I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Matematika merupakan salah satu ilmu yang sangat penting peranannya dalam kehidupan saat ini. Berbagai permasalahan seperti penentuan lintasan terpendek dalam menempuh suatu perjalanan, optimalisasi jadwal keberangkatan kereta, struktur organisasi, rangkaian listrik dapat diselesaikan dengan matematika, yaitu dengan teori graf. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang merepresentasikan suatu objek berupa vertex(titik) dan edge(garis) dimanaedgemerupakan objek yang menghubungkan keduavertex.
Graf merupakan pasangan himpunan antara vertex (titik) dan edge (garis) atau biasa disimbolkan dalam G(V,E). Teori graf dikenal pada tahun 1736, di kota Konigsberg ketika seorang ilmuan matematika yang bernama Leonhard Euler (1707–1783) menyelesaikan permasalahan yang dihadapi yaitu dapatkah seseorang melakukan perjalanan dari suatu tempat dan berakhir di tempat yang sama dengan menyeberangi tujuh jembatan dengan hanya satu kali melewati jembatan tersebut yang berada di kota Konigsberg? Dalam permasalahan ini, Leonhard Euler menyelesaikan persoalan ini dengan membuktikannya melalui teori graf bahwa seseorang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan tersebut masing – masing satu kali dan kembali ke tempat asal keberangkatan jika derajat setiap vertextidak seluruhnya genap. Derajat adalah jumlahedgeyang menempel padavertex.
setiap vertex hanya dapat dilewati satu kali (kecuali vertex awal dan vertex akhir) dan derajat setiap vertex adalah dua. Pada penelitian ini akan didiskusikan tentang operator 3-join dan (3,4)-joindalam 1-fault tolerant Hamiltonian Graph yang merupakan salah satu bagian dari graf Hamiltonian.Seperti yang telah diketahui, Hamiltonian Graphmerupakan salah satu jenis graf dimana graf tersebut merupakan graf sirkuit yang berderajat genap dan setiap vertex pada Hamiltonian Graph hanya dapat dilewati satu kali (kecuali vertex awal sekaligus vertex akhir). Sedangkan 1-fault tolerant Hamiltonian graph adalah graf Hamiltonian yang jika salah satu fault (kelebihan pada vertex atauedge) dihapus pada graf tersebut (G–{f}) maka graf tersebut merupakan Hamiltonian, dengan fmerupakan anggota dariedgeatauvertex (f∈ ∪ ).
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini, agar pembahasan tidak meluas maka masalah dibatasi hanya membahas tentang operator 3-joinpada 1-fault tolerant Hamiltonian Graphpada dua graf kubik yaitu di G1 dengan i vertex dan di G2 dengan j vertex (i dan j adalah banyaknya vertex pada
masing –masing graf,i, j∈4, 6 dan 8), grafHypohamiltonian (P(5,2)), dan operator (3,4)-join dengan 4 vertex di G1 yang semua vertexnya berderajat tiga dan 5 vertex di G2 yang
salah satuvertexberderajat empat, dan 4vertexyang lain berderajat tiga.
1.3 Tujuan Penelitian
1.4 Manfaat Penelitian
I. LANDASAN TEORI
Seperti yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, teori graf merupakan salah satu ilmu matematika yang mempresentasikan suatu objek berupa vertex (titik) dan edge (garis), edge merupakan objek yang menghubungkan keduavertex. Ada beberapa istilah, definisi dan contoh –
contoh yang berkaitan dengan penelitian ini dan akan dipaparkan sebagai berikut.
2.1. Teori Graf
Teori graf berawal dari seorang ilmuan dari Inggris yaitu Leonhard Euler yang meneliti tentang suatu perjalanan seseorang untuk dapat melewati 7 jembatan yang ada di Kota Konigsberg tepat satu kali. Dengan teori graf, Euler dapat membuktikan bahwa seseorang tidak mungkin melewati tujuh jembatan itu masing – masing satu kali dan kembali ke tempat asal keberangkatannya. Pada permasalahan ini, 7 jembatan yang ada di Kota Konigsberg diwakili oleh vertex (titik) pada suatu graf dan kota yang dihubungkan oleh jembatan itu diwakili sebagaiedge(lintasan) pada graf.
Definisi mengenai graf, selengkapnya akan dipaparkan pada Definisi 2.1. berikut.
Definisi 2.1. Graf (VertexdanEdge) (Deo, 1989)
GrafG = (V,E) terdiri dari V ={v1,v2 , …} yang disebut vertex (titik) yang tidak kosong,
dan objekE ={e1,e2 , …} yang unsur – unsurnya disebut edge(garis) yang boleh kosong,
sehingga setiap edge eij diidentifikasi dengan pasangan (vi,vj) dari vertex. Vertex vi,vj
graf adalah dengan cara diagram, dimana vertex direpresentasikan sebagai titik dan setiap edgesebagai garis yang menghubungkanvertex.
Gambar 1 merupakan salah satu contoh graf yang terdiri dari 5 vertexyaitu v1,v2,v3,v4,v5
dan tujuh edge yaitu e1, e2, e3, e4. e5, e6, e7. Vertex v1 merupakan vertex yang adjacent
terhadapvertex v2danedge e3dikatakan incidencepada vertex v1danv2. Definisi adjacent
danincidenceadalah sebagai berikut.
Definisi 2.2. AdjacentdanIncidence(Lipschutz and Lipson, 2002)
Jika e = {u,v} adalah suatu edge (garis) yang menghubungkan vertex (titik) u dan v pada graf G, maka vertex u dikatakan adjacent terhadap vertex v dan garis eu,v dikatakan incidencepadaudanv. Berikut adalah contoh dariadjacentdanincidence.
Selain definisi dari adjacent dan incidence ini, selanjutnya akan dipaparkan definisi mengenai derajat dari suatu graf.
Definisi 2.3. Derajat (Degree) (Lipschutz and Lipson, 2002)
Derajat suatu vertex pada graf G adalah jumlah edge yang terhubung (incidence) pada v. Dengan kata lain, jumlahedgeyang memuatvsebagai titik ujung.Vertexyang memuatloop
Gambar 1. Graf dengan limavertexdan tujuhedge
memiliki derajat 2 karena kedua titik ujung garis berada disatu titik. Derajat suatu vertex pada graf ditulis deg (v). Berikut adalah contoh derajat dari suatu graf. Contoh degree dari suatu graf diperlihatkan pada Gambar 3.
Gambar 3 adalah gambar suatu graf dengan vertex v1 berderajat 2, v2 berderajat 4 (graf
dengan edgeloopingditentukan memiliki derajat 2), danvertex v3danv4berderajat 3.
Kemudian, berikut diberikan definisi dariwalk yang digunakan untuk mempermudah dalam memahami sirkuitHamiltonianpada graf.
Definisi 2.4. Walk(Deo, 1989)
Walk adalah barisan berhingga dari vertex dan edge, dimulai dan diakhiri dengan vertex, sedemikian sehingga setiap edge yang menempel dengan vertex sebelum dan sesudahnya. Tidak ada edgeyang muncul lebih dari sekali dalam satu walk. Sedangkanvertex mungkin muncul lebih dari satu kali. Contohwalkdapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 4. ContohWalk
Gambar 4 merupakan gambar graf dengan 5 vertex dan 8 edge. Salah satu walk pada graf tersebut ditunjukkan pada garis tebal, yaitu v1a v2b v3d v4h v5f v2.
Selain dariwalk, diperlukan pula definisi mengenai graf terhubung dan graf teratur. Berikut adalah definisi dari graf terhubung.
Definisi 2.5. Graf Terhubung (Connected Graphs) (Munir, 2010)
Graf tak berarahGdisebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasangvertex u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v (yang juga harus berarti ada lintasan dariukev). Jika tidak, makaGdikatakan tidak terhubung. Sedangkan definisi graf teratur, dipaparkan sebagai berikut.
Definisi 2.6. Graf Teratur (Regular Graphs) (Munir, 2010)
Graf yang setiapvertexnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur atau regular. Apabila derajat setiapvertexadalahr, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Contoh graf teratur berderajat 0, 1 dan 2 pada gambar berikut.
.
Selain itu, untuk memperlihatkan suatu graf dikatakan Hamiltonian, maka diperlukan definisi dari sirkuit dan lintasan Hamiltonian. Berikut adalah definisi dari lintasan dan sirkuitHamiltonian.
Definisi 2.7. Lintasan dan Sirkuit Hamilton (Hamiltonian PathsdanHamiltonian Circuits/Cycle) (Deo, 1989)
Sirkuit Hamiltonian (Hamiltonian circuits/cycle) dalam graf terhubung didefinisikan pada walk tertutup dengan garis lintas setiap vertex dari G tepat satu kali, kecuali vertex awal. Lintasan Hamiltonian (Hamiltonian paths) dalam graf G melintasi setiap vertex dari G. Lintasan Hamiltonian adalah subgraf dari sirkuit Hamiltonian. Contoh sirkuit Hamiltonian dan lintasan Hamiltonian terlihat pada gambar berikut.
Gambar 6(a) merupakan contoh dari Hamiltonian circuits, garis tebal merupakan lintasan yang berbentuk sirkuit yaitu 1, 2, 4, 3, 1, sedangkan Gambar 6(b) merupakan contoh dari Hamiltonian paths, garis tebal menunjukkan lintasan Hamiltonian yaitu 3, 1, 2, 4.
Kemudian, diperlukan pula definisi mengenaineighboursdari suatu vertexyang diperlukan untuk menentukan setiap pasangan terurut padaneighbors.
Definisi 2.8. Neighbours(Harju, 2011)
(a) (b)
Dalam teori graf, suatuvertex u danv adalah neighbours, jika u,v ∈ G, dan vertex udan v dihubungkan olehedgeyang sama.
Selanjutnya, untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan mengenai banyaknya kemungkinan graf yang terbentuk dari suatu operator 3-join, diperlukan definisi mengenai permutasi dari suatu objek. Objek yang dimaksud disini adalah pasangan terurut dari neighbourssuatuvertexutama. Berikut adalah definisi permutasi yang akan digunakan pada perhitungan banyaknya kemungkinan graf yang dapat dibentuk di hasil penelitian.
Definisi 2.9. Permutasi (Munir, 2010)
Permutasi adalah banyaknya urutan berbeda dari pengaturan objek – objek. Definisi ini diperlukan untuk menentukan banyaknya kemungkinan graf yang dapat dibentuk pada operator 3-join. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah ( 1)( 2) (2)(1) = !.
Kemudian berikut ini definisi mengenai graf kubik yang akan digunakan pada operator 3-joinpada dua graf kubik yaitu sebagai berikut.
Definisi 2.10. Graf Kubik (Cubic Graphs) (Brinkmann.,et al, 2011)
Graf kubik adalah suatu graf teratur dimana setiapvertexnya memiliki derajat 3 atau sering disebut graf teratur derajat 3 (3regular graph).
Contoh graf kubik ditunjukkan pada gambar berikut.
Definisi selanjutnya yaitu mengenai 1-fault tolerant Hamiltonian Graphs yang akan dipaparkan pada sub bab berikut.
2.2. 1-Fault Tolerant Hamiltonian Graphs
1-Fault Tolerant Hamiltonian Graphs merupakan bentuk khusus dari Hamiltonian Graphs. Jika Hamiltonian Graphs merupakan graf yang mengandung Hamiltonian Cycle dan berderajat dua, maka 1-Fault Tolerant Hamiltonian Graphs adalah Hamiltonian Graphs jika salah satuedgepada setiapvertexdihapus satu.
Definisi mengenai 1-fault tolerant Hamiltonian graphs, selengkapnya dipaparkan pada definisi berikut.
Definisi 2.11.1-Fault Tolerant Hamiltonian Graphs (Teng.,et al, 2005)
Suatu graf G=(V,E) adalah 1-Edge Fault Tolerant Hamiltonian jika G–{e} adalah
Hamiltonian untuk setiape ∈ Edan suatu graf G = (V,E) adalah 1-Vertex Fault Tolerant Hamiltonian jika G–{v} adalah Hamiltonian untuk setiap v ∈ V. Setiap graf 1-Edge Fault
III. METODE PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2011 – 2012 bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2. Metode Penelitian
Dalam penelitian ini, hal yang dilakukan pertama kali adalah menjelaskan definisi yang berkaitan dengan penelitian, yaitu definisi dari operator 3-join dan operator (3,4)-join sebagai berikut.
Definisi 3.2.1. Operator3-Join(Hsu dan Lin, 1999)
MisalG1danG2adalah 2 graf kubik. Diasumsikan bahwa ✁ ✁ ✂ . Misalkanx adalah vertex berderajat 3 pada G1 dan y adalah vertex berderajat 3 pada G2. Selebihnya,
diasumsikan bahwa N(x) = {x1,x2,x3} dan N(y) = {y1,y2,y3}, N(x) merupakan semua
neighbors darix dan N(y) merupakan semua neighbors dariy. Operator 3-join dariG1 dan
G2padaxdanymenghasilkan grafKyang disajikan sebagai berikut.
✁ ✂ ✁ { }✁∪ ✁ { }✁
✁ ✂ ✁ { , )|1 3}) ( ( ) {( , )|1 3})
{( , )|1 3}
Berikut ini diberikan definisi operator (3,4)-join.
Definisi 3.2.2. Operator (3,4)-Join(Wang.,et al, 2000)
Misalkanxmerupakan satuvertexberderajat 3 diG1danymerupakan satuvertexberderajat
4 diG2.N(x) = {x1,x2,x3} danN(y) = {y1,y2,y3,y4}. (3,4)-joindariG1danG2menghasilkan graf
Kyang disajikan sebagai berikut.
( ) = ( ( ) { }) ( ( ) { })
(b) GrafGKdihubungkan dengan operator 3-join
Gambar 8. Contoh operator 3-join GK
( ) = ( ( ) {( , )|1 3}) ( ( ) {( , )|1 4}) {( , )|1 3} {( , )}
Contoh.
Dengan menghapus vertex yang berderajat 4, maka dapat dilihat sirkuit Hamiltonian dari GK. Dari definisi tersebut, langkah selanjutnya yaitu memberikan nama yang berbeda dari setiap vertexnya sekaligus edge pada masing – masing graf untuk mempermudah dalam menentukan vertex utama sekaligus neighbours dari vertex utamanya. Kemudian dengan menghapus vertex utamanya, akan ditentukan operator 3-join untuk dua graf kubik dan operator (3,4)-join untuk dua graf yang berbeda yaitu graf G1 dengan 4 vertex dan semua
vertex berderajat 3, sedangkan graf G2 dengan 5 vertex dan salah satu vertex berderajat 4
danvertexlainnya berderajat 3.
Gambar 9. Contoh operator (3,4)-join
Dari operator 3-joinyang dibentuk, dapat pula diperlihatkan perbedaan dari setiap masing –
masing graf yang dibentuk dengan mengurutkan pasangan pada neighboursnya, sehingga diperoleh banyaknya kemungkinan – kemungkinan yang diperoleh. Begitu juga pada operator (3,4)-join, dapat dilakukan hal yang sama, namun sedikit berbeda karena untuk operator (3,4)-joinhanya menghapusvertexutama yang berderajat 4 pada grafG2.
Setelah menentukan operator 3-join dan operator (3,4)-join, langkah selanjutnya adalah menunjukkan sirkuit Hamiltonian (Hamiltonian circuits/cycle) dan lintasan Hamiltoniannya untuk membuktikan apakah graf tersebut merupakan graf Hamiltonian atau bukan.
Berikut diberikan skema penelitian dari langkah–langkah penelitian sebagai berikut:
Mulai Studi literatur
Menjelaskan definisi operator
3-joindan contoh graf kubik
Mengkonstruksikan dua graf kubik Mengkonstruksikan dua graf terhubung dengan 4
vertexdiG1dan 5vertexdiG2
Memberikan nama yang berbeda padavertex
Menentukanvertexutama pada masing-masing graf sertaneighborspada graf
tersebut dengan 4vertexdan 5vertex
Memberikan nama yang berbeda padavertex
Menentukanvertexutama pada masing-masing graf sertaneighborspada graf
tersebut
Menghapusvertexutama serta menghubungkan kedua graf
Gambar 10. Skema penelitian sebagai langkah–langkah penelitian Menunjukkan pasangan berurutan pada
neighbors
Menunjukkan adanya perbedaan pada graf yang dihasilkan dengan operator 3-join
Selesai Kesimpulan Menunjukkan salah satu contohHamiltonian
CircuitsdanHamiltonian Paths
Menunjukkan pasangan berurutan pada
neighbors
Menunjukkan adanya perbedaan pada graf yang dihasilkan dari operator (3,4)-join
IV. KESIMPULAN
5.1. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Jika diberikan dua graf 1-fault tolerant Hamiltonian graphs maka graf yang terbentuk dari operator 3-join terhadap dua graf tersebut merupakan 1-fault tolerant Hamiltonian graph.
3. Graf yang terbentuk dengan melakukan implementasi operator 3-join pada graf hypohamiltonianbukan merupakan 1-fault tolerant Hamiltonian graph.
4. Graf yang terbentuk dengan melakukan implementasi operator (3,4)-joinpada dua graf dimana untuk tiap graf derajat tiap vertexnya adalah tiga kecuali satu vertex berderajat empat merupakan 1-fault tolerant Hamiltonian graphs jika mengandung sirkuit Hamiltonian setelahvertexberderajat empat dihapus.
OPERATOR3-JOINDAN (3,4)-JOIN
PADA1-FAULT TOLERANT HAMILTONIAN GRAPHS
(Skripsi)
Oleh Mila Fitriana
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
OPERATOR 3-JOINDAN (3,4)-JOIN
PADA 1-FAULT TOLERANT HAMILTONIAN GRAPHS
Oleh
MILA FITRIANA
Graf 1-fault tolerant Hamiltonian adalah graf yang memberikan toleransi untuk tidak melewati satu vertex atau satu edge pada setiap vertexnya sehingga graf tersebut Hamiltonian. Sedangkan operator 3-join dan (3,4)-join adalah operator yang digunakan pada 1-fault tolerant Hamiltonian Graphs. Pada penelitian ini akan dibahas mengenai operator 3-join pada dua graf kubik yaitu diG1 dengan i
vertex dan di G2 dengan j vertex (i dan j adalah jumlah vertex pada masing–
masing graf, dan i, j ✧ 4, 6 dan 8), graf Hypohamiltonian (P(5,2)), dan operator (3,4)-joindengan 4vertexdiG1yang semuavertexnya berderajat tiga dan 5 vertex
di G2 yang salah satu vertex berderajat empat, dan 4 vertex yang lain berderajat
tiga. Berdasarkan hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa operator 3-join dari dua graf 1-fault tolerant Hamiltonian adalah graf 1-fault tolerant Hamiltonian. Banyaknya kemungkinan graf yang dapat dibentuk dari operator 3-joinuntuk beberapa graf kubik yang telah diobservasi secara berurutan yaitu 96 graf, 144 graf, 192 graf, 216 graf, 288 graf, 384 graf. Grafhypohamiltonianbukan merupakan 1-fault tolerant Hamiltonian graphs. Graf pada operator (3,4)-join merupakan 1-fault tolerant Hamiltonian graphs jika mengandung sirkuit Hamiltonian setelah vertex berderajat 4 dihapus. Graf pada operator (3,4)-join bukan 1-fault tolerant Hamiltonian graphs jika tidak mengandung sirkuit Hamiltonian setelahvertexberderajat 4 dihapus.
OPERATOR3-JOINDAN (3,4)-JOIN
PADA1-FAULT TOLERANT HAMILTONIAN GRAPHS
Oleh
MILA FITRIANA 0817031006
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
Judul Skripsi : OPERATOR 3-JOINDAN (3,4)-JOIN PADA 1-FAULT TOLERANT
HAMILTONIAN GRAPHS
Nama Mahasiswa : Mila Fitriana
Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031006
Program Studi : Matematika S1
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. Fitriani, S.Si., M.Sc.
NIP 19631108 198902 2 001 NIP 19840627 200604 2 001
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua :Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. ...
Skretaris :Fitriani, S.Si., M.Sc. ...
Penguji
Bukan Pembimbing :Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. ...
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1 001
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Desa Sukaraja, Kecamatan Gedongtataan, Pesawaran pada tanggal 10 Mei 1989, sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, dari Bapak Winarto dan Ibu Ayunah.
Pendidikan dasar diselesaikan di SDN 1 Sukaraja, Pesawaran pada tahun 2002. Pendidikan menengah pertama diselesaikan di SMPN 1 Gedongtataan, Pesawaran pada tahun 2005. Pendidikan menengah atas diselesaikan di SMAN 1 Gedongtataan, Pesawaran pada tahun 2008.
Motto
“Sebaik-Baik Manusia Adalah Orang
Yang Paling Bermanfaat Bagi Orang
Lain”
(HR. Thabrani dan Daruquthni)
“
Pendidikan bukanlah sesuatu yang
Ku persembahkan karya kecilku ini kepada
Bapak, Emak dan juga kedua saudaraku Kak
ix
SANWACANA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi umat manusia.
Skripsi dengan judul “Operator 3-Join dan (3,4)-Join pada 1-Fault Tolerant Hamiltonian Graphs” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
Dapat diselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan kerja sama berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku pembimbing utama atas kesediaan waktunya untuk memberikan bimbingan, ilmu, saran, arahan dan kritikannya. 2. Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing kedua atas kesediaan waktunya
untuk memberikan bimbingan, ilmu, saran, arahan dan kritikannya.
ix
4. Bpk Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku ketua jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Ir. Machudor Yusman M.Kom., selaku pembimbing akademik penulis. 6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen dan karyawan jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung. 8. Bapak dan Emak, Kak Wiwit dan Anton serta keluarga tercinta atasdo’a dan
dukungannya.
9. Teman-teman Pengurus UKMF Natural FMIPA 2010-2011,2011-2012 atas kebersamaan selama ini serta teman-teman Himatika 2010-2011.
10. Teman-teman satu bimbingan Ike, Oki, Ririn, Septi, Isna, Mira atas bantuan dan dukungannya.
11. Teman-teman Exotic 08 atas bantuan dan kebersamaan selama ini.
12. Teman-teman angkatan Diyah, Nuy, Jihan, Eflin, Tiyas, Lita, Lucky, Eko, Mami, Wo, Tika, Ma’ruf,Tante atas bantuan dan kebersamaan selama ini. 13. Adek tingkat matematika 2009,2010 dan 2011
14. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Hanya Allah SWT yang akan membalas semuanya. Akhir kata, penulis menyadari bahwa sekripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan semoga dapat bermanfaat.Amiin.
Bandar Lampung, Agustus 2012 Penulis
