ABSTRAK
1-FAULT-TOLERANT HAMILTONIAN PADA GRAF HONEYCOMB RECTANGULAR DISK
Oleh SEPTIYANI
Masalah Hamiltonian merupakan salah satu kajian yang penting dalam teori graf. Bentuk khusus dari graf Hamiltonian salah satunya adalah graf 1-fault-tolerant Hamiltonian. Suatu graf G = (V,E) adalah 1-fault-tolerant Hamiltonian jika G\{f} adalah Hamiltonian untuk setiap f E V. Pada penelitian ini, graf yang digunakan adalah graf Honeycomb Rectangular Disk (HReD(m,n)) yang merupakan variasi dari Honeycomb Rectangular Mesh (HReM(m,n)). HReD(m,n) diperoleh dari HReM(m,n) dengan penambahan cycle penutup/pembatas.
Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh informasi terkait graf HReD(m,n) dan juga untuk membuktikan bahwa HReD(m,n) merupakan graf 1-fault-tolerant Hamiltonian untuk m = 4 dan n ≥ 5.
1-FAULT-TOLERANT HAMILTONIAN PADA GRAF HONEYCOMB RECTANGULAR DISK
(Skripsi)
Oleh SEPTIYANI
0817031013
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
LEMBAR PENGESAHAN
Judul Skripsi : 1-FAULT-TOLERANT HAMILTONIAN
PADA GRAF HONEYCOMB RECTANGULAR DISK
Nama Mahasiswa : Septiyani Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031013 Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing
Dra. Wamiliana, M.A,Ph.D. Ahmad Faisol, M.Sc.
NIP 19631108 198902 2 001 NIP 19800206 200312 1 003
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi Matematika
1-FAULT-TOLERANT HAMILTONIAN PADA GRAF HONEYCOMB RECTANGULAR DISK
Oleh SEPTIYANI
0817031013
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
V. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian ini antara lain :
1. Graf Honeycomb Rectangular Disk (HReD(m,n)) merupakan graf 3-reguler dan planar.
2. Jumlah edge dari graf Honeycomb Rectangular Disk HReD(m,n) untuk m bilangan bulat genap positif dengan m ≥ 4 dan n bilangan bulat ganjil positif dengan n ≥ 5 adalah tiga per dua dari jumlah vertexnya.
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Dra. Wamiliana, M.A.,Ph.D. ....………
Sekretaris : Ahmad Faisol, M.Sc. ………
Penguji
Bukan Pembimbing : Tiryono Ruby, M.Sc.Ph.D. ………
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1 001
MOTTO
Try not to become a man of success
but rather to become a man of value (Albert Einstein)
There is only one truth. (Shinichi Kudo)
Kesuksesan tidak hanya dilihat dari hasil yang diraih saja
tetapi juga dari seberapa besar usaha yang dilakukan untuk
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang memiliki banyak terapan di berbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.
Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang bernama Kaliningrad) di sungai Pregal yang mengalir mengitari pulau Kneiphof . Masalah jembatan Konigsberg adalah mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan yang ada di kota Konigsberg masing-masing tepat satu kali dan kembali lagi ditempat semula. Untuk menyelesaikan masalah itu, Euler memisalkan daratan yang dihubungkan dengan titik (vertex) dan jembatan dinyatakan dengan garis atau sisi (edge).
2
Suatu graf G = (V,E) adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian jika G\{e}adalah Hamiltonian untuk setiap e E dan suatu graf G = (V,E) adalah 1-vertex fault- tolerant Hamiltonian jika G\{v} adalah Hamiltonian untuk setiap v V. Suatu graf G = (V,E) adalah 1-fault-tolerant Hamiltonian jika G\{f}adalah Hamiltonian untuk setiap f E V.
Pada penelitian ini, akan dikaji mengenai salah satu bentuk 1-fault tolerant- Hamiltonian yaitu Honeycomb Rectangular Disk (HReD(m,n)). Honeycomb Rectangular Disk (HReD(m,n)) merupakan salah satu variasi dari Honeycomb Rectangular Mesh (HReM(m,n)). HReD(m,n) diperoleh dari HReM(m,n) dengan
penambahan cycle penutup/pembatas.
1.2 Batasan Masalah
Graf yang digunakan dalam penelitian ini adalah graf Honeycomb Rectangular Disk (HReD(m,n)) untuk m bilangan bulat genap positif dan n bilangan bulat
ganjil positif dengan m≥4 dan n≥5 dan pembuktian 1 – fault-tolerant Hamiltonian dibatasi pada graf Honeycomb Rectangular Disk (HReM(m,n)) untuk m = 4.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh informasi terkait graf Honeycomb Rectangular Disk berupa contoh, istilah dan definisi umum dari graf Honeycomb
Rectangular Disk. Selain itu, penelitian ini juga bertujuan untuk menjelaskan
3
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini antara lain :
1. Memperdalam pengetahuan tentang teori graf, khususnya mengenai salah satu bentuk 1-fault-tolerant Hamiltonian graph yaitu Honeycomb Rectangular Disk.
2. Menggali beberapa informasi mengenai Honeycomb Rectangular Disk. 3. Menambah referensi terkait bentuk 1-fault-tolerant Hamiltonian graph
khususnya Honeycomb Rectangular Disk.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada Bab ini, akan diberikan beberapa definisi, istilah dan contoh-contoh yang akan digunakan dalam penelitian ini.
1. Graf
Graf G = (V,E) terdiri dari himpunan objek V = { , , … } yang disebut vertex (titik) yang tidak kosong, dan himpunan lain E = { , , … } yang unsur
-unsurnya disebut edge (garis) yang boleh kosong, sehingga setiap edge diidentifikasikan sebagai pasangan bukan berurutan ( , ) dari vertex.
Representasi paling umum dari graf adalah dengan cara diagram, di mana vertex direpresentasikan sebagai titik dan setiap edge sebagai garis yang menghubungkan vertex (Deo,1989).
2. Subgraf dan Supergraf
Misalkan dua graf G = (V(G), E(G)) dan H = (V(H), E(H)). H dikatakan subgraf dari G atau G adalah supergraf dari H jika V(H) V(G) dan E(H) E(G) (Hsu & Lin, 2009).
3.
5
4. Walk
[image:12.595.186.424.240.422.2]Walk adalah barisan berhingga dari titik (vertex) dan garis (edge), dimulai dan diakhiri dengan vertex, sedemikian sehingga setiap edge menempel dengan vertex sebelum dan sesudahnya. Walk yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut walk tertutup (Deo, 1989).
Gambar 1. Contoh walk pada suatu graf
Garis yang tebal pada Gambar 1 merupakan salah satu walk yaitu .
5. Lintasan (Path)
Lintasan (path) adalah walk yang semua titik (vertex) nya berbeda. Pada Gambar 1 salah satu lintasan (path)nya adalah (Wibisono, 2008).
6
6. Sirkuit (circuit/cycle)
Sirkuit adalah walk tertutup dimana tidak ada vertex (kecuali titik awal dan akhirnya) yang dilewati lebih dari satu kali. Pada Gambar 1 salah satu sirkuitnya adalah (Deo, 1989).
7. Derajat (Degree)
Derajat (degree) adalah jumlah edge yang menempel pada suatu vertex vi, dengan loop dihitung dua kali, dan ditulis dengan d(vi) (Deo, 1989) .
Pada Gambar 1 .
8. Teorema 2.1
Misalkan suatu graf G dengan e-edge dan n-vertex , , … . Jumlah derajat dari semua vertex di G adalah dua kali dari jumlah edgenya, dan dinyatakan sebagai berikut : (Deo, 1989).
Bukti : Karena suatu edge pasti menghubungkan dua vertex, maka setiap edge dihitung dua kali dalam perhitungan derajat suatu titik pada suatu graf.
9. Bertetangga (Adjacent) dan Menempel (Incidence)
Vi dan ej dikatakan incident dengan satu sama lain jika vertex vi adalah suatu vertex ujung dari edge ej. Dua egde yang tidak paralel dikatakan adjacent jika
kedua edges tersebut incident pada satu vertex, dan dua vertex dikatakan adjacent jika kedua vertex tersebut adalah vertex akhir dari edges yang sama (Deo, 1989).
10. Graf Teratur (Regular Graph)
7
11. Graf Planar
Suatu graf G adalah planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada bidang pada suatu cara dimana dua edge tidak bertemu satu sama lain kecuali pada suatu vertex dimana keduanya incident (Wilson & Watkins, 1990).
12. Isomorfis dan Automorfisma
Dua graf G dan G dikatakan isomorfis (satu sama lain) jika terdapat korespondensi satu-satu antara vertex keduanya dan edge keduanya sehingga mempertahankan ketetanggaan keduanya (Deo, 1989). Automorfisma dari G adalah permutasi dari V(G) yang merupakan suatu isomorfis dari G ke G (Hsu & Lin, 2009).
13. Graf Simetrik
Suatu graf G dikatakan simetrik, jika diberikan dua pasangan vertex yang adjacent u1—v1 dan u2—v2 dari G, terdapat suatu automorfisma
f : V(G) → V(G)
sehingga
f(u1) = u2 and f(v1) = v2 (Biggs, 1993).
14. Graf Hamiltonian
Hamiltonian circuit (sirkuit Hamiltonian) dalam graf terhubung didefinisikan
8
[image:15.595.249.378.143.260.2]graf yang semua titik-titiknya dapat dilalui masing-masing sekali dan mempunyai lintasan tertutup, artinya titik awal sama dengan titik akhir (Wibisono, 2008).
Gambar 2. Contoh graf hamiltonian
15. 1-Fault-Tolerant Hamiltonian Graph
Suatu graf G = (V,E) adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian jika G \{e}adalah Hamiltonian untuk setiap e E, dan suatu graf G = (V,E) adalah 1-vertex fault-
tolerant Hamiltonian jika G \{v} adalah Hamiltonian untuk setiap v V. Suatu graf G = (V,E) adalah 1-fault-tolerant Hamiltonian jika G\{f} adalah Hamiltonian untuk setiap f E V (Teng.,et al,2005). Dengan kata lain, suatu graf G = (V,E) adalah 1-fault-tolerant Hamiltonian jika graf tersebut 1-edge
fault-tolerant Hamiltonian dan 1-vertex fault-tolerant Hamiltonian (Kao & Hsu, 2005).
16. Honeycomb Rectangular Mesh (HReM(m,n))
Honeycomb Rectangular Mesh adalah variasi dari Honeycomb Mesh. Honeycomb
9
[image:16.595.217.408.141.365.2]yang berbentuk belah ketupat beraturan dan Honeycomb Rectangular Mesh (HReM) yang berbentuk segi empat beraturan (Stojmenovic, 1997).
Gambar 3. Honeycomb Hexagon Mesh
[image:16.595.216.406.458.680.2]10
Gambar 5. Honeycomb Rectangular Mesh HReM(8,6)
11
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dimulai pada semester ganjil tahun ajaran 2011-2012 bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2Langkah-Langkah Penelitian
Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini antara lain sebagai berikut :
1. Mengumpulkan pustaka (buku-buku) yang terkait dengan penelitian ini. 2. Mencari dan mempelajari jurnal terkait graf yang dibahas dalam penelitian ini. 3. Mempelajari definisi-definisi, teorema-teorema dan sifat-sifat terkait graf yang
digunakan dalam penelitian ini.
4. Memberikan beberapa contoh dari graf Honeycomb Rectangular Disk.
12
Berikut in adalah diagram alir yang menjelaskan tentang tahap-tahap penelitian ini.
Studi Literatur
Mempelajari & menelaah definisi,corollary terkait penelitian Mempelajari jurnal tentang Honeycomb Rectangular Disk
Memberikan contoh graf Honeycomb Rectangular Disk
Menguraikan bukti dari lemma dan corollary Mulai
Menjelaskan sifat graf Honeycomb Rectangular Disk
Kesimpulan
PERSEMBAHAN
Segala yang telah kucapai dan kuperoleh selama ini tidak terlepas dari rahmat dan hidayah Allah SWT melalui kinerja, usaha, perjuangan dan doa serta dukungan kedua orangtuaku tercinta yang telah berjuang demi anak-anaknya, kakak dan adikku tersayang, Hefi Yani Arti dan Erdo Aditya yang telah menjadi motivator untukku
dalam menyelesaikan skripsi ini, serta rekan-rekan seperjuangan di Jurusan Matematika atas segala saran dan rasa kekeluargaan yang diberikan
selama ini, dan juga untuk almamaterku tercinta.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Ujan Mas Lama, Muara Enim pada tanggal 2 September 1990, anak kedua dari tiga bersaudara, dari pasangan Bapak Erhusin dan Ibu Asliana.
Pendidikan Sekolah Dasar di SD Negeri 5 Sawah Lama Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2002, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Negeri 5 Bandar Lampung pada tahun 2005, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 3 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2008.
ii
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi Muhammad SAW.
Skripsi dengan judul “1-Fault Tolerant Hamiltonian pada Graf Honeycomb
Rectangular Disk” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains
matematika di Universitas Lampung
Dalam proses penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu dalam memberikan bimbingan, dukungan serta saran demi terwujudnya skripsi ini. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A.,Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu diantara kesibukannya untuk membimbing serta
mengarahkan, sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
2. Bapak Ahmad Faisol, M.Sc., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc.Ph.D., selaku penguji bukan pembimbing dan juga selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
iii
4. Bapak Dr. Muslim Ansori, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik yang telah membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Lampung.
5. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Kedua orangtua dan kedua saudara kandungku tercinta atas doa, nasihat, dukungan dan semangatnya selama ini.
9. Ayuk Ninok dan Ayuk Nera, sepupuku yang selalu memberikan semangatnya. 10. Isna, Selvi, Anike, Ivip, Bundo, Mami, Wiwid, Wiwik, Achi, Ida, Mia, Ma’ruf, Mila, Tiyas dan para sks lainnya atas dukungan,bantuan dan saran yang telah diberikan.
11. Teman-teman Jurusan Matematika khususnya angkatan 2008 atas bantuan dan rasa kekeluargaan yang telah diberikan selama ini.
12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, Mei 2012 Penulis
