Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai

Degradasi dan Agradasi

Dasar Sungai

Persamaan Saint Venant - Exner

Model Parabolik

Acuan Utama

Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 6, pp. 358-370, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.

Degradasi dan Agradasi



Degradasi

•

terjadi apabila debit solid yang datang lebih kecil

daripada kemampuan transpor sedimen

•

dasar sungai tererosi

•

dasar sungai turun



Agradasi

•

debit solid lebih besar daripada kemampuan transpor

sedimen

Degradasi dan Agradasi



Beberapa contoh

degradasi

•

pasokan sedimen (solid

discharge) dari hulu

berhenti atau

berkurang

•

debit aliran (air)

bertambah

•

penurunan dasar sungai

di suatu titik di hilir



Beberapa contoh

agradasi

•

pasokan sedimen (solid

discharge) dari hulu

bertambah

•

debit aliran (air)

berkurang

•

kenaikan dasar sungai

di suatu titik di hilir

Pemahaman

Degradasi dan Agradasi



Proses

•

merupakan proses jangka panjang evolusi dasar sungai,

z(x,t)

•

aliran sungai pada awal dan akhir proses berupa aliran

permanen dan seragam (steady and uniform flow)

•

selama proses, aliran sungai berupa aliran permanen

semu (quasi-unsteady) dan tak-seragam (nonuniform)



Asumsi untuk penyederhanaan

•

aliran quasi-uniform,

U/x = 0

•

shg dapat dipakai

model parabolik

, yang

Metode Analisis

Degradasi dan Agradasi



Model parabolik

•

didasarkan pada persamaan Saint-Venant –

Exner, dengan beberapa penyederhanaan

»

aliran dengan Angka Froude kecil, Fr < 0,6

»

aliran quasi-steady

»

aliran quasi-uniform

»

tinjauan hanya untuk jarak x yang panjang dan

waktu t yang lama

Persamaan Saint-Venant – Exner

• kemiringan garis energi, S_e, ditetapkan berdasarkan

Persamaan Saint-Venant – Exner

0



















x

h

U

x

U

h

t

h







Persamaan Saint-Venant

• aliran tak-permanen tak-seragam

• saluran prismatik

• kemiringan dasar kecil

• dasar tetap (fixed bed)

e

S

g

x

z

g

x

h

g

x

U

U

t

U

-























• pers. kontinuitas untuk B = konstan • pers. momentum

Persamaan Saint-Venant – Exner

x

U

a

t

z

E





-







Persamaan Exner

• dasar sungai bergerak (mobile bed, erodible bed)

• perubahan dasar sungai dinyatakan dengan persamaan berikut

• yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan kontinuitas aliran partikel solid (solid phase)

 





0

1

1

~

1

1







-

























-





x

q

p

t

z

Uh

C

x

h

C

t

p

t

z

_s s s a_E = koefisien erosi

Persamaan Saint-Venant – Exner

• dalam persamaan tersebut:

» p = porositas, rasio antara volume rongga udara yang terisi air

dengan volume total

» C_s = konsentrasi, rasio antara volume bagian padat (solid) dengan volume total campuran (mixture)

» q_s = debit solid per satuan lebar

• debit solid, q_s, umumnya dianggap merupakan fungsi debit air, q, menurut suatu hubungan tertentu



U

, h

,

sedimen



f

q

_s



Persamaan Saint-Venant – Exner



Unknowns:

• U(x,t) = kecepatan rata-rata

aliran campuran air+sedimen

• h(x,t) = kedalaman aliran

campuran air+sedimen

• z(x,t) = elevasi dasar sungai

• S_e = kemiringan garis energi

 persamaan empirik

• q_s = debit bagian padat  persamaan empirik



Independent variables

• x = jarak, posisi • t = waktu

0



















x

h

U

x

U

h

t

h

e

S

g

x

z

g

x

h

g

x

U

U

t

U

-

























U

, h

,

sedimen



f

q

_s



0

1

1







-





x

q

p

t

z

_s



f

U

h



f

S

_e



,

,

1.

2.

3.

4.

5.

Persamaan Saint-Venant – Exner



Kaitan antara bagian cair dan bagian padat

• Pers. 1, 2, 3  aliran air (+sedimen) melalui dasar sungai bergerak

• Pers. 4, 5  transpor sedimen (erosi dan deposisi)

• Coupling  secara implicit melalui persamaan 3 dan 5 (persamaan semi-empirik)



Prosedur penyelesaian

• Pers. 1, 2  untuk mendapatkan kecepatan dan kedalaman aliran, U dan h

• Pers. 4  untuk mendapatkan (perubahan) posisi dasar sungai, z

Persamaan Saint-Venant – Exner



Persamaan-persamaan Saint-Venant – Exner dapat

dikaitkan secara langsung (explicit coupling) apabila

persamaan kontinuitas bagian cair (Pers. 1) dituliskan

dalam bentuk sbb.

 



0

















Uh

x

t

z

t

h



Persamaan-persamaan Saint-Venant – Exner dengan

demikian dapat diselesaikan secara simultan karena z

muncul dalam persamaan bagian cair maupun bagian padat



Metode penyelesaian

• cara analitik  untuk kasus sederhana

• cara numerik  untuk kasus kompleks

Penyelesaian Analitik:

Model Parabolik



Persamaan Saint-Venant

– Exner

• hyperbolik

• non-linear



Dalam bentuk aslinya, penyelesaian anatilik persamaan tsb

sulit dilakukan



persamaan tsb perlu disederhanakan

• aliran dengan Angka Froude kecil

• aliran permanen (quasi-steady)



Justifikasi:

• variasi aliran (debit)  fenomena jangka pendek

• variasi dasar sungai  fenomena jangka panjang

• shg dalam tinjauan variasi dasar sungai, z/t, aliran dapat

Model Parabolik



Dengan asumsi aliran quasi-steady, didapat persamaan:

e

S

g

x

z

g

U

h

g

U

x

U

-



















-





1





0















-x

U

U

q

t

z

p

s



Kedua persamaan di atas:

• tak-linear

• shg tidak dapat dilakukan penyelesaian secara analitik



Perlu penyederhanaan lebih lanjut

• linearisasi

6.

Model Parabolik



Dengan asumsi aliran quasi-steady dan quasi-uniform, dari

Pers. 6. didapat:

q

C

U

g

h

C

U

g

S

g

x

z

g

_{e 2} 3 2 2

-

-

-







Diferensiasi persamaan di atas thd x menghasilkan:

7.

x

U

h

C

U

g

x

U

q

C

U

g

x

z

g





-





-





2 2 2 2 2

3

3

8.

Model Parabolik



Substitusi

U/x dari Pers. 8 kedalam Pers. 4a, diperoleh:

 

₂

0

2







-



x

z

t

K

t

z



dimana K(t) adalah koefisien (difusi) yang merupakan

fungsi waktu dan yang didefinisikan sbb.

9.





U

h

C

p

U

q

K

s 2

1

1

3

1

-





10.



Persamaan di atas merupakan

model parabolik

, yang

berlaku untuk nilai x dan t yang besar, x > 3R

_h

/S

_e

dan

t > (40/30)

{R

_h2

_/(S

Model Parabolik



Persamaan koefisien difusi, K, dapat dituliskan pula dalam

bentuk:





2

1

1

3

1













-





U

U

S

U

p

U

q

K

o eo s



dengan linearisasi (untuk U



U

_o

), didapat:

10a.





_eoo s o

S

U

p

U

q

K

K

-







1

1

3

1

10b.

Model Parabolik



Apabila debit bagian padat dihitung dengan persamaan

power law, yaitu:

s b s s

a

U

q





maka





_eo s s

S

p

q

b

K

1

1

1

3

1

-

10c.

a

_s

= koefisien, b

_s

= konstanta

Model Parabolik



Persamaan model parabolik variasi dasar sungai:

 

₂

0

2







-



x

z

t

K

t

z

9.



Syarat model parabolik dapat dipakai:

• aliran quasi-steady • aliran quasi-uniform • Fr < 0.6 • x > 3h/S





_eo s s

S

p

q

b

K

1

1

1

3

1

-

10c.

Model Degradasi Dasar Sungai

 Penurunan muka air di titik kontrol hilir (reservoir) sebesar h_w

• dasar sungai di titik kontrol tsb turun sebesar h

• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan turun

o o

Model Degradasi Dasar Sungai



Aliran dianggap permanen dan seragam

• model parabolik dapat dipakai

• karena debit konstan, maka koefisien K konstan



Deskripsi matematis

• Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hulu

• Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal, S_o0

• Syarat awal dan syarat batas

 

,

0



0

;

 

0

,





;

lim

 

,



0

 

z

x

t

h

t

z

x

z

x

Model Degradasi Dasar Sungai



Penyelesaian analitik

 

_



















t

K

x

h

t

x

z

2

erfc

,

 

_

   -

_







2

d

erfc

e

2



Complementary error function, erfc

 





1

-

erf

 



erfc



erfc (dan erf: error function) dapat dihitung dengan bantuan

tabel matematik, dan tersedia pula dalam MS Excel

Model Degradasi Dasar Sungai



Contoh permasalahan

• ingin diketahui, kapan dan dimana, elevasi dasar sungai telah turun menjadi separuh dari elevasi dasar sungai semula:

turun separuh: z/h = 50% = ½ kapan, t_50% dimana, x_50%

 

_

_{ }

_























2

erfc

2

erfc

1

,

% 50 % 50

t

K

x

h

t

x

z



K

t



t

x



K



x

_50%



0

.

48

2

_50%

dalam

hal

ini

_50%



_50%2

0

.

96

2

• dari Tabel ataupun dengan MS Excel, didapat   0.48

Model Agradasi Dasar Sungai

 Kenaikan debit solid di titik kontrol hulu (akibat tanah longsor) sebesar q_s

• dasar sungai di titik kontrol tsb naik sebesar h

• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan naik

o o

 

 

_         t K x t h t x z 2 erfc ,

Model Agradasi Dasar Sungai



Aliran dianggap permanen dan seragam

• model parabolik dapat dipakai

• karena debit konstan, maka koefisien K konstan



Diskripsi matematis

• Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hilir

• Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal, S_o0

• Syarat awal dan syarat batas

 

,

0



0

;

 

0

,





 

;

lim

 

,



0

 

z

x

t

t

h

t

z

x

z

x

Model Agradasi Dasar Sungai



Penyelesaian analitik

 

 

_



















t

K

x

t

h

t

x

z

2

erfc

,

• Penyelesaian tsb serupa dengan penyelesaian pada permasalahan degradasi dasar sungai, hanya saja h(t) merupakan fungsi waktu

• Koefisien difusi K dalam penyelesaian tsb merupakan nilai K pada saat awal, K₀, jadi tanpa memperhitungkan q_s (kenaikan debit solid di titik kontrol hulu)

Model Agradasi Dasar Sungai



Panjang ruas sungai yang mengalami agradasi, L

_a

• ditetapkan sbg panjang ruas sungai dari titik kontrol hulu sampai titik di mana deposisi mencapai z/h = 0.01 (  1.80)

• dihitung dengan persamaan berikut

% 1 % 1

3

.

65

K

t

x

L

_a





Model Agradasi Dasar Sungai



Volume pasokan debit solid,

q

_s

• selama waktu tertentu, t, volume debit solid adalah q_s· t

• jumlah tsb terdistribusi di dasar sungai sepanjang L_a

• dengan demikian didapat hubungan sbb.



-



_









a L s

t

p

z

x

q

0

d

1

Model Agradasi Dasar Sungai



Tinggi (tebal) agradasi,

h

• dari panjang ruas sungai yang mengalami degradasi, L_a, dan

• dari volume debit solid adalah q_s· t

• dapat dihitung tebal agradasi, h



-



_









a L s

t

p

z

x

q

0

d

1

 



p



K

t

t

q

t

h

s



-









1

13

.

1



Tinggi agradasi,

h

Catatan: tampak bahwa tinggi agradasi, h, merupakan fungsi % 1 % 1

3

.

65

K

t

x

L

_a





_dan

Model Agradasi Dasar Sungai

o o

 

 

_         t K x t h t x z 2 erfc ,

erfc(



)



Tabel matematik



Persamaan aproximatif

• erfc() = 1/(1 + a₁ + a₂2 _{+ a} 33 + a44 + a55 + a66)16 + () • ()  310–7 • a₁ = 0.0705230784 a₂ = 0.0422820123 a₃ = 0.0092705272 a₄ = 0.0001520143 a₅ = 0.0002765672 a₆ = 0.0000430638



MS Excel

• erfc(…)

Debit Solid

(Transpor Sedimen)



Debit solid, q

_s

•

adalah transpor sedimen total, terdiri dari bed load, q

_sb

,

suspended load, q

_ss

, (dan wash load, q

_sw

)

q

_s

= q

_sb

+ q

_ss

(+ q

_sw

)

•

kadang-kadang hanya ditinjau bed load, q

_sb



Debit solid dihitung dengan persamaan empirik,

misal:

•

Schoklitsch

•

Meyer-Peter, et al.

•

Einstein

Debit Solid

(Transpor Sedimen)



Schoklitch (bed load)



_cr



e s sb

S

q

q

s

q



2

.

5

3 2

-

q = debit air+sedimen

q_cr = debit kritik, menunjukkan awal gerak butir sedimen





3 2 7 6 40 3 5

1

26

.

0

_{s e} cr

s

d

S

q



-Debit Solid

(Transpor Sedimen)



Meyer-Peter, et al. (bed load)









2 3 3 1 50

25

.

0

047

.

0

1





















-

-





-



g

R

S

g

d

g

q

hb M e s s sb

R_hb = radius hidraulik dasar sungai

_M = parameter kekasaran



_{s s}



M



K

K







2 3 1 2



e hb s

U

R

S

K



6 1 90

26 d

K

_s





koefisien kekasaran (total) Strickler koefisien kekasaran (butir sedimen)

• _M = 1  tanpa bed forms

• 1 > _M > 0.35  bed forms 6 1 50

1

.

21

d

K

_s





Debit Solid

(Transpor Sedimen)



Einstein (bed load)





_

_















-

e hb s s sb

S

R

d

s

d

g

s

q

50 3 50

0

.

391

1

exp

465

.

0

1

Debit Solid

(Transpor Sedimen)



Graf (total load)









2.52 50 3 50

1

39

,.

10

1

-











-

-

e h s s h s

R

S

d

s

d

g

s

R

U

C

h h s s s

R

h

R

U

C

h

U

C

q





Model Parabolik?



Hitungan degradasi atau agradasi dasar sungai

dengan model parabolik dapat dilakukan apabila

syarat-syarat berikut dipenuhi

•

aliran quasi-steady (variasi jangka panjang dasar

sungai)

•

aliran quasi-uniform dengan Fr < 0.6

•

nilai x > 3R

_h

/S

_e

•

nilai t > (40/30)



{R

_h2

/(S

_e

q

_s

)}



Apabila syarat-syarat tsb tidak dipenuhi, maka

diperlukan model yang lebih andal

Degradasi dan Agradasi

Dasar Sungai