(Mia Risti Fausi, Ir. Yerri Susatio, MT, Dr. Ridho Hantoro)

(1)

1

PERHITUNGAN FREKUENSI NATURAL “TAPERED CANTILEVER” DENGAN PENDEKATAN METODE ELEMEN HINGGA

(Mia Risti Fausi, Ir. Yerri Susatio, MT, Dr. Ridho Hantoro)

Jurusan Teknik Fisika – Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS Keputih Sukolilo,Surabaya 60111

ABSTRAK

Cantilever merupakan balok yang didukung di satu ujung dan membawa beban di ujung lain atau didistribusikan sepanjang bagian yang tidak didukung. Sedangkan tapered cantilever merupakan jenis cantilever yang bentuknya semakin mengecil keujungnya. Pada penelitian ini dihitung besarnya frekuensi natural dari tapered cantilever dengan menggunakan pendekatan MEH (Metode Elemen Hingga). Metode elemen hingga adalah metode numeric yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Dengan menggunakan metode elemen hingga dihasilkan frekuensi natural tapered cantilever sebesar ± 69166.998rad/s dan ± 681480.687rad/s pada sistem 1 elemen, pada sistem 2 elemen berkisar antara ± 3.086rad/s sampai ± 726147.855rad/s, pada sistem 3 elemen bernilai real antara ± 2.270rad/s sampai ± 724999.459rad/s, pada sistem 4 elemen bernilai real antara ± 1.260rad/s sampai ± 832414.780rad/s, pada sistem 5 elemen bernilai real antara ± 1.026rad/s sampai ± 1260767.067rad/s. Pada tapered cantilever dengan menggunakan MEH diketahui bahwa sistem dengan 5 elemen merupakan elemen pendekatan yang paling baik jika dibandingkan dengan elemen yang lain, karena error rata-rata yang dihasilkan adalah yang terkecil yaitu 0.1.

Kata kunci: tapered cantilever, frekuensi natural, metode elemen hingga

PENDAHULUAN Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai konstruksi-konstruksi bangunan maupun peralatan-peralatan yang berbentuk cantilever. Cantilever itu sendiri merupakan balok yang didukung pada salah satu sisinya, sedangkan ‘tapered cantilever’ itu sendiri mempunyai bentuk yang tidak seragam. Konstruksi contilever dapat ditemui misalnya seperti pada bagian atap bangunan yang tidak memakai penyangga, papan loncat indah pada kolam renang, seperti juga pada sayap pesawat tebang dan masih banyak lagi yang lain. Bentuk-bentuk cantilever pada umumnya tidak uniform / seragam, sehingga bentuk aslinya perlu mendekati permodelan cantilever berbentuk tapered.

Solusi persamaan elastis benda penjal bagi geometri yang rumit, pembebanan, dan sifat material tertentu, umumnya tidak mungkin diperoleh dengan penyelesaian analisis matematik dari persamaan diferensial penentunya. Penyelesaian analitik yang diperoleh menetapkan parameter yang dicari bagi sistem struktur dari persamaan diferensial penentu sangat terbatas pada kondisi tertentu

beban, geometri dan sifat bahan. Dengan demikian, salah satu cara numerik - metoda elemen hingga – merupakan solusi yang digunakan untuk memperoleh penyelesaian bagi sistem dengan geometri, beban dan material yang kompleks.

Segala sesuatu di alam semesta memiliki frekuensi natural, dan banyak hal yang memiliki frekuensi natural lebih dari satu. Penting kiranya untuk mengetahui frekuensi natural yang dimiliki cantilever itu sendiri agar dapat mengantisipasi kerusakan konstruksi akibat gaya-gaya eksitasi yang bekerja secara periodik.

Permasalahan

Beberapa permasalahan yang dihadapi dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana memodelkan tapered cantilever

sebagai gabungan dari beberapa elemen cantilever uniform.

2. Bagaimana menentukan frekuensi natural dari model yang terbentuk.

3. Bagaimana membandingkan hasil perhitungan yang diperoleh dengan perhitungan secara eksak.

(2)

2

Batasan Masalah

Batasan-batasan masalah yang terdapat pada tugas akhir ini adalah:

1. Cantilever memiliki rapat massa yang homogen.

2. Cantilever memiliki modulus elatis yang homogen.

3. Cantilever menggunakan parameter dari struktur baja.

Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui hasil permodelan tapered cantilever sebagai gabungan dari beberapa elemen cantilever uniform.

2. Untuk menentukan nilai frekuensi natural dari model yang terbetuk

3. Untuk membandin.gkan hasil perhitungan yang diperoleh dengan perhitungan secara eksak.

Metodologi Penelitian

Berikut adalah rincian metodologi penelitian yang akan dilaksanakan pada tugas akhir kali ini:

1. Studi literatur terhadap materi yang terkait dengan pelaksanaan tugas akhir yang akan dilakukan, mengenai:

a) Pemahaman mengenai tapered cantilever

b) Pemahaman hasil pemodelan yang terbentuk

c) Pemahaman metode elemen hingga 2. Pra-eksperimen :

a) Pendekatan dengan membagi-bagi model menjadi beberapa elemen.

b) Perhitungan dengan menggunakan metode elemen hingga

3. Membandingkan hasil perhitungan hasil perhitungan yang diperoleh dengan perhitungan secara eksak.

4. Penyusunan laporan tugas akhir.

DASAR TEORI Cantilever

Cantilever, balok didukung di satu ujung dan membawa beban di ujung lain atau didistribusikan sepanjang bagian yang tidak didukung. Bagian atas ketebalan seperti balok dikenai tegangan tarik , serat cenderung memanjang, setengah lebih rendah untuk tegangan tekan, cenderung untuk menghancurkannya. Cantilevers bekerja secara ekstensif dalam konstruksi bangunan dan mesin.

Dalam membangun, balok setiap dibangun ke dinding dan dengan ujung bebas memproyeksikan bentuk penopang.

Gambar Skematik Sederhana Cantilever

Cantilever banyak ditemui dalam kontruksi, seperti pada jembatan cantilever dan pada balkon. Sementara, cantilever sering digunakan dalam kontruksi. Sebagian struktur kontruksinya menciptakan cantilever, tetapi struktur yang lengkap tidak bertindak sebagai cantilever. Penggunaan cantilever yang lain misalnya pada sayap pesawat terbang. Desain sayap pesawat yang paling umum saat ini adalah cantilever tersebut.

Gambar Cantilever pada Sayap Pesawat

Metode Elemen Hingga

Metode elemen hingga adalah metode numeric yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis dari suatu gejala fisis.

Tipe masalah teknis dan matematis fisis yang dapat diselsesaikan dengan metode elemen hingga terbagi dalam dua kelompok yaitu kelompok analisa struktur dan kelompok masalah-masalah non struktur.

Dalam persoalan_persoalan yang menyangkut geometri yang rumit, seperti persoalan pembebanan terhadap struktur yang komplek, pada umumnya sulit dipecahkan melalui matematika analisis. Hal ini disebabkan karena matematika analisis memerlukan besaran atau harga yang harus diketahui pada setiap titik pada struktur yang dikaji.

Metode ini akan mengadakan pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam bagian yang kecil yang secara keseluruhan masih mempunyai sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi dalam bagian yang kecil.

(3)

3

Elemen Beam Uniform

Struktur yang dirancang untuk dapat menerima beban lateral atau beban yang tegak lurus pada beam.

Sehingga utamanya dapat meneruskan bending, meskipun ada shear (sebagai konsekuensi logis). Elemen beam dengan penampang melintang uniform tampak pada gambar dibawah ini:

Gambar Beam dengan Penampang Uniform Sifat-sifat elemen beam:

a) 2 node per elemen

b) 2 DOF (Degree of Freedom) pada setiap node yaitu perpindahan translatif kearah sumbu y dinyatakan dalam v, dan perpindahan rotatif sekitar sumbu panjang elemen dinyatakan dalam θ c) Data teknis yang diperlukan adalah

Panjang beam : L Momen Inersia : I Modulus Elastis : E d) Jenis Pembebanan Gaya lateral : Y Momen : M

Persamaan kesetimbangan beam tanpa beban disajikan dalam persamaan diferensial:

𝜕4_𝑣

𝜕𝑥4= 0 … (2.2)

Dimana v(x) adalah defleksi beam, yang merupakan solusi dari persamaan diferensial diatas.

v(x) dinyatakan dalam bentuk polinomial derajat tiga sebagai berikut:

𝑣(𝑥) = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥2+ 𝑎4 𝑥3 … (2.2𝑎)

Dimana koefisien a1 akan ditentukan dari kondisi batas dari setiap node seperti dinyatakan dibawah ini: Pada 𝑥 = 0 𝑣 = 𝑣₁ dan 𝜕𝑣 𝜕𝑥= 𝜃1 𝑥 = 𝐿 𝑣 = 𝑣2 dan 𝜕𝑣 𝜕𝑥= 𝜃2

Persamaan v(x) diatas dideferensialkan terhadap x diperoleh

𝜕𝑣(𝑥)

𝜕𝑥 = 𝑎2 + 2𝑎3 𝑥 + 3𝑎4 𝑥2 … (2.2𝑏)

Substitusi harga batas yang ada kepersamaan v(x) dan persamaan diferensialnya

𝑥 = 0 𝑣 = 𝑣1 maka 𝑣 = 𝑎1 𝑥 = 0 𝜕𝑣_𝜕𝑥= 𝜃1 maka 𝜃1= 𝑎2 𝑥 = 𝐿 𝑣 = 𝑣2 maka 𝑣2= 𝑎1+ 𝐿𝑎2+ 𝐿2𝑎3+ 𝐿3𝑎4 𝑥 = 𝐿 𝜕𝑣_𝜕𝑥= 𝜃2 maka 𝜃2= 𝑎2 + 2𝑎3 𝐿 + 3𝑎4 𝐿2

Dari persamaan-persamaan diatas, diperoleh persamaan-persamaan v1, θ1, dan v2, θ2 yang masing-masing dinyatakan dalam a1, a2, a3, dan a4. Dari persamaan tersebut dapat dibentuk dalam matrik seperti berikut:

� 𝑣1 𝜃1 𝑣2 𝜃2 � = � 1 0 0 1 0 00 0 1 𝐿 0 1 𝐿 2 _𝐿3 2𝐿 3𝐿2 � × � 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 � � 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 � = 1 𝐿3� 𝐿3 ₀ 0 𝐿3 0 0_{0 0} −3𝐿 −2𝐿 2 𝐿 3𝐿 −𝐿 2 −2 𝐿 � � 𝑣1 𝜃1 𝑣2 𝜃2 � Dimana v merupakan displacemet translasi, sedangkan θ merupakan displacement rotasi. Substitusi masing-masing a1, a2, a3, dan a4 ke persamaan (2.3) diperoleh: 𝑣(𝑥) = 𝑣1+ 𝑥𝜃1−3𝑥 2 𝐿2 𝑣1− 2𝑥2 𝐿 𝜃1+ 3𝑥2 𝐿2 𝑣2− 𝑥2 𝐿 𝜃2+ 2𝑥3 𝐿3 𝑣1 +𝑥_𝐿3₂𝜃1−2𝑥 3 𝐿3 𝑣2+𝑥 3 𝐿2𝜃2 … (2.3)

Setelah didapatkan v(x) atur kembali sehingga berbentuk: 𝑣(𝑥) = 𝑓1(𝑥)𝑣1 + 𝑓2(𝑥)𝜃1 + 𝑓3(𝑥)𝑣1 + 𝑓4(𝑥)𝜃1 … (2.4) Dimana: 𝑓1(𝑥) = 1 − 3 �𝑥_𝐿� 2 + 2 �𝑥_𝐿�3 … (2.5𝑎) 𝑓2(𝑥) = 𝑥 − 2 �𝑥 2 𝐿 � + 𝑥3 𝐿2 … (2.5𝑏) 𝑓3(𝑥) = 3 �𝑥_𝐿� 2 − 2 �𝑥_𝐿�3 … (2.5𝑐) 𝑓4(𝑥) = − �𝑥 2 𝐿 � + 𝑥3 𝐿2 … (2.5𝑑)

(4)

4

Dimana f(x) adalah Shape Function untuk interval 0 – L.

Dengan shape function akan dapat ditentukan matrik kekakuan dari beam tersebut, dengan persamaan:

𝑘𝑖𝑗= 𝐸𝐼 � 𝑓𝑖′′(𝑥). 𝐿 0

𝑓𝑗′′(𝑥) 𝑑𝑥 … (2.6)

Sedangkan persamaan untuk momen inersianya dapat dihitung dengan persamaan seperti dibawah ini:

𝐼 = 𝑚. 𝑟2_{… (2.7)}

𝑑𝐼 = 𝑟2_{. 𝑑𝑚 … (2.7𝑎)}

Dengan mengintegralkan persamaan diatas, dimana r = x dan m adalah massa beam, maka didapatkan:

� 𝑑𝐼 = � 𝑥2_{. 𝑑𝑚 … (2.7𝑏)}

Untuk massa yang digunakan dalam menentukan besarnya momen inersia itu sendiri digunakan persamaan sebagai berikut:

� 𝑑𝑚 = 𝜌. 𝑑𝑣 … (2.8)

Dimana ρ adalah kerapatan massa, dan v adalah volume dari beam yang digunakan.

Persamaan (2.6) diatas menyatakan matrik kekakuan elemen beam dengan ordo 4x4, dengan persamaan tersebut dapat dijadikan dalam bentuk matrik seperti berikut:

𝐾 = � 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 𝑘13 𝑘14 𝑘23 𝑘24 𝑘31 𝑘32 𝑘41 𝑘42 𝑘33 𝑘34 𝑘43 𝑘44 �

Matrik massa untuk sistem massa terkonsentrasi dapat dihitung dengan menggunakan persamaan seperti dibawah ini:

𝑚𝑖𝑗= 𝜌𝐴 � 𝑓𝑖(𝑥). 𝐿 0

𝑓𝑗(𝑥)𝑑𝑥 … (2.9)

Dimana

i dan j = menyatakan jenis kolom dan baris yang akan disusun dalam bentuk matrik ρ = merupakan kerapatan massa

A = luas permukaan penampang

Dengan persamaan (2.6) diatas sehingga didapatkan matrik massa seperti berikut:

𝑀 = � 𝑚11 𝑚12 𝑚21 𝑚22 𝑚13 𝑚14 𝑚23 𝑚24 𝑚31 𝑚32 𝑚41 𝑚42 𝑚33 𝑚34 𝑚43 𝑚44 �

Setelah nilai matrik kekakuan dan matrik massa diketahui, maka dapat dihitung besarnya frekuensi natural dari elemen beam tersebut dengan menggunakan persamaan seperti dibawah ini.

[𝐾] − {𝜔}2_{[𝑀] = 0 … (2.10)}

𝜔 = �_{𝑀 … (2.10𝑎)}𝐾

METODOLOGI PENELITIAN Metode Analisis

Gambar Diagram Alir Penelitian Tugas Akhir Gambar diatas merupakan alur dalam proses penelitian pada tugas akhir ini, gambar diatas digunakan untuk lebih mempermudah alur-alur yang dilakukan pada penelitian ini.

Pemodelan Tapered Cantilever

Untuk menentukan nilai frekuensi natural dari tapered cantilever dengan menggunakan metode elemen hingga ini, hal yang dilakukan

(5)

5

terlebih dahulu adalah membagi-bagi cantilever tersebut menjadi beberapa elemen. Untuk tugas akhir ini tapered cantilever ini dibagi menjadi 5 elemen dengan melakukan pendekatan elemen beam.

Gambar Model Tapered Cantilever Beam Gambar diatas merupakan model dari tapered cantilever yang akan dihitung nilai frekuensi naturalnya, dengan bentuk seperti itu cantilever tersebut akan dibagi menjadi 5 elemen dengan pedekatan elemen beam seperti ditunjukkan pada gambar-gambar dibawah ini.

(a)

(b)

Gambar (a) Pemodelan dengan 1 Elemen Tapered;

(b) Pemodelan dengan 1 Elemen Uniform

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

Model Matematis

Untuk menghitung nilai frekuensi natural dari tapered cantilever dengan menggunakan metode elemen hingga ini akan ditentukan parameter-parameter yang akan digunakan untuk menghitung besarnya frekuensi natural. Parameter-parameter tersebut mulai dari panjang

(6)

6

cantilever (L), tinggi pangkal cantilever (a), tinggi ujung cantilever (b), lebar cantilever (w), modulus elastisitas (E), dan kerapatan massa (ρ). Penentuan parameter tersebut sesuai dengan struktur bahan dari tapered cantilever yang digunakan, yaitu menggunakan struktur baja. Tabel Parameter Struktur Tapered Cantilever

Parameter Nilai L (m) 15 a (m) 10 b (m) 5 w (m) 5 E (kg/m2) 20.7x109 ρ (kg/m3 ) 7800

Metode Elemen Hingga

Salah satu bentuk perhitungan dengan menggunakan Metode Elemen Hingga pada diskritasi 1 elemen.

1 Elemen

Pada pendekatan 1 elemen ini yang pertama-tama dilakukan adalah menghitung massa dari cantilever tersebut dengan pendekatan 1 elemen dengan menggunakan persamaan berikut:

𝑚 = � 𝜌. 𝑤

𝐿 0

�𝑎 − 𝑥(𝑎 − 𝑏)_𝐿 � 𝑑𝑥

Setelah diperoleh massa dari cantilever tersebut, selanjutnya dapat dihitung momen inersia dengan persamaan seperti dibawah ini:

� 𝑑𝐼 = � 𝑥2_{. 𝑑𝑚}

𝐼 = � 𝑥2_{. 𝜌. 𝑤} 𝐿 0

�𝑎 − 𝑥(𝑎 − 𝑏)_𝐿 � 𝑑𝑥

Dalam hal untuk memperoleh besarnya massa yang digunakan untuk menghitung momen inersia dan matrik massa adalah berbeda.

Dengan persamaan diatas akan didapatkan besarnya momen inersia terhadap titik gantung.

Momen inersia tersebut dapat digunakan untuk mengitung besarnya matrik kekakuan dengan menggunakan persamaan seperti dibawah ini:

𝑘𝑖𝑗= 𝐸𝐼 � 𝑓𝑖′′(𝑥). 𝐿 0

𝑓𝑗′′(𝑥) 𝑑𝑥

Selanjutnya menghitung besarnya matrik massa dengan menggunakan persamaan seperti dibawah ini:

𝑚𝑖𝑗= 𝜌𝐴 � 𝑓𝑖(𝑥). 𝐿 0

𝑓𝑗(𝑥)𝑑𝑥

Untuk pendekatan 1 elemen akan dihasilkan matrik massa dan matrik kekakuan dengan ordo 4 x 4. Karena beam ini bertumpu pada salah satu ujungnya dimana ujung ini dinamakan node 1, maka node 1 ini merupakan node mati dimana tidak ada gaya yang bekerja dan tidak ada perubahan akibat gaya eksitasi tersebut. Sehingga dengan adanya node yang mati tersebut makaordo matrik yang dihasilkan menjadi 2 x 2 saja.

Setelah nilai matrik kekakuan dan matrik massa diketahui, maka dapat dihitung besarnya frekuensi natural dari elemen beam tersebut dengan menggunakan persamaan seperti dibawah ini.

[𝐾] − {𝜔}2_{[𝑀] = 0}

𝜔 = �𝐾 𝑀

ANALISA DATA DAN PEMBAHASAN Analisa Data

Dengan melakukan perhitungan frekuensi natural seperti yang telah diuraikan pada Bab III yaitu dengan menggunakan pendekatan metode elemen hingga dan menggunakan persamaan eksak.

Dari hasil perhitungan yang telah dilakukan, diperoleh data-data seperti berikut: Tabel Frekuensi Natural 1 Elemen

Banyaknya Elemen Metode Elemen Hingga Persamaan Eksak 1 Elemen 69166.998 -69166.998 681480.687 -681480.687 579700

Tabel Frekuensi Natural 2 Elemen Banyaknya Elemen Metode Elemen Hingga Persamaan Eksak 2 Elemen 3.086 -3.086 8469.713 -8469.713 52942.720 -52942.720 80014.224 -80014.224 321834.397 -321834.397 726147.855 -726147.855 681200 920300

(7)

7

Tabel Frekuensi Natural 3 Elemen Banyaknya Elemen Metode Elemen Hingga Persamaan Eksak 3 Elemen 2.270 -2.270 7.201 -7.201 2608.389 -2608.389 7701.904 -7701.904 31732.897 -31732.897 35413.887 -35413.887 37015.973 -37015.973 309393.033 -309393.033 327804.891 -327804.891 360159.673 -360159.673 421277.641 -421277.641 724999.459 -724999.459 685900 896700 1060000

Tabel Frekuensi Natural 4 Elemen Banyaknya Elemen Metode Elemen Hingga Persamaan Eksak 4 Elemen 1.260 -1.260 6.003 -6.003 9.958 -9.958 2205.010 -2205.010 2615.969 -2615.969 3876.355 -3876.355 9499.599 -9499.599 18524.490 -18524.490 26604.611 -26604.611 29410.790 -29410.790 50130.386 -50130.386 748400 969100 1151000 1310000 264435.391 -264435.391 271134.523 -271134.523 315473.570 -315473.570 571293.001 -571293.001 724666.839 -724666.839 832414.780 -832414.780 Tabel Frekuensi Natural 5 Elemen

Banyaknya Elemen Metode Elemen Hingga Persamaan Eksak 5 Elemen 1.026 -1.026 3.665 -3.665 8.042 -8.042 721.015 -721.015 742.972 -742.972 870.099 -870.099 1224.897 -1224.897 1917.367 -1917.367 3660.313 -3660.313 3885.405 -3885.405 5051.945 -5051.945 16299.128 -16299.128 41707.975 -41707.975 198933.501 -198933.501 -431420.703 431420.703 907594.104 -907594.104 987952.961 -987952.961 1260767.067 -1260767.067 777200 1095000 1166000 1322000 1464000 .

Pada tabel dibawah merupakan tabel error dari tiap-tiap elemen tapered cantilever. Error

(8)

8

tersebut dihasilkan dari perbandingan antara penggunaan pendekatan metode elemen hingga dan penggunaan persamaan eksak.

Tabel Error Tiap-tiap Elemen Banyaknya

Elemen

Mode Error Error Rata-rata 1 Elemen 1 0.149 0.149 2 Elemen 1 2 0.062 0.211 0.137 3 Elemen 1 2 3 0.054 0.191 0.316 0.187 4 Elemen 1 2 3 4 0.032 0.141 0.277 0.365 0.204 5 Elemen 1 2 3 4 5 0.144 0.098 0.075 0.046 0.139 0.100 Pembahasan

Perhitungan frekuensi natural tapered cantilever dilakukan dengan menggunakan pendekatan elemen hingga dan persamaan eksak.

Pada sistem pendekatan 1 elemen dengan menggunakan metode elemen hingga dihasilkan data-data seperti yang ditunjukkan pada tabel 4.1. Dengan menggunakan metode elemen hingga ini diperoleh matrik kekakuan dan matrik massa dengan jumlah ordo 4 x 4, yang terdiri dari 2 node dengan 1 node mati di ujung yang menempel dengan penyangga. Berdasarkan matrik tersebut akan diketahui banyaknya frekuensi yang dihasilkan, dimana pada sistem 1 elemen ini dihasilkan 4 buah frekuensi natural yang bernilai ± 69166.998rad/s dan ± 681480.687rad/s.

Sedangkan hasil frekuensi natural dengan menggunakan persamaan eksak diperoleh 1 nilai frekuensi natural karena hanya terdiri dari sistem 1 elemen, besarnya yaitu 579700 rad/s.

Dengan menggunakan pendekatan metode elemen hingga dan dengan menggunakan persamaan eksak dapat dibandingakan hasil antara keduanya, dimana dari perbandingan tersebut dapat diketahui error yang terjadi. Pada system 1 elemen tapered cantilever ini diperoleh error sebesar 0.149. Sedangkan error yang dihasilkan dari referensi penelitian sebelumnya adalah sekitar 11, dengan demikian dapat dilihat bahwa pada penelitan tugas akhir ini frekuensi

natural yang dihasilkan dengan menggunakan metode elemen hingga sudah cukup baik

Pada sistem pendekatan 2 elemen dengan menggunakan metode elemen hingga dihasilkan data-data seperti yang ditunjukkan pada tabel 4.2. Dengan menggunakan metode elemen hingga diperoleh matrik dengan jumlah ordo 6 x 6, yang terdiri dari 3 node dengan 1 node mati di ujung yang menempel dengan penyangga. Berdasarkan matrik tersebut akan diketahui banyaknya frekuensi yang dihasilkan, dimana pada sistem 2 elemen ini dihasilkan 12 nilai frekuensi natural yang bernilai antara ± 3.086rad/s sampai ± 726147.855rad/s.

Sedangkan hasil frekuensi natural dengan menggunakan persamaan eksak diperoleh 2 nilai frekuensi natural karena hanya terdiri dari sistem 2 elemen, besarnya yaitu 681200 rad/s dan 920300 rad/s.

Dengan menggunakan pendekatan metode elemen hingga dan dengan menggunakan persamaan eksak dapat dibandingakan hasil antara keduanya, dimana dari perbandingan tersebut dapat diketahui error yang terjadi. Pada sistem 2 elemen tapered cantilever ini diperoleh error rata-rata sebesar 0.137. Sedangkan error rata-rata yang dihasilkan dari penelitian sebelumnya adalah sekitar 5.695.

Pada sistem pendekatan 3 elemen dengan menggunakan metode elemen hingga dihasilkan data-data seperti yang ditunjukkan pada tabel 4.3. Dengan menggunakan metode elemen hingga diperoleh matrik dengan jumlah ordo 8 x 8, yang terdiri dari 4 node dengan 1 node mati di ujung yang menempel dengan penyangga. Berdasarkan matrik tersebut akan diketahui banyaknya frekuensi yang dihasilkan, dimana pada sistem 2 elemen ini dihasilkan 24 nilai frekuensi natural yang bernilai real antara ± 2.270rad/s sampai ± 724999.459rad/s.

Sedangkan hasil frekuensi natural dengan menggunakan persamaan eksak diperoleh 3 nilai frekuensi natural karena hanya terdiri dari sistem 3 elemen, besarnya yaitu 685900rad/s, 896700rad/s dan 1060000rad/s.

(9)

9

Sedangkan hasil frekuensi natural dengan menggunakan persamaan eksak diperoleh 4 nilai frekuensi natural karena hanya terdiri dari sistem 4 elemen, besarnya yaitu 748400rad/s, 969100rad/s, 1151000rad/s dan 1310000rad/s.

Sedangkan hasil frekuensi natural dengan menggunakan persamaan eksak diperoleh 5 nilai frekuensi natural karena hanya terdiri dari sistem 5 elemen, besarnya yaitu 777200 rad/s, 1095000rad/s, 1166000rad/s, 1322000 rad/s dan 1464000rad/s.

Dengan menggunakan MEH, frekuensi natural terkecil yang dihasilkan pada tiap-tiap

elemen memiliki selisih yang kecil kecuali pada pendekatan 1 elemen.

Semakin banyak jumlah elemen pendekatan, nilai maksimum frekuensi natural yang dihasilkan semakin besar.

Dengan menggunakan persamaan eksak, semakin banyak elemen pendekatan yang dilakukan frekuensi natural yang dihasilkan semakin besar dengan selisih yang kecil untuk masing-masing mode pada masing-masing elemen.

Pada pemodelan 1 elemen, 2 elemen, 3 elemen, dan 4 elemen semakin kecil mode pada masing-masing elemen tersebut semakin kecil error yang dihasilkan.

Dengan menggunakan metode elemen hingga ini frekuensi natural yang diperoleh lebih teliti karena semakin banyak proses diskritasi yang dilakukan maka sistem tersebut akan mencacah frekuensi natural semakin banyak pula.

KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan analisa perbandingan dari penelitian tugas akhir ini, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Tapered cantilever ini menggunakan

pendekatan beam dengan pemodelan 1 elemen, 2 elemen, 3 elemen, 4 elemen dan 5 elemen.

2. Dengan menggunakan metode elemen hingga dihasilkan frekuensi natural tapered cantilever sebesar ± 69166.998rad/s dan ± 681480.687rad/s pada sistem 1 elemen, pada sistem 2 elemen berkisar antara ± 3.086rad/s sampai ± 726147.855rad/s, pada sistem 3 elemen bernilai real antara ± 2.270rad/s sampai ± 724999.459rad/s, pada sistem 4 elemen bernilai real antara ± 1.260rad/s sampai ± 832414.780rad/s, pada sistem 5 elemen bernilai real antara ± 1.026rad/s sampai ± 1260767.067rad/s.

3. Pada tapered cantilever dengan menggunakan pendekatan elemen-elemen tersebut diketahui bahwa sistem dengan 5 elemen merupakan pendekatan metode elemen hingga yang paling baik jika dibandingkan dengan elemen-elemen yang lain. Error rata-rata yang terkecil dihasilkan dari sistem 5 elemen sekitar 0.1, sedangkan error rata-rata terbesar dihasilkan pada sistem 4 elemen sekitar 0.204.

4. Dengan menggunakan metode elemen hingga ini frekuensi natural yang diperoleh

(10)

10

lebih teliti karena semakin banyak proses diskritasi yang dilakukan maka sistem tersebut akan mencacah frekuensi natural semakin banyak pula.

Saran

Berdasarkan penelitian ini yaitu dalam hal menghitung frekuensi natural, saran yang bisa dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut:

1. Lebih banyak dilakukan pembagian elemen pendekatannya agar frekuensi natural yang dihasilkan lebih akurat.

2. Bagaimana menghitung frekuensi natural, apabila diberi proses pembebanan yang berbeda dan struktur bahan yang tidak homogen.

3. Bisa dilakukan perhitungan hasil defleksi yang dihasilkan karena gaya tertentu dan dibandingkan dengan persamaan eksak yang telah ada.

DAFTAR PUSTAKA

1. Ir. Yerri Susatio, MT. “Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga” ANDI. Jogjakarta. 2004. 2. T. Y. Yang. “Finite Element Structural

Analysis”. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs. New Jersey. 1986.

3. Sofia W. Alisjabana. “Analisis Getaran Bebas Sebuah Batang dan Sebuah Balok menggunakan Metode Elemen Hingga” 4. http://mesin.ub.ac.id/diktat_ajar/data/05_a_

meh.pdf

5. Archer, J. S., “Consistent Mass Matrik for Distributed Mass System,” Journal of the Structural Division, Proceedings, ASCE, Vol.89, No. ST4, pp.161-178.

Biodata Penulis

Nama : Mia Risti Fausi TTL : Trenggalek 04 Mei 1987

Alamat : Jl. Soekarno-Hatta No.17 Trenggalek

Latar Belakang Pendidikan: • SDN 1 Kelutan 1993-1999 • SMPN 1 Trenggalek 1999-2002 • SMAN 1 Karangan 2002-2005

• D3 Instrumentasi TF – ITS 2005- 2008 • Teknik Fisika ITS, Surabaya,