PENDUGAAN
HAZARD RATE
GEMPA DI PROVINSI ACEH
DENGAN METODE
SINGLE DECREMENT
IKHSAN MAULIDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Ikhsan Maulidi
ABSTRAK
IKHSAN MAULIDI. Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Hazard rate memegang peranan penting dalam prakiraan kemunculan gempa. Jika hazard rate diketahui maka sebaran kepekatan bersama kemunculan gempa dapat diketahui. Oleh karena itu diperlukan suatu model penduga hazard rate yang akurat untuk menduga nilai hazard rate. Dalam karya ilmiah ini dibahas suatu metode untuk menduga hazard rate di titik . Metode yang digunakan adalah metode single decrement. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan untuk menduga hazard rate dengan menggunakan metode single decrement, yaitu pendekatan likelihood dan pendekatan momen. Pada pendekatan likelihood
dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu kemunculan gempa. Dalam karya ilmiah ini sebaran waktu tunggu kemunculan gempa diasumsikan menyebar linear, eksponensial, dan hiperbolik. Pendugaan hazard rate menggunakan data gempa bumi di Aceh dengan kekuatan lebih dari atau sama dengan 5 SR. Pendekatan yang digunakan adalah pendekatan likelihood. Model parametrik yang diperoleh dari metode ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate secara akurat. Kata kunci: gempa bumi, hazard rate, sebaran kepekatan bersama, waktu tunggu.
ABSTRACT
IKHSAN MAULIDI. Estimation of Hazard Rate of Earthquake in Aceh Province with Single Decrement Method. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.
Hazard rate has a significant effect on the earthquake forecasting. If the hazard rate is given then the joint density distribution of earthquake occurrences can be identified. Therefore we need a parametric model that accurately estimates the hazard rate. In this paper a method to estimate the hazard rate at a point is discussed. The method used is single decrement method. There are two approaches that can be used to estimate the hazard rate using the method of single decrement, those are likelihood approach and the moment approach. The likelihood approach requires an assumption on the distribution of the waiting time of earthquake occurrences. In this paper the distribution of waiting time of earthquake occurrences is assumed to be linear, exponential, and hyperbolic. Estimation of the hazard rate uses earthquake data in Aceh with power greater than or equal to 5 SR. The approach used is likelihood approach. Parametric model obtained from this method is expected to estimate the hazard rate accurately.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENDUGAAN
HAZARD RATE
GEMPA DI PROVINSI ACEH
DENGAN METODE
SINGLE DECREMENT
IKHSAN MAULIDI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Pendugaan Hazard Rate Gempa di Provinsi Aceh dengan Metode
Single Decrement
Nama : Ikhsan Maulidi
NIM : G54100103
Disetujui oleh
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I
Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang maha esa atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini yang berjudul Pendugaan Hazard Rate di Provinsi Aceh dengan Metode Single Decrement berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku dan Bapak Dr Hadi Sumarno selaku pembimbing serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Badan Meteorologi dan Geofisika yang telah membantu selama pengumpulan data. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, seluruh keluarga, serta teman-teman semua atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Perumusan Masalah 2
Tujuan Penelitian 2
METODE PENDUGAAN HAZARD RATE SINGLE DECREMENT (HRSD) 2
Pendugaan Likelihood dalam Single Decrement 3
Asumsi Linear 4
Asumsi Eksponensial 5
Asumsi Hiperbolik 6
Pendugaan Momen dalam Single Decrement 7
Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate 8
SIMPULAN 15
DAFTAR PUSTAKA 16
LAMPIRAN 17
DAFTAR TABEL
1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum
Terjadi Gempa Hingga Saat t . 10
2. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui
Belum Terjadi Gempa Hingga Saat t . 11
3. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 1. 13 4. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 2. 15
DAFTAR GAMBAR
1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi. 9
2. Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi. 9
3. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu
tunggu menyebar linear. 12
4. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu
tunggu menyebar eksponensial. 12
5. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1 yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik. 14 6. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 2 yang
telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik. 15
DAFTAR LAMPIRAN
1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun 1980-2013 dengan
magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR. 17
2. QQ-Plot hazard rate pada Tabel 1 dan 2 (Sebelum data
ditransformasi). 29
3. Box-plot nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2 untuk melihat nilai
pencilan (outlier). 30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Gempa bumi merupakan pelepasan energi dari dalam bumi secara tiba-tiba, cepat dan merambat ke segala arah sebagai gelombang seismik. Secara umum sumber terjadinya gempa bumi dikategorikan menjadi 3 bagian, yaitu gempa bumi runtuhan, gempa bumi vulkanik, dan gempa bumi tektonik. Gempa bumi tektonik merupakan gempa bumi yang paling sering terjadi.
Secara geografis kepulauan Indonesia berada di antara 60 LU dan 110 LS serta di antara 950 BT dan 1410 BT dan terletak pada pertemuan tiga lempeng kerak bumi yaitu Eurasia, Pasifik, dan Indo-Australia. Ditinjau secara geologis, kepulauan Indonesia berada pada pertemuan 2 jalur gempa utama, yaitu Sirkum Pasifik dan Alpide Transasiatic. Karena itu, kepulauan Indonesia berada pada daerah yang mempunyai aktivitas gempa bumi cukup tinggi. Beberapa tahun terakhir bencana alam akibat gempa bumi di Laut Flores yang terjadi pada 12 Desember 1992 dengan magnitudo surface (Ms) sebesar 7.5, Lampung pada 16 Februari 1994 dengan = . , , Banyuwangi pada 3 Juni 1994, Bengkulu pada 4 Juni 2000, Nabire pada 6 Februari 2004 dengan = . dan 26 Nopember 2004 dengan = . yang menimbulkan korban jiwa dan kerugian harta penduduk yang besar. Gempa terbesar terakhir yang terjadi pada 26 Desember 2004 dengan pusat gempa di lepas pantai barat Provinsi Nangroe Aceh Darussalam dengan = . . Gempa tersebut telah memicu gelombang tsunami yang dampaknya terasa di 11 negara Asia dengan jumlah korban diperkirakan tidak kurang dari 80.000 jiwa (Firmansyah dan Irsyam 1999).
Hazard rate memegang peranan penting dalam teori likelihood proses kemunculan gempa. Jika hazard rate diketahui, maka sebaran kepekatan bersama untuk realisasi data kemunculan dalam , dapat diketahui. Oleh karena itu, penting memperoleh model parametrik yang akurat untuk menduga hazard rate. Umumnya, hazard rate gempa diduga berdasarkan persamaan likelihood proses titik yang diperkenalkan oleh Vere-Jones pada tahun 1995 (Daley dan Vere-Jones 2003). Persamaan ini merupakan persamaan non linear yang tidak mudah diselesaikan secara analitik sehingga sering kali diselesaikan secara numerik.
Pada skripsi ini dibahas metode lain dalam menduga hazard rate
gempa yaitu metode single decrement (Darwis et al. 2009). Metode ini diadaptasi dari metode pendugaan dalam studi aktuaria yang biasa digunakan dalam pembuatan tabel mortalitas. Hasil studi kasus yang telah dilakukan Sunusi (2010) menunjukkan bahwa pendugaan melalui metode
Perumusan Masalah
Pendugaan hazard rate dengan metode single decrement terdiri dari dua sub metode yaitu dengan pendekatan likelihood dan pendekatan momen. Dengan pendekatan likelihood dibutuhkan informasi exit time yaitu informasi banyaknya kejadian gempa bumi setelah t0. Setelah diperoleh nilai
dugaan hazard rate, selanjutnya akan dirumuskan persamaan terbaik untuk menduga nilai hazard rate. Persamaan terbaik tersebut merupakan persamaan yang memberikan nilai Mean Square Error (MSE) terkecil.
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang diperoleh langsung dari BMKG pusat di Jakarta. Data yang digunakan adalah data gempa bumi di Aceh selama periode waktu 1980-2013. Analisis data dilakukan dengan menggunakan Microsoft Excel 2013 dan beberapa
software statistika lainnya.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Menduga nilai hazard rate gempa dari data gempa bumi Aceh tahun 1980-2012 dengan asumsi waktu tunggu menyebar linear dan eksponensial.
2. Menentukan persamaan yang lebih baik untuk menduga hazard rate dengan menggunakan asumsi persamaan linear, kuadratik, dan kubik.
METODE PENDUGAAN
HAZARD RATE SINGLE
DECREMENT
(HRSD)
Hazard rate memegang peranan penting dalam hal prakiraan peluang kemunculan kejadian dalam suatu interval waktu tertentu. Hal ini berkaitan dengan pendugaan parameter yang terlibat di dalamnya. Metode Pendugaan
hazard rate single decrement didasari oleh pembuatan Tabel mortalitas di bidang aktuaria. Metode ini terdiri dari dua sub metode yaitu metode maksimum likelihood dan metode momen. Sebagaimana biasanya dalam teori aktuaria, di dalam karya ilmiah ini hazard rate di titik disimbolkan dengan �to.
Misalkan � = – menyatakan waktu tunggu hingga kemunculan gempa berikutnya, jika diketahui waktu kemunculan gempa yang pertama dan adalah waktu kemunculan kembali gempa berikutnya. Sebagai ilustrasi, jika gempa yang pertama terjadi pada tahun 2010 dan gempa berikutnya terjadi pada tahun 2013 maka � =
− = 3 tahun.
Misalkan �, S, dan f berturut-turut menyatakan hazard rate, fungsi ketahanan (survival function), dan fungsi kepekatan peluang. Hazard rate
3
�
= lim
∆ → � ≤ ≤ +∆ | >∆≈
�� . (1) Misalkan = , maka persamaan (1) menjadi� =�� = −��′ = −� ln �� .
� = − ln( ). (2) Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (2) diperoleh
ln = − ∫ +∆ �
= [− ∫ +∆ � ]. Misalkan = , yaitu sesaat setelah terjadi gempa , maka
∆ = = � > + ∆ | > = [− ∫ � +
∆
] merupakan fungsi ketahanan. Prakiraan gempa diformulasikan sebagai peluang bersyarat kemunculan gempa hingga + ∆ jika diberikan informasi bahwa belum terjadi gempa hingga saat .Sebaran waktu kemunculan kembali dan waktu tunggu hingga kemunculan gempa berikutnya � masing-masing dinyatakan sebagai berikut (Bowers et al. metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) membutuhkan informasi
exit time, yaitu waktu pada saat terjadi gempa. Misalkan menyatakan banyaknya gempa yang terjadi pada interval , + ] dan −
menyatakan banyaknya gempa yang terjadi setelah + . Likehood untuk gempa ke-i pada interval � , � + ] diberikan oleh berikut jika diketahui tidak terjadi gempa hingga saat .
� = � | > � =�� � = � �� �� � , (3) yaitu kontribusi kempa ke-i pada L. Jika � = � + adalah waktu kemunculan gempa ke-i dalam interval , + ] dengan < � ≤ , maka
Kontribusi banyaknya gempa pada adalah ∏��= � � + �. Kontribusi − yaitu banyaknya gempa yang muncul setelah + adalah ( ) −� . Dalam hal ini merupakan banyaknya gempa yang muncul saat atau setelah . Dengan demikian likelihood totaladalah
=
−
−�∏
��= ��
+ �.
(5) Untuk menyelesaikan persamaan (5) dibutuhkan asumsi bahwa sebaran � � + �dapat dinyatakan dalam bentuk . Berikut ini ditinjau tiga kasus, yakni jika + yang merupakan banyak gempa setelah + diasumsikan bersebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik yang diperlukan untuk menyatakan � � + �. Jika sebaran � � + � diketahui maka sebaran waktu tunggu � juga akan diketahui.
Asumsi Linear Sehingga dengan menggunakan asumsi linear diketahui bahwa:
� + = − Substitusikan (7) dan (9) ke persamaan (5) diperoleh
=( − ) −� ∏� � � + = ( − ) −� ∏
− � ( − � )
�
5
= ( − ) −� ( )� . (10)
Misalkan l = ln = − ln − + ln , maka dengan
menggunakan syarat perlu optimalitas turunan orde pertama � Selanjutnya dengan turunan orde dua diperoleh
ln = −(� ) − ( − −�) setiap titik diperoleh maka diduga persamaan untuk menduga nilai hazard rate dengan menggunakan metode regresi.
Asumsi Eksponensial dengan menyubstitusikan persamaan ini ke persamaan (13) diperoleh
Nilai hazard rate� diperoleh dari persamaan berikut Substitusikan persamaan (14) dan (16) ke persamaan (5) diperoleh
= −
−�∏
��
+ � Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan (17) diperoleh= ln = ln � − � [( − ) + ∑ �]. (18). Syarat perlu orde pertama memberikan ��
�� = �
� − [( − ) ∑ �] =0. Sehingga diperoleh nilai dugaan hazard rate �̂ = �
( −� )+∑�i= yi yang diperoleh merupakan maximum likelihood estimation bagi �. Karena q
berkorespondensi 1-1 dengan � maka ̂ = − ̂ = − −� .
Asumsi Hiperbolik
7
Persamaan (19) dapat juga dinyatakan sebagai berikut � +� = � + � + −� =� + + Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh
� + = + = − − =( − −( − )) . (25) Misalkan = − , maka persamaan (24) akan menjadi
� + =
Jika suku-suku kuadrat dan setelahnya diabaikan, maka
� + ≈ . (27) Persamaan (27) menunjukkan bahwa � + dapat dihampiri yang merupakan peluang munculnya kejadian pada interval , + ] dimana diketahui belum ada kejadian hingga saat .
Pendugaan Momen dalam Single Decrement
Pendugaan nilai hazard rate dengan menggunakan metode momen
yaitu banyaknya kejadian yang diharapkan sama dengan banyaknya kejadian yang diobservasi.
Misalkan kemunculan gempa ke-i yang masuk dalam interval pendugaan , + ] terjadi pada + � dengan 0 < � < , dan gempa berikutnya terjadi pada + �. Maka ( , �) merupakan interval waktu kemunculan dua gempa pada periode , + ]. Untuk kemunculan gempa ke-i, jika peluang terjadinya satu kejadian gempa adalah �− � + �dan peluang tidak terjadi gempa adalah �− � + �, maka peluang bersyarat terjadi gempa sebelum + � jika diketahui belum terjadi gempa hingga
+ � adalah
. �− � + �+0. �− � + � = �− � + �. (28) Berdasarkan persamaan (28) diperoleh total banyaknya kejadian gempa adalah ∑�= �− � + �. Selanjutnya diperoleh persamaan momen sebagai
Untuk waktu tunggu yang menyebar eksponensial, maka fungsi hazard rate
bernilai konstan dengan � = � untuk setiap . Diketahui bahwa = + = −�−� + = −�,
maka � = −ln atau = −�. Karena itu, diperoleh ̂ = − −�̂. Dengan demikian, �̂ = −ln − .
Contoh Aplikasi Pendugaan Nilai dan Persamaan Hazard Rate
9
Berikut ditampilkan plot magnitudo terhadap waktu dan plot lokasi terjadinya gempa untuk area studi.
Gambar 1. Plot magnitudo terhadap waktu untuk area studi.
Gambar 2. Plot lokasi kejadian gempa untuk area studi.
Selanjutnya ditentukan nilai hazard rate dengan menggunakan metode
single decrement pendekatan likelihood. Kita ketahui dalam pendekatan
Tabel 1. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Linear Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat .
No Interval Tahun �� �� �� ��
: banyaknya gempa yang terjadi pada saat atau setelah . : banyaknya gempa yang terjadi pada interval , + ].
: peluang munculnya kejadian gempa pada interval , + ] jika diketahui belum ada gempa hingga saat .
11
Tabel 2. Hasil Pendugaan HRSD untuk Asumsi Waktu Tunggu Bersebaran Eksponensial Melalui Prosedur Maksimum Likelihood jika Diketahui Belum Terjadi Gempa Hingga Saat .
No Interval Tahun ∑ ��
�
�= �� − �� �� �� ��
1 (0,1] 1980 0.965753 488 2 0.0041 0.0041
2 (1,2] 1981 0.806849 486 2 0.0041 0.0041
3 (2,3] 1982 2.112329 480 6 0.0123 0.0124
4 (3,4] 1983 3.076712 472 8 0.0166 0.0168
5 (4,5] 1984 1.763014 468 4 0.0084 0.0085
6 (4,6] 1985 1.738356 464 4 0.0085 0.0086
7 (6,7] 1986 2.178082 460 4 0.0086 0.0087
8 (7,8] 1987 3.594521 454 6 0.0129 0.0131
9 (8,9] 1988 1.910959 450 4 0.0088 0.0089
10 (9,10] 1989 6.287671 442 8 0.0175 0.0178
11 (10,11] 1990 9.279452 427 15 0.0332 0.0344
12 (11,12] 1991 3.361644 418 9 0.0209 0.0214
13 (12,13] 1992 1.327397 416 2 0.0048 0.0048
14 (13,14] 1993 2.780822 411 5 0.0119 0.0121
15 (14,15] 1994 2.313699 406 5 0.0121 0.0122
16 (15,16] 1995 3.184932 400 6 0.0147 0.0149
17 (16,17] 1996 3.564384 395 5 0.0124 0.0125
18 (17,18] 1997 2.068493 391 4 0.0101 0.0102
19 (18,19] 1998 0 391 0 0 0
20 (19,20] 1999 2.306849 385 6 0.0153 0.0155
21 (20,21] 2000 3.675342 378 7 0.0180 0.0183
22 (21,22] 2001 3.42191 373 5 0.0131 0.0133
23 (22,23] 2002 8.19726 358 15 0.0393 0.0410
24 (23,24] 2003 5.076712 349 9 0.0248 0.0254
25 (24,25] 2004 45.59452 303 46 0.1166 0.1320 26 (25,26] 2005 50.42877 161 142 0.4018 0.6716 27 (26,27] 2006 16.20959 124 37 0.2088 0.2639
28 (27,28] 2007 15.36301 96 28 0.2009 0.2514
29 (28,29] 2008 8.389041 71 25 0.2395 0.3149
30 (29,30] 2009 5.910959 58 13 0.1690 0.2034
31 (30,31] 2010 8.906849 40 18 0.2690 0.3680
32 (31,32] 2011 3.690411 27 13 0.2975 0.4236
33 (32,33] 2012 6.2 11 16 0.4819 0.9302
Keterangan
EE : Total eksposure, = ( − ) + ∑�= �.
: Banyaknya gempa yang terjadi pada interval , + ].
− : Banyaknya gempa yang terjadi setelah + .
: Peluang munculnya kejadian gempa pada interval , + ] jika
Gambar 3. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu tunggu menyebar linear.
Gambar 4. Plot hazard rate proses titik terhadap tahun dengan asumsi waktu tunggu menyebar eksponensial.
Hasil pada Tabel 1 dan Tabel 2 berturut-turut merupakan nilai hazard rate dengan asumsi waktu tunggu tunggu menyebar linear dan menyebar eksponensial pada waktu t0 yang dinotasikan dengan simbol µt0. Untuk
menduga persamaan regresi dari hazard rate dibutuhkan sifat bahwa
hazard rate harus menyebar normal. Akan tetapi menurut hasil QQ-plot dari hazard rate pada Tabel 1 dan Tabel 2 menunjukkan bahwa hazard rate
13
hazard rate ini dengan terlebih dahulu menghilangkan nilai hazard rate
yang bersifat pencilan.
Dengan melakukan transformasi Box-Cox pada nilai hazard rate dari Tabel 1 dan Tabel 2 diperoleh nilai λ berturut-turut -0.5 dan -0.5. Artinya transformasi yang dilakukan adalah μ∗ = μ − . untuk hazard rate
dengan waktu tunggu menyebar linear dan μ∗ = μ − . untuk hazard rate dengan waktu tunggu menyebar eksponensial. Sehingga diperlukan transformasi balik agar diperoleh nilai dugaan hazard rate yang diinginkan. Transformasi balik yang dilakukan adalah μ = μ∗ − =
µ∗ .
Proses penentuan model parametrik untuk HRSD dilakukan dengan metode regresi untuk nilai hazard rate tersebut dengan menggunakan model linear μ∗ = � + � + �, model kuadratik μ∗ = � + � + � + �, dan model kubik μ∗ = � + � + � + � + �.
Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 1 diperoleh model parametrik μ̂ = .∗ − . untuk model linear dengan =
. . Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh
model μ̂ = .∗ − . − . dengan = . . Akan
tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik
terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1.
Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga
hazard rate untuk Tabel 1 dimana waktu tunggu bersebaran linear adalah μ̂ = . − .9 9 + . − . . Jika model ini diasumsikan dapat memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate
untuk tahun 2014 adalah μ̂ =
. − .9 9 + . − . = . . Artinya dugaan tingkat terjadinya gempa ada tahun 2014 adalah sebesar 0.00151.
Tabel 3. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 1.
Persamaan MSE Uji Nyata Regresi
Gambar 5. Kurva perbandingan pendugaaan model hazard rate Tabel 1 yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
Dari hasil transformasi nilai hazard rate pada Tabel 2 diperoleh model parametrik μ̂ = .∗ − . untuk model linear dengan =
. . Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Untuk model kuadratik diperoleh
model μ̂ = .∗ − . − . dengan = . . Akan
tetapi persamaan dugaan kuadratik belum nyata berdasarkan hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sedangkan untuk model kubik diperoleh model parametrik μ̂ = .∗ + . − . − .
dengan = . Persamaan duga linear ini sudah nyata menurut hasil uji nyata koefisien regresi pada taraf nyata 0.1. Sehingga dapat disimpulkan bahwa model kubik merupakan model yang lebih baik untuk menduga nilai hazard rate pada Tabel 2 karena menghasilkan nilai MSE
terkecil dan koefisiennya sudah nyata pada taraf nyata 0.1.
Dengan menggunakan transformasi balik diperoleh persamaan duga
hazard rate untuk Tabel 2 dimana waktu tunggu bersebaran eksponensial adalah μ̂ =
. + .9 − . − . . Jika model ini diasumsikan dapat memperkirakan nilai hazard rate pada waktu mendatang maka model parametrik ini dapat digunakan. Sebagai contoh nilai dugaan hazard rate
untuk tahun 2014 adalah μ̂ =
15
Tabel 4. Dugaan Persamaan Hazard Rate pada Tabel 2.
Persamaan MSE Uji Nyata Regresi
(� = . )
μ̂ = .∗ − . . Nyata
μ̂ = .∗ − . − . . Tidak nyata
μ̂ = .∗ + . − .
− . .
Nyata
Gambar 6. Kurva perbandingan pendugaan model hazard rate Tabel 2 yang telah ditransformasi dengan asumsi linear, kuadratik, dan kubik.
SIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini dibahas salah satu metode untuk menentukan nilai hazard rate proses titik temporal. Metode yang digunakan adalah metode single decrement. Metode single decrement ini merupakan metode yang didasarkan pada teori aktuaria. Pendugaan hazard rate dengan metode
single decrement dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu pendekatan
likelihood dan pendekatan momen.
Dengan menggunakan pendekatan likelihood, dibutuhkan asumsi sebaran waktu tunggu terjadinya gempa. Sebaran waktu tunggu terjadinya gempa yang digunakan adalah sebaran linear, eksponensial, dan hiperbolik.
Jika sebaran waktu tunggu adalah linear maka dugaan hazard rate
�̂ dapat dirumuskan menjadi �̂ = ̂
− ̂, dan ̂ = �
dengan ̂ menyatakan dugaan peluang terjadinya gempa pada interval , +
banyaknya kejadian gempa pada interval , + ], serta menyatakan banyaknya kejadian gempa tepat atau setelah .
Jika sebaran waktu tunggu adalah eksponensial maka dugaan hazard rate �̂ dapat dirumuskan menjadi �̂ = �
( −� )+∑�i= yi,
dengan menyatakan banyaknya kejadian gempa pada interval , + ], ( − ) menyatakan banyaknya kejadian gempa setelah + , dan yi
adalah bilangan yang menyatakan waktu kemunculan gempa ke-i setelah , dalam hal ini < � < . Sedangkan jika sebaran waktu tunggu adalah hiperbolik maka dugaan hazard rate � + ≈ , akan tetapi belum diperoleh solusi analitik untuk menentukan .
Perhitungan hazard rate menggunakan data gempa di Aceh periode waktu 1980-2013 dengan kekuatan gempa lebih dari atau sama dengan 5 SR. Pendugaan nilai hazard rate dilakukan dengan menggunakan pendekatan
likelihood dimana menggunakan asumsi waktu tunggu yang menyebar linear dan eksponensial. Dari hasil perhitungan yang dilakukan diperoleh model yang lebih baik dalam menduga persamaan adalah model kubik. Model yang diperoleh ini diharapkan mampu menduga nilai hazard rate
secara akurat.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers, N.L, Gerber, H.U, Hickman, J.C, Jones, D.A, and Nesbitt, C.J. 1986. Actuarial Mathematics : The Society of Actuaries.
Daley, D.J. dan Vere-Jones, D. 2003: An Introduction to the Teory of Point Processes. Berlin: Springer.
Darwis, S, Sunusi, N., Triyoso, W., dan Mangku, I.W. 2009. Single Decrement Approach for Estimating Eartquake Hazard Rate, Advance and Applications in Statistics, 11(2), 229-27.
Firmansyah, J. and Irsyam, M. 1999. Development of Seismic Hazard Map for Indonesia: Konferensi Nasional Rekayasa Kegempaan.
17
LAMPIRAN
Lampiran 1. Data gempa bumi di wilayah Aceh tahun 1980-2013 dengan magnitudo lebih dari atau sama dengan 5 SR.
Lanjutan Lampiran 1
22/02/2012 12:02:44 4.89 94.17 37 5.4
5/03/2012 06:55:29 4.19 97.10 15 5.0
11/04/2012 12:22:17 3.19 94.01 64 5.3
11/04/2012 09:00:54 2.67 95.69 10 6.0
26/04/2012 19:21:44 2.74 94.51 10 5.4
29/04/2012 08:09:05 2.74 94.54 10 5.6
12/05/2012 00:08:00 2.04 94.07 96 5.0
5/06/2012 11:01:19 5.37 94.59 54 5.3
23/06/2012 04:34:53 2.88 97.86 90 6.3
22/07/2012 09:39:11 2.51 95.72 18 5.1
25/07/2012 00:27:45 2.52 96.12 10 6.1
4/08/2012 11:24:14 4.67 96.36 10 5.1
19/08/2012 01:57:02 4.84 94.64 10 5.0
22/12/2012 03:50:07 5.06 94.15 37 5.3
10/01/2013 13:47:06 4.61 95.11 58 6.0
21/01/2013 22:22:54 4.77 95.99 10 5.9
3/03/2013 22:24:12 2.71 95.55 10 5.1
29/04/2013 13:43:00 3.70 95.95 58 5.2
2/07/2013 15:36:47 4.62 96.81 10 5.2
2/07/2013 13:55:41 4.62 96.79 10 5.4
2/07/2013 07:37:03 4.70 96.61 10 6.2
9/07/2013 01:05:38 2.15 96.21 15 5.2
17/08/2013 04:24:06 5.35 94.22 38 5.1
13/10/2013 17:32:45 3.90 95.86 56 5.4
22/10/2013 05:40:40 5.02 95.89 10 5.4
29
31
Lampiran 4. Hasil transformasi Box-Cox nilai hazard rate pada Tabel 1 dan 2.
Keterangan : = � − . .
= � − .
Titik Hazard rate1 Transform1 Titik Hazard rate2 Transform2
33
