• Tidak ada hasil yang ditemukan

Persamaan Maxwell dan efek nonlinear - USD Repository

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2019

Membagikan "Persamaan Maxwell dan efek nonlinear - USD Repository"

Copied!
73
0
0

Teks penuh

(1)

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

Agatha Manggar Sari NIM : 033214005

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

(2)

SKRIPSI

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain the Sarjana Sains Degree In Physics

By:

Agatha Manggar Sari NIM : 033214005

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY

(3)
(4)
(5)

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Hidup itu se pe rti se b ua h se pe da .

Ka u tida k a ka n te rja tuh ke c ua li b ila b e rhe nti m e ng a yuh.

(Claude Pepper)

Se m a kin b a nya k pe ng e ta hua n ya ng kita pe ro le h,

b uka nnya se m a kin nya ta , te ta pi m e nja di se m a kin

m iste rius.

(Albert Schweitzer)

PERSEMBAHAN :

“Skripsi ini kupe rse m b ahkan untuk Bapak dan Ib u se rta

Mb Me rry , Uri dan Ria y ang se nantiasa m e m b e rikan do a,

se m ang at, dukung an, kasih say ang dan pe ng aruh y ang

b e sar dalam se tiap ke b e rhasilanku.”

(6)

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

ABSTRAK

Telah dilakukan penjabaran persamaan-persamaan Maxwell dan persamaan gerak elektron dalam medium yang dikenai potensial bergantung waktu dan posisi. Persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat linear. Jika ada medium, persamaan Maxwell akan menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat nonlinear.

(7)

MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS

ABSTRACT

Derivation of the Maxwell equations and the electron equation of motion in the medium subject to potential energy which depend on both time and position have been performed. The Maxwell equations in vacuum give the solution to the electromagnetic fields which are linear in properties. When there is a medium, the Maxwell equations will give a solution to the electromagnetic fields which are nonlinear in properties.

(8)

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan YME, karena atas segala

limpahan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Skripsi ini berjudul “PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR’’

yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu penulis baik dalam bentuk doa, waktu, tenaga, dukungan, bimbingan,

kritik serta saran yang sangat penulis butuhkan untuk dapat menyelesaikan skripsi

ini. Dengan segala penghormatan dan kerendahan hati, penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing

yang telah banyak meluangkan waktu dengan tulus untuk

membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat

kepada penulis dalam mengerjakan tugas akhir ini.

2. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku Kaprodi Jurusan Fisika

yang telah banyak membantu dalam segala keperluan perkuliahan

selama menjadi mahasiswa.

3. Bapak Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang

sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

4. Bapak A. Prasetyadi, S.Si. M.Si. dan Ibu Dwi Nugraheni R., S.Si.

M.Si. sebagai dosen pengajar yang selalu berikan teladan.

(9)

5. Pak Gito, Mas Ngadiyono, Pak Tukijo, Bu Linda yang selalu sabar

dalam memberi pelayanan kepada mahasiswa.

6. Bapak dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan biaya,

dukungan, dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

7. Mbak Merry, Uri, dan Ria saudara-saudaraku terkasih yang selalu

berdoa untuk keberhasilanku. Terima kasih atas segala canda tawa

yang membuatku tidak pernah merasa bosan selama menyelesaikan

skripsi.

8. Simbah putri, Bulek Jumi, Yessy yang selalu bersedia mendoakan

keberhasilanku.

9. Mbak Ayuk, Mbak Ratna , Mbak frida sebagai sahabat sekaligus

teman berjuang yang tak henti-hentinya selalu memberi semangat.

10.Mbak Yuni, Bambang, Mas Minto, Mas Milli, Mbak Kia, Mas

Danang, teman-teman seperjuangan dalam berjuang mengantri

bimbingan. Terimakasih atas teladan semangat kalian.

11.Mas Rafael, Enzo, Hari, Mamat, Adit, Basil, Yudha, Ridwan, Iman,

Tri, Mbak Inke, Adet, Githa, Imma, Lori, Ade, Sujad, Siska, Wati, dan

Zee. Terimakasih telah menjadi teman-teman fisika yang baik dan

setia.

12.Semua anak-anak fisika yang telah berjuang bersama-sama.

13.Essy, Yossy, Mumut yang telah lama menjadi sahabat penyemangat,

serta Sisil dan Mekar yang selalu beri semangat dan doa.

(10)

14.Iin dan Toto (ikom’03) serta Mas Sinar yang selalu membantuku

menjadi sumber informasi dalam mengatasi segala masalah

komputerku.

15.Dhani, Yenny, Emma, Arien, Stella, Adit, Bambang’far, dan Ius,

teman-teman KKN angk’33 yang selalu bersedia mendengarkan

keluhanku.

Penulis sangat menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak

terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan adanya kritik dan

saran yang membangun dari berbagai pihak.

Harapan penulis adalah semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi setiap

pembaca.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

(11)
(12)

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………..………

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……….…

HALAMAN PENGESAHAN ………..……..

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ………..……….……….

ABSTRAK ……….

ABSTRACT ……….…………..

KATA PENGANTAR ……….…………...

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……….

DAFTAR ISI ……….……….

BAB I. PENDAHULUAN.……….

1.1. Latar Belakang ……….……….

1.2. Perumusan Masalah ……….……….

1.3. Batasan Masalah ……….………..

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……….………

1.4.1. Tujuan Penelitian ……….………...……

1.4.2. Manfaat Penelitian ……….………….

1.5. Sistematika Penulisan ………....…………

BAB II. DASAR TEORI ………....…………

2.1. Perumusan Persamaan Maxwell ………

2.1.1. Hukum Gauss ……….……….

2.1.1.1. Hukum Gauss untuk Medan Listrik …...………

i

ii

iii

iv

v

vi

vii

x

xi

1

1

5

6

6

6

6

6

8

8

8

8

(13)

2.1.1.2. Hukum Gauss untuk Medan Magnet ………..…

2.1.2. Hukum Ampere ……….………...……...

2.1.3. Hukum Induksi Faraday ………

2.2. Persamaan Maxwell ………..……….

2.3. Teori Klasik Optik Nonlinear ………...….

2.3.1. Susceptibilitas Nonlinear ………...….……

2.3.2. Model Atom Klasik Nonlinear ……….……...

2.3.2.1. Gas Elektron Bebas ………...

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik ………...

2.4. Operator Del ∇r ………..

2.5. Persamaan Diferensial ………...

2.5.1. Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu ………..

2.5.2. Persamaan Diferensial Orde Dua ……….…...

2.5.2.1. Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan

Koefisien-Koefisien Konstan ……...…

2.5.2.2. Persamaan Diferensial Linear dengan

Koefisien-Koefisien Konstan ………

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ………..

3.1. Jenis Penelitian ……….…….

3.2. Sarana Penelitian ………...

3.3. Langkah-Langkah Penelitian ……….

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ………..

4.1. Hasil Penurunan Persamaan Maxwell ………...…………

11

13

17

20

20

21

22

22

24

28

30

30

30

31

32

33

33

33

33

35

35

(14)

4.1.1. Persamaan Gelombang ………...………

4.1.1.1. Gelombang Elektromagnet dalam Ruang

Hampa ...…..

4.1.1.2. Gelombang Elektomagnet dalam Medium ……

4.1.2. Persamaan Gerak ………

4.2. Pembahasan ………...

BAB V. PENUTUP ……….…………...

5.1. Kesimpulan ……….……...

5.2. Saran ……….……….

DAFTAR PUSTAKA ……….………

35

35

40

46

55

57

57

57

58

(15)
(16)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saat ini telah banyak ilmuwan menyadari bahwa fisika nonlinear juga

merupakan sesuatu yang fundamental jika ingin memahami alam semesta secara

utuh. Sebelumnya tidak ada yang menduga bahwa sifat-sifat nonlinear akan

menghasilkan beragam fenomena yang menarik dalam fisika. Ilmuwan terdahulu

lebih senang melakukan linearisasi permasalahan dengan cara mengabaikan efek

nonlinear ketika menganalisis suatu masalah.

Perkembangan ilmu fisika belakangan ini menunjukkan bahwa fisika

nonlinear memberikan banyak sumbangan terhadap kemajuan ilmu fisika dan

teknologi. Para fisikawan telah melakukan berbagai penelitian untuk

menunjukkan bahwa efek nonlinear ternyata dapat dikembangkan lebih jauh lagi

sebagai ilmu penunjang dalam menganalisis suatu sistem. Teori nonlinear telah

banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, misalnya di bidang optik. Perpaduan

teori nonlinear dan optik menghasilkan cabang ilmu fisika yang dikenal sebagai

optika nonlinear. Secara definitif, optik nonlinear adalah sebuah cabang optik

yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium

nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi Pr memberikan respon nonlinear terhadap medan listrik gelombang elektromagnetik Er. Polarisasi adalah pergeseran elektron oleh medan listrik. Teori optik nonlinear dapat

dipelajari dengan dua metode, yaitu secara klasik dan kuantum.

(17)

Dalam fisika optik, untuk menjelaskan peristiwa refraksi, refleksi, dispersi,

dll dari perambatan sinar dalam sebuah medium, diperlukan ilmu dasar tentang

induksi polarisasi listrik. Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi

diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi

listrik diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan

listrik gelombang elektromagnetik Pr

Er ( He and Liu, 1999 ) E

Pr =ε0χr (1.1) dengan ε0 permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan

linear antara Pr dan Er pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.

Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara Pr dan Er tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik. Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya

generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut

hubungan antara Pr dan Er menjadi

...] [ (1) (2) (3)

0 + + +

= E EE EEE

Pr ε χ r χ rr χ rrr (1.2) dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear),

orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.

) 1 (

χ χ(2) χ(3)

Contoh yang lain dapat dilihat dari penurunan intensitas sinar selama

perambatan dalam medium yang berbanding linear terhadap intensitas lokal.

Dalam optik, pelemahan intensitas berkas sinar dalam sebuah medium penyerap

(18)

I dz dI α

= (1.3)

dengan I intensitas berkas, z variabel sepanjang arah perambatan dan α konstanta medium. Tetapi, hasil pengamatan menunjukan bahwa sifat–sifat

penurunan intensitas perambatan berkas laser dalam sebuah medium optik tidak

selalu mengikuti deskripsi yang dinyatakan oleh persamaan (1.3). Misalnya

sebuah medium penyerap foton, nilai koefisien α dapat merupakan sebuah

konstanta atau variabel yang bergantung pada intensitas yang terjadi. Jika terdapat

proses penyerapan 2 foton dalam medium, maka persamaan intensitas berkas

dapat dituliskan menjadi ( He and Liu, 1999 )

2

I I dz

dI α β

− −

= (1.4)

dengan β koefisien serapan 2 foton. Pada kasus umum, untuk proses penyerapan

multi-foton (3 foton atau lebih), persamaan intensitas berkas mengikuti

...

3

2 − −

− −

= I I I dz

dI α β γ

. (1.5)

Pada dasarnya gejala nonlinear optik dapat diperoleh dari persamaan

Maxwell atau polarisasi medan listrik. Polarisasi listrik suatu bahan digambarkan

sebagai pergeseran elektron oleh medan listrik. Jika diambil arah perambatan pada

sumbu x, dengan komponen medan E dan B pada arah sumbu z dan , arah pergeseran elektron ke arah sumbu

y z yang dideskripsikan sebagai fungsi . Persamaan Maxwell (di dalam ruang hampa) menjadi ( Whitham, 1974 )

) , (x t r

0

= −

dx dE dt dB

(19)

dx dB c dt dr qN dt

dE 2

0 0

= +

ε , (1.7)

dimana q muatan listrik, N jumlah elektron per satuan volume, kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan

0

c

0

ε permitivitas ruang hampa. Elektron yang

dikendalikan oleh medan E dan terjebak di dalam sebuah sumur potensial akan menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara r dengan E dideskripsikan ke dalam persamaan ( Whitham, 1974 )

qE r U dt

r d

m + ′( )=

2 2

(1.8)

dengan m massa elektron,

2 2

dt r d

turunan ke dua fungsi pergeseran elektron

terhadap waktu (percepatan), dan U′(r) turunan sumur potensial. Jika persamaan (1.8) ditambah dengan redaman fungsi waktu U′(t) menjadi

qE t U r U dt

r d

m + ′( )+ ′( )=

2 2

(1.9)

dan diberikan nilai 2 2 2

1 )

(r m r

U = ω , , dan , sehingga persamaan

(1.9) menjadi

β

ω2r = ω2 =α

m qE r dt dr dt

r d

= + +β α

2 2

, (1.10)

dengan α dan β merupakan konstanta. Persamaan (1.10) adalah persamaan

diferensial orde-2 tak homogen, jika digunakan paket program Maple 9 untuk

(20)

) (t r

Gambar 1.1 Grafik hubungan antara dan t persamaan (1.10). Untuk nilai

) (t r

1

=

α , 1β = , 1q= , E=1, dan m=1.

Gambar menunjukkan bahwa nilai pergeseran mencapai nilai maksimum

pada saat t= 0.5 s kemudian mencapai nilai minimum pada saat t= 4 s. Pada saat = 7 s, nilai pergeseran meningkat dan mulai saat t= 10 s nilai menjadi konstan. Hal ini dapat terjadi karena sistem mengalami kejenuhan.

) (t r )

(t r

t r(t) r(t)

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, yang menjadi permasalahan

adalah

1. Bagaimana memperoleh persamaan (1.6) dan (1.7) dari persamaan Maxwell

2. Bagaimana menjabarkan efek nonlinear menggunakan pendekatan fisika

(21)

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang diteliti dibatasi pada masalah penjabaran efek

nonlinear secara klasik.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian 1.4.1 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Merumuskan efek nonlinear dari persamaan Maxwell.

2. Merumuskan keterkaitan antara efek nonlinear dengan persamaan diferensial

serta syarat yang diperlukan.

1.4.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan

khususnya optik nonlinear dari sudut pandang teoritis.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan hasil penelitian ini adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, serta sistematika

penulisan.

(22)

Pada Bab II dijabarkan persamaan Maxwell, teori klasik optika nonlinear,

persamaan diferensial linear orde-2 homogen dan tak homogen.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan

langkah-langkah penelitian.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasannya.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini memaparkan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian

dan pembahasan.

(23)

BAB II

DASAR TEORI

2.1 Perumusan Persamaan Maxwell

Persamaan-persamaan Maxwell merupakan persamaan yang dapat

diturunkan dari persamaan-persamaan dasar keelektromagnetan yaitu hukum

Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum

induksi Faraday. Berikut penjelasan singkat penurunan keempat persamaan dasar

keelektromagnetan sehingga memperoleh empat persamaan Maxwell.

2.1.1 Hukum Gauss

2.1.1.1 Hukum Gauss untuk Medan Listrik

Berdasar Gauss, di dalam permukaan tertutup seluas Sr, fluks listrik yang dipancarkan mempunyai hubungan sebanding dengan muatan listrik yang

tercakup dalam permukaan tertutup tersebut, dituliskan sebagai (Halliday dan

Resnick, 1984)

E

Φ

q

=

=

ΦE EdS q

r r

.

0

0 ε

ε . (2.1)

Untuk mengubah persamaan (2.1) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau

sebuah elemen volume diferensial berbentuk balok yang mengandung sebuah titik

P dan memuat medan listrik Er, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(a). Titik P terletak pada x,y,z dalam kerangka referensi Gambar 2.1(b) dan sisi-sisi balok mempunyai panjang dx,dy,dz.

(24)

dx dz

dy P

x

y z

• P(x, y,z)

Gambar 2.1 (a) elemen volume diferensial berbentuk balok. (b) kerangka referensi.

(a) (b)

Vektor luas permukaan untuk muka belakang balok menuju ke arah sumbu

x negatif sehingga dSr =−iˆ.dy.dz. Untuk muka depan nilai dSr =+iˆ.dy.dz. Jika vektor medan listrik di muka belakang adalah Er, maka medan listrik di muka

depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂

+ dx

x E E

r r

. Nilai dx x Ex

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂r

menyatakan perubahan Er yang diasosiasikan dengan perubahan x dalam . Besar nilai yang melalui permukaan depan dan belakang balok adalah

dx S

d Er. r

( )

. .

. . . . ˆ

) . . ˆ ).( (

) . . ˆ . ( .

x E dz dy dx

x E dz dy dx i

dz dy i dx x E E dz dy i E S

d E

x x

∂ ∂ =

∂ ∂ +

=

+ ∂

∂ + + −

=

r

r r r

r r

(2.2)

Vektor luas permukaan untuk muka samping kiri balok menuju ke arah

sumbu y negatif sehingga dSr =−ˆj.dx.dz. Untuk muka samping kanan nilai dz

dy j S

(25)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dy y E E r r

. Nilai dy y E ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂r

menyatakan perubahan Er yang diasosiasikan

dengan perubahan y dalam dy. Sehingga Er.dSr untuk permukaan samping kiri dan samping kanan balok adalah

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . y E dz dy dx y E dz dy dx j dz dx j dy y E E dz dx j E S d E y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.3)

Vektor luas permukaan untuk muka bawah balok menuju ke arah sumbu

z negatif sehingga dSr=−kˆ.dx.dy. Untuk muka atas nilai dSr=+kˆ.dx.dy. Jika medan listrik di muka bawah adalah Er, maka medan listrik di muka atas yang

berjarak dz dari muka bawah adalah ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dz z E E r r

. Nilai dz z E ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂r menyatakan

perubahan Er yang diasosiasikan dengan perubahan dalam dz. Sehingga untuk permukaan atas dan bawah balok adalah

z S

d Er. r

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . z E dz dy dx z E dz dy dx k dy dx k dz z E E dy dx k E S d E z z ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.4)

Sehingga besar nilai fluks listrik untuk seluruh permukaan balok merupakan

(26)

( ) ( ) ( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∂ ∂ +

∂ ∂ +

∂ ∂ =

+ +

=

z E y E x E dz dy dx

z E dz dy dx y

E dz dy dx x

E dz dy dx

S d E S

d E S

d E dS

E

z y x

z y

x

z y

x

. .

. . .

. .

.

. .

.

. r r r r r r

r

=

dx.dy.dz divEr. (2.5) Besar muatan untuk elemen volume diferensial di P yang tercakup dalam

permukaan tersebut adalah q

q=

ρ.dx.dy.dz (2.6) dimana ρ merupakan muatan per satuan volume di P. Dengan mensubstitusikan

persamaan (2.5) dan (2.6) ke persamaan (2.1), maka diperoleh

ε0 divEr=ρ atau

ε0 ∇r .Er =ρ. (2.7)

2.1.1.2 Hukum Gauss untuk Medan Magnet

Fluks magnetik merupakan garis-garis induksi yang melalui permukaan

tegak lurus seluas S. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan

magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup. Hukum Gauss untuk

medan magnetik adalah (Halliday dan Resnick, 1984)

Φm =

B.dS =0 r r
(27)

dengan Φm fluks magnetik (Weber), Br vektor rapat fluks magnetik (Tesla atau Wb/m²) dan elemen luas (m²). Untuk mengubah persamaan (2.8) ke dalam

bentuk diferensial, perlu ditinjau kembali sebuah elemen volume diferensial

seperti ditunjukkan pada gambar 2.1. Dengan langkah yang sama seperti pada

langkah untuk mendapatkan persamaan (2.7), vektor luas permukaan untuk muka

belakang balok S dr dz dy i S

dr=−ˆ. . . Untuk muka depan nilai . Sedangkan untuk medan magnet di muka belakang adalah

dz dy k S

dr=+ˆ. .

Brdan medan magnet

di muka depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dx x B B r r .

Sehingga nilai Br.dSr untuk bagian permukaan depan dan belakang balok adalah

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . x B dz dy dx x B dz dy dx i dz dy i dx x B B dz dy i B S d B x x ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.9)

Seperti langkah sebelumnya maka besar fluks magnetik untuk permukaan bagian

samping kiri dan kanan adalah

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . y B dz dy dx y B dz dy dx j dz dx j dy y B B dz dx j B S d B y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.10)
(28)

( )

. . . . . . ˆ ) . . ˆ ).( ( ) . . ˆ . ( . z B dz dy dx z B dz dy dx k dy dx k dz z B B dy dx k B S d B z z ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r (2.11)

Sehingga besar fluks magnetik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah

integral dari persamaan (2.9), (2.10) dan (2.11),

( ) ( ) ( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = z B y B x B dz dy dx S d B S d B S d B S d B z y x z y x . . . . .

. r r r r r r r

r

=

dx.dy.dzdivBr. (2.12) Dengan mensubstitusikan persamaan (2.12) ke persamaan (2.8), diperoleh

divBr= 0 atau

∇v.Br= 0 . (2.13)

2.1.2 Hukum Ampere

Ada dua cara untuk menghasilkan sebuah medan magnet, yaitu yang

pertama dengan sebuah medan listrik yang berubah-ubah, dituliskan sebagai

(Halliday dan Resnick, 1984)

= Φ dt d l d B E 0 0

. r μ ε

r

(29)

Cara ke dua dengan sebuah arus. Sebuah medan magnet dapat dihasilkan oleh

arus di dalam sebuah kawat, yang dikenal sebagai hukum Ampere, dituliskan

sebagai

Br.dlr=μ0i. (2.15)

Pada umumnya kedua cara untuk mendapatkan medan magnet tersebut harus

diperhitungkan, sehingga dapat dituliskan sebagai

⎠ ⎞ ⎜

⎛ Φ +

= i

dt d l

d

B E

0 0

. r μ ε r

. (2.16)

Dari persamaan (2.16) dapat ditransformasikan ke dalam bentuk

diferensial persamaan Maxwell. Diawali dengan menggunakan persamaan (2.16)

untuk sebuah elemen permukaan diferensial yang berbentuk siku-siku di sebuah

titik P dalam suatu daerah medan magnet, ditunjukkan pada Gambar 2.2(a). Titik

P diletakkan di x,y,z dalam kerangka referensi Gambar 2.2(b). Sisi segi empat siku-siku tersebut, sejajar dengan bidang x, , sehingga mempunyai panjang y dan dy.

dx

P

dx

x

y

z

.

P

(a) (b) dy

(30)

Seperti ditunjukkan pada gambar 2.2 (a), dengan bergerak mengelilingi sisi yang

mempunyai arah sesuai anak panah diperoleh

untuk sisi belakang

( )

Br.dlr1 =Br.(−jˆdy)

sisi kiri

( )

B.dl 2 =B.(+iˆdx)

r r r

sisi depan

( )

. 3 dx .( ˆjdy)

x B B l

d

B ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r

sisi kanan

( )

. 4 dy .( iˆdx)

y B B l

d

B ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r

sehingga untuk seluruh sisi,

( ) ( ) ( ) ( )

− ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + + + + − = + + + = ) ˆ ).( ( ) ˆ ).( ( ) ˆ .( ) ˆ .( . . . .

. 1 2 3 4

dx i dy y B B dy j dx x B B dx i B dy j B l d B l d B l d B l d B l d B r r r r r r r r r r r r r r r r

∂ ∂ − ∂ ∂

= idydx

y B dy dx j x B . . ˆ . . ˆ r r

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = i y B j x B dy

dx. .ˆ .ˆ

r r

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y B x B dy dx l d

B y x

. . r

r

. (2.17)

Dari persamaan (2.16), i adalah arus yang dicakup semua sisi dan dt dΦE

adalah perubahan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Jika diambil

untuk menyatakan rapat arus dan

Jr dy

dx k S

dr= ˆ. . yang merupakan vektor luas permukaan yang mengarah ke sumbu , maka dapat dituliskan z

(31)

dan

∂ ∂ = ∂ ∂ = Φ ) . . ˆ (

. kdxdy t E dS t E dt

d E r r

atau

∂ ∂ = Φ dy dx t E dt

d E z

. . (2.19)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19) ke persamaan

(2.16), didapatkan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J y B x B z z x y 0 0 ε

μ (2.20)

Sama seperti langkah di atas, untuk segi empat siku-siku yang sejajar

dengan bidang y, memberikan nilai z

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J z B y B x x y z 0 0 ε

μ . (2.21)

Untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z, memberikan nilai x

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J x B z B y y z x 0 0 ε

μ . (2.22)

Jika persamaan (2.20) dikalikan dengan vektor komponen , (2.21) dengan ,

dan (2.22) dengan , kemudian dijumlahkan, maka didapatkan

kˆ iˆ

j ˆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J k t E J j t E J i y B x B k x B z B j z B y B i x x x x x x x y z x y z 0 0 0 0 0 0 . ˆ . ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ ε μ ε μ ε μ

curl Br= ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + + ˆ ˆ ) (ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( 0 0 t E k t E j t E i J k J j J

i x x x ε x x x

(32)

curl Br= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ +

t E J

r r

0

0 ε

μ

atau

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + =

t E J

B x

r r

r r

0

0 ε

μ . (2.23)

2.1.3 Hukum Induksi Faraday

Hukum induksi faraday menyatakan bahwa tegangan gerak elektrik imbas

ggl

ε di dalam sebuah rangkaian adalah sama dengan negatif kecepatan perubahan

fluks yang melalui rangkaian tersebut dan fluks adalah garis-garis gaya. Dapat

dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

dt d B ggl

Φ − =

ε . (2.24)

Jika ditinjau muatan uji yang bergerak mengitari rangkaian, maka kerja yang

dilakukan pada muatan uji tiap putaran

0

q

l E q l

Fr.r= 0.r.r. Dimana adalah gaya yang bekerja pada muatan tersebut dan

E q0r

lr adalah jarak sepanjang gaya bekerja. Besar kerja Fr.lr nilainya sama dengan q0εggl, sehingga dapat dituliskan sebagai

= Edl

ggl .

r

ε (2.25)

Kemudian persamaan (2.25) disubstitusikan ke persamaan (2.24), sehingga

hukum induksi Faraday dapat dituliskan sebagai

dt d l d

E =− ΦB

(33)

Dengan langkah sama seperti langkah untuk mendapatkan persamaan (2.23), dan

berdasarkan Gambar 2.2 yang merupakan segi empat yang sejajar dengan bidang

y

x, , didapatkan

Untuk sisi belakang

( )

Er.dlr 1 = Er.(−ˆjdy)

sisi kiri

( )

Er.dlr 2 = Er.(+iˆdx)

sisi depan

( )

. 3 dx .( ˆjdy)

x E E l

d

E ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r

sisi kanan

( )

. 4 dy .( iˆdx)

y E E l

d

E ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r

sehingga untuk seluruh sisi,

( ) ( ) ( ) ( )

− ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + + + + − = + + + = ) ˆ ).( ( ) ˆ ).( ( ) ˆ .( ) ˆ .( . . . .

. 1 2 3 4

dx i dy y E E dy j dx x E E dx i E dy j E l d E l d E l d E l d E l d E r r r r r r r r r r r r r r r r

Edl = dxdy⎛⎜⎜∂Exy −∂Eyx ⎟⎟⎞

. . r

r

. (2.27)

Dari persamaan (2.26), dt dΦB

adalah perubahan fluks magnet yang melalui

permukaan tersebut dan dSr =kˆ.dx.dydigunakan untuk menyatakan vektor luas permukaan yang sejajar dengan bidang x, dan mempunyai arah ke sumbu y z, maka dapat dituliskan

∂ ∂ = ∂ ∂ = Φ ) . . ˆ .( . kdxdy

t B S d t B dt

d B r r r

∂ ∂ = Φ dy dx t B dt

d B z

(34)

Persamaan (2.27) dan (2.28) disubstitusikan ke persamaan (2.26), didapatkan t B y E x

Ey x z

∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂

. (2.29)

Dengan melihat persamaan (2.29) yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang

sejajar bidang x, , maka dapat diperoleh juga persamaan yang berlaku untuk segi y empat siku-siku yang sejajar dengan bidang y, , z

t B z E y

Ez y x

∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ (2.30)

dan untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z, , x

t B x E z

Ex z y

∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂

. (2.31)

Persamaan (2.29) bersesuaian dengan komponen z, sehingga dikalikan dengan komponen vektor k. Persamaan (2.30) dikalikan dengan komponen vektor dan (2.31) dikalikan dengan komponen vektor . Kemudian ketiga persamaan ini

ditambahkan sehingga didapatkan,

ˆ iˆ

j ˆ t B k t B j t B i y E x E k x E z E j z E y E

i z y x z y x x y z

∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

curl Er= t B ∂ ∂ − r atau t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r

(35)

2.2 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell dalam medium dapat dirumuskan berdasarkan

persamaan (2.7), (2.13), (2.23) dan (2.32) yang bila dirangkum kembali menjadi

(Efendi, R, 2007)

(1) ε0 ∇r .Er =ρ (2.33)

(2) ∇v.Br= 0 (2.34)

(3) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + =

t E J

B x

r r

r r

0

0 ε

μ (2.35)

(4)

t B E

x

∂ ∂ − = ∇

r r

r

. (2.36)

Dalam ruang hampa, rapat muatan ρ dan rapat arus bernilai nol,

sehingga persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa adalah Jr

(1) ∇r .Er = 0 (2.37)

(2) ∇v.Br= 0 (2.38)

(3)

t E B

x

∂ ∂ =

r r

r

0 0ε

μ (2.39)

(4)

t B E

x

∂ ∂ − = ∇

r r

r

. (2.40)

2.3 Teori Klasik Optik Nonlinear

Optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah

laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium nonlinear merupakan medium

(36)

2.3.1 Susceptibilitas Nonlinear

Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam

bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik Pr diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang

elektromagnetik Er, ditulisakan seperti persamaan (1.1) (He and Liu, 1999) E

Pr =ε0χr

Dengan ε0 permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan

linear antara Pr dan Er pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.

Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara Pr dan Er tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik. Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya

generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut

hubungan antara Pr dan Er dituliskan seperti pada persamaan (1.2)

...] [ (1) (2) (3)

0 + + +

= E EE EEE

Pr ε χ r χ rr χ rrr

dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear),

orde-3 (nonlinear) dan seterusnya.

) 1 (

χ χ(2) χ(3)

Pada abad terakhir, teori gelombang ganda dapat dikembangkan dengan

teori klasik murni dan optik dijelaskan sama seperti optik linear. Hukum klasik

(37)

2.3.2 Model Atom Klasik Nonlinear 2.3.2.1 Gas Elektron Bebas

Gerak elektron tunggal pada sebuah plasma dibawah pengaruh

gelombang cahaya terpolarisasi, (Bloembergen,1996)

) exp(ikz i t c

E c E

By = x = − ω , (2.41)

dimana kc−1.

Persamaan gerak untuk elektron tunggal pada plasma,

τ /

1

x m B z ec eE x

m&&= x − − & y − & (2.42) y

m&& = −my&/ τ (2.43) z

m&& = ec−1 x& Bymz&/τ . (2.44)

Waktu tumbukan τ mendeskripsikan redaman gerak statis. Bila

) exp(

0 ikz i t

x

x= − ω , maka,

x i t i ikz x

i dt dx

x&= =(−ω) 0exp( − ω )=−ω (2.45)

x t

i ikz x

i i dt

x d

x 0 2

2 2

) exp(

) )(

(−ω −ω − ω =−ω

= =

&

& (2.46)

Sehingga substitusi persamaan (2.45) dan (2.46) ke dalam persamaan (2.42)

menghasilkan pendekatan linear pertama,

x mω2

− = 2eEexp(ikziωt)−ec−1 z& Bym(−iωx)/ τ (2.47)

(38)

) (ω x = ) ( ) exp( 1

2 + −

− − ωτ ω ω i m t i ikz eE

. (2.48)

Berdasarkan persamaan (2.48), nilai dari x&(ω),

) (ω x& =

) ( ) exp( ) ( )) exp( )( ( ) ( 1 2 1

2 − + −

− = + − − − = ωτ ω ω ω ωτ ω ω ω ω i m t i ikz eE i i m t i ikz eE i dt dx (2.49)

Jika nilai z =z0exp(ikzit), maka

z i t i ikz z i dt dz

z&= =(−2ω) 0exp( − ω )=−2ω (2.50)

z t i ikz z i i dt z d

z 2 0 2

2 4 ) exp( ) 2 )( 2 (− ω − ω − ω =− ω = = &

& (2.51)

Jika persamaan (2.49), (2.50) dan (2.51) disubstitusikan ke persamaan (2.44),

maka pendekatan nonlinear orde terendahnya,

) 2 ( ω z =

) )( 2 4 ( ) 2 2 exp( 1 2 1 2 2 2 − − + + − − ωτ ω τ ω ω i i c m t i ikz E ie

. (2.52)

Momen dipol linear p=q.d(q muatan, d jarak). Karena q=e dan d = x(ω), momen dipol dapat dituliskan menjadi ex(ω)

Dalam permasalahan ini lebih difokuskan pada polarisasi rata-rata dalam

volume kecil dan indeks bias plasma. Jika densitas rata-rata elektron pada plasma

adalah N0 percm2, maka besar polarisasi,

Px(ω)= χ(ω)Ex(ω)= N0ex(ω). (2.53) Persamaan (2.48) dan (2.53) mempunyai penyelesaian susceptibilitas χ(ω),

) ( ) ( 1 2 2 0 − + − = ωτ ω ω χ i m e N

(39)

Jika frekuensi optik ωτ <<1, maka 2 2 0 ) ( ω ω χ m e N

= , sehingga nilai susceptibilitas

plasma, 2 2 0 / 4 ) ( 4 ) 1

(ε − ω = πχ ω =− πN e mω . (2.55) Polarisasi nonlinear untuk frekuensi harmonik kedua diberikan oleh persamaan,

) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2

( ω χ ω E ω N0ez ω

Pz = x = (2.56)

Seperti langkah sebelumnya, persamaan (2.52) dan (2.56) mempunyai

penyelesaian susceptibilitas, ) )( 2 4 ( ) exp( ) 2 ( 1 2 1 2 3 0 − − + + − − = ωτ ω τ ω ω ω χ i i c m t i ikz E ie N

. (2.57)

Jika frekuensi optik ωτ <<1, maka

c m t i ikz E ie N 3 2 3 0 4 ) exp( ) 2 ( ω ω ω

χ = − − (2.58)

sehingga nilai susceptibilitas plasma,

c m t i ikz E ie N 3 2 3 0 2 ) exp( ) 2 ( 4 ) 1 ( ω ω π ω πχ

ε − ω = = − − . (2.59)

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik

Untuk menghitung polarisasi linear dari sebuah medium, Drude dan

Lorentz mendeskripsikan elektron sebagai partikel harmonik. Jika ditinjau gerak

satu dimensi osilator harmonik dalam medan listrik dengan frekuensi ±ω1

dan±ω2, maka persamaan geraknya adalah

)) exp(

) exp(

(

/ 1 1 1 2 2 2

2 2

0x vx e m E ik z i t E ik z i t

x

x&+Γ&+ω + = − ω + − ω

(40)

Jika digunakan pendekatan linear, maka persamaan (2.60) dapat diperoleh

menjadi

) exp(

/ 1 1 1

2

0x e mE ik z i t

x

x&+Γ&+ω = − ω

& , (2.61)

Jika )x=x0exp(ikziωt , maka

x i t i z ik x

i dt dx

x&= =(−ω1) 0exp( 1 − ω1 )=−ω1 (2.62)

x t

i z ik x

i i dt

x d

x 2 1 1 0 1 1 12

2

) exp(

) )(

(−ω −ω − ω =−ω

= =

&

& , (2.63)

Sehingga persamaan (2.61) dengan substitusi persamaan (2.62) dan (2.63)

menghasilkan

) (

) exp(

)

( 2

0 1 2

1

1 1 1

1 ω ω ω

ω ω

+ Γ − −

− =

i m

t i z ik eE

x (2.64)

Dalam pendekatan linear orde terendah, terdapat bentuk frekuensi harmonik

kedua 2ω1, 2ω2, bentuk pada frekuensi nol menjelaskan penyebaran sinar oleh

nonlinear kuadrat vx2,dan jumlah antara 2 gelombang sinar adalah ω12, sedang bedanya ω1 −ω2. Untuk memperoleh nilai χ(2ω1) digunakan

) 2

exp( 1 1

0 ik z i t

x

x= − ω , sehingga

x i t i z ik x

i

x&=−ω1 0exp(2 1 − ω1 )=−2ω1 (2.65)

x t

i z ik x

i i

x&=(−2ω1)(−2ω1) 0exp(2 1 − ω1 )=−4ω12

& (2.66)

Jika persamaan (2.65) dan (2.66) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas

kiri mengandung faktor 2ω, sedangkan ruas kanan mengandung faktor ω,

sebagai konsekuensinya, ruas kanan dianggap nol. Sehingga persamaan (2.61)

(41)

0

2 2

0 + =

+ Γ

+ x x vx x& & ω

& ) 2 4 ( ) ( ) 2 2 exp( ) 2 ( 2 0 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 1 2 1 2

1 ω ω ω ω ω ω

ω ω + Γ − − + Γ − − − − = i i m t i z ik E ve

x (2.67)

Jika dituliskan , maka persamaan (2.67)

menjadi 2 0 2 ) ( )

(ω = D∗ −ω =−ω −iΓω+ω D ) 2 ( ) ( ) 2 2 exp( ) / ( ) 2 ( 1 1 2 1 1 2 1 2 2

1 ω ω

ω ω D D t i z ik vE m e

x = − − . (2.68)

Sedangkan untuk nilaix1 −ω2), digunakan x=x0exp(i(k1k2)zi1 −ω2)t) sehingga x i t i z k k i x i

x&=−(ω1−ω2) 0exp( ( 12) − (ω1−ω2) )=− (ω1 −ω2) (2.69)

x t i z k k i x i i x 2 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 ) ( ) ) ( ) ( exp( ) ( ). ( ω ω ω ω ω ω ω ω − − = − − − − − − − = & & (2.70)

Jika persamaan (2.69) dan (2.70) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas

kanan tidak sama dengan ruas kiri sebab pada ruas kanan tidak ada komponen

yang mengandung faktor frekuensi (ω1 −ω2). Sebagai konsekuensinya, ruas

kanan dapat dianggap bernilai nol, sehingga persamaan menghasilkan

) ) ( ) ( )( )( ( ) ) ( ) ( exp( ) ( 2 0 2 1 2 2 1 2 0 2 2 2 2 0 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω + − Γ − − − + Γ + − + Γ − − − − − − = − ∗ i i i m t i z k k i E E e v x (2.71)

Jika dituliskan , maka persamaan (2.71) dapat

dituliskan menjadi 2 0 2 ) ( )

(ω =D∗ −ω =−ω −iΓω+ω D ) ( ) ( ) ( ] ) ( ) ( exp[ ) / ( ) ( 2 1 2 * 1 2 1 2 1 * 2 1 2 2 2

1 ω ω ω ω

ω ω ω ω − − − − − = − D D D t i z k k i E vE m e

x . (2.72)

(42)

) 2 ( ) ( ) , , 2 ( ) 2

( ω χ ω ω ω E2 ω N0ex ω

PxNL = xxx x = . (2.73) Dari persamaan (2.68) dengan mengubah nilai ω1 menjadi ω kemudian

disubstitusikan ke persamaan (2.73) diperoleh nilai susceptibilitas nonlinear,

) 2 ( ) ( ) 2 2 exp( ) / ( ) , , 2 ( 2 2 3 0 ω ω ω ω ω ω χ D D t i ikz v m e N xxx − −

= (2.74)

dengan xxx tensor susceptibilitas. Pernyataan yang sama dapat diturunkan untuk susceptibilitas )χxxx1 −ω21,−ω2 . Dispersi dari susceptibilitas nonlinear orde

terendah dideskripsikan dengan frekuensi tiga. Dispersi ditambah mendekati

resonansi dominator satu. Jika sebagai contoh beda frekuensi sama dengan

frekuensi resonansi , D1−ω2)=iω0Γ untuk ω1−ω20, maka susceptibilitas beda frekuensi jauh lebih besar dibandingkan lainnya.

Ketika ω1 −ω2 sama atau mendekati frekuensi resonansi ω0, digunakan

komponen fourier (2.72) dalam penghitungan nonlinear orde tertinggi selanjutnya.

bentuk linear menghasilkan komponen

2

vx1 −ω21−2ω2, dalam

penambahan ke bentuk frekuensi pertama ω1 dan −ω2. Sebagai contoh, untuk

mendapatkan nilai ( menunjukkan sistem nonlinear), diselesaikan

dengan langkah sebagai berikut,

* 2) (ω NL x NL ) ( ) ( )

2 * = NL −ω2 = NL ω1−ω2 −ω1

NL

x x

x (2.75)

dari persamaan (2.64) diubah ke dalam bentuk

) ( ) exp( ) ( ) exp( ) ( 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 ω ω ω ω ω ω ω ∗ = ∗ − + + Γ + − + − = − mD t i z ik eE i m t i z ik eE

x (2.76)

(43)

0 ) ( ) ( 1 2 1

2

0 + − − =

+ Γ

+ x ω x vxω ω x ω

x& &

& , (2.77)

jika x= x0exp(−ik2z+iω2t), maka x i

x&= ω2 dan &x&=−ω22x (2.78) sehingga substitusi persamaan (2.72), (2.76) dan (2.78) ke persamaan (2.77)

menghasilkan 2 1 * 2 2 1 2 1 2 2 * 2 3 3 2 * 2 ) ( ) ( )) ( ( ) / ( ) ( )

( E E

D D D v m e x

xNL NL

ω ω ω ω ω ω − = − = atau ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( 2 1 * 2 1 2 2 2 3 4 0 1 1 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω χ − = − + = D D D v m e N

xxxx . (2.79)

2.4 Operator Del ∇r

Operator del ∇ didefinisikan sebagai vektor operator diferensial parsial. Dalam koordinat kartesian, operator ∇

r

r

dianggap sebagai sebuah vektor :

∇r =

z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ˆ ˆ

ˆ (2.80)

dimana iˆ,ˆj dan menyatakan vektor satuan sepanjang sumbu kˆ x, dan y z.

Jika diberikan sembarang medan skalar φ pada operator , maka

dapat dibentuk sebuah medan vektor yang dinamakan gradien dari del ∇r

φ (grad φ),

ditulis sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

grad φ ≡ ∇r φ =

z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂φ ˆ φ ˆ φ

(44)

Jika diberikan sebuah medan vektor Ar = Axiˆ+Ayˆj+Azkˆ, maka perkalian titik dari ∇r dan Ar menghasilkan medan skalar yang dinamakan divergensi dari Ar (div Ar), dituliskan sebagai

div Ar ≡ ∇r.Ar =

z A y A x

Ax y z

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

. (2.82)

Perkalian silang dari ∇r dan Ar menghasilkan medan vektor yang dinamakan curl dari Ar (curl Ar), dituliskan sebagai

curl Ar ≡ ∇rxAr = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ y A x A k x A z A j z A y A

iˆ z y ˆ x z ˆ y x

. (2.83)

Operator lain yang sering didapati adalah ∇r2, ditulis sebagai

2 2 2 2 2 2 2 . z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ∇ =

∇r r r . (2.84)

Jika persamaan ini digunakan pada sebuah medan skalar φ, maka diperoleh

2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∇r φ φ φ φ . (2.85)

Untuk sebuah medan vektor Ar, operasi ∇r2Ar adalah

. ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x A z y x k A z y x j A z y x i A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r r

(2.86)

Untuk perkalian silang ∇rx∇rxAr atau curl curlAr nilainya akan sama dengan −∇r2Ar+ grad div Ar, dapat dituliskan sebagai

(45)

2.5 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih

turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Orde dari persamaan diferensial

adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan.

(Waluya, 2006)

2.5.1 Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu

Bentuk persamaan linear orde satu, (Ayres, 1986)

Q Py dt

dy + =

(2.88)

dimana P dan Q adalah fungsi t atau konstanta.

Karena Py e Q

dt dy e yPe e

dt dy ye

dt

d Pt = pt + pt = Pt + = Pt

) (

)

(

maka yePt =

QePtdt

=e Qe dt

y Pt Pt (2.89)

2.5.2 Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial linear orde dua,

Q y P dt dy P dt

y d

P 2 + 1 + 2 =

2

0 (2.90)

(46)

2.5.2.1 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien Konstan

Dari persamaan (2.90), jika Q=0 maka disebut dengan persamaan linear homogen yaitu persamaan linear yang suku-sukunya berderajat sama dalam y dan demikian juga turunan-turunannya. Bentuk persamaan linear homogen

dengan koefisien-koefisien konstan, (Ayres, 1986)

0

2 1

2 2

0 + +P y=

dt dy P dt

y d

P (2.91)

dimana P0 ≠0,P1,P2 adalah konstanta.

Untuk memudahkan penyelesaian, notasi dt

d

diganti dengan operator .

Sehingga persamaan (2.91) menjadi

D

0

0

2 1

2

0D y+PDy+P y=

P atau

. (2.92) )

(P0D2 +P1D+P2 y=

Sehingga nilai akan sama dengan nol. Dengan mencari nilai

faktorisasinya diperoleh

) (P0D2 +P1D+P2

0 ) )(

(Dm1 Dm2 y= (2.93)

2 1,m

m adalah akar-akar karakteristik. Jika m1m2 maka,

(2.94)

t m t

m

e C e C

y i 2

2

1 +

=

(47)

2.5.2.2 Persamaan Linear dengan Koefisien-koefisien Konstan

Berdasar persamaan (2.90), dengan mengubah dt

d

menjadi D, maka

Q y P D P D

P + + ) =

( 0 2 1 2

Dengan memfaktorkan nilai ( 2 1 2), diperoleh

0D PD P

P + +

Q m D m D y

) (

1 ) (

1

2

1 −

= (2.95)

u m D y

) (

1

1

= . (2.96)

Dengan Q

m D u

) (

1

2

= , dapat diubah menjadi m u Q dt

du =

2 dan berdasar

persamaan (2.89), maka persamaan dapat diselesaikan menjadi

=e Qe dt

u m2t m2t . (2.97)

Dari persamaan (2.96), u m D y

) (

1

1

= sehingga m y u dt

dy =

1 , dengan

penyelesaian persamaan diferensial orde satu seperti persamaan (2.89), diperoleh

=e ue dt

y m1t m1t . (2.98)

Dengan substitusi persamaan (2.97) ke pesamaan (2.98), diperoleh

=e e Qe dtdt

y m1t (m2 m1)t m2t . (2.99)

Jika diselesaikan, persamaan (2.99) menjadi

] [

2 1 2

1

2 1

m m

Q e

C e C

(48)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah penelitian studi

pustaka.

3.2 Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam penulisan skripsi ini adalah buku-buku

yang berhubungan dengan persamaan Maxwell yang terdapat di UPT

Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3 Langkah-Langkah Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut :

1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan Maxwell yang dapat

diturunkan dari hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet,

hukum Ampere dan hukum induksi faraday.

2. Menelusuri bahan-bahan mengenai teori optik nonlinear yang ditinjau

secara klasik.

3. Mempelajari persamaan diferensial orde dua.

4. Menguraikan persamaan Maxwell sehingga mendapatkan persamaan

gelombang baik dalam ruang hampa maupun dalam medium.

(49)

5. Membuat grafik dari persamaan gelombang yang diperoleh baik dalam

ruang hampa maupun dalam medium menggunakan program Maple 9.

6. Menyelesaikan persamaan gerak dengan menggunakan persamaan

diferensial orde dua sehingga didapatkan persamaan yang nonlinear.

7. Membuat grafik dari persamaan nonlinear yang didapat dengan

menggunakan program Maple 9.

8. Mengamati dan membandingkan grafik-grafik yang diperoleh.

(50)

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Penurunan Persamaan Maxwell 4.1.1 Persamaan Gelombang

Dari keempat persamaan Maxwell baik dalam ruang hampa maupun dalam

medium yang diperoleh pada bab II, akan digunakan untuk memperoleh persamaan

gelombang elektromagnetik dalam hampa dan dalam medium.

4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa

Keempat persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa,

(1) ∇r .Er = 0 (4.1)

(2) ∇r .Br= 0 (4.2)

(3)

t E B

x

∂ ∂ =

r r

r

0 0ε

μ (4.3)

(4)

t B E

x

∂ ∂ − = ∇

r r

r

(4.4)

Untuk mendapatkan persamaan gelombang elektromagnet dalam ruang hampa

diambil curl dari curlEr, dimana sesuai dengan persamaan (2.87) adalah curl curlEr = −∇r2Er + grad div Er

) ( xE x r r r

∇ = −∇r2Er+ ∇r(∇r.Er)

berdasarkan persamaan (4.1) nilai ∇r.Er adalah nol, sehingga persamaan menjadi

(51)

Sesuai dengan persamaan (2.84), bahwa 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∇r , penyelesaian persamaan

menjadi

E x xr r r ∇ ∇ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −

= 22 22 22

z E y

E x

Er r r

(4.5)

Hasil perkalian ∇rx(∇rxEr) ini sendiri mengikuti

( ) ( ) t B x E x x ∂ ∂ − ∇ = ∇ ∇ r r r r r

( ) ( xB) t E x x ∇ ∂ ∂ − = ∇ ∇r r r

t E E x x 2 2 0 0 ) ( ∂ ∂ − = ∇ ∇ r r r r ε

μ (4.6)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke persamaan (4.6) diperoleh

2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂

∂ r r r μ ε r

(4.7)

Nilai vektor medan listrik E =Exiˆ+Eyˆj+Ezkˆ. Jika dua komponen r

Er bernilai nol yaitu , sedangkan , maka persamaan (4.7) menjadi

0

= = z

x E

E Ey ≠0

2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x

Ey y y y

∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ε

μ (4.8)

dengan menganggap bahwa Ey adalah fungsi-fungsi dari x dan t saja, persamaan (4.8) menjadi 2 2 0 0 2 2 t E x

Ey y

∂ ∂ = ∂ ∂ ε

(52)

. Karena , maka untuk

0

0ε ( /ω)

μ = k μ0ε0 =1/c v=c dihasilkan relasi ω =kc sehingga bentuk

) sin(kx t E

Ey = m −ω

(4.10)

dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.9).

Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.10), maka

diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.1.

y

E

Gambar 4.1 Grafik hubungan Ey dengan t dari persamaan (4.10) dengan Em =1, k =1, ω=30.

(53)

) ( xB x

∇ = −∇ B+ ∇(∇.B)

∇rx(∇rxBr) = 2 .

Br r ∇

Nilai 2

2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

∇r , sehingga penyelesaian persamaan menjadi

) ( xB x r r r

2 .

2 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = z B y B x

Br r r

(4.11)

Nilai perkalian untuk ∇rx(∇rxBr) ini sendiri mengikuti

( ) ( 0 0 )

t E x B x x ∂ ∂ ∇ = ∇ ∇ r r r r r ε μ

0 0 ( xE) t r ∇ ∂ ∂ =μ ε 2 2 0 0 t <

Gambar

Gambar 1.1 Grafik hubungan antara
Gambar 2.1  (a) elemen volume diferensial berbentuk balok. (b) kerangka referensi.
Gambar 2.2 (a) elemen permukaan diferensial berbentuk siku-siku. (b) kerangka referensi
Gambar 4.1 Grafik hubungan
+7

Referensi

Dokumen terkait

Pahlawan Samarinda, atau setidak tidaknya pada suatu tempat lain yang masih termasuk dalam daerah hukum Pengadilan Negeri Samarinda, melakukan permufakatan jahat untuk

Problematika kepolisian sebagai penyidik tindak pidana korupsi dalam penetapan tersangka tindak pidana korupsi dana kampung/desa, yaitu : Pertama, saksi tidak kooperatif

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk menciptakan media pembelajaran multimedia yang nantinya dapat membatu siswa dalam memahami materi dan juga membantu guru dalam

Negelkerke R-square yang dihasilkan adalah sebesar 0,061 hasil tersebut menunjukan bahwa kemahalan harga saham, likuiditas perusahaan, profitabilitas dan ukuran

Pengaruh Pembangunan Jalan Lingkar Terhadap Perubahan Guna Lahan dalam Aspek Pola dan Struktur Ruang

Sifat fisik bahan hasil pertanian merupakan faktor yang sangat penting dalam menangani masalah-masalah yang berhubungan dengan merancang suatu alat khusus untuk suatu

akan lebih besar dibandingkan dengan pendapatan bunga, hal tersebut akan menyebabkan menurunnya laba yang diperoleh oleh bank, dan juga mengakibatkan modal bank

Adapun tujuan penelitian ini adalah mendeskripsikan peningkatan kemampuan menulis teks berita setelah mengikuti pembelajaran dengan metode pemodelan siswa kelas