ABSTRAK RING ARMENDARIZ
Oleh TRI HANDONO
Misalkan R ring komutatif dan R[x] ring polinomial. Suatu ring R dikatakan ring Armendariz
jika diberikan sebarang dua polinomial f(x) = ∑=0 � ,g(x) = ∑ =0 � ∈ R[x] dimana , ∈ R sedemikian sehingga jika f(x)g(x) = 0 maka = 0 untuk setiap i dan j. Akan
dikaji beberapa ring yang memenuhi sifat Armendariz. Jika R adalah daerah ideal utama yang
komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz. Selanjutnya, jika diketahui
R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz, maka struktur ring R R/A adalah Armendariz dengan operasi pergandaan (a,̅)(b, ̅) = (ab,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅). Ring + R R/A juga merupakan ring Armendariz jika R dan R/A merupakan ring reduced.
RING ARMENDARIZ
Oleh
Tri Handono
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir pada tanggal 25 April 1990 di Desa Sindang Sari, Kecamatan Tanjung Bintang,
Lampung Selatan. Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, dari Bapak
Slamet dan Ibu Paini.
Pendidikan dasar diselesaikan di SD Swasta Sejahtera III Desa Sindang Sari Tanjung Bintang
pada tahun 2002. Pendidikan menengah pertama diselesaikan di SMP Swasta Sejahtera III
Desa Sindang Sari Tanjung Bintang pada tahun 2005. Pendidikan menengah kejuruan teknik
pemesinan diselesaikan di SMK N 2 Bandar Lampung pada tahun 2008.
Penulis menjadi mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung pada tahun
2008 melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di Himpunan
Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota biro dana dan usaha pada
periode 2009-2010 dan sebagai staf ahli bendahara umum pada periode 2010-2011. Penulis
juga aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa Fakultas Natural sebagai kepala kaderisasi pada
periode 2011-2012. Sebagai salah satu mata kuliah wajib, pada tahun 2011 penulis
motto
perjuangan itu
akan sejajar dengan hasil
Aku melihat air menjadi rusak karena diam bertahan.
Jika mengalir menjadi jernih, jika tidak kan keruh
menggenang
Ku persembahkan karya kecilku ini kepada
Ibu Bapak dan Mas Ali serta keluarga
Judul : Ring Armendariz
Nama Mahasiswa : Tri Handono
Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031059
Jurusan : Matematika S1
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. Fitriani, S.Si., M.Sc.
NIP. 1980020620031 1 003 NIP. 19840627 200604 2 001
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
RING ARMENDARIZ
(Skripsi)
Oleh TRI HANDONO
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK RING ARMENDARIZ
Oleh TRI HANDONO
Misalkan R ring komutatif dan R[x] ring polinomial. Suatu ring R dikatakan ring Armendariz
jika diberikan sebarang dua polinomial f(x) = ∑=0 � ,g(x) = ∑ =0 � ∈ R[x] dimana , ∈ R sedemikian sehingga jika f(x)g(x) = 0 maka = 0 untuk setiap i dan j. Akan
dikaji beberapa ring yang memenuhi sifat Armendariz. Jika R adalah daerah ideal utama yang
komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz. Selanjutnya, jika diketahui
R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz, maka struktur ring R R/A adalah Armendariz dengan operasi pergandaan (a,̅)(b, ̅) = (ab,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅). Ring + R R/A juga merupakan ring Armendariz jika R dan R/A merupakan ring reduced.
RING ARMENDARIZ
Oleh
Tri Handono
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
Judul : Ring Armendariz
Nama Mahasiswa : Tri Handono
Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031059
Jurusan : Matematika S1
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. Fitriani, S.Si., M.Sc.
NIP. 1980020620031 1 003 NIP. 19840627 200604 2 001
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc. ...
Sekretaris : Fitriani, S.Si., M.Sc. ...
Penguji
Bukan Pembimbing : Amanto, S.Si., M.Si. ...
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1 001
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir pada tanggal 25 April 1990 di Desa Sindang Sari, Kecamatan
Tanjung Bintang, Lampung Selatan. Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari
tiga bersaudara, dari Bapak Slamet dan Ibu Paini.
Pendidikan dasar diselesaikan di SD Swasta Sejahtera III Desa Sindang Sari
Tanjung Bintang pada tahun 2002. Pendidikan menengah pertama diselesaikan di
SMP Swasta Sejahtera III Desa Sindang Sari Tanjung Bintang pada tahun 2005.
Pendidikan menengah kejuruan teknik pemesinan diselesaikan di SMK N 2
Bandar Lampung pada tahun 2008.
Penulis menjadi mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung
pada tahun 2008 melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswa, penulis
pernah aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) sebagai
anggota biro dana dan usaha pada periode 2009-2010 dan sebagai staf ahli
bendahara umum pada periode 2010-2011. Penulis juga aktif di Unit Kegiatan
Mahasiswa Fakultas Natural sebagai kepala kaderisasi pada periode 2011-2012.
Sebagai salah satu mata kuliah wajib, pada tahun 2011 penulis melaksanakan
motto
perjuangan itu
akan sejajar dengan hasil
Aku melihat air menjadi rusak karena diam
bertahan. Jika mengalir menjadi jernih, jika tidak
kan keruh menggenang
Ku persembahkan karya kecilku ini
kepada Ibu Bapak dan Mas Ali serta
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpakan rahmat dan hidayah Nya sehingga
dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Nabi
Allah, Nabi Muhammad SAW.
Skripsi dengan judul “Ring Armendariz” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.
Dapat diselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu,
pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada :
1.
Bapak Ahmad Faisol, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing utama atas kesediaan waktunyamemberikan bimbingan, ilmu, motivasi dan arahannya.
2.
Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing kedua atas kesediaan waktunyamemberikan bimbingan, ilmu, saran dan kritiknya.
3.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembahas atas ilmu, masukan, saran dan kritiknya.4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D., selaku ketua jurusan matematika FMIPA
Universitas Lampung.
5. Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembimbing akademik.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
8. Ibu, Bapak, mas Ali dan dek Riska serta keluarga tercinta atas perjuangan, do’a dan
dukungannya.
9. Sahabat-sahabat eksotic atas kebersamaan selama ini.
10. Teman-teman pengurus Himatika dan pengurus UKMF Natural atas dukungannya.
11. Teman angkatan Made dan Yudhi atas bantuan selama ini.
12. Adik tingkat jurusan matematika angkatan 2009, 2010, 2011 dan 2012.
13. Seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Hanya Allah SWT yang akan membalas semuanya. Penulis menyadari bahwa skripsi ini
masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, sangat diharapkan kritik dan saran yang
membangun dari berbagai pihak. Akhir kata, penulis mohon maaf atas kekurangan dan
semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Amin.
Bandar Lampung, Oktober 2012
Penulis
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu matematika murni adalah aljabar. Aljabar dapat
didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis, aljabar
dibagi menjadi dua periode waktu. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad 19
disebut aljabar klasik, sedangkan aljabar sesudah abad 19 disebut aljabar modern
atau aljabar abstrak. Aljabar klasik mempunyai karakteristik bahwa setiap simbol
yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Misalkan
bilangan bulat, bilangan real, atau bilangan kompleks. Selanjutnya, pada awal
abad 19 simbol-simbol tersebut dapat berupa apa saja sehingga disebut aljabar
modern atau aljabar abstrak. Jadi, perbedaan antara aljabar klasik dan aljabar
abstrak terletak pada pengertian simbol, yaitu pada aljabar klasik
simbol-simbol mempunyai pengertian suatu bilangan, sedangkan pada aljabar abstrak
simbol-simbol mempunyai pengertian bisa apa saja.
Struktur aljabar adalah himpunan atau beberapa himpunan yang dilengkapi
dengan suatu operasi atau beberapa operasi yang memenuhi aksioma-aksioma
tertentu. Salah satu contoh struktur aljabar adalah ring. Ring adalah struktur
aljabar dengan satu himpunan dan dua operasi yang memenuhi aksioma-aksioma
2
Ring polinomial dibentuk dari perluasan suatu ring. Ring polinomial merupakan
suatu himpunan yang berisi polinomial-polinomial yang dilengkapi dua operasi
biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Suatu ring R komutatif dikatakan Armendariz jika pergandaan dua polinomial dengan koefisiennya
merupakan elemen ring R menghasilkan nol, maka mengakibatkan koefisiennya nol. Ring yang mempunyai sifat Armendariz dikatakan ring Armendariz. Ide awal
mengenai ring Armendariz diperkenalkan oleh Rege dan Chawcharia pada tahun
1997 dan pemilihan nama ring Armendariz tersebut berdasarkan atas nama orang
yang menemukan yaitu Efraim P. Armendariz pada tahun 1973. Pada penelitian
ini, akan dikaji ring dan beberapa struktur ring yang yang mempunyai sifat
Armendariz.
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dari skripsi ini adalah mengkaji sifat-sifat ring Armendariz,
diantaranya :
a). Karakterisasi ring faktor R/A merupakan ring Armendariz. b). Syarat perlu ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz.
c). Karakterisasi ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz terkait dengan sifat ring reduced.
1.3 Manfaat Penelitian
Melalui penelitian ini diharapkan menambah pengetahuan tentang aljabar abstrak,
3
II. LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan
beberapa contoh.
Berikut ini akan diberikan notasi dan definisi operasi biner yang akan digunakan
pada teori ring.
Definisi 2.1 Operasi Biner
Diberikan himpunan S ≠∅. Suatu operasi biner ∗ pada himpunan S adalah suatu aturan yang mengawankan setiap pasangan berurutan (a,b) ∈ S x S dengan tepat
satu elemen S.
∗ : S x S → S
(a,b) ↦ (a ∗ b) ∈ S (Gilbert dan Nicholson, 2004). Contoh :
Penjumlahan biasa “+” dan perkalian biasa “•” pada himpunan bilangan real ℝ
adalah operasi biner.
Selanjutnya akan diberikan konsep ring dan sifat-sifat ring serta
4
Definisi 2.2 Ring
Diberikan R himpunan sebarang tak kosong, + dan • adalah sebarang dua operasi pada R. Himpunan < R,+, •> dikatakan ring jika memenuhi sifat :
1. Terhadap operasi penjumlahan +,
a) Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlaku a + b ∈ R.
b) Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c). c) Mempunyai elemen identitas, yaitu terdapat 0 ∈ R, sedemikian sehingga
untuk setiap a ∈ R berlaku 0 + a = a + 0 = a.
d) Elemen invers, yaitu untuk setiap a ∈ R, terdapat -a ∈ R sedemikian sehingga berlaku a + -a = -a + a = 0.
e) Komutatif, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlaku a + b = b + a.
Berdasarkan aksioma tersebut, maka < R,+ > merupakan grup abelian.
2. Terhadap operasi pergandaan •,
a) Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlaku a • b ∈ R.
b) Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a • b) • c = a • (b • c). 3. Pada operasi penjumlahan + dan pergandaan •,
5
(iii)Mempunyai elemen identitas, yaitu terdapat y ∈ S sedemikian sehingga untuk setiap a ∈ S berlaku y ∗ a = a ∗ y = a.
Bukti :
Misalkan y elemen identitas untuk ∗ dari S, maka :
8
Bukti :
(b ∗ c) • a = (b + c + bc) • a = b • a + c • a + (bc) • a = b • a + c • a + (b • a)(c • a) = (b • a) ∗ (c • a).
Dari aksioma di atas maka terbukti < S, ∗, • > ring. ∎
Berdasarkan Definisi 2.2 dapat diperoleh suatu ring yang mempunyai sifat sebagai
berikut.
Diberikan ring < R,+, •>. Jika terhadap operasi • pada R berlaku a • b = b • a untuk setiap a,b ∈ R, maka R disebut ring komutatif (Dummit dan Foote, 2004).
Contoh :
<Z, +, •> adalah ring komutatif. Contoh ring yang tidak komutatif adalah
< Mn (R), +, • > yaitu ring dengan operasi penjumlahan dan pergandaan matrik
yang elemennya berupa matrik berukuran nxn.
Berikut ini akan diberikan pengertian struktur ring R S yang memenuhi karakteristik tertentu terhadap operasi binernya.
Diberikan R dan S suatu ring. Himpunan R S = {(r,s)| ∈ dan ∈ } merupakan ring R S dengan operasi penjumlahan dan pergandaan (r,s) + (t,u) = (r + t,s + u) dan (r,s)(t,u) = (rt,ru+st) (Rege dan Chhawchharia, 1997).
Dari konsep subgrup pada grup, akan diperkenalkan ide subring pada ring. Berikut
9
Definisi 2.3 Subring
Diberikan suatu ring R dan himpunan S ⊂ R dengan S ≠ ∅. Himpunan S disebut subring R jika S merupakan ring terhadap operasi yang sama pada R (Herstein, 1996).
Contoh :
Himpunan <Z, +, • > merupakan ring dan 2Z ⊂ Z. Himpunan 2Z merupakan ring
terhadap operasi yang sama pada R. Oleh karena itu, 2Z adalah subring dari Z.
Akan disajikan suatu ring yang tidak mempunyai elemen pembagi nol. Berikut
definisi secara lengkap.
Definisi 2.4 Daerah Integral
Suatu ring komutatif R dikatakan daerah integral jika a • b = 0 di R maka a = 0 atau b = 0 (Herstein, 1996).
Contoh :
Himpunan < R,+,•> dan himpunan < Z,+, •> adalah contoh daerah integral.
Dari konsep subgrup normal pada grup, akan diperkenalkan ide ideal pada ring,
berikut definisi ideal secara lengkap.
Definisi 2.5 Ideal
Diberikan R ring dan I ⊆ R. I dikatakan ideal jika : a) I subring pada R ;
10
Catatan. Jika I ⊆ R hanya memenuhi a) dan b) maka I dikatakan ideal kiri pada R. Jika I ⊆ R hanya memenuhi a) dan c) maka I dikatakan ideal kanan pada R (Herstein, 1996).
Contoh :
Misalkan Z adalah ring dan 2Z = {2a | a ∈ Z } berisi kelipatan dari 2. Akan ditunjukkan 2Z adalah ideal pada Z.
i) 2Z subring dari Z.
Dari contoh pada Definisi 2.3 telah ditunjukkan 2Z adalah subring dari Z.
ii)r2Z ⊆ 2Z, untuk setiap r ∈ Z. Bukti :
Diberikan sebarang 2a ∈ 2Z dan sebarang r ∈ Z, maka berlaku r(2a) = (r2)a = (2r)a dan 2(ra) ∈ 2Z. Dari i) dan ii) terbukti bahwa 2Z adalah ideal pada Z. ∎
Terdapat suatu ideal yang dibangun oleh sebarang elemen pada ring dan elemen
tersebut disebut elemen pembangun. Berikut ini diberikan definisi pembangun
secara lengkap.
Definisi 2.6 Pembangun
Diketahui R ring komutatif dan A ideal pada R. Himpunan A = {pr | r ∈ R } suatu ideal yang dibangun suatu elemen p dan p disebut pembangun (generator)
11
Jika semua ideal pada daerah integral dapat dinyatakan sebagai himpunan yang
dibangun oleh suatu elemen maka daerah integral disebut daerah ideal utama.
Berikut ini diberikan definisinya.
Definisi 2.7 Daerah Ideal Utama
Suatu daerah integral dikatakan daerah ideal utama jika untuk setiap ideal I di R
berbentuk I = {� | � ∈ } untuk suatu ∈ I (Herstein, 1996).
Contoh :
Diberikan daerah integral Z. Terdapat I ⊂ Z . Karena I = { } ideal pada Z yang
dibangun oleh elemen 0 dan jika I ≠ { } ideal pada Z yang berisi semua kelipatan dari a juga dibangun oleh a yaitu = aZ, maka Z disebut daerah ideal utama.
Tentang pemahaman konsep grup faktor pada grup, akan diperkenalkan ide ring
faktor pada ring. Berikut ini definisi ring faktor secara lengkap.
Definisi 2.8 Ring Faktor
Jika N adalah ideal pada ring R. Himpunan R/N = {� + N | � ∈ R } merupakan ring faktor R/N dengan operasi penjumlahan dan pergandaan koset
(� + �) + (� + �) = (� + � + �) dan
(� + �)� + �) = (� � + �) (Herstein, 1996).
Contoh :
12
Definisi 2.9 Ring Polinomial
Diberikan ring R. Himpunan R[x] = ∑=0 � , ∈ yang beranggotakan semua polinomial (suku banyak) dengan koefisien anggota ring R dalam variabel
x yang merupakan ring polinomial dengan operasi penjumlahan dan pergandaan polinomial polinomial dengan operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.
13
Definisi 2.11 Ring Reduced
Suatu ring dikatakan ring reduced jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak
nol (Herstein, 1996).
Contoh :
Ring Z6 adalah ring reduced karena tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol.
Definisi 2.12 Ring Armendariz
Suatu ring R dikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial
f(x) = ∑=0 � , g(x) = ∑ =0 � ∈ R[x] dimana , ∈ R sedemikian sehingga f(x)g(x) = 0 maka = 0 untuk setiap i dan j.
Contoh :
Diketahui suatu ring <Z6,+,•>. Diberikan sebarang dua polinomial yang
koefisiennya merupakan elemen ring Z6.
Akan ditunjukkan ring Z6 adalah Armendariz.
Bukti :
Diketahui ring Z6. Diberikan sebarang
14
Akibatnya
0 0
̅̅̅̅̅̅ = ̅ (3.1)
0 + 0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ (3.2)
dan seterusnya.
Dari persamaan (3.1) didapat bahwa ̅̅̅̅̅̅ = 0 0 ̅. Karena Z6 merupakan ring reduced maka ̅̅̅̅̅̅ = ̅. Selanjutnya perhatikan persamaan (3.2). 0 0
0
̅̅̅̅̅̅ +̅̅̅̅̅̅ = 0 ̅
0 0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ +̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ 0 0 (dikali ̅̅̅) 0 ̅ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅ 0 0 (̅̅̅̅̅̅ = ̅) 0 0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅. 0 0
Karena (̅̅̅̅̅̅)0 2 = ̅̅̅̅̅̅0̅̅̅̅̅̅ = 0 ̅̅̅̅̅ = ̅, artinya ̅̅̅̅̅̅ adalah elemen nilpoten. 0
Karena Z6 ring reduced maka ̅̅̅̅̅̅ = 0 ̅. Selanjutnya subtitusikan ̅̅̅̅̅̅ = 0 ̅ ke persamaan (3.2) sehingga diperoleh ̅̅̅̅̅̅ = ̅. 0
Untuk persamaan selanjutnya, dengan langkah yang serupa sehingga didapat
V. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Dari pembahasan yang telah dikaji sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa jika
diketahui R daerah ideal utama dan A ideal di R maka ring faktor R/A merupakan ring Armendariz. Jika diketahui R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A Armendariz maka struktur ring R R/A dengan operasi penjumlahan dan pergandaan khusus merupakan ring Armendariz. Dapat juga
diperoleh sifat struktur ring R R/A merupakan ring Armendariz jika R merupakan ring reduced.
5.2 Saran
Skripsi ini membahas beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu
struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz. Penelitian ini dapat dilanjutkan
17
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu
struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz.
Teorema 4.1
Jika R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz.
Bukti :
Diketahui R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R. Misalkan
A = yaitu ideal A yang dibangun oleh unsur . Diberikan sebarang dua polinomial ̅(x) = ∑= ̅ , ̅(x) = ∑ = ̅ ∈ R/A[x] dimana ̅, ̅ untuk setiap
i dan j merupakan elemen ring faktor R/A ={̅ = a + A | a ∈ R}. Akan ditunjukkan ring faktor R/A merupakan ring Armendariz dengan kata lain
jika ̅(x) ̅(x) = 0̅ maka ̅̅̅̅̅̅0̅.
Diasumsikan ̅(x) ̅(x) = 0̅
⇔ (̅̅̅ + ̅̅̅ +̅̅̅ + ⋯ + ̅̅̅ )(̅̅̅ + ̅ +̅̅̅ + ⋯ + ̅̅̅̅ ) = 0̅
⇔ (̅̅̅̅̅̅) + (̅̅̅ ̅ +̅̅̅̅̅̅)x + ⋯ + (̅̅̅̅̅̅̅+̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ⋯ + ̅̅̅− ̅̅̅) + = 0̅
19 + � = 0 + A.
Karena , ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh + A = 0 + A dan + A = 0 + A. Selanjutnya subtitusikan + A = 0 + A ke persamaan (4.2) dan diperoleh + A = 0 + A. Sehingga terbukti + + A = 0 + A dengan kata lain ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = 0̅.
Dari persamaan (4.3) didapat bahwa ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + = 0̅. Dapat ditulis
+ + + A = 0 + A dimana + + ∈ R.
+ + + A = 0 + A
( + A)( + + + A) = 0 + A (dikali + A)
+ + + A = 0 + A
+ + + A = 0 + A (R komutatif)
+ + 0 + A = 0 + A ( + A = 0 + A)
+ 0 + 0 + A = 0 + A ( + A = 0 + A)
+ A = 0 + A.
Karena , ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh + A = 0 + A dan + A = 0 + A. Selanjutnya subtitusikan + A = 0 + A ke persamaan (4.3) sehingga diperoleh + + A = 0 + A. Karena R daerah ideal utama maka haruslah memenuhi sifat tertutup pada operasi penjumlahan, sehingga diperoleh
+ A = 0 + A dan + A = 0 + A. Dengan kata lain terbukti
20
Berdasarkan persamaan (4.1), (4.2), (4.3) dan dapat dilanjutkan dengan langkah
yang serupa sehingga didapat ̅̅̅̅̅̅= 0̅ untuk setiap i dan j. Oleh karena itu R/A merupakan ring Armendariz. ∎
Untuk selanjutnya akan diselidiki suatu struktur ring memenuhi sifat Armendariz
namun dibuktikan terlebih dahulu bahwa struktur ring memenuhi
aksioma-aksioma ring.
Lemma 4.2
Diberikan R ring dan didefinisikan dua operasi pada struktur ring R ⊕ R/A maka memenuhi aksioma-aksioma ring. Dua operasi biner didefinisikan sebagai
24
= ac+bc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + + = ac+bc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = (ac,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ) + (bc,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ = (a,̅) • (c,̅) + (b, ̅) • (c,̅). Dari aksioma diatas maka terbukti < R ⊕ R/A, +, • > ring. ∎
Berikut ini akan disajikan teorema suatu struktur ring yang memenuhi sifat
Armendariz.
Teorema 4.3
Diketahui R daerah integral. Jika A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz maka ring R ⊕ R/A adalah Armendariz.
Bukti :
Diketahui R adalah daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A merupakan Armendariz. Diberikan sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan
elemen ring R ⨁ R/A = {(a, ̅) | a ∈ R dan ̅∈ R/A }. Diberikan sebarang (x) = ∑= , ̅ , (x) = ∑ ( , ̅ )= ∈ (R ⨁ R/A)[x] , dimana
, ̅ , ( , ̅ ) ∈ R ⨁ R/A untuk setiap i dan j.
Akan ditunjukkan ring R ⨁ R/A adalah Armendariz dengan kata lain jika (x) (x) = (0,0̅) = 0 maka , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ) = 0.
Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut :
(x) = ( , ̅ ) dan (x) = ( , ̅̅̅ ).
26 setiap i dan j. Oleh karena itu ring R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz. ∎
Pada Teorema 4.3, bahwa jika R daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A
27
Pembahasan selanjutnya akan dikaji karakterisasi ring reduced pada suatu struktur
ring yang juga mempunyai sifat Armendariz.
Berikut ini akan disajikan terlebih dahulu beberapa lemma yang mendukung.
Lemma 4.4
Diketahui ring R reduced. Untuk setiap a,b ∈ R, ab = 0 jika dan hanya jika ba = 0.
bukti :
(⇒) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ab = 0. Akan ditunjukkan ba = 0. Andaikan ba ≠ 0, karena R ring reduced maka ba bukan elemen nilpoten yang artinya ≠ 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh = baba ≠ 0. Diketahui bahwa ab = 0 sehingga = baba = b0a = 0 yang berarti ba merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ba ≠ 0. Sehingga haruslah ba = 0.
(⇐) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ba = 0. Akan ditunjukkan ab = 0. Andaikan ab ≠ 0, karena R ring reduced maka ab bukan elemen nilpoten yang artinya ≠ 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh = abab ≠ 0. Diketahui bahwa ba = 0 sehingga = abab = a0b = 0 yang berarti ab merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ab ≠ 0. Sehingga, haruslah ab = 0. ∎
Lemma 4.5
28
Dari persamaan (4.6) didapat bahwa = 0. Karena R merupakan ring reduced, maka = 0. Selanjutnya perhatikan persamaan (4.7).
29
Pada Lemma 4.5, tidak berlaku sebaliknya. Dengan kata lain jika diketahui R ring
Armendariz maka belum tentu R ring reduced. Ring faktor Z/nZ merupakan contoh ring Armendariz tetapi bukan ring reduced.
Lemma 4.6
Jika R ring reduced maka R[x] ring reduced.
Bukti :
30 Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut :
31 +
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅
0̅ + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ( = 0)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ .
Karena (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)2 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅̅. 0̅ ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= 0̅) = 0̅,
artinya ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ adalah elemen nilpoten dan R/A[x] adalah ring reduced maka diperoleh ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. Selanjutnya subtitusikan ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅ ke persamaan(4.9)sehingga diperoleh ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0̅. Karena R Armendariz maka persamaan (4.8) dan (4.9) menghasilkan , ̅ ( , ̅ ) = ( ,̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + ) = 0. Oleh karena itu, terbukti bahwa R ⨁ R/A merupakan ring Armendariz. ∎
Berdasarkan Teorema 4.7, struktur ring R ⨁ R merupakan ring Armendariz jika diambil A = 0. Berikut ini diberikan akibatnya secara lengkap.
Akibat 4.8
