Vector AutoRegression (VAR)
Background
When we talk about simultaneous equations, some variables are treated as endogenous variables and the rests are treated as exogenous variables.
Before estimating simultaneous equation models, we need to check first whether the equations are identified or not. This identification process assumes that lag variables (predetermined variables) only present in some equations.
These assumptions are very subjective and criticized by some experts like CHRISTOPHER SIMS.
Sims states that
if there are simultaneous relationships among variables observed,
those variables need to be treated equally so there are no endogenous variables
nor exogenous variables.
Based on this argument he introduced
VAR: Not Structural Model
Econometric Models we have studied, both single equation or multiple equations, usually in structural forms.
It means that both the functional form of the models and how the variables are related are developed based on a theory.
Therefore, these models can be used to test whether the theory is supported by the data or not. Similarly, Dynamical Models are also based on a widely-known theory.
To develop an econometric model, we have to be sure that specification of the model are guided by a theory.
But, sometimes, economics theory can not explicitly guide us to a proper specification. Very often, there are some theories that explain the same phenomena differently. Consequently, several analysts develop models based on the data. VAR will facilitate this situation.
Model VAR tidak banyak tergantung pada teori dalam penyusunan model. Hal-hal yang perlu ditentukan dalam model VAR adalah:
(i). Variabel yang saling berinteraksi (“menyebabkan”) yang perlu dimasukkan dalam sistem.
(ii). Banyaknya variabel jeda yang perlu diikutsertakan dalam model yang diharapkan dapat menangkap keterkaitan antar variabel dalam sistem.
Oleh karena itu, sebelum memilih variabel yang dianalisis dalam sistem, perlu dites terlebih dahulu sifat kausalitas dari variabel tersebut.
Tes Granger Kausalitas
(Melihat kembali hubungan kausalitas antar variabel)
• Analisis regresi mengatur keterikatan atau keterkaitan satu variabel dengan beberapa variabel lainnya. Misalnya ketergantungan variabel konsumsi dengan variabel pendapatan, selera, kebutuhan dan lain sebagainya. Tetapi, keterkaitan ini tidak harus merupakan hubungan sebab akibat yang mengacu pada konsep waktu.
Pada regresi yang melibatkan data timeseries, hubungan kausalitas antar variabel dapat dilihat dengan jelas melalui konsep berikut:
• Bila kejadian A terjadi sebelum kejadian B, maka bisa dimungkinkan bahwa kejadian A menyebabkan kejadian B. Tetapi, sangat tidak mungkin bahwa kejadian B menyebabkan kejadian A.
Konsep inilah yang mendasari Tes Kausalitas Granger.
Tetapi, ada beberapa ahli yang lebih hati-hati dalam menjelaskan hubungan kausalitas antar variabel ini. Francis Diebold lebih senang menggunakan istilah kausalitas prediktif sebagai berikut:
A menyebabkan B berarti bahwa kejadian A mengandung informasi yang bermanfaat untuk memprediksi kejadian B (dalam konteks kuadrat terkecil/least squares).
Untuk mengingat kembali Tes Kausalitas Granger, perhatikan pertanyaan berikut:
Apakah GDP yang menyebabkan money supply (M) ataukah money supply yang menyebabkan GDP?
Untuk mencari jawaban tersebut, Tes Granger melibatkan estimasi persamaan berikut:
GDPt = ∑ ai Mt-i + ∑bj GDPt-j + u1t ……….(1)
Catatan:
1. Persamaan (1) menduga bahwa GDP saat ini berhubungan dengan GDP masa lalu dan money supply masa lalu.
2. Persamaan (2) menduga bahwa money supply (M) saat ini berhubungan dengan M masa lalu dan GDP masa lalu pula. 3. Pada konteks ini, variabel GDP dan M diperlakukan sebagai
variabel endogen. Dengan demikian, pada pers (1) dan (2) tidak ada variabel exogen.
Interpretasi dari estimasi kedua persamaan tersebut:
1. Bila secara statistik, ∑ ai ≠ 0 dan ∑dj = 0, maka dikatakan M menyebabkan GDP atau M Æ GDP
2. Bila secara statistik, ∑ ai = 0 dan ∑dj ≠ 0, maka dikatakan GDP menyebabkan M atau GDP Æ M
3. Bila secara statistik, ∑ ai ≠ 0 dan ∑dj ≠ 0, maka dikatakan GDP dan M saling menyebabkan atau GDP ↔ M.
4. Bila secara statistik, ∑ ai = 0 dan ∑dj = 0, maka dikatakan tidak ada ketergantungan antara GDP dan M
Tahapan Tes Kausalitas Granger
1. Regresikan GDP saat ini dengan GDP masa-masa lalu. Dari regresi ini, hitung RSSR, restricted residual sum of squares.
2. Regresikan GDP saat ini dengan GDP masa lalu beserta M saat ini dan M masa-masa lalu. Dari regresi ini, hitung RSSUR;
unrestricted residual sum of squares. 3. H0 : ∑ ai = 0; M tidak layak pada model.
4. Lakukan tes F sebagai berikut:
F = { (RSSR - RSSUR ) / m} / { RSSUR /(n-k)}
5. Bila hasil perhitungan F melebihi Tabel nilai pada table F
dengan derajat kebebasan m dan (n-k), maka tolak H0. Berarti ∑ ai ≠ 0 atau M Æ GDP.
Catatan:
Dengan cara yang sama dapat dilakukan tes apakah GDP menyebabkan M.
Hal-hal yang perlu diperhatikan pada Tes Granger
1. Diasumsikan bahwa data GDP dan M sudah stasioner. Bagaimana kalau tidak?
2. Bagaimana menentukan banyaknya variabel jeda yang diikutkan dalam tes?
Ada beberapa cara yang dapat dilakukan.
(a). Regresikan y dengan x secara berurutan yaitu: (i). yt dengan xt, dulu kemudian
(ii). yt dengan xt dan x t-1, lanjutkan
(iii). yt dengan xt, x t-1, x t-2, …….. dst
(iv). Berhenti setelah koefisiennya tidak signifikan atau ada inkonsistensi koefisien.
(b). Gunakan Tes Akaike Information Criteria atau Schwarz Information Criteria.
Pada intinya kedua tes ini memberitahukan kepada modeler bila ada variabel yang tidak relevan yang berada pada model:
AIC = e2k/n (RSS/n).
k: banyaknya regresor (termasuk intersep) n: banyaknya observasi.
Ilustrasi Tes Kausalitas Granger
(Kausalitas antara M dan GNP)Dengan menggunakan data kuartalan dari 1960-I s/d 1980-IV diperoleh hasil:
Arah Kausalitas Nilai F Keputusan
M tidak Æ GNP GNP tidak Æ M 2.68 0.56 Tolak Tidak ditolak
Pada tes ini digunakan variabel pertumbuhan M dan pertumbuhan GDP. Hasil tes mengatakan bahwa pertumbuhan M menyebabkan pertumbuhan GNP karena hipotesis yang mengatakan bahwa M tidak menyebabkan GNP ditolak sebab nilai F terhitung 2.68 melebihi nilai kritis dari Tabel F dengan degrees of freedom 4 dan 71 yang sebesar
2.50 (dengan α = 5%).
Sebaliknya, hipotesis yang menyatakan GNP tidak menyebabkan M tidak ditolak yang berarti pertumbuhan GNP tidak mempengaruhi pertumbuhan M.
Kausalitas antara Money dan Interest Rate (Kanada)
Akan dilihat apakah ada kausalitas antara money supply (M) dan
interest rate (R) di Kanada menggunakan data kuartalan dari tahun
1979 – 1988. Selain itu, akan ditunjukkan apakah Tes Kausalitas
Granger sensitif terhadap banyaknya variabel jeda yang digunakan
dalam tes. Hipotesis yang digunakan adalah H
0: R tidak
menyebabkan M atau sebaliknya.
Arah Kausalitas Banyaknya Jeda Nilai F Keputusan R tidakÆM M tidak ÆR R tidak ÆM M tidak ÆR R tidak ÆM M tidak ÆR R tidak ÆM M tidak ÆR 2 2 4 4 6 6 8 8 12.92 3.22 5.59 2.45 3.52 2.71 1.4 1.62 Tolak Tolak Tolak Tolak (7%) Tolak Tolak Tidak ditolak Tidak ditolak
Tes ini menunjukkan bahwa ada kausalitas dua arah antara R dan M jika menggunakan variabel jeda 6 atau kurang. Tetapi R dan M tidak saling tergantung pada saat menggunakan variabel jeda 8.
Estimasi Model VAR
Model-model yang telah dipelajari pada Tes Kausalitas Granger dalam 2 ilustrasi yang telah dibahas hanya ada variabel endogen saja dan tanpa ada variabel eksogen.
Kedua ilustrasi model tersebut dapat dilihat sebagai model VAR karena pada model tersebut menggunakan variabel jeda sebagai autoregresi dan memiliki vektor dua variabel.
Untuk menjelaskan bagaimana model VAR diestimasi, perhatikan lagi model Money dan Interest Rate berikut:
Mt =α + Σβj Mt-j + Σγj Rt-j + u1t Rt = a + Σbj Mt-j + Σcj Rt-j + u2t
• Perhatikan bahwa model ini mempunyai regesor variabel jeda dari regressandnya dalam sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan. Berdasarkan Tes Kausalitas Granger, Regressandnya (M dan R) saling menyebabkan.
• Penentuan berapa banyak variabel jeda yang diikutsertakan (k) harus ditentukan dulu dengan mengacu pada informasi yang ada pada AIC dan SIC. Dengan demikian, penentuan ini melibatkan proses trial dan error.
• Pada model VAR, stochastic error u1t dan u2t disebut shock atau impulses atau innovations.
Sebagai gambaran bagaimana menentukan banyaknya variabel jeda yang diikutsertakan dalam model, lihat ilustrasi berikut:
• Dengan mengacu pada hasil Tes Granger terdahulu, mula-mula digunakan k = 4, kemudian dibandingkan dengan k = 2 dan k =6.
Tabel I: Estimator VAR dengan k = 4; data 1980-I s/d 1987-IV M R M (-1) 1.077 (5.34) 0.001 (1.90) M (-2) 0.173 (0.55) -0.002 (-2.04) M (-3) -0.366 (-1.06) 0.002 (1.88) M (-4) 0.078 (0.37) -0.001 (-2.13) R (-1) -275.03 (-4.81) 1.139 (5.96) R (-2) 227.17 (2.38) -0.309 (-0.969) R (-3) 8.512 (0.88) 0.052 (0.16) R (-4) -50.199 (-0.77) 0.001 (0.005) C 2413.83 (1.49) 4.919 (0.907) R2 0.988 0.853 AdJ .r2 0.984 0.802 F 239.83 16.67 A I C 15.323 3.92 S I C 15.735 4.33
Perhatikan Tabel I dengan memperhatikan regresi dengan variabel terikat (regressand) M, kemudian R.
1. Model M
Secara individu, hanya M(-1), R(-1) dan R(-2) yang signifikan secara statistik. Tetapi, secara bersama-sama semua regresor signifikan karena nilai F cukup besar
2. Model R
Secara individu, M(-1), M(-2), M(-3) dan M(-4) dan R(-1) signifikan (paling tidak pada 10%). Semua regresor secara bersama-sama significan berdasarkan Tes F.
Tabel II: Estimasi VAR k = 2, data 1979-III s/d 1987-IV M R M (-1) 1.037 (6.46) 0.001 (1.86) M (-2) -0.045 (-0.29) -0.001 (-2.19) R (-1) -234.885 (-5.16) 1.069 (6.42) R (-2) 160.156 (3.30) -0.223 (-1.26) C 1451.98 (1.22) 5.796 (1.33) R2 0.988 0.81 Adj .R2 0.986 0.78 F 607.07 30.249 AIC 15.103 3.88 SIC 15.327 4.11
Pada model M; M(-1), R(-1) dan R(-2) secara individu signifikan. Sedangkan pada model R: M(-1), M(-2) dan R(-1) secara individu signifikan. Sedangkan secara bersama-sama semua regresor signifikan pada kedua model berdasarkan tes F.
Pemilihan banyaknya jeda yang ideal
Dari dua percobaan, k = 4 dan k = 2, model mana yang lebih layak? Kita dapat menggunakan informasi yang ada pada SIC maupun AIC. Ternyata untuk model dengan k = 2 mempunyai nilai SIC dan AIC yang lebih kecil sehingga model dengan k = 2 lebih layak digunakan. Dengan cara yang sama, model dengan k = 2 dan k = 6 juga dibandingkan. Ternyata model dengan k = 2 yang mempunyai SIC dan AIC terkecil.
Forecasting dengan VAR
Dari Tabel II, kita dapat menulis persamaan M dan R untuk digunakan sebagai sarana peramalan. Perhatikan bahwa data yang digunakan untuk mengestimasi Tabel II adalah data dari 1979-III s/d 1987-IV. Sehingga besaran M dan R untuk 1988-I ditentukan sebagai berikut:
M 1988-I = 1451.977 + 1.0375 M1987-IV – 0.0446 M1987-III
- 234.885 R1987-IV + 160.156 R1987-III
R 1988-I = 5.796 + 0.001 M1987-IV – 0.001 M1987-III
Karena semua regresor telah diamati, maka ramalan M dan R untuk
tahun 1988 kuartal I dapat ditentukan. Karena ramalan ini ramalan
ex post, maka besarannya dapat dibandingkan dengan nilai yang
diamati. Untuk money supply, M, model VAR tersebut kelebihan
prediksi sekitar 1.4%.
Kelebihan Model VAR
1. Model VAR adalah model yang sederhana dan tidak perlu membedakan mana variabel endogen dan eksogen. Semua variabel pada model VAR dapat dianggap variabel endogen. 2. Cara estimasi model VAR sangat mudah yaitu dengan
menggunakan OLS pada tiap-tiap persamaan secara terpisah. 3. Forecast menggunakan model VAR pada beberapa hal lebih
baik dari forecast yang menggunakan model dengan persamaan simultan yang lebih kompleks.
4. Semua variabel pada model VAR harus sudah stasioner kalau belum, harus ditransformasi terlebih dahulu agar stasioner.
5. Interpretasi parameter yang telah diestimasi pada model VAR tidak mudah. Oleh karenanya, para praktisi kadang-kadang malah mengestimasi IRF (Impulse Response Function).
IRF melacak respons dari variabel terikat pada model VAR bila
terjadi perubahan shock melalui u1 dan u2 (untuk model dengan
2 variabel). Tetapi teknik ini banyak dipertanyakan oleh para analis.
Aplikasi VAR pada Model Perekonomian Texas
• Perekonomian Texas sangat dipengaruhi oleh harga BBM. Bila harga BBM meningkat maka perekonomiannya meningkat.
• Fomby dan Hirshberg membangun model VAR dengan menggunakan 3 variabel dan data kuartalan 1974 –I s/d 1988 –I Variabel yang digunakan:
x: perubahan (%) harga BBM (real)
y: perubahan (%) employment di sektor bukan pertanian di Texas z: perubahan(%) employment di sektor bukan pertanian
Model VAR yang ditawarkan:
xt = a1 + b1xt-1 + b2xt-2 + c1yt-1 +c2yt-2 +d1zt-1 +d2zt-2 +u1
yt= a2 + f1xt-1 + f2xt-2 + g1yt-1 +g2yt-2 +h1zt-1 +h2zt-2 +u2
zt = a3 + p1xt-1 + p2xt-2 + q1yt-1 +q2yt-2 +r1zt-1 +r2zt-2 +u3
Masing-masing persamaan mempunyai 7 parameter yang akan diestimasi. Hasil estimasinya disampaikan pada Gujarati (2009) halaman 790. Dari hasil estimasi ini Fomby dan Hirshberg menyimpulkan bahwa berdasarkan data tersebut, perekonomian Texas kurang terpengaruh oleh perubahan harga BBM
Model VAR: Dinamika Pasar BBM Pemanas
Seperti halnya minyak tanah di Indonesia, BBM pemanas sangat aktif
diperdagangkan di AS. Perubahan cuaca yang di luar perkiraan
dapat berakibat pada perubahan permintaan yang mengakibatkan
fluktuasi harga. Selain itu, minyak mentah dunia yang merupakan
bahan baku pembuat BBM pemanas juga sangat berfluktuasi.
Akibatnya, fluktuasi harga BBM pemanas di AS sangat luar biasa.
Kalau kita ingin membuat model pasar dari BBM pemanas, model ini dapat digunakan untuk meramal harga BBM pemanas ini. Kita dapat membuat estimate dari model struktural yang dapat menggambarkan dinamika permintaan, penawaran, dan inventori dari BBM pemanas ini. Akan tetapi, model yang dapat menggambarkan prilaku ini tentunya sangat kompleks dan forecast harga BBM ke depan tentunya tidak mudah mengingat adanya ketidakpastian kondisi cuaca di masa datang. Model VAR dapat digunakan sebagai model alternatif yang relatif simpel yang diharapkan dapat menggambarkan dinamika pasar tersebut sebagai variabel yang saling berinteraksi digunakan:
PHO: price of heating oil
QHO: production of heating oil NHO: inventory of heating oil
Sedangkan variabel jeda yang digunakan sampai dengan k = 8. Data
yang digunakan adalah data bulanan dari Januari 1980 s/d Juni
1988. Selain itu, dicoba juga variabel Index Industrial Production
(GIP) sebagai salah satu regresor dalam ketiga persamaan.
Hasil estimasi parameternya disajikan pada Tabel 13.4 Pindyck & Rubinfeld (1998). Model VAR ini diestimasi dengan OLS secara terpisah tiap-tiap persamaannya.
Tabel ini menunjukkan bahwa:
(i). hanya sekitar 25% dari variabel jeda pada tiap-tiap persamaan yang signifikan.
