SYARAT KEKONTINUAN FUNGSI KONVERGENSI PADA
BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL
Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Eddy Djauhari
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21 Jatinangor 45363E-mail: erusyaman@yahoo.co.id
ABSTRAK
SYARAT KEKONTINUAN FUNGSI KONVERGENSI PADA BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL. Dari hasil penelitian ini akan diperlihatkan bahwa dengan syarat-syarat tertentu, kekontinuan suatu fungsi dapat dipertahankan apabila fungsi tersebut diturunkan dengan orde fraksional. Selanjutnya apabila diberikan suatu barisan fungsi kontinu yang konvergen ke suatu fugsi, juga dapat ditunjukkan bahwa barisan fungsi turunan fraksionalnya akan tetap kontinu dan konvergen. Masalahnya berikutnya yaitu meneliti kekontinuan fungsi konvergensinya, di mana hasilnya menunjukkan adanya keterlibatan kekonvergenan seragam dari barisan fungsi asal. Dengan kata lain kekontinuan dari fungsi konvergensi dapat dipertahankan apabila barisan fungsi tersebut merupakan barisan yang konvergen seragam.
Kata kunci: barisan fungsi, konvergen seragam, turunan fraksional, kontinu
ABSTRACT
TERMS CONTINUITY OF CONVERGENCE FUNCTION ON SEQUENCES DERIVED FRACTIONAL OF ORDER. The results of this research will be showed that with certain conditions, continuity of a function can be maintained if the function is derived by differentiation fractional order. Furthermore, when given a sequence of continuous functions that converges to a function, then can be shown that the sequence of derivative function by fractional will remain continuous and convergent. The next problem is examined continuity of convergence function, where the results indicate the involvement of the uniform convergence of the origin functions sequence. In other words, continuity of convergence function can be maintained if this sequence of functions is a uniform convergence sequence.
Key words: sequence of functions, uniform convergence, fractional derivatives, continuous
1. PENDAHULUAN
Orde turunan dari suatu fungsi, secara tradisional senantiasa dihubungkan dengan bilangan asli. Artinya jika diberikan sebuah fungsi, maka kita dapat menentukan turunan ke (orde) satu, kedua, ketiga, dan seterusnya. Ide generalisasi dari konsep ini adalah bagaimana menentukan turunan yang berorde suatu bilangan pecahan (fraksional), yaitu bilangan rasional atau bahkan bilangan real.
Dengan demikian, apabila sebelumnya telah dikenal notasi
D
tnf
(t
)
= f (n) (t) sebagai turunan berorde bilangan asli n dari fungsi f(t) terhadap variabel t, maka sebagai generalisasi dari bentuk tersebut diperkenalkan notasi)
(t
f
D
t
= f () (t) sebagai turunan fraksional orde- dari fungsi f(t) terhadap variabel t, dengan suatu bilangan rasional/pecahan [2,5]. Dengan adanya konsep tersebut, sangat memungkinkan terjadinya perubahan struktur
pada kekontinuan fungsi, khususnya dalam kaitannya dengan kekonvergenan barisan fungsi turunan berorde fraksional.
Dalam penelitian ini, hal pertama yang akan diteliti adalah tentang kekontinuan fungsi hasil dari penurunan fraksional suatu fungsi kontinu.
Apabila kekontinuan dapat dipertahankan, apakah berlaku untuk setiap bilangan fraksional , ataukah ada batasan batasan tertentu untuk yang menjamin kekontinuan fungsi tersebut.
Selanjutnya, hal kedua yang akan diteliti adalah apabila diberikan barisan fungsi kontinu yang konvergen, apakah fungsi konvergensi dari barisan fungsi hasil penurunan fraksionalnya juga akan kontinu? Dalam hal ini juga memungkinkan adanya pembatasan orde fraksional yang menjamin kekontinuan tesebut.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Beberapa teori pendukung bagi penelitian ini, penulis sampaikan beberapa diantaranya adalah sebagai berikut:
Berangkat dari definisi turunan pertama suatu fungsi, dalam [5,6] telah didefinisikan turunan tingkat ke-n secara umum sebagai berikut.
Definisi 2.1: Turunan ke-n dari fungsi f(t)
terhadap variabel t adalah
)
(t
f
D
n t = 0lim
h
!.( )! ( ) ! 1 1 0 ih t f i n i n h n i i n
dengan n adalah bilangan asli 1, 2, 3, . . . .
Apabila definisi tersebut diperumum lagi, bukan untuk n (bilangan asli), melainkan untuk orde bilangan rasional , maka Grundwal dan
Letnikov dalam [2] mendefinisikan turunan fraksional dengan orde adalah sebagai berikut.
Definisi 2.2: Turunan fraksional ke- dari
fungsi f(t) terhadap variabel t adalah
) (t f Dt = 0 lim h ( ) ) 1 ( ). 1 ( ) 1 ( 1 1 0 ih t f i i h n i i n
dimana :- a < t < b dan adalah bilangan fraksional.
- n adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
h a
b .
- () adalah fungsi gamma yang didefinikan sebagai
0 1 . ) (
t e tdt , dengan R dan > 0Selain dari definisi di atas, definisi lain yang disajikan oleh Riemann-Liouville didahului dengan definisi tentang integral fraksional berikut.
Definisi 2.3: Misalkan bilangan real, Integral fraksional orde dari f (x) di L1[a,b] adalah
dengan
Dengan menggunakan definisi di atas,
Riemann-Liouville mendefinisikan turunan fraksionalnya
sebagai berikut.
Definisi 2.4: Misalkan bilangan real, dan . Turunan fraksional orde dari f (x) terhadap di sekitar x = a , adalah
Dengan definisi-definisi di atas, dalam [4] secara sederhana Mauro Bologna fisikawan dari
universidad de Tarapaca Chili menyatakan
bahwa turunan ke- dari f(t) = t p adalah
p t
t
D
= p t p p ) 1 ( ) 1 ( .Kemudian dalam [1] hasil penelitian sebelumnya, tahun 2011 yang berkaitan dengan kekonvergenan barisan fungsi turunan fraksional, telah dihasilkan teorema sebagai berikut.
Teorema 2.5: Misalkan barisan bilangan real dan f suatu fungsi dengan
ada nilainya untuk setiap n. Jika konvergen ke dan ada,
maka barisan fungsi
konvergen ke .
Toerema tersebut, menunjukkan bahwa kekonvergenan barisan orde fraksional ternyata dapat dipertahankan, sehingga dengan menambahkan syarat tertentu, barisan fungsi turunan berorde fraksional tetap konvergen
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum menguraikan hasil penelitian ini, terlebih dahulu disampaikan mengenai teorema kekonvergenan seragam dari suatu barisan fungsi.
Teorema 3.1: Diberikan sebuah barisan fungsi pada himpunan A, dan misalkan konvergen seragam ke di A. Maka
f kontinu di A.
Bukti:
Berdasarkan hipotesis konvergen seragam ke , berarti jika diberikan dan
jika berlaku
.
Selanjutnya ambil c A sembarang, akan ditunjukkan bahwa f kontinu di c.
Dengan menggunakan ketidaksamaan segi tiga, diperoleh
. Karena fN kontinu di c , maka terdapat =
sehingga jika dan x
A , maka .
Dengan demikian, jika dan x A, maka
. Karena > 0 dan c A diambil sembarang, maka terbukti f kontinu di A.
Selanjutnya hasil penelitian yang didapat mengenai kekontinuan fungsi turunan fraksional dinyatakan dalam tiga teorema berikut.
Teorema 3.2: Jika f(x) kontinu di x = c dan f ()(c) ada, maka f ()(c) kontinu di x = c . Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
Dengan menggunakan Definisi 2.2 di atas, diperoleh:
=
Dalam hal ini disyaratkan bahwa f ()(c) harus ada, karena sangat memungkinkan terjadi bahwa domain (daerah asal) suatu fungsi akan berubah setelah diturunkan dengan turunan fraksional berorde . Sebagai contoh yang sederhana, apabila fungsi f(x) = x2 diturunkan dengan orde 1/2, maka diperoleh
f (1/2)(x) = .
Jelas dalam hal ini bahwa f (1/2)(x) tidak terdefinisi di x < 0, sehingga walaupun f(x) kontinu di x = c < 0 tetapi f (1/2)(x) tidak kontinu di x = c tersebut.
Akibat Teorema 3.2:
Jika f(x) kontinu pada suatu interval I dan f ()(x) ada nilainya untuk semua x di I, maka f ()(x) kontinu di I.
Teorema 3.3: Jika barisan fungsi kontinu yang konvergen ke f di A dan terdefinisi di A, maka barisan fungsi turunan orde yaitu
juga merupakan barisan fungsi kontinu yang konvergen ke f () .
Bukti dari teorema ini dibagi menjadi dua bagian, pertama bahwa dari Teorema 5.3 di atas, apabila barisan fungsi kontinu untuk setiap
n, maka juga merupakan fungsi kontinu, sehingga juga merupakan barisan fungsi kontinu.
Selanjutnya, apabila barisan fungsi yang konvergen ke f di A, berarti untuk setiap
dan
untuk suatu K > 0.
Dengan menggunakan Definisi 2.2, diperoleh
< K . = .
Dengan demikian terbukti bahwa juga merupakan barisan fungsi kontinu yang konvergen ke f () .
Sebagai contoh, jika diambil barisan fungsi
yang konvergen ke f (x) = 0 di A = (0,1) , lalu diturunkan dengan orde fraksional = 1/2, maka diperoleh
( , ,
yang konvergen ke
f (1/2) = 0 .
Terlihat pada grafik berikut bahwa grafik yang berwarna menuju ke f (1/2) (warna hitam).
Gambar-1
Masalah selanjutnya adalah bahwa apakah kekontinuan yang dipertahankan pada barisan fungsi turunan fraksional yang juga dapat dipertahankan pada fugsi konvergensi
yaitu f () ?. Jawabannya tersaji pada teorema berikut.
Teorema 3.4: Misalkan barisan fungsi kontinu yang konvergen ke f di A dan terdefinisi di A. Jika konvergen seragam ke f di A maka .f () adalah kontinu di A. Bukti:
Diketahui barisan fungsi kontinu yang konvergen seragam ke f di A , berarti untuk setiap dan
jika berlaku
untuk suatu K > 0 . Berdasarkan Teorema 5.4, maka
artinya konvergen seragam ke f () . Selanjutnya berdasarkan Teorema 3.1, maka terbukti bahwa f () adalah fugsi kontinu.
4. KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan dari penelitian ini menunjukkan bahwa kekontinuan fungsi turunan berorde fraksional ternyata dapat dipertahankan. Demikian pula kekontinuan fungsi konvergensi dari suatu barisan fungsi turunan berorde fraksioanal juga dapat dipertahankan, walaupun dalam kasus ini harus ada syarat yaitu bahwa selain fungdi turunan fraksionalnya harus terdefinisi (ada), juga barisan fungsi asalnya harus konvergen seragam.
Mengingat keterbatasan fungsi yang menjadi kajian penelitian ini, maka perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan fungsi yang lebih umum, sehingga keberlakuan teorema di atas akan lebih sahih.
5. DAFTAR PUSTAKA
1. RUSYAMAN, E., PARMIKANTI, K., dan SUBARTINI, B., 2011, Kekonvergenan Barisan Fungsi Turunan Berorde Fraksional, Prosiding Seminar Nasional Statistika, Universitas Padjadjaran Bandung.
2. GRUNWALD-LETNIKOV, Fractional Differentiation, http://planetMath.Org ./ Fractional Differentiation.htm, Download 04/06/2007
3. GUNAWAN.H, PRANOLO. F, and RUSYAMAN. E, 2007, An Interpolation
Method That Minimizes an Energy Integral of Fractional Order. Proceeding of Asian
Symposium of Computer Mathematics , Springer, Singapore.
4. BOLOGNA, M., Short Introduction to
Fractional Calculus,
http://www.uta.cl/charlas/vol19 / Download 17/07/2007
5. OLDHAM, K.B. and SPANIER, 1974, J.
The Fractional Calculus: Integration and
Differentiation, York: Academik Press
6. PARMIKANTI. K dan RUSYAMAN. E, 2008, Turunan Fraksional dan Aplikasinya, Proceding Seminar Nasional Matematika, Universitas Padjadjaran, Bandung.
