonalitas 7

Eigen Value Problem 8

Error dan Norm 9

Empirical Orthogonal Function 10

3 METODE 11

Metode Penelitian 11

Jenis dan Sumber Data 11

Langkah Penelitian 12

Alat Uji 12

Ektraksi Data SPL (ERSST V3B) 13

Reduksi Data SPL Menggunakan Metode EOF Berbasis EVP 13

4 HASIL DAN PEMBAHASAN 16

Ekstraksi dan Eksplorasi Data SPL 16

Analisis Empirical Orthogonal Function 17

Analisis Error Norm Matriks 23

5 SIMPULAN DAN SARAN 25

Simpulan 25

Saran 25

DAFTAR PUSTAKA 26

LAMPIRAN 27

DAFTAR TABEL

1 Varians dari EOF dan persentase total varians 18

2 Nilai komponen utama hasil analisis EOF 19

3 Nilai komponen utama hasil analisis EOF dengan unsur NaN 20

4 Nilai error norm relatif 24

DAFTAR GAMBAR

1 Suhu permukaan laut Indonesia pada bulan April 2014 (gambar diambil

dari ketinggian 3000 meter, sumber: BMKG, 2014) 4

2 Ekstraksi data SPL (ERSST V3B) 13

3 Langkah analisis EOF berbasis EVP 14

4 Skema langkah Penelitian 15

5 Data global SPL 17

6 Data SPL Indonesia 17

7 Pola spasial mode EOF1 20

8 Pola spasial mode EOF2 21

9 Pola spasial mode EOF3 21

10 Pola spasial mode EOF4 22

11 Grafik temporal (time series) mode EOF 1 dan 2 22 12 Grafik temporal (time series) mode EOF 3 dan 4 23

13 Grafik error norm relatif 25

DAFTAR LAMPIRAN

1 Algoritme ekstraksi data suhu permukaan laut (SPL ERSST V3B) 27 2 Algoritme reduksi data menggunakan EOF berbasis EVP 28

3 Analisis pola dominan secara spasial 29

4 Analisis pola dominan secara temporal 30

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Indonesia merupakan negara maritim dengan dua pertiga wilayahnya adalah lautan. Jika dilihat dari posisi geografisnya, Indonesia berada pada garis khatulistiwa dan terletak di antara dua samudra yaitu samudra Pasifik dan samudra Hindia. Oleh karena itu, Indonesia beriklim tropis dengan dua musim yaitu musim hujan dan musim kemarau. Daerah-daerah tropis tersebut mempunyai pengaruh kuat dalam menentukan hubungan antara atmosfer dan lautan. Hubungan ini merupakan sebuah konsep dinamika iklim yang penting untuk memahami informasi perubahan cuaca.

Laut mempunyai peranan penting dalam proses perubahan iklim baik di wilayah regional maupun global. Salah satu parameter yang memberikan pengaruh besar dalam proses perubahan tersebut adalah Suhu Permukaan Laut (SPL). Suhu merupakan besaran yang menyatakan banyaknya energi panas atau bahang (heat) yang terkandung dalam suatu benda (Setiawan 2010). Dengan demikian SPL merupakan parameter yang memberikan informasi keadaan air di permukaan laut. SPL di Indonesia mengalami variasi dari waktu ke waktu sesuai dengan kondisi alam yang memengaruhi perairannya. Perubahan tersebut terjadi secara harian, bulanan, tahunan maupun jangka panjang (puluhan tahun). Letak geografis Indonesia memengaruhi dinamika suhu perairan. Terlebih lagi pada beberapa waktu terakhir ini terjadi cuaca ekstrim yang menjadi penyebab utama terbentuknya variasi SPL. Oleh karena itu, pemantauan SPL di perairan Indonesia perlu dilakukan secara berkesinambungan, sehingga diperlukan analisis untuk data tersebut.

Penelitian terkait data SPL pernah dilakukan sebelumnya dengan data, lokasi dan rentang waktu yang berbeda-beda. Nicholls (1984) dalam penelitiannya menyatakan bahwa hubungan antara laut dan udara di wilayah Indonesia bergantung pada anomali SPL. Anomali SPL ini mempunyai hubungan seasonal yang kuat dengan samudra Pasifik. Selanjutnya, Saji et al. (1999) menganalisis data SPL dan hasilnya menjelaskan bahwa anomali SPL di samudra Hindia mempunyai pengaruh yang kuat dengan hujan di Indonesia. Nezlin & Williams (2003) menganalisis anomali SPL dari data satelit dengan metode EOF untuk memeriksa fitur kejadian El Nino pada tahun 1997-1998. Hasil yang diperoleh dari penelitiannya adalah bagian tengah dan selatan California teleconnection terhadap kejadian El Nino.

2

Penelitian terbaru dari Storch & Zwiers (2004) menganalisis teknik multivariat yang menghasilkan variabilitas pola dominan pada bidang statistik (random vektor sebagai indeks yang menyatakan lokasi dalam ruang). Dalam penelitiannya juga mengatakan bahwa analisis PCA atau EOF disebut sebagai earth science. Berdasarkan hal tersebut memberi argumen bahwa metode PCA dan EOF tersebut sama, sedangkan yang membedakannya terdapat pada penggunaan data. Metode PCA digunakan pada data-data bersifat kategorik yang menghasilkan peubah sebagai komponen-komponen utama. Adapun metode EOF digunakan pada data-data iklim yang menghasilkan mode sebagai skor EOF atau persamaan EOF baru. Data-data iklim ini memiliki level tiga dimensi dengan dua dimensi spasial dan satu dimensi waktu. Rasmusson et al. (1981) menyatakan vektor eigen yang mendefinisikan beberapa Principle Component (PCs) disebut sebagai variabel EOF dalam literatur meteorologi dan klimatologi, sedangkan nilai-nilai atau skor dari PC disebut sebagai time series atau amplitudo. Dengan demikian, pada penelitian ini metode yang digunakan adalah metode EOF karena data yang disajikan adalah salah satu data iklim yaitu SPL.

Metode EOF bertujuan untuk mereduksi sekumpulan data SPL yang berukuran besar menjadi beberapa mode EOF tanpa menghilangkan varians dari data asli. Tujuan lain dari metode EOF ini adalah untuk memisahkan keterkaitan data spasial dan temporal, sehingga dapat dihasilkan sebuah kombinasi linear yang sesuai dengan ruang dan waktu. Hal ini dapat dicapai dengan membentuk satu set variabel baru. Variabel baru tersebut disusun dengan menggunakan prinsip komponen utama yang tidak berkorelasi, sehingga sebagian persamaan EOF menyimpan sebagian besar varians yang ada pada variabel asli.

Secara umum metode EOF berbasis EVP bekerja sangat baik dengan menghasilkan beberapa varians yang menggambarkan seluruh data. Oleh sebab itu, bisa dikatakan bahwa hasil reduksi dapat dijadikan sebagai suatu aproksimasi dalam menentukan nilai kesalahan atau norm error. Nilai kesalahan ini dihitung untuk mengetahui seberapa besar hampiran hasil reduksi (mode EOF) terhadap data asli. Hal ini dapat dianalisis dengan menggunakan teknik error norm matriks. Hasil yang diperoleh dari teknik ini adalah besar hampiran berupa nilai norm error. Hasil tersebut menggambarkan pola hubungan antara tingkat kesalahan relatif (relative error) dengan mode EOF. Pola ini memperlihatkan semakin banyak mode EOF yang diambil maka tingkat kesalahan relatif semakin kecil.

Perumusan Masalah

Perumusan masalah dibuat untuk memudahkan analisis sebagai tahap awal dalam melakukan penelitian. Perumusan masalah diuraikan sebagai berikut:

1. Bagaimana metode EOF berbasis EVP dapat mereduksi data SPL (ERSST V3B), sehingga diperoleh beberapa mode EOF.

2. Bagaimana analisis EOF untuk data SPL (ERSST V3B) dapat menghasilkan pola dominan secara temporal dan spasial.

3

Tujuan Penelitian

Berdasarkan uraian sebelumnya, tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengkaji metode EOF berbasis EVP untuk mereduksi data SPL (ERSST V3B).

2. Menganalisis pola dominan dari data SPL (ERSST V3B) secara temporal dan spasial.

3. Menghitung error norm matriks untuk melihat tingkat kesalahan hasil reduksi menghampiri data SPL sebagai data asli.

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Menghasilkan program ekstraksi data SPL (ERSST V3B) dan program metode EOF berbasis EVP menggunakan software Matlab.

2. Mengidentifikasi karakterisasi SPL yang dihasilkan dari pola dominan secara spasial dan temporal.

3. Analisis EOF berbasis EVP yang diaplikasikan pada data SPL (ERSST V3B) dapat dijadikan sebagai komponen yang penting dalam memprediksi keadaan cuaca dan iklim di masa mendatang.

2

TINJAUAN PUSTAKA

Suhu Permukaan Laut

Suhu permukaan laut (SPL) adalah salah satu data iklim yang menjadi parameter fisik oseanografi. Jika dilihat dari definisinya, SPL merupakan proses mendingin dan memanasnya air pada permukaan laut. SPL ini juga merupakan suatu temperatur yang sering diukur untuk mengetahui informasi terkait pengaruhnya sebagai indikator fenomena perubahan iklim. Kisaran suhu pada daerah tropis relatif stabil karena cahaya matahari lebih banyak mengenai daerah ekuator daripada daerah kutub. Hal ini disebabkan oleh cahaya matahari yang merambat melalui atmosfer banyak kehilangan panas sebelum cahaya tersebut mencapai kutub. Suhu di lautan berkisar antara 1.87C (titik beku air laut) di daerah kutub dan suhu maksimum mencapai 42C di daerah perairan dangkal (Hutabarat & Evans 1986). Berdasarkan berbagai penelitian dan pengamatan diketahui bahwa SPL di Indonesia sangat dinamis yaitu memiliki kisaran suhu

C 

26 sampai 31.5C.

4

permukaan laut dan diserap oleh massa air (Meadous & Campbell 1993). Sebagai contoh keadaan SPL di Indonesia ditunjukkan oleh Gambar 1.

Gambar 1. Suhu permukaan laut Indonesia pada bulan April 2014 (gambar diambil dari ketinggian 3000 meter, sumber: BMKG 2014).

Ruang Vektor

Definisi 2.1 (Ruang Vektor di Rn)

Misalkan sebarang elemen V adalah himpunan tak kosong dengan didefinisikan dua operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Penjumlahan merupakan aturan yang menghubungkan masing-masing u dan v di V yaitu uv disebut jumlah dari u dan v. Perkalian skalar merupakan aturan yang menghubungkan skalar k pada u di V yaitu ku disebut sebagai perkalian skalar vektor dari u dan k. V adalah ruang vektor di Rn, _{jika aksioma berikut dipenuhi} oleh setiap elemen u, v, dan w di V dan semua skalar k dan m di V, maka elemen di V disebut vektor dan himpunan V disebut ruang vektor.

1. u,vV maka uvV. 2. uvvu, u,vV.

3.



uv



wu



vw



, u,v,wV. 4. !0V,u00uu, uV. 5. u

 

u 0,uV terdapat

 

u V. 6. Jika k adalah skalar dan uV maka kuV. 7. k



uv



kukv, u,vV dan skalar k.

8.



km



ukumu, uV dengan skalar k dan m. 9. k

   

mu  kmu, uV dengan skalar k dan m. 10. 1u u, uV.

(Anton & Rorres 2010)

Definisi 2.2 (Ruang Bagian dari Rn)

Jika X adalah suatu ruang bagian tak kosong dari ruang vektor Rn _dan X memenuhi X X,x X,Rdan x yX,x, yX,maka X dikatakan suatu ruang bagian dari Rn.

5

Definisi 2.3 (Kombinasi Linear)

Jika w adalah vektor Rn, maka w adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor v₁,v₂,,v_r di Rn. Vektor w dapat dinyatakan dalam bentuk

r rv k v k v k

w _{1 1} _{2 2}  dengan skalar k1,k2,,k_r disebut koefisien dari kombinasi linear untuk v₁,v₂,,v_r.

(Anton & Rorres 2010)

Definisi 2.4 (Bebas Linear dan Bergantung Linear)

Suatu himpunan vektor s 



v₁,v₂,,v_r



dikatakan bebas linear bila satu-satunya solusi untuk skalar _i dari persamaan homogen

0 2

2 1

1v  v  rvr 

  , (1) merupakan solusi trivial _i 0,i 1,2,,r. Bila ada solusi nontrivial untuk  _{atau sedikitnya terdapat satu} _i 0 pada persamaan (1), maka himpunan s dikatakan bergantung linear. Dalam hal ini, himpunan bebas linear adalah yang tidak mengandung hubungan ketergantungan, dan himpunan bergantung linear adalah sedikitnya terdapat satu vektor yang merupakan kombinasi dari yang lain. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa himpunan kosong selalu bebas linear.

(Meyer 2000)

Matriks Definisi 2.5 (Definisi Matriks)

Matriks adalah array yang disusun berupa bilangan dalam bentuk persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam array disebut entri dalam matriks.

(Anton & Rorres 2010)

Definisi 2.6 (Identitas Matriks)

Matriks persegi dengan elemen dagonal utama bernilai 1 sedangkan elemen lainnya bernilai 0 disebut sebagai matriks indentitas. Matriks identitas berukuran nn dilambangkan dengan I_n.

(Anton & Rorres 2010)

Definisi 2.7 (Determinan Matriks)

Matriks A

 

a_ij berordenn. Determinan dari A didefinisikan sebagai skalar:

 

 

p p np_n

p a a a p A .... det 2 1 2 1



  , (2) dengan penjumlahan diambil dari n! _permutasi p p1, p2,..., pn. Setiap notasi

n

np p

pa a

a .... 2 1 2

1 di persamaan (2) berisi tepat satu entri dari setiap baris dan setiap kolom dari A. Determinan dari A dapat dinotasikan sebagai det

 

A atau A. Determinan dari matriks nonpersegi tidak dapat didefinisikan.

(Meyer 2000)

Definisi 2.8 (Matriks Singular dan Nonsingular)

Matriks A berukuran nn merupakan matriks singular jika dan hanya jika det

 

A 0. _Matriks A nonsingular jika dan hanya jika det

 

A 0.

6

Definisi 2.9 (Invers Matriks)

Matriks identitas I_n berorde nn didefinisikan sebagai partisi dari kolom



n



n x x x

I  ₁, ₂,..., . Jika A dan X yang berada di Rnn dan memenuhi AX = I, maka X merupakan invers dari A dan dinotasikan sebagai A-1. Jika terdapat A-1 maka A merupakan matriks non singular dan jika sebaliknya maka A merupakan matriks singular. Beberapa sifat invers matriks mempunyai tugas penting untuk digunakan dalam komputasi matriks. Invers dari hasil kali adalah kebalikan dari invers:

 

AB 1 B1A1. (3) Transpos dari invers adalah kebalikan dari transpos:

   

_A1 T  _AT 1 _AT, ₍₄₎ dengan identitas:





1. 1

1

1   

 _{  }

A A B B A

B (5) (Golub & Loan 1996)

Teorema 2.1 (Invers Matriks)

Jika B dan C keduanya invers dari matriks A, maka BC. Bukti dapat dilihat pada Anton & Rorres (2010).

Definisi 2.10 (Transpos Matriks)

Jika A adalah suatu matriks mn, maka transpos dari A dilambangkan dengan AT yang didefinisikan sebagai matriks nm. AT dihasilkan oleh pertukaran baris dan kolom dari matriks A, yaitu kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A dan seterusnya.

(Anton & Rorres 2010)

Definisi 2.11 (Matriks Simetris)

A merupakan matriks simetris A dikatakan simetris jika A AT.

(Anton & Rorres 2010) Hasil kali matriks dari AATdan ATA muncul dalam beberapa aplikasi. Jika A adalah matriks dengan ukuran mn, maka AT adalah matriks dengan

,

m

n sehingga perkalian dari AATdan ATA keduanya memiliki ukuran matriks persegi. Matriks AAT memiliki ukuran mm, _{sedangkan matriks} ATA memiliki ukuran nn. _{Perkalian tersebut selalu simetris karena:}

   

T T T T T T

AA A

A

AA   dan

 

ATAT  AT

 

AT T  ATA.

Definisi 2.12 (Pendiagonalan Matriks)

Suatu matriks A berorde nn disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P non singular dan matriks diagonal D sedemikian sehingga PAP1 D.

Matriks P mendiagonalisasi matriks A.

7

Definisi 2.13 (Matriks Data)

Data iklim biasanya disajikan dalam bentuk array, dalam hal ini data SPL yang tersedia berupa data digital Network Common Data Form (NetCDF). Data SPL memiliki level tiga dimensi dengan dua dimensi spasial yaitu bujur (x) (longitude) dan lintang (y) (latitude), dan satu dimensi variabel waktu (t). Dalam penyajiannya data ini disusun dalam bidang matriks data SPL X tiga dimensi menjadi bidang matriks R dua dimensi hasil rekonstruksi, karena untuk menganalisis bidang data dalam tiga dimensi dapat memakan waktu cukup lama dan memori yang sangat besar. Koordinat horizontal tersusun dari dua dimensi spasial yaitu bujur a_i,i 1,,n₁ dan lintangb_j, j 1,,n₂ yang digabungkan dengan total grid data nn₁n₂ sehingga koordinat horizontal menjadi s



a_i,b_j



. Adapun untuk koordinat vertikal disusun berdasarkan variabel waktu

, , , 1

, p k

t_p   maka untuk data SPL dalam satu bulan dapat dituliskan :



i, j, p



,

p

ij X a b t

X  (6) dengan grid data s_i dan variabel waktu t_j yang dinotasikan x_ij untuk dan

2 1

, ,

1 n nn

i   dan j1,,k. Dengan demikian bidang data yang akan dianalisis dapat direpresentasikan dalam data matriks n p sebagai berikut :

 

, . 2 1 2 22 21 1 12 11              nk n n k k x x x x x x x x x t s R        (7)

Jika x_j dilambangkan sebagai waktu rata-rata untuk bidang data asli pada titik grid ke-j, yaitu:

. 1 1



  n k kj j x n

x (8) Dengan demikian, bidang data asli dari persamaan (8) dapat dibentuk sebagai berikut:



x1, , xp



,

x 

dengan bidang data SPL yang didefinisikan oleh

 

s,t dalam bentuk matriks yaitu:

, 11 1 1 X n I x R

X T 

       

 (9) dan diketahui bahwa 1



1,,1



T merupakan vektor kolom yang semua elemennya adalah 1, dan I merupakan matriks identitas nn.

(Hannachi 2004)

Ortogonalitas

Definisi 2.14 (Hasil Kali Skalar)

Misalkan x,yRn dengan x



x₁,x₂,,x_n



T dan y



y₁,y₂,,y_n



T maka hasil kali skalar dari x dan y adalah xTy x₁y₁x₂y₂ x_ny_n.

8

Definisi 2.15 (Matriks Ortogonal)

Matriks persegi A dikatakan ortogonal jika transposnya sama dengan inversnya A1  AT atau ekuivalen jika AAT  ATAI.

(Anton & Rorres 2010)

Definisi 2.16 (Vektor Ortogonal)

Vektor-vektor taknol x dan y di Rn dikatakan ortogonal jika xTy0. Dalam hal ini vektor nol di Rn _{ortogonal terhadap setiap vektor di} Rn. Satu himpunan tak kosong dari vektor di Rn _{disebut himpunan ortogonal jika semua} pasangan vektor berbeda di himpunan ortogonal. Suatu himpunan ortogonal dari vektor satuan disebut himpunan ortonormal.

(Anton & Rorres 2010)

Eigen Value Problem (EVP)

Definisi 2.17 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)

Misalkan matriks A berorde nn maka suatu vektor tak nol x di Rn _disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar berlaku :

. x

Ax (10) Skalar λ merupakan nilai eigen (nilai karakteristik) dari A. Dalam hal ini

dikatakan xadalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.

(Stewart & Thomas 2007).

Definisi 2.18 (Polinomial Karakteristik)

Polinomial karakteristik dari A berorde nn adalah polinomial

 

det



A I



.

p    Persamaan karakteristik dari A adalah p

 

 0 maka





0,

det AI  dengan p adalah polinomial karakteristiknya.

(Stewart & Thomas 2007).

Teorema 2.2

Jika A adalah sebuah matriks nn, _{maka pernyataan-pernyataan berikut}

ekuivalen satu sama lain:

1.  adalah nilai eigen dari A,

2. sistem persamaan



IA



x0 mempunyai penyelesaian yang tak trivial, 3. ada sebuah vektor tak nol xdi dalam Rn _sehingga Axx,

4.  adalah penyelesaian real dari persamaan karakteristik





0.

det IA 

Bukti dapat dilihat pada Anton & Rorres (2010).

Teorema 2.3

Jika v1,v2,,vk adalah vektor-vektor eigen dari A yang bersesuaian

dengan nilai-nilai eigen yang berbeda ₁,₂,,k, maka



v1,v2,,vk



adalah

sebuah himpunan yang bebas linier.

9

Teorema 2.4

Suatu matriks A berorde nn, maka pernyataan berikut ekuivalen: 1. A dapat didiagonalisasi,

2. A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. Bukti dapat dilihat pada Anton & Rorres (2010).

Pada dasarnya dekomposisi matriks secara umum bertujuan untuk menentukan basis dari matriks yaitu vektor eigen, secara analogi EVP sangatlah unik dalam menentukan vektor eigen terutama untuk matriks simetris. Pada kenyataannya terdapat matriks acak tak simetris dan bukan matriks persegi dengan m baris dan n kolom yang tidak secara mudah diselesaikan dengan EVP, sehingga dalam beberapa aplikasi digunakan Singular Value Decomposition (SVD) untuk menetukan basis dari matriks acak non simetris.

Error dan Norm

Definisi 2.19 (Vektor Norm )

Fungsi f Rn R

: disebut norm vektor (vector norm) di Rn jika memenuhi ketiga aksioma berikut:

1) f

 

x 0, xRn, ( f(x)0, jika x0). 2) f



xy



 f

   

x  f y , x,yRn.

3) f

 

x   f

 

x , R,xRn.

(Golub & Loan 1996)

Definisi 2.20 (Error Absolut dan Relatif)

Misalkan xˆRn merupakan aproksimasi untuk xRn. Diberikan norm vektor  maka dapat dibentuk formula error absolut di xˆ yaitu:

. ˆ x x e_abs   Jika x0, maka formula error relatif di xˆ yaitu:

. ˆ x

x x e_rel  

(Golub & Loan 1996)

Definisi 2.21 (Norm Matriks)

Fungsi f Rnp R

: disebut norm matriks (matrix norm) jika untuk

setiap n p

R B

A,   dan R memenuhi ketiga aksioma berikut: 4) f

 

A 0dan f

 

A 0 A0.

5) f



AB



 f

   

A  f B . _Matriks A dan B memiliki dimensi yang sama. 6) f

 

A   f

 

A, untuk semua skalar .

Dalam hal ini, untuk memudahkan penulisan, norm matriks A ditulis A sehingga A  f

 

A.

10

Definisi 2.22 (Error Norm Matriks)

Teknik error norm matriks merupakan suatu teknik untuk melihat efektifitas atau kualitas dari hasil reduksi (mode EOF). Hal ini berarti, seberapa besar hampiran mode EOF mampu mewakili data sebenarnya. Hampiran tersebut dapat dilihat dari perolehan nilai normerror. Nilai error ini diperlihatkan dengan membentuk pola hubungan antara tingkat kesalahan dan mode EOF. Berdasarkan teknik tersebut error norm absolut akan dibentuk dengan formula berikut:



ˆ

 

ˆ





ˆ



, ˆ 2 1 1 1 2 2 1               _{ }  



  m i n j ij ij T A A A A A A Tr A

A (11)

dari persamaan (11) dibentuk formula error norm relatif, yaitu: . ˆ 2 A A A e_rel  

(Golub & Loan 1996)

Empirical Orthogonal Function (EOF)

EOF merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola dominan yang ditentukan oleh data dan berevolusi dalam ruang dan waktu. Jolliffe (2002) memaparkan tujuan utama dari analisis EOF adalah mereduksi sejumlah besar variabel data menjadi hanya beberapa variabel tanpa mengubah sebagian besar varians dari data asli. Adapun analisis EOF berbasis EVP bertujuan mengungkapkan data dalam bentuk vektor eigen a_m

 

x,y yang mewakili variabilitas temporal serta komponen utama u_m

 

t sebagai bagian spasial, matriks data X dapat ditulis sebagai berikut:



, ,



   

, . 1



   M m m

m t a x y

u t

y x

X (12) Hannachi (2004) memulai analisis EOF dengan menentukan matriks kovarians dari matriks data X yang sudah tersusun, yaitu:

. 1 1 X X n T  

 (13) Matriks  pada persamaan (13) memuat kovarians antar grid yang dapat menjelaskan varians maksimum. Hal itu digunakan untuk menentukan arah





T

p

a a

a

a ₁, ₂,, sehingga X'a memiliki variabilitas maksimum dan kemudian varians dari time series X'a adalah:

 

   

,

1 1 1

1

var ' ' 2 X'a X'a a a

n a X n a

X T  T

  

 (14)

dari persamaan (14) diperlukan vektor a untuk menjadi suatu kesatuan yang hasilnya berupa:





,

max_a aTa dengan aTa1. (15)

Matriks kovarians  pada persamaan (13) merupakan matriks simetris real yang memiliki vektor eigen am

 

x,y dan nilai eigen positif m.Dengan

menggunakan EVP diperoleh solusi untuk persamaan (15) yaitu: .

m m

m a

a 

11 Dari persamaan (16) diperoleh nilai eigen  dan vektor eigen a _yang memenuhi persamaan det



RI



0 dan



RI



a 0. Vektor eigen a_m

 

x,y merupakan variabilitas temporal EOF yang ortogonal, sehingga memenuhi persamaan:



,

 

,



0, .

1 , n m y x a y x

a i i n i i

N

y x

m  





(17) Variabilitias temporal EOF pada persamaan (17) dibentuk untuk memperoleh persamaan baru. Persamaan baru tersebut merupakan variabilitas spasial u_m

 

t yang diperoleh dengan memproyeksikan data asli pada variabilitas temporal. Singleton (2008) mendefinisikannya sebagai perkalian antara vektor eigen a_m



x, y



dengan matriks data awal X

 

s,t yaitu:

 



, ,

  

, . 1 , y x a t y x X t u N y x m m





 (17) Varians yang dapat dijelaskan oleh variabel baru ke-m pada persamaan (17) bergantung pada persentase kontribusi p_m dari masing-masing nilai eigen. Navarra & Simoncini (2010) menghitung varians tersebut dengan rumus:

. 1



  _N n n m m p   (18)

3

METODE

Pada bab ini akan dibahas tahapan analisis terhadap data SPL. Metode yang akan digunakan untuk mereduksi data SPL adalah metode EOF dan teknik yang digunakan untuk menentukan hampiran kesesuaian data SPL dari data reduksi adalah teknik error norm matriks.

3.1 Metode Penelitian

Tahapan ini diawali dengan studi literatur yang berkaitan dengan metode yang akan digunakan yaitu metode EOF berbasis EVP terhadap data SPL. Analisis EOF dengan metode EVP ini memiliki tujuan mengungkapkan sejumlah data SPL dalam bentuk eigen vector a_m

 

x, y yang mewakili variabilitas spasial serta komponen utama u_m

 

t sebagai bagian temporal. Visualisasi metode EOF terhadap data SPL menggunakan program komputer dengan bantuan software Matlab. Berdasarkan visualisasi tersebut diperoleh nilai EOF terbesar sebagai pola dominan untuk spasial dan temporal yang mewakili data asli SPL sebagai data yang dianalisis. Selain itu, pada penelitian ini juga akan ditentukan seberapa besar kesalahan dari reduksi matriks data SPL menggunakan teknik error norm matriks.

3.2 Jenis dan Sumber Data

12

ERSST ini merupakan arsip data bulanan dengan rekonstruksinya berawal dari bulan Januari 1854 sampai Desember 2012. Data global ERSST V3B ini dapat diunduh dari situs (http://www1.ncdc.noaa.gov/pub/data/cmb/ersst/v3b/netcdf) dan hasilnya berupa data digital dengan format Network Common Data Form (NetCDF).

NetCDF adalah suatu interface atau mesin format data independen yang mendukung penciptaan, akses, dan berbagi data ilmiah yang berorientasi pada array. Dalam format data ini terdapat komponen data SPL, data anomali, letak bujur (longitude) dan lintang (latitude) yang merupakan resolusi spasial serta variabel waktu per bulan yang meliputi seluruh dunia. Oeh sebab itu, data SPL maupun data anomali berukuran tiga dimensi yaitu bujurlintangwaktu. Untuk setiap bujur memuat 1801 dan lintang 189. Dengan demikian, untuk satu data SPL atau satu data anomali dalam satu bulan memiliki dimensi 180891.

Dalam penelitian ini akan dibatasi penggunaan data, wilayah data dan rentang waktu. Data yang akan digunakan adalah data SPL dan cakupan data hanya wilayah Indonesia. Adapun rentang waktu yang akan diteliti yaitu selama 600 bulan berawal dari bulan Januari 1963 sampai Desember 2012.

3.3 Langkah Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini terdiri atas beberapa tahap. Tahap pertama adalah menyiapkan alat uji coba untuk menyusun suatu program menggunakan bahasa pemrograman Matlab. Tahap kedua adalah mendeskripsikan dan mengektraksikan data SPL (ERSST V3B) yang dibentuk dalam suatu matriks X menggunakan fungsi-fungsi yang tersedia dalam software Matlab. Adapun tahap ketiga adalah menganalisis EOF terhadap data SPL Indonesia menggunakan teknik EVP. Pada tahap analisis ini diuraikan teknik reduksi menggunakan metode EOF dan uji hasil reduksi menggunakan teknik error norm matriks.

3.3.1 Alat Uji

Pada tahapan ini langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Identifikasi masalah

Pada penelitian ini masalah yang akan dikaji adalah bagaimana data SPL Indonesia dapat dianalisis menggunakan metode Empirical Orthogonal Function (EOF) secara spasial maupun temporal. Selanjutnya dikaji seberapa besar teknik error norm matriks dapat mengevaluasi hasil analisis EOF dari error yang dihasilkan.

2. Penentuan tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah mengkaji metode EOF terhadap data SPL Indonesia secara spasial dan temporal. Teknik error norm matriks dianalisis untuk mengevaluasi hasil aproksimasi.

3. Studi literatur

13 4. Penyusunan algoritme

Dalam tahapan ini dilakukan penyusunan algoritme untuk masing-masing tahapan, diantaranya algoritme ekstraksi data dan algoritme analisis EOF. Algoritme ekstraksi data dilakukan untuk menyeleksi dan memilih data yang akan digunakan dalam perhitungan. Algoritme analisis EOF dilakukan untuk melihat prosedur dari metode EOF sebagai alat untuk analisis data SPL secara spasial dan temporal.

5. Penyusunan program komputer

Alat uji selanjutnya yaitu penyusunan program komputer dengan bahasa pemrograman Matlab. Software Matlab ini dipilih sebagai alat uji dalam penelitian ini karena format data digital yang berkaitan dengan data SPL telah tersedia. Alasan lainnya software ini menyediakan fungsi-fungsi yang berkaitan dengan teknik EVP. Dalam prosesnya program ini menerima input berupa data SPL yang diproses menggunakan metode EOF berbasis EVP. Adapun output yang dihasilkan berupa pola-pola dominan secara spasial dan temporal. Script lain disusun secara terpisah dari program sebelumnya untuk memperoleh output berupa nilai-nilai error dari proses teknik error norm matriks.

3.3.2 Ekstraksi Data SPL (ERSST V3B)

Data SPL (ERSST V3B) dideskripsikan dan diekstraksikan menggunakan software Matlab. Langkah deskripsi ini diterjemahkan melalui fungsi-fungsi yang tersedia dalam software Matlab tersebut. Adapun langkah ekstraksi dilakukan dengan menyusun suatu bahasa pemrograman yang ditulis pada m-file. Ekstraksi ini dimulai dengan membentuk data SPL ke dalam sebuah array berupa matriks data X. Hal ini perlu dilakukan untuk menyeleksi variabel yang akan digunakan dalam analisis dan simulasi. Proses penyeleksian data ini dilakukan dengan memisahkan unsur daratan yang didefinisikan sebagai NaN, sehingga hanya unsur lautan yang akan diikutsertakan dalam perhitungan. Langkah ekstraksi data dapat dilihat pada Gambar 3 berikut ini.

Gambar 2. Ekstraksi data SPL (ERSST V3B)

3.3.3 Reduksi Data SPL Menggunakan Metode EOF Berbasis EVP

14

m m

m a

Ra 

m



m a

x y a x y  m n

a _{i i n i i}

N

y x

m  



 , 0 , , 1 ,



  _N n n m m p 1  

 

t X



x y t

  

a x y u

N

y x

m

m , , ,

1 ,



 



 











12

1 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ            



  m i n j ij ij T X X X X X X Tr X X X X X erel 2 ˆ   m ma m

m X a

u 

x y t u    t a x y X M m m m , , , 1



  X X n T 1 1   

Gambar 3. Langkah analisis EOF berbasis EVP

15 konsep-konsep dasar tersebut dibentuk implementasi algoritme dari metode EOF berbasis EVP dan teknik error norm matriks dengan menyusun program Matlab secara berurutan.

Langkah analisis reduksi data menggunakan metode EOF berbasis EVP dan perhitungan teknik error norm matriks diuraikan pada Gambar 3.

Berdasarkan langkah-langkah yang telah diuraikan, digambarkan skema penelitian secara umum. Skema penelitian tersebut ditunjukkan pada Gambar 4.

Mulai

- Identifikasi masalah - Penentuan tujuan

- Studi literatur dan pengumpulan data - Penyusunan algoritme

- Penyusunan program Matlab

Pereduksian data menggunakan analisis EOF berbasis EPV dan perhitungan persentase varians

Visualisasi setiap mode EOF berupa plot data time series (temporal) dan mode spasial

Penentuan hampiran hasil reduksi EOF terhadap data asli menggunakan

analisis error norm matriks

Visualisasi error norm relatif

Selesai

16

4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dipaparkan hasil yang diperoleh melalui analisis dan simulasi numerik. Sebagian besar hasil penelitian ini diperoleh dari kontribusi dataset SPL. Oleh karena itu dilakukan pendeskripsian data yaitu berupa ekstraksi dan eksplorasi data sebelum dianalisis menggunakan metode EOF. Selain itu diberikan pula algoritme pereduksian data menggunakan metode EOF berbasis EVP. Selanjutnya, ditentukan nilai kesalahan dengan teknik error norm matriks untuk melihat kualitas dari hasil reduksi.

Ekstraksi dan Eksplorasi Data SPL

Pada proses ekstraksi data SPL diawali dengan pendeskripsian data yang tersedia berupa data digital NetCDF menjadi suatu matriks data X.

Data digital ini akan dibentuk dalam sebuah matriks dua dimensi. Langkah-langkah ekstraksi data SPL secara khusus dijelaskan pada algortime di bawah ini.

Algoritme 1 Ekstraksi data SPL

1. Penentuan domain wilayah Indonesia yaitu didasarkan pada koordinat 

6 LU11LS dan 95BT141BT.

2. Pemotongan data SPL (ERSST V3B) dari format NetCDF ke dalam grid matriks berukuran 18089 menjadi 2613_{. Jumlah} pixel semula dari 16020 menjadi 338 pixel.

3. Penentuan domain rentang waktu yaitu selama 600 bulan. 4. Reshaping data yang sudah dibatasi berdasarkan poin 1, 2 dan 3. 5. Masking darat laut untuk memisahkan unsur daratan dan lautan. 6. Penyusunan matriks data (X) berdasarkan poin-poin di atas.

Dapat dilihat pada poin ke lima dalam Algortime 1 di atas, yaitu dilakukan masking darat laut yang merupakan bentuk pemisahan unsur daratan dan lautan, karena dalam data SPL (ERSST V3B) ini komponen yang akan dihitung hanya unsur lautan. Dalam hal ini, unsur lautan didefinisikan oleh angka berupa satuan suhu sedangkan unsur daratan didefinisikan oleh NaN (not a number). Unsur daratan ini akan dikembalikan pada persamaan baru setelah seluruh proses perhitungan dan analisis selesai yang selanjutnya digunakan untuk melihat pola dominan secara spasial.

Eksplorasi data diawali dengan menyajikan pola data yang tersedia dalam bentuk visual berdasarkan grid data global dengan koordinat 180BB-180BT dan



90 LU-90LS. Ukuran grid data dengan koordinat tersebut yaitu 19080pixel. Sebagai contoh pada Gambar 5 ditunjukkan ilustrasi visual data SPL secara global pada bulan Desember tahun 2012.

Selanjutnya data dipangkas atau dipotong berdasarkan wilayah yang akan

digunakan dalam penelitian. Proses pemotongan data dilakukan pada koordinat 

[image:31.595.138.490.100.293.2]

17

Gambar 5. Data Global SPL

Pemotongan data ini disesuaikan dengan melebihi titik koordinat yang sebenarnya karena variabel yang akan dianalisis adalah unsur lautan. Oleh karena itu dilakukan masking darat laut secara signifikan untuk mempermudah perhitungan.

Gambar 6. Data SPL Indonesia

Dengan demikian, diperolah ukuran grid data setelah proses pemotongan yaitu 2613 dengan jumlah pixel sebanyak 338. Hal ini berarti data SPL untuk satu bulan setelah dipangkas dan di-reshape telah tersusun dalam suatu matriks data X berukuran3381, _{sehingga data SPL selama 600 bulan dapat disusun}

dalam matriks data X berukuran 338600. _{Pada Gambar 6 ditunjukkan ilustrasi}

visual data SPL untuk wilayah Indonesia pada bulan dan tahun yang sama seperti pada Gambar 5.

Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)

[image:31.595.135.493.368.537.2]

18

tersebut analisis EOF pada data SPL di wilayah Indonesia akan dilakukan dengan tahapan algoritme di bawah ini.

Algoritme 2 Analisis metode EOF berbasis EVP

1. Ekstraksi matriks data R berukuran mn menjadi suatu matriks data X. 2. Pembentukan matriks kovarians _.

3. Penentuan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks kovarians  dengan persamaan karakteristik I 0.

4. Penentuan mode U_m(t) dengan t 1,2,...,m _{berdasarkan persamaan (17).} 5. Penentuan proporsi varians dari m EOF berdasarkan persamaan (18). 6. Analisis data secara spasial dan temporal.

7. Perhitungan error norm matriks.

[image:32.595.125.442.378.622.2]

Perlu diperhatikan bahwa pada poin 5 dalam Algoritme 2 di atas yaitu menentukan varians dari nilai eigen dan memilih komponen utama atau persamaan EOF baru yang dapat mewakili variasi dari matriks data X. Dalam penelitian ini banyaknya komponen utama yang diambil akan dilihat dari banyaknya persentase varians kumulatif. Jolliffe (2002) memaparkan beberapa aturan dalam menentukan banyaknya komponen utama pertama diantaranya yang mempunyai proporsi varians kumulatif lebih dari 80%.

Tabel 1. Varians dari EOF dan persentase total varians

EOF Nilai Eigen Persentase Varians

Individual Kumulatif

1 308.454 51.409 51,409

2 160.363 26.727 78,136

3 67.132 11.188 89,325

4 29.226 4.871 94,196

5 10,086 1,681 95,877

6 4,890 0,815 96,692

7 4,406 0,734 97,426

8 3,935 0,656 98,082

9 2,047 0,341 98,423

10 1,634 0,272 98,696

... ... ... ...

600 -2.002 -3.336 100

[image:33.595.110.511.301.526.2]

19 kontribusi untuk data SPL semakin besar. Namun, dapat dilihat bahwa pada EOF5 dan seterusnya selisih nilai persentase variansnya relatif kecil dibandingkan empat EOF pertama. Oleh karena itu, yang menjadi alasan lain dalam pengambilan banyaknya EOF ini adalah dilihat dari efektifitas dan efisien hasil EOF tersebut. Dilihat dari efektifitasnya, jika diambil lebih banyak EOF sebagai contoh 10 EOF, maka total varians yang dihasilkan sebesar 98.7% akan tetapi cukup memakan memori yang sangat besar. Adapun dilihat dari efisiensinya, jika diambil lebih banyak EOF, maka dapat menghabiskan waktu yang cukup lama. Dengan demikian, kapasitas memori dan waktu yang lama tersebut tidak sebanding dengan hasil yang memperlihatkan angka varians yang sangat kecil untuk pengambilan EOF lebih dari empat skor EOF. Hal ini berarti, selain aturan yang diterapkan oleh Jolliffe (2002) yaitu berdasarkan total varians, efektifitas dan efisiensi dari setiap EOF dijadikan pertimbangan dalam pengambilan banyaknya EOF untuk mewakili variabilitas dari data SPL.

Tabel 2. Nilai komponen utama hasil analisis EOF

Grid EOF1 EOF2 EOF3 EOF4 EOF5 EOF6 ... EOF600

1 25.354 -36.459 2.966 11.157 -4.398 4.207 ... 0.000 2 23.442 -36.504 0.760 11.994 -4.629 2.900 ... 0.000 3 22.277 -36.221 -1.442 11.996 -4.507 1.711 ... 0.000 4 22.160 -35.400 -3.763 11.484 -4.098 0.828 ... 0.000 5 22.949 -33.926 -5.878 10.676 -3.570 0.262 ... 0.000 6 24.031 -32.155 -7.153 9.242 -2.966 -0.074 ... 0.000 7 25.147 -30.136 -7.313 7.149 -2.162 -0.097 ... 0.000 8 26.325 -27.627 -6.751 4.876 -1.263 0.208 ... 0.000 9 27.545 -23.739 -6.151 2.840 -0.500 0.850 ... 0.000 10 28.728 -18.811 -5.252 0.851 0.128 1.804 ... 0.000

... ... ... ... ... ... ... ... ...

302 -13.418 -7.220 19.397 10.232 0.595 3.513 ... 0.000

Pada Tabel 2 memperlihatkan hasil analisis EOF berbasis EVP terhadap data SPL. Hasil analisis ini adalah skor komponen utama yang berupa data bertipe numerik. Skor komponen utama ini adalah berupa nilai yang memberikan kontribusi negatif dan positif. Skor yang bernilai negatif memberikan kontribusi yang kecil dan memiliki pengaruh negatif terhadap data SPL sebagai data asli atau data yang diamati. Begitu pula sebaliknya skor bernilai positif berarti memberikan kontribusi besar dan pengaruh positif terhadap data asli. Hasil yang diperlihatkan di atas hanya sebagian kecil dari seluruh skornya karena ukuran matriks komponen utama yang diperoleh sama dengan ukuran matriks data awal.

[image:34.595.81.483.105.442.2]

20

Tabel 3. Nilai komponen utama hasil analisis EOF dengan unsur NaN

Grid EOF1 EOF2 EOF3 EOF4 EOF5 EOF6 ... EOF600

... ... ... ... ... ... ... ... ...

185 -6.059 14.003 -14.171 7.527 0.088 1.639 ... -1.74E-11

186 -8.076 15.312 -14.070 7.365 -0.266 1.435 ... 3.98E-11

187 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN

188 -16.244 6.212 -8.154 -1.850 -0.141 -0.259 ... 5.54E-11

189 -18.958 -1.907 -3.973 -5.854 0.518 -0.197 ... -5.86E-11

190 -19.928 -4.613 -2.315 -6.408 1.246 -0.172 ... 2.35E-11

191 -19.695 -3.512 -1.998 -5.521 1.804 -0.410 ... 2.67E-11

192 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN

193 -20.647 3.778 -0.870 -2.619 2.105 -0.289 ... -5.25E-11

194 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN

195 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN

196 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN

197 -10.748 10.017 2.133 1.944 0.422 2.296 ... 6.90E-12

198 -10.465 10.275 3.001 2.520 0.416 1.728 ... -6.62E-12

199 -8.263 7.517 4.279 2.090 -0.159 0.088 ... 5.12E-12

200 -6.041 4.762 5.505 0.950 -0.791 -1.696 ... -1.30E-11

... ... ... ... ... ... ... ... ...

338 -13.418 -7.220 19.397 10.232 0.595 3.513 ... -4.49E-11

Pola spasial tersebut dapat dibentuk setelah di-reshape kembali masing-masing dari skor EOF. Hasil visualisasi ini diinisialkan sebagai mode, yaitu mode EOF pertama atau mode EOF1 dan seterusnya. Hasil visualisasi pola dominan secara spasial ditunjukkan pada Gambar 7 untuk mode EOF1. Mode EOF2 ditunjukkan oleh Gambar 8, mode EOF3 ditunjukkan oleh Gambar 9 dan mode EOF4 diperlihatkan oleh Gambar 10.

[image:34.595.121.451.559.718.2]

[image:35.595.153.478.91.245.2]

21

Gambar 8. Pola Spasial mode EOF2

Skor yang bernilai negatif pada mode EOF1 menunjukkan bahwa perairan tersebut memiliki variabilitas SPL yang berbanding terbalik dengan SPL yang bernilai positif. Pada mode ini hasil analisis memperlihatkan perbedaan variabilitas SPL yang mencolok di bagian utara dan selatan Indonesia. Perairan utara Indonesia memiliki variabilitas bernilai -20 sampai dengan 5, namun terlihat pada perairan selatan Indonesia atau sepanjang samudra Hindia memiliki variabilitas bernilai 20 sampai dengan 40.

Mode EOF2 pada Gambar 8 menunjukkan perairan Indonesia didominasi oleh variabilitas positif yang bernilai 2 sampai dengan 20. Namun, terlihat skor minoritasnya terdapat pada selat Sunda berkisar antara -40 sampai dengan -20.

Gambar 9. Pola Spasial mode EOF3

Mode EOF3 pada Gambar 9 menunjukkan bagian barat perairan Indonesia memiliki skor negatif yaitu -15 sampai dengan 0 dan pada bagian timur memiliki skor positif yaitu dari 5 sampai dengan 20.

Mode EOF4 pada Gambar 10 memiliki variabilitas negatif hampir seluruh wilayah Indonesia dengan skor dominan bernilai -10 sampai dengan -2 dan skor positif di samudra Pasifik dan samudra Hindia bernilai 2 sampai dengan 10.

[image:35.595.147.482.425.581.2]

22

[image:36.595.121.451.121.277.2]

pada mode EOF2 dan seterusnya, sehingga terlihat variansnya semakin lama akan semakin kecil.

Gambar 10. Pola Spasial mode EOF4

[image:36.595.93.480.378.568.2]

EOF1 dengan varians terbesar menunjukkan siklus tahunan yang diperlihatkan oleh setiap titik puncaknya. Hal ini berarti dalam kurun waktu 50 tahun laut Indonesia digambarkan secara jelas oleh mode EOF1 sebesar 51.4% dan sisanya digambarkan oleh mode EOF2, EOF3 dan EOF4. Grafik temporal untuk empat mode EOF tersebut ditunjukkan pada Gambar 11 dan Gambar 12.

Gambar 11. Grafik temporal (time series) mode EOF1 dan EOF2

[image:37.595.116.508.123.324.2]

23 seluruhnya mempunyai nilai positif dengan nilai tertinggi terjadi pada tahun 1993 dan 2005.

Gambar 12. Grafik temporal (time series) mode EOF3 dan EOF4

Gambar 12(a) dan 12(b) menunjukkan mode temporal EOF3 dan EOF4. Mode-mode temporal tersebut secara berturut-turut mewakili 11.2% dan 4.9% dari total varians. Pada mode temporal EOF3 nilai tertinggi berada di tahun 1986, sedangkan pada mode temporal EOF4 menggambarkan siklus dengan periode setengah tahunan dan nilai tertinggi berada pada tahun 1968 dan 2011.

Analisis Error Norm Matriks

Secara umum, pola yang terbentuk dari mode temporal ini menggambarkan siklus dari fenomena yang dijelaskan pada setiap mode EOF dengan informasi kuat lemahnya fenomena tersebut. Mode EOF dengan siklus fenomena yang kuat memberi kontribusi besar terhadap data SPL sebagai unit pengamatan demikian sebaliknya. Namun, untuk melihat kuat dan lemahnya suatu fenomena tersebut dapat diketahui dari seberapa besar nilai hampiran setiap mode terhadap data asli. Besar nilai hampiran ini dapat diketahui dengan menentukan tingkat kesalahan relatif yang disebut sebagai norm error. Dengan demikian, teknik error norm matriks digunakan untuk menentukan nilai kesalahan tersebut. Hasil yang diperoleh nilai norm error hampir mendekati nol, sehingga tingkat kesalahan relatif sangat kecil. Hal ini dapat terjadi jika mode EOF yang diambil lebih banyak.

Misalkan suatu matriks data X merupakan kombinasi linear dari komponen utama dan vektor eigen yaitu

 



   



  M

m

T m

m t a x y

u t

s X

1

,

, maka

 

 

 

T

m m T

T

a t u a

t u a t u

X  1  1  2  2   dengan t 1,2,,600. Matriks data

X tersebut dibentuk dalam suatu matriks kovarians  sehingga melalui EVP diperoleh a_i _ia_i dengan i1,2,,600.



_{i merupakan nilai eigen dan} a_i merupakan vektor eigen yang ortogonal, sehingga diperoleh persamaan EOF

 

t a₁ X

 

t a₂ X

 

t a₃ X

 

t a_m. X

24

perhitungan error norm matriks ditentukan dari matriks data X, misalkan

 

 

 

T

n n T T a t u a t u a t u

Xˆ  1  1  2  2   dan nm maka nilai error norm

matriks diperoleh dengan meminimumkan ˆ



ˆ



,

2 1 302 1 600 1 2         



  i j ij ij X X X X

dengan kesalahan relatif dapat ditentukan melalui . ˆ 2 X X X e_rel   Hasil

[image:38.595.106.460.257.482.2]

perhitungan error norm matriks dapat di lihat pada Tabel 4. Tabel 4. Nilai error norm relatif

Mode

EOF Norm Error

Mode

EOF Norm Error

Mode

EOF Norm Error

1 0.933630522 21 0.13274357 ... ...

2 0.304325156 22 0.132712404 591 0.01463064

3 0.229441753 23 0.125596399 592 0.014495806

4 0.190649709 24 0.125588224 593 0.012999694

5 0.181812922 25 0.12503242 594 0.012553632

6 0.176407976 26 0.124766529 595 0.011944322

7 0.175424693 27 0.123052062 596 0.009606016

8 0.167257855 28 0.121810368 597 0.009346386

9 0.166503989 29 0.120385489 598 0.008067084

10 0.163698224 30 0.120385485 599 0.001720719

... ... ... ... 600 1.80E-15

Tabel 4 memperlihatkan nilai norm error yang diperoleh dari hasil analisis berdasarkan teknik error norm matriks. Norm error tersebut merupakan suatu hampiran yang menyatakan tingkat kesalahan hasil reduksi (mode EOF) terhadap data SPL sebagai data pengamatan. Dapat dilihat bahwa nilai norm error cukup besar ketika hanya satu mode EOF yang diambil yaitu sebesar 0.93. Hal ini menyatakan bahwa mode EOF1 memiliki tingkat kesalahan 93% dalam menghampiri data asli. Akan tetapi, sangatlah tidak masuk akal dengan tingkat kesalahan tersebut karena mode EOF1 mewakili 51.4% dari data asli. Namun, sangatlah dimungkinkan dengan perolehan angka tersebut karena banyaknya data yang digunakan cukup besar.

[image:39.595.128.501.93.309.2]

25

Gambar 13. Grafik error norm relatif

5

SIMPULAN DAN SARAN

SIMPULAN

Analisis EOF berbasis EVP terhadap dataset SPL Indonesia menghasilkan empat komponen utama (mode EOF) dengan total varians sebesar 94.2%. Dengan demikian, diperoleh empat pola dominan secara spasial dan temporal. Pola spasial dibentuk berdasarkan persamaan baru dari proyeksi vektor eigen terhadap asli, sedangkan pola temporal diperoleh berdasarkan vektor eigen hasil reduksi dari data asli. Adapun perolehan nilai eigen digunakan sebagai kontribusi persentase varians untuk setiap mode EOF. Empat mode EOF tersebut secara berturut-turut mewakili 51.4%, 26.7%, 11.2% dan 4.9% dari total varians. Berdasarkan hasil ini, setiap mode EOF diuji efektifitasnya dengan menentukan suatu hampiran berupa tingkat kesalahan menggunakan teknik error norm matriks. Hasil yang diperoleh dari teknik ini berupa nilai norm error yang memperlihatkan pola hubungan antara tingkat kesalahan dengan mode EOF. Dalam hal ini tingkat kesalahan menunjukkan suatu hampiran hasil reduksi terhadap data asli.

SARAN

26

DAFTAR PUSTAKA

Anton H, Rorres C. 2010. Elementary Linear Algebra. Ed ke-10. New Jersey: J Wiley.

Golub GH, Loan V. 1996. Matrix Computation: Siam.

Hannachi A. 2004. A primer for EOF analysis of climate data: Department of Meteorology, University of Reading, Reading RG6 6BB, UK.

Hutabarat S, Sahala, Stewart ME. 1986. Pengantar Oseanografi. Jakarta: Universitas Indonesia.

Jolliffe IT. 2