Matematika Kelas X semester 1

(1)

KATA PENGANTAR

(2)

Puji Syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Kuasa karena rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan Buku Matematika untuk SMA/MA berdasarkan KTSP 2006. Buku ini hadir sebagai salah satu media pembelajaran yang berperan penting dalam peningkatan sumber daya manusia khususnya para siswa.

Buku ini disusun dengan tujuan untuk melengkapi para siswa dengan konsep dasar matematika dan keterampilan menyelesaikan/memecahkan soal-soal matematika. Buku ini terdiri dari 3 jilid, jilid 1 untuk siswa kelas X, jilid 2 untuk siswa kelas XI, dan jilid 3 untuk siswa kelas XII. Buku ini disusun berdasarkan KTSP 2006 mata pelajaran Matematika SMA/MA

Setiap BAB terdapat contoh-contoh yang relevan. Soal-soal yang diselesaikan diberikan secara terinci tahap demi tahap dengan maksud memberi panduan pada siswa dalam menyelesaikan soal/memecahkan masalah secara benar, baik langkah-langkah maupun hasilnya.

Semoga bahan ajar ini dapat diterima dan memberikan manfaat yang besar serta dapat menjadi sarana belajar utama. Kritik dan saran selalu kami harapkan demi semakin berkualitasnya terbitan selanjutnya.

Kranji, 17 November 2015

(3)

Matematika Kelas X untuk SMA/MA/SMK

3

KATA PENGANTAR...2

DAFTAR ISI...3

DAFTAR GAMBAR...5

DAFTAR TABEL...6

BAB 1 BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA...6

A. BENTUK PANGKAT...6

1. PANGKAT BULAT POSITIF...7

2. PANGKAT NOL...7

3. PANGKAT BULAT NEGATIF...7

B. BENTUK AKAR...7

C. LOGARITMA...7

BAB 2 PERSAMAAN , PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT...8

A. PERSAMAAN KUADRAT...8

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT...9

C. FUNGSI KUADRAT...10

BAB 3 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN...11

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR...11

1. SISTEM PERSAMAAN DUA VARIABEL (SPDV)...11

3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL...12

B. SISTEM PERSAMAAN CAMPURAN LINEAR DAN KUADRAT DALAM DUA VARIABEL ...12

1. SISTEM PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL: LINEAR DAN KUADRAT (SPLK)13 2. SISTEM PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL, KEDUA-DUANYA KUADRAT (SPKK)...13

C. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN SISTEM PERSAMAAN CAMPURAN LINEAR DAN KUADRAT DALAM DUA VARIABEL...14

D. PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL...14

1. PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR...14

2. PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK (MODULUS)...15

3. SISTEM PERTIDAKSAMAAN...15

4. APLIKASI PERTIDAKAMAAN...15

BAB 4 MATRIKS...16

A. JENIS-JENIS MATRIKS...16

1. MATRIKS BARIS...16

2. MATRIKS KOLOM...16

3. MATRIKS PERSEGI...17

4. SEGITIGA ATAS...17

5. SEGITIGA BAWAH...17

6. MATRIKS DIAGONAL...17

7. MATRIKS IDENTITAS...17

8. MATRIKS SKALAR...17

9. MATRIKS NOL...17

B. KESAMAAN DUA MATRIKS...17

C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS...17

(4)

2. PENGURANGAN...18

D. PERKALIAN SUATU BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS...18

E. DETERMINAN MATRIKS...18

1. ORDO 2 x 2...18

2. ORDO 3 x 3...19

F. INVERS MATRIKS...19

1. ORDO 2 x 2...19

2. ORDO 3 x 3...19

(5)

5

DAFTAR GAMBAR

(6)

DAFTAR TABEL

(7)

7

BAB

1

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

A. BENTUK PANGKAT

1. PANGKAT BULAT POSITIF

Sifat – Sifat Pangkat Bulat Positif 1)

a

m

× a

n

=

a

(m+n) 2)

a

m

:

a

n

=

a

(m– n) _atau

a

m

a

n

=

a

(m– n)

, a ≠

0

dan

m

>

n

3)

a

m

¿

n

=

a

(m ∙n)

¿

4)

a

m

b

n

¿

p

=

a

(m∙ p)

b

(n ∙ p)

¿

5)

(

a

m

b

n

)

p

=

a

(m ∙ p)

b

(n ∙ p)

, b≠

0

Contoh:

5

3

:5

2

=

5

(3+2)

=

5

=

5

×

5

×

5

×

5

×

5

2

3

5

2

¿

2

=

2

(3∙2)

5

(2∙2)

=

2

6

5

4

=

¿

2. PANGKAT NOL

Jika

a

suatu bilangan real dan

a

≠ 0, maka _a0 =1

3. PANGKAT BULAT NEGATIF

Jika a uatu bilangan real, a ≠0 dan n suatu bilangan bulat positif, maka

a

−n

=

1

a

n

Sifat – sifat yang berlaku pada pangkat bulat positif, juga berlaku pada pangkat bulat negatif. Contoh:

2

−3

∙

2

=

2

−3+(−5)

=

2

−8

=

2

1

8

B. BENTUK AKAR

Contoh:

Sifat – Sifat Bentuk Akar

a. n

√

a

=

a

1 n

b. n

√

a

m

=

a

m n

c. n

√

ab

=

√

n

a∙

n

√

b

=

a

1 n

∙b

1 n d. n

√

a

n

√

b

=

n

√

a

b

e. n

√

a ∙

√

n

a

=

√

n

a

2 f. m

√

n

(8)

1.

√

_a₌_a12

2. 5

√

25_∙

√

169=2

5

5_∙₁₃₌₂_∙₁₃₌₂₆

3.

√

40

+

√

77

+

√

8

+

8

√

40

+

√

77

+

√

16

√

40

+

√

77

+

4

√

40

+

√

81

√

40

+

9

√

49

7

C. LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Contoh:

3

log

√

8

∙

2

log27

+

9

log243

3

log 8

1 2

∙

2

log3

3

+

32

log 3

5

3

log2

32

∙

2

log 3

3

+

32

log3

5

3

2

∙

3

log 2

∙

3

2

log 3

+

5 2∙3

log 3

3

2

∙

3

∙

3

log 2

∙

2

log3

+

5

2

∙

1

3

2

∙

3

log3

+

5

2

Sifat Logaritma: 1) a_{log 1}

=0

2) a_log_an =n

3) p

log

(

a ∙b

)=

p

log

a

+

p

log

b

4) p

log

a

b

=

p

log

a

−

p

log

b

5) a _{log b =}

p

log

b

p

log

a

6) _a

1

log

b

=

b

log

a

7)

a

n

log

b

=

1

n

∙

a

log

b

8)

a

n

log

b

m

=

m

n

x

a

log

b

9) _aa

logb=b

10) a

log

a

=

1

Keterangan:

g = bilangan pokok

a = bilangan numeris

(9)

9

2

7

BAB

2

PERSAMAAN , PERTIDAKSAMAAN DAN

FUNGSI KUADRAT

A. PERSAMAAN KUADRAT

Contoh:

Nilai

x

1

+

x

2 dari persamaan

x

2

+

9

x

+

20

=

0

adalah...

Jawab!

x2+9x+20=0

(

x+5

)(

x+4

)

=0

x₁=−5 x₂=−4

Nilai x1+x2=¿ −5+

(

−4

)

−5−4

−

9

[ CITATION Tam08 \l 2057 ]

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Syarat

> atau ≥ yang diarsir adalah:

< atau ≤ yang diarsir adalah:

a x2

+bx+c>0

a x

2

+

bx

+

c

<

0

a x2+bx+c ≥0

a x

2 [image:9.595.71.552.335.833.2]

+

bx

+

c ≤

0

(10)

Contoh:

Tentukan HP dari persamaan _x2

−2x−3≥0

Jawab!

x2−2x−3≥0

(

x−3

) (

x+1

)

≥0

x=3x=−1

-1 3

HP

{

−

1

≤ x ≤

3

}

C. FUNGSI KUADRAT

Ketentuan:

x>0

x<0

x ≥0

(11)

11 [ CITATION Tam08 \l 2057 ]

Contoh:

Tentukan grafik fungsi kuadrat dari

f

(

x

)=

x

2

+

6

x

−

7

Jawab!

1. Titik potong sumbu x → y=0

x2

+6x−7=0

(

x+7

) (

x−1

)

=0

x=−7 x=1

(−

7, 0

)

(

1, 0

)

2. Titik potong sumbu y → x=0

y=x2+6x−7

y

=

0

2

+

6

(

0

)−

7

y=−7

(

0,−7

)

3. Sumbu Simetri

x

=

−

b

2

a

x

=

−

6

2

x=−3

4. Nilai maximal

y

=

−

D

4

a

y

=

−

(b

2

−

4

ac

)

4

a

y

=

−

(

−

6

2

−

4

(

1

)(

7

)

4

(

1

)

y

=

−(

36

−

28

)

4

y

=

−(

36

+

28

)

4

y

=

−

64

4

y

=−

16

5. Titik balik

(

−

b

2

a

)

,

(

−

D

4

a

)

(

−3,−16

)

6 5 4 3 2 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

[image:11.595.89.494.130.823.2]

(12)

-8

-9

-10

-11

-12

-13

-14

-15

-16

BAB

3

SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. SISTEM PERSAMAAN DUA VARIABEL (SPDV)

Contoh:

1. Carilah HP dari SPDV dari

2

x – y

=

0

dan

2

x

−

3

y

=−

8

Jawab!

2

x – y

=

0

2

x

−

3

y

=−

8

-2

y

=

8

y

=

8

2

y=4

2

x – y

=

0

2x−4=0

2

x

=

0

+

4

x

=

4

2

x=2

HP {2, 4}

(13)

13

3

x

−

5

y

=

1

|

1

|

−

x

+

2

y

=−

1

|

3

|

3

x

−

5

y

=

1

−

3

x

+

6

y

=−

2

+

y

=−

2

Subtitusi y ke :

– x

+

2

y

=−

1

−

x

+

2

(−

2

)=−

1

−

x

−

4

=−

1

−

x

=−

1

+

4

−

x

=

3

x

=−

3

HP {-3, -2}

3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Contoh:

Carilah HP dari persamaan

2

x

−

y

+

z

=

11

,

y

+

z

=−

1

dan

2

x

−

y

=

3

Jawab!

2

x

−

y

+

z

¿

11

2x−y ¿3

−

¿

z

=

8

Sub.

z

ke:

y

+

z

¿

−

1

y+8=−1

y=−1−8

y=−9

Sub. y ke:

2

x

−

y

=

3

2

x

−(−

9

)=

3

2

x

+

9

=

3

2

x

=

3

−

9

2

x

=−

6

x

=

−

6

2

x=−3

HP

{

−

3,

−

9, 8

}

B. SISTEM PERSAMAAN CAMPURAN LINEAR

DAN KUADRAT DALAM DUA VARIABEL

1. SISTEM PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL: LINEAR DAN KUADRAT

(SPLK)

a

₁

x

+

b

₁

y

+

c

₁

z

=

d

₁

a₂x+b₂y+c₂z=d₂

a

3

x

+

b

3

y

+

c

3

z

=

d

3

Linear :

Kuadrat:

ax

+

by

=

c

c−ax=ax2

(14)

Contoh:

Tentukan HP dari Persamaan

2

x

+

y

=−

1

dan _y₌_x2 −4x

Jawab!

2x+y=−1→ y₁=−2x –1

y2=x2−4x

y₁=y₂

−2x−1=x2−4x

0=x2−4x+2x+1 0=x2

−2x+1

(

x−1

) (

x−1

)

x₁=1 x₂=1

x

₁

=

x

₂ Sub.

x

ke:

y

=−

2

x –

1

y

=−

2

(

1

)

–

1

y

=−

2

−

1

y

=−

3

HP {1, -3}

2. SISTEM PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL, KEDUA-DUANYA KUADRAT

(SPKK)

Contoh:

Tentukan HP dari

y

1

=

x

2

−

4

x

+

3

dan

y

2

=

2

x

2

−

12

x

+

15

Jawab!

y

1

=

x

2

−

4

x

+

3

y

2

=

2

x

2

−

12

x

+

15

y

₁

=

y

₂

x

2

−

4

x

+

3

=

2

x

2

−

12

x

+

15

0

=

2

x

2

−

12

x

+

15

0

=

x

2

−

8

x

+

12

(

x

−

6

) (

x

−

2

)

x

=

6

x

=

2

Sub. x ke:

x=6 →

y

=

x

2

−

4

x

+

3

y

=

6

2

−

4

x

+

3

y

=

36

−

24

+

3

y

=

15

(

x , y

)=(

6,15

)

x=2 →

y

=

x

2

−

4

x

+

3

y

=

2

−

4

(

2

)+

3

y

=

4

−

8

+

3

y

=−

1

(

x , y

)=(

2,

−

1

)

HP {(6, 15), (2, -1)}

C. APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN

SISTEM PERSAMAAN CAMPURAN LINEAR

DAN KUADRAT DALAM DUA VARIABEL

y=ax2+bx+c

y1=a1x 2

+b1x+c1

y

1

=

a

2

x

2

+

b

2

x

+

c

2

(15)

15 2. Data yang terdapat dalam masalah itu diterjemahkan kedalam satu atau beberapa persamaan. 3. Kemudian solusi dari sistem persamaan itu digunakan untuk memecahkan masalah tersebut

dan menafsirkaannnya. [ CITATION Tam08 \l 2057 ] Contoh:

Dua tahun yang lalu umur Harry 6 kali umur Laras. Delapan belas tahun kemudian umur Harry akan menjadi 2 kali umur Laras. Tentukan umur mereka.

Jawab!

Misalkan Harry: x dan Laras y

(

x−2

)

=6

(

y−2

)

x−2=6y−12

x−6y=10

x−2=2

(

y−2

)

x−2=2y−4

x−2y=18

x−6y=10

x−2y=18 -−4y=−28

y=7

y=7 → x−6y=−10

x

−

6

(

7

)=−

10

x

=

32

Jadi, umur Harry adalah 32 tahun dan umur Laras adalah 7 tahun

D. PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

1. PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR

&

Contoh:

√

x

−

2

≤

3

Syarat yang perlu dan cukup adalah

x –

2

≥

3

x ≥

2

√

x

−

2

≤

3

x−2≥9

x ≤11

2 11

HP

{

2

≤ x ≤

11

}

√

x

+

y

<

z

√

x

+

y

>

z

√

x

+

y ≤ z

(16)

2. PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK (MODULUS)

Contoh:

Tentukan HP dari

|

2

x

−

1

|

≤

5

Jawab!

|

2

x

−

1

|

≤

5

|

2

x

+

1

|

≥

5

2

x

+

1

¿

2

≥

5

2

¿

(

2

x

+

1

) (

2

x

+

1

)

≥

25

4

x

2

+

2

x

+

2

x

+

1

≥

25

4

x

2

+

4

x

+

1

≥

25

4

x

2

+

4

x

−

24

≥

0

x

2

+

x

−

6

≥

0

(

x

−

3

)

(

x

−

2

)

≥

0

x₁=3x₂=2

-3 2

HP

{

−

3

≥ x ≥

2

}

3. SISTEM PERTIDAKSAMAAN

Contoh:

Carilah HP dari _x2

−8x<15 dan _x2

+2x+1<9

Jawab!

x2−8x<15

x2−8x−15<0

(

x+5

)(

x−3

)

<0

x₁=5x₂=3

3 5

HP

{

3

<

x

<

5

}

4. APLIKASI PERTIDAKAMAAN

Contoh:

1.

|

ax+b

|

<

|

cx+d

|

2.

|

ax+b

|

>

|

cx+d

|

3.

|

ax+b

|

≤

|

cx+d

|

(17)

17 Jawab!

[ CITATION Ari08 \l 2057 ] Kelas utama (x) Kelas ekonomi (y)

Penumpang 1 1 240

Bagasi 60 20 7200 kg

x

+

y ≤

240

Jika

x

=

0

y ≤

240

Jika

y

=

0

x ≤

240

60

x

+

20

y ≤

7200

Jika

x

=

0

60

(

0

)+

20

y ≤

7200

20

y ≤

7200

y ≤

7200

20

y ≤360

Jika y=0

60x+20

(

0

)

≤7200 60x ≤7200

x ≤

7200

60

x ≤

120

400

300

200

100

100 200 300 400 500

BAB

4

MATRIKS

[image:17.595.95.482.140.649.2]

Ordo (Baris x Kolom)

(18)

A. JENIS-JENIS MATRIKS

1. MATRIKS BARIS

A

=

(

3 2 5

)

2. MATRIKS KOLOM

A

=

(

1

2

3

)

3. MATRIKS PERSEGI

A

=

(

1 2

3 4

)

4. SEGITIGA ATAS

A

=

(

1 3 2

0 5 1

0 0 6

)

5. SEGITIGA BAWAH

A

=

(

1 0 0

9 5 0

7 3 6

)

6. MATRIKS DIAGONAL

A

=

(

2 0 0

0 5 0

0 0 6

)

7. MATRIKS IDENTITAS

A

=

(

1 0 0

0 1 0

0 0 1

)

8. MATRIKS SKALAR

A

=

(

2 0

0 2

)

9. MATRIKS NOL

A

=

(

0 0

)

(19)

19 Jawab!

(

4

y

+

1

5

x

6

−

8

2

z

3

)

(

2

y

x

5

3

a

2

z

−

z

−

8

2

b

3

)

2

y

=

4

y

=

4

2

y=2

y

+

1

=

x

2

+

1

=

x

3

=

x

3

a

=

x

3

a

=

3

a

=

1

2z−z=6 2z−1z=6

z=6

2z=b

2

(

6

)

=b

12=b

C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

MATRIKS

1. PENJUMLAHAN

Contoh: Jumlahlah Matriks Berikut ini:

A

=

(

2 3

4 5

)

B

=

(

5 6

7 8

)

Jawab!

A

+

B

=

(

2 3

4 5

)

+

(

5 6

7 8

)

¿

(

7

9

11 13

)

2. PENGURANGAN

Contoh: Kurangilah Matriks Berikut ini:

A

=

(

2 3

4 5

)

B

=

(

5 6

7 8

)

Jawab!

A

−

B

=

(

2 3

4 5

)

−

(

5 6

7 8

)

¿

(

−

3

−

3

(20)

D. PERKALIAN SUATU BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS

Contoh:

1.

A

=

(

2 6

5 7

)

2

A

=

2

(

2 6

5 7

)

¿

(

4

12

10 14

)

2.

A

=

(

2 5 6

7 8 9

1 2 3

)

B

=

(

1

5

7

)

A x B

=

(

2 5 6

7 8 9

1 2 3

)

x

(

1

5

7

)

¿

(

7

2

∙

1

∙

1

+

5

8

∙

5

2

∙

5

+

6

9

∙

7

3

∙

7

)

¿

(

6

11

3

9

0

2

)

3.

A

=

(

1 3

2 4

)

B

=

(

5 7

6 8

)

A x B

=

(

1 3

2 4

)

x

(

5 7

6 8

)

¿

(

1

∙

5

2

∙

5

+

3

∙

6

4

∙

6

1

∙

7

2

∙

7

+

3

∙

8

4

∙

8

)

¿

(

5

10

+

18

24

7

14

+

24

32

)

¿

(

23 31

34 46

)

E. DETERMINAN MATRIKS

1. ORDO 2 x 2

Contoh:

1.

A

=

(

1 6

5 7

)

(21)

21

2. ORDO 3 x 3

Contoh:

A

=

(

1 2 3

4 5 6

7 8 9

)

|

A

|

=

1

|

5 6

8 9

|

−

2

|

4 6

7 9

|

+

3

|

4 5

7 8

|

¿1

(

45−48

)

−2

(

36−42

)

+3

(

32−35

)

¿1

(

−3

)

−2

(

−6

)

+3

(

−3

)

¿−3+12−9

¿0 → Matriks Singuler

F. INVERS MATRIKS

1. ORDO 2 x 2

Contoh:

A

=

(

1 2

3 4

)

|

A

|

=4−6=−2

A

−I

=

1

|

A

|

adjoint

¿

1

−

2

(

4

−

2

−

3

1

)

¿

(

4

−

2

−

3

1

)

−

2

¿

(

−

2

1

3

2

−

1

2

)

2. ORDO 3 x 3

1. Determinan

|

A

|

=

2

|

9 6

8 7

|

−

5

|

4 6

1 7

|

+

3

|

4 9

1 8

|

¿

2

(

63

−

48

)−

5

(

28

−

6

)+

3

(

32

−

9

)

¿2

(

15

)

−5

(

22

)

+3

(

23

)

¿

30

−

110

+

69

¿99−110

¿

−

11

2. Minor = |Mij|

|

M

11

|

=

|

9 6

8 7

|

=

63

−

48

=

15

|

M

12

|

=

|

4 6

1 7

|

=

28

−

6

=

22

|

M

13

|

=

|

4 9

1 8

|

=

32

−

9

=

23

|

M

21

|

=

|

5 3

8 7

|

=

35

−

24

=

11

|

M

22

|

=

|

2 3

(22)

|

M

23

|

=

|

2 5

1 8

|

=

16

−

5

=

11

|

M

31

|

=

|

5 3

9 6

|

=

30

−

27

=

3

|

M

32

|

=

|

2 3

4 6

|

=

12

−

12

=

0

|

M

33

|

=

|

2 5

4 9

|

=

18

−

20

=−

2

3. Kofaktor

A11=1∙5=5

A

₁₂

=−

1

∙

22

=−

22

A₁₃=1∙23=23

A

₂₁

=−

1

∙

11

=−

11

A₂₃=1∙11=11

A

₂₃

=−

1

∙

11

=−

11

A₃₁=1∙3=3

A

32

=−

1

∙

0

=

0

A

₃₃

=

1

∙

(−

2

)=−

2

4. Invers

¿

A

∨

¿

adjoint

A

−I

=

1

¿

A

∨

¿

adjoint

¿

(

15

3

−

11

−

22

11

0

23

−

11

2

)

−

11

¿

(

−

15

11

1

−

3

11

2

−

1

0

−

23

11

1

(23)

Budaya Batak. Surabaya: Program Pascasarjana UNESA.