Solusi Persamaan Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan Transformasi Similaritas.

(1)

HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER NONLINIER KUINTIK

DENGAN KOEFISIEN BERGANTUNG VARIABEL

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Persamaan Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan Transformasi Similaritas adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

(4)

ABSTRAK

HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ. Solusi Persamaan Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan Transformasi Similaritas. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS.

Persamaan Schrodinger Nonlinier (NLS) merupakan salah satu persamaan yang paling banyak muncul dalam cabang-cabang fisika, diantaranya seperti Optik Nonlinier, Fisika Nuklir dan Bose-Einstein Kondensat (BECs). Maka dari itu, pengembangan persamaan ini akan sangat berguna untuk menambah pembendaharaan pengetahuan. Penelitian ini bertujuan untuk menemukan solusi persamaan NLS kuintik dengan menggunakan metode transformasi similaritas. Solusi yang didapat akan menambah pembendaharaan pengetahuan khususnya untuk menejemen soliton.

Kata kunci : Kuintik, menejemen soliton, NLS, transformasi similaritas

ABSTRACT

HABIB MUHAMMAD ZAPAR SIDIQ. Solution of Nonlinear Schroedinger (NLS) Quintic Equation with Coefficient Depend a Variable Building on The Similarity Transformation. Supervised by HUSIN ALATAS.

Nonlinear Schroedinger (NLS) equation is one of more equations what often appear in many branches of physics, like NL optics, nuclear physics, and Bose-Einstein condensates(BECs). So, development of this equation will more useful for increase knowledge properties. This research intent on find solution of NLS quintic equation by use of similarity transformation. The solution what we found will increase knowledge properties especially on soliton management.

(5)

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Fisika

SOLUSI PERSAMAAN SCHROEDINGER NONLINIER KUINTIK

DENGAN KOEFISIEN BERGANTUNG VARIABEL

BERDASARKAN TRANSFORMASI SIMILARITAS

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2015

(6)

(7)

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga skripsi penulis yang berjudul “Solusi Persamaan Schroedinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Berdasarkan Transformasi Similaritas” ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW. skripsi ini dibuat untuk memenuhi salah satu syarat mendapatkan gelar sarjana di departemen Fisika IPB.

Penulis selalu percaya bahwa dalam setiap kejadian apapun yang terjadi, maka pastilah selalu ada campur tangan-Nya, termasuk mengapa topik ini yang akhirnya menjadi topik penelitian penulis. Walapun sebenarnya bidang matematika bukanlah bidang yang sangat penulis kuasai, namun cukup kiranya rasa takjub terhadap matematika yang konon rumit tapi indah itu membuat penulis memberanikan diri untuk mulai menyelaminya lagi setelah beberapa kali benci dengan ilmu yang satu ini.

Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih kepada : 1. Dr. Husin Alatas sebagai guru, dosen dan pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan, motivasi, saran dan inspirasi yang luar biasa bagi penulis.

2. Kepala Departemen Fisika IPB Bapak Dr. Akhiruddin, seluruh dosen pengajar khususnya pak Drs. Indro, staf khususnya pak Yani dan karyawan di Departemen Fisika FMIPA IPB yang telah memberikan nuansa kekeluargaan selama penulis di Departemen Fisika IPB.

3. Kedua orang tua tercinta Abah dan Mamah atas semua yang telah diberikan pada penulis, terutama cinta yang begitu tulusnya, serta untuk ke-7 orang adik penulis, Muhajir, Faqih, Ali, Bagir, Yahya, Nayla dan Nazifah yang telah memberikan semangatnya setiap kali penulis butuhkan.

4. Keluarga besar Fisika IPB khususnya angkatan 48 yang setelah ini akan sangat penulis rindukan.

5. Keluarga besar Darul Falah dan Salamul Falah

6. Guru-guru penulis yang mudah-mudahan jasanya yang luar biasa kepada penulis dibalas oleh Allah SWT.

7. Sahabat-sahabat penulis yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu yang tentunya telah mewarnai sebagian hidup penulis, tanpanya penulis bukanlah siapa-siapa.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, maka kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan.

Bogor, Juli 2015

(9)

DAFTAR ISI

Tempat dan Waktu Penelitian 3

(10)

DAFTAR GAMBAR

1 Diagram alur transformasi similaritas 5

2 Grafik intensitas soliton untuk n=1 dan � = 9 3 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk

n=1 dan � = � 10

4 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk

n=-1 dan � = � 11

n=2 dan � = � 12

n=-2 dan � = � 13

n=3 dan � = � 14

n=-3 dan � = � 15

n=4 dan � = � 16

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Persamaan Schrodinger nonlinier (NLS) merupakan salah satu model persamaan yang sangat penting. Persamaan ini muncul dalam banyak cabang fisika seperti Optik Nonlinier, Fisika Nuklir dan Bose-Einstein Kondensat (BECs). Dalam Optik Nonlinier, persamaan NLS menggambarkan perambatan pulsa pada fiber optik. Pada BECs, NLS menggambarkan kondensasi fungsi gelombang.1 Namun sifatnya yang nonlinier menyebabkan solusi persamaan ini menjadi sulit untuk didapatkan, salah satunya kerena solusi persamaan NLS tersebut tidak prinsip superposisi linier. Ada hal menarik dari sifat solusinya, yaitu kestabilan yang sangat tinggi. Solusi inilah yang akhirnya dikenal sebagai solusi soliton.2

Transformasi similaritas merupakan salah satu metode yang baik dalam memecahkan solusi persamaan NLS, khususnya di bidang Optik Nonlinier. W.P. Zhong dkk.1 telah menggunakannya untuk memecahkan lebih dari satu persamaan NLS di bidang optik.

Di dalam penelitian ini, penulis meneliti tentang “Solusi Persamaan Schrodinger Nonlinier Kuintik dengan Koefisien Bergantung Variabel Menggunakan Transformasi Similaritas”, yang pada akhirnya dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai jenis aplikasi fisika dan menambah perbendaharaan pengetahuan di bidang NLS.

Perumusan Masalah

Berbekal latar belakang di atas, penelitian ini memiliki perumusan masalah: Bagaimana cara memodifikasi persamaan NLS kuintik yang koefisiennya bergantung variabel menggunakan transformasi similaritas? Hal apakah yang dapat disimpulkan dari solusi yang didapat?

Tujuan Penelitian

Menentukan solusi persamaan NLS kuintik yang koefisiennya bergantung variabel dengan menggunakan transformasi similaritas.

Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah mendapatkan solusi NLS kuintik yang dapat menjadi perbendaharaan pengetahuan untuk menejemen soliton atau dinamika lainnya yang identik dengan persamaan NLS kuintik.

Ruang Lingkup Penelitian

(12)

2

TINJAUAN PUSTAKA

Persamaan NLS

Ada beberapa bentuk persamaan NLS yang telah dirumuskan oleh para pendahulu. 3,4,5,6,7,8_{Salah satu persamaannya adalah persamaan NLS kuadratik yang}

ditunjukkan oleh Persamaan (1).1

��_��+ � �_�� + � �, � |�| � + �, � � = (1)

dengan � �, � ) merupakan fungsi gelombang optik, � merupakan dimensi koordinat sepanjang arah perambatan dan � merupakan variabel spasial melintang. Fungsi � �, � merupakan sebuah koefisien variabel nonlinier dan �, � merupakan potensial eksternal dari persamaan NLS.

Transformasi Similaritas

Transformasi similaritas merupakan metode matematis yang digunakan untuk mengubah suatu persamaan yang bergantung pada variabel bebas menjadi persamaan yang bergantung variabel tak bebas.1,5

Mengacu dari Daftar Pustaka 1, transformasi similaritas untuk memecahkan persamaan NLS kuadratik ditunjukkan oleh Persamaan (2).

� �, � = � �, � �� ,� _{[� �, � ]} ₍₂₎

dengan � �, � merupakan amplitudo soliton dan � �, � merupakan fase real dari soliton. � merupakan fungsi gelombang pada persamaan NLS standar yang ditunjukkan oleh Persamaan (3).

��_��+ � �_�� + | | = (3)

dengan mensubstitusikan Persamaan (2) ke Persamaan (1), maka variabel-variabel pada Persamaan (2) dan (3) akan didapatkan. Persamaan-persamaan yang didapatkan itu ditunjukkan oleh Persamaan (4) sampai (8).1

� �+ � �� = (4)

�� = −�_��

� (5)

� �� = (6)

(13)

3

�� = �� (8)

merupakan nilai eigen dari Persamaan (3). Kemudian untuk langkah analisis selanjutnya bisa dilihat di Daftar Pustaka 1.

Dalam penelitian ini penulis akan menggunakan cara yang hampir sama dengan penyelesaian persamaan kuadratik yang ada dalam Daftar Pustaka 1 dengan sedikit modifikasi matematis yang sekiranya diperlukan dalam penyelesaian NLS kuintik.

Solusi NLS Kuintik Standar

Salah satu bentuk persamaan dan solusi NLS kuintik standar ditunjukkan oleh Persamaan (9), (10), (11) dan (12).9

Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Mulai bulan Maret 2015 sampai bulan Agustus 2015.

Alat

Alat yang digunakan pada penelitian ini adalah literatur dan komputer yang dilengkapi software Maple 13 untuk simulasi hasil penurunan analitik.

Prosedur Penelitian Studi Pustaka

(14)

4

nonlinier, persamaan Schrodinger nonlinier dan transformasi similaritas. Studi pustaka ini dilakukan sepanjang penelitian berlangsung.

Substitusi Transformasi Similaritas

Prosedur ini dilakukan untuk mendapatkan hubungan antara variabel bebas dan variabel tak bebas. Tujuannya adalah untuk mendefinisikan variabel-variabel tak bebas yang ada di solusi similaritas terhadap variabel bebas.

Variabel bebas yang kita miliki adalah � �� yang merupakan ruang spasial. Pada penelitian ini untuk sementara tidak akan didefinisikan variabel bebas

� �� secara fisis. Pada penurunan persamaan ini kita secara murni akan menggunakan metode-metode matematis untuk mendapatkan solusi yang bersifat umum.

Variabel tak bebas yang terdapat dalam penelitian ini adalah � �, � yang merupakan bentuk solusi NLS kuintik, � �, � merupakan variabel yang menyebabkan persamaan ini berbentuk nonlinier (faktor nonlinearitas), �, � merupakan potensial eksternal pada NLS kuintik, [� �, � ] merupakan solusi NLS kuintik standar yang solusinya telah didapatkan oleh peneliti sebelumnya dan

� �, � , � �, � , � �, � merupakan variabel-variabel yang berhubungan dengan persamaan NLS kuintik standar.

Alur dari metode transformasi similaritas dapat dilihat pada Gambar 1. Persamaan transformasi similaritas disubstitusikan ke persamaan NLS. Hasil dari substitusi tersebut adalah persamaan-persamaan implisit dari variabel-variabel tak bebasnya. Dengan menurunkan persamaan-persamaan ini, maka akan didapatkan solusi dari NLS.

Analisis

(15)

5

Gambar 1 Diagram alur transformasi similaritas

HASIL DAN PEMBAHASAN

Substitusi Transformasi Similaritas

Bentuk dari transformasi similaritas yang akan digunakan dapat dilihat pada Persamaan (3), sedangkan persamaan NLS kuintik yang akan dicari solusinya dengan menggunakan transformasi similaritas diperlihatkan oleh Persamaan (13).

��_��+ � �_�� + � �, � |�| � + �, � � = (13)

Langkah pertama dari metode transformasi similaritas yaitu mensubstitusikan Persamaan (3) ke Persamaan (13).

(16)

6

�� = �� (14)

Pada Persamaan (7), merupakan nilai eigen dari persamaan NLS kuintik standar yang bentuknya seperti Persamaan (15).

��_��+ � �_�� + | | = (15)

Solusi dari Persamaan (15) telah ditemukan oleh para peneliti seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (9) sampai (12). Dengan membandingkan Persamaan (9) dengan Persamaan (15) maka kita akan mendapatkan solusi untuk Persamaan (15) seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (16).

� �, � , � = � −� � 4 �� −� �_{√sec� √ −} _{� − �} ₍₁₆₎

dengan dan merupakan parameter yang nilainya konstan.

Menentukan Variabel-Variabel � �, � , � �, � dan � �, �

Dari Persamaan (6) akan diketahui bahwa nilai dari � �_� adalah fungsi dari

� karena turunan terhadap variabel x-nya adalah nol. Dengan menetapkan fungsi tersebut sebagai � (z), maka Persamaan (6) akan menjadi Persamaan (17).

� =�_�

� (17)

Lalu substitusi Persamaan (5) dan (17) ke Persamaan (4) akan menghasilkan Persamaan (18) sampai (21).

Langkah selanjutnya adalah memecahkan Persamaan (21) untuk mendapatkan nilai dari � �, � dan � �, � .

Dengan mengintegralkan Persamaan (21), akan diperoleh Persamaan (22).

��

��=

��

(17)

7 Misalkan � �, � seperti Persamaan (23).

� �, � = ��_�� ₍₂₃₎

dengan � ∈ �. Maka dengan mensubstitusikan Persamaan (23) ke Persamaan (22) akan diperoleh Persamaan (24) dan (25).

= (24)

��= −�_�� (25)

Lalu jika Persamaan (25) di-integralkan, maka akan diperoleh Persamaan (26):

� = −��

�� + � (26)

dengan � merupakan konstanta real.

Selanjutnya adalah mencari nilai � �, � dengan cara mensubstitusikan Persamaan (23) ke Persamaan (17), maka akan diperoleh Persamaan (27).

� =_√�� −� � −� (27)

Sejauh ini telah diperoleh nilai � �, � , � �, � dan � �, � dan secara tidak langsung telah diperoleh pula solusi umum dari persamaan NLS kuintik. Dengan mensubstitusikan Persamaan (16), (26) dan (27) ke Persamaan (13), maka akan diperoleh solusi umum dari persamaan NLS kuintik yaitu seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (28).

Dengan mensubstitusi Persamaan (23), (26) dan (27) ke Persamaan (7) maka akan didapatkan nilai �, � seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (29).

(18)

8

Faktor Nonlinieritas g(z,x)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (23) dan (27) ke Persamaan (14) maka akan diperoleh faktor nonlinieritas yang harus dipenuhi oleh persamaan NLS kuintik ini seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (30).

� = � � �+ _� �− ₍₃₀₎

Analisis

Pada penelitian ini telah diperoleh solusi persamaan NLS kuintik yang ditunjukkan oleh Persamaan (28). Potensial dan faktor nonlinieritas yang harus dipenuhi ditunjukan oleh Persamaan (29) dan Persamaan (30). Dengan ketiga persamaan tersebut, dapat di-analisis berbagai dinamika yang mungkin terjadi.

Persamaan diferensial nonlinier berbeda dengan persamaan diferensial linier. Persamaan diferensial nonlinier memiliki solusi yang sangat banyak seperti yang kita lihat pada Persamaan (28), dengan memilih harga n � ∈ ℝ yang berbeda, akan diperoleh berbagai macam solusi yang berbeda.

Dalam bagian analisis ini akan diturunkan beberapa persamaan khusus dari Persamaan (28) untuk melihat beberapa fenomena nonlinier, khususnya tentang soliton, karena tak dapat dipungkiri pada penelitian-penelitian sebelumnya terlihat jelas bahwa persamaan NLS cenderung berhubungan erat dengan dinamika soliton.

1,2,3,5,9

Solusi persamaan NLS dipengaruhi oleh potensial dan faktor nonlinieritasnya. Adapun untuk kasus NLS kuintik pada penelitian ini, akan di-analisis beberapa solusi khusus berdasarkan indeks n-nya. Konstanta-konstanta yang terdapat pada solusi umum ditentukan sedemikian rupa sehingga =

, = , � = � �� = untuk mempermudah penurunan solusi khususnya. Adapun grafik dari beberapa solusi khusus tersebut dapat dilihat pada Gambar 2 sampai Gambar 10. Dari grafik-grafik tersebut akan di-analisis pengaruh dari potensial dan faktor nonlinieritas terhadap solusi.

Jika dibandingkan Gambar 3 sampai Gambar 10, akan terlihat bahwa hanya ada satu jenis potensial yaitu potensial kuadratik di sekitar z=0. Sedangkan pada Gambar 2 potensialnya adalah nol. Ada perbedaan yang menonjol antara solusi yang tidak dipengaruhi potensial (potensialnya nol) dengan solusi yang dipengaruhi potensial. Perbedaannya adalah solusi yang tidak dipengaruhi potensial merambat ke berbagai arah sedangkan solusi yang dipengaruhi potensial cenderung berada di sekitar potensial tersebut. Kita dapat menyatakan bahwa potensial ini seperti mengikat solusi untuk berada di sekitarnya.

(19)

9 tidak terlokalisasi. Maka, dapat disimpulkan bahwa faktor nonlinieritas berpengaruh pada terlokalisasi atau tidaknya solusi.

(20)

10

Gambar 3 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk n=1 dan � = �

(a)

(21)

11

Gambar 4 Grafik (a) intensitas soliton, (b) potensial, (c) faktor nonlinieritas untuk n=-1 dan � = �

(a)

Selain pengaruh potensial dan faktor nonlinieritas terhadap solusi, grafik-grafik pada Gambar 2 sampai Gambar 10 juga dapat memperlihatkan jenis soliton yang terdapat pada persamaan NLS kuintik. Untuk � = , soliton yang dihasilkan adalah jenis soliton yang identik dengan kasus soliton optik. Sedangkan untuk � >

, soliton yang dihasilkan identik sengan kasus Bose-Einstein Condensate (BECs).

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Pada penelitian ini telah didapatkan solusi umum untuk persamaan NLS kuintik dengan koefisien bergantung variabel menggunakan metode transformasi similaritas yaitu:

Potensial mengikat solusi untuk berada di sekitarnya, sedangkan faktor nonlinieritas melokalisasi solusi.

Untuk � = identik dengan soliton optik dan untuk � > identik dengan BECs.

Saran

(29)

19

DAFTAR PUSTAKA

1 Xia Y, Belić M, Zhong W,” Spatial Solitons in Nonlinear Schroedinger Equation with Variable Nonlinearity and Quadratic External Potential.” Acta Physica Polonica B. 8:1881-1890, 2011.

2 Prayitno T.B., “Karakteristik Soliton pada Persamaan Schroedinger Nonlinear.” Fisika UIN, Jakarta,2013.

3 Kholil M., “Solusi Persamaan Schroedinger Nonlinier untuk Mendeskripsikan Soliton dari Perambatan Pulsa Optik dalam Medium Dispersif Nonlinier.” Fisika UNM, Malang, 2004.

4 Alatas H., “Buku Pelengkap: Dinamika Nonlinier Edisi 1.” Fisika IPB, Bogor, 2013.

5 Rajaraman R., ”solitons and Instantons.” Elsevier Science Publisher B. V, Amsterdam, Netherland, 1989.

6 Iskandar A.A., “Catatan Kuliah: Pengantar Fisika Nonlinier.” Fisika ITB, Bandung, 2003.

7 Agrawal G.P., “Applications of Nonlinear Fiber Optics.” Elsevier Inc., California, USA, 2008.

8 Leble S. and Reichel B., “Coupled Nonlinear Schroedinger Equations in

Optics Fiber Theory.” Eur. Phys. J. Special Topics. 173:5-55, 2009. 9 Alatas H. And Hermanudin D.,”Semi-discrete DNA Breather in

(30)

20

LAMPIRAN Transformasi similaritas

Persamaan NLS kuintik dapat dilihat pada Persamaan (31).

��_��+ � �_�� + � �, � |�| � + �, � � = (31)

Transformasi similaritas dapat dilihat pada Persamaan (32).

� �, � = � �, � �� ,� _{[� �, � ]} ₍₃₂₎

Substitusi Persamaan (32) ke Persamaan (31) dengan syarat bagian imajiner dan bagian real masing-masing sama dengan nol.

1. Bagian ��

Maka akann diperoleh Persamaan (39) sampai (41).

(31)

21 serta memisahkan bagian imajiner dan bagian real-nya, maka Persamaan (31) akan menjadi seperti berikut.

i. Bagian Imajiner

�� + � �+ �� + �� + �� _��_� = (46)

Lalu pisahkan bagian U dan _�:

Dari bagian U akan diperoleh Persamaan (48).

��+ ��+ �� = (47)

� �+ � �� = (48)

Dari bagian _� akan diperoleh Persamaan (50).

� + ��_��_� = (49)

(32)

22

Persamaan NLS standar ditulis seperti Persamaan (52).

� �+ ��+ | | = (52)

Lalu, pisahkan bagian dari Persamaan (54) yang mengandung _�, dan .



Dari bagian _� akan diperoleh Persamaan (57)

�� _��_�+ � ��_��_� = (55)

��+ �� = (56)

� �� = (57)

Dari bagian U akan diperoleh Persamaan (59).

−��+ ��− ��− �� + � = (58)

= ��− �_��+ ��+ �� (59)

Dari bagian U5 akan diperoleh persamaan (61).

− ��+ �� = (60)

(33)

23

RIWAYAT HIDUP

Lahir di Cianjur tepat di kaki gunung Gede pada tanggal 19 Desember 1992 tidaklah menjadikan penulis_Habib Muhammad Zapar Sidiq_telah memiliki hobi naik gunung sejak kecil. Sekurang-kurangnya ada 6 tempat bersejarah yang pernah diukir oleh penulis yaitu SDN Jambudipa 3, DTA Darul Falah, SMPN 1 Warungkondang, SMAN 2 Cianjur, Pondok Pesantren Darul Falah dan Institut Pertanian Bogor.

Penulis adalah anak pertama dari delapan bersaudara dari pasangan Alwi Yahya dan Ela Nuraliyah.

Penulis pernah membuat kutipan tak penting saat akhir SMA “tancapkanlah mimpi setinggi langit lalu raihlah dengan cara tersulit”.