(A.3) PENDEKATAN MULTIFAKTOR UNTUK OPTIMISASI PORTOFOLIO INVESTASI DI BAWAH VALUE-AT-RISK

(A.3)

PENDEKATAN MULTIFAKTOR UNTUK OPTIMISASI PORTOFOLIO

INVESTASI DI BAWAH VALUE-AT-RISK

Betty Subartini, Lily Dwi Noviyanti, F. Sukono

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran

Jl. Raya Bandung-Sumedang km 21 Jatinangor ABSTRAK

Dalam paper ini dirumuskan pendekatan multifaktor untuk optimisasi portofolio investasi di bawah

Value at Risk (disingkat VaR). Diasumsikan faktor-faktor yang mempengaruhi perubahan saham adalah indeks

ekonomi dan indeks industri. Diasumsikan pula bahwa tingkat pengembalian indeks pasar dalam premi risiko memiliki volatilitas tak konstan dimana premi risiko diformulasikan sebagai indeks pasar dikurangi dengan nilai aset bebas risiko. Volatilitas tak konstan dimodelkan menggunakan model-model GARCH. VaR sebagai ukuran tingkat risiko investasi, dirumuskan berdasarkan pendekatan multifaktor. Menggunakan mean dan VaR, selanjutnya persoalan optimisasi dirumuskan. Optimisasi portofolio dibentuk menggunakan Lagrangean

Multiplier, dan penyelesaiannya dilakukan berdasarkan teorema Kuhn-Tucker. Hasil penurunan rumus

digunakan untuk menganalisis beberapa saham yang diperdagangkan dalam pasar modal Indonesia. Kata Kunci: GARCH, Multifaktor, VaR, Kuhn Tucker.

ABSTRACT

In this paper is formulated multifactor approach for the optimization of investment portfolio under Value at Risk (VaR). Assumed that factors affecting changes in stock is the economic index and industrial index. Assumed again that the return of market index in risk premium has non constant volatility where the risk premium is formulated as: market index minus risk free rate. The non constant volatility is modeled using GARCH models. VaR as a measure of the level of investment risk, is formulated based on the multifactor approach. Using mean and VaR, furthermore the portfolio optimization problem is formulated. Portfolio optimization is formed using the Lagrangean multiplier, and completion is based on the Kuhn-Tucker theorem. The results of the formulation are used to analyze some stocks traded at capital markets in Indonesia.

Key Words: GARCH, Multifactor, VaR, Kuhn Tucker.

1. PENDAHULUAN

Dalam dunia bisnis, hampir semua investasi mengandung unsur ketidakpastian atau risiko. Risiko dapat diartikan kemungkinan terjadinya hasil yang diinginkan atau berlawanan dengan yang diinginkan. Dalam perdagangan finansial, setiap investor selalu ingin mendapatkan keuntungan. Namun, investor tidak tahu dengan pasti hasil yang diperolehnya dari investasi yang lakukan. Hal lain yang dihadapi investor adalah jika ia

mengharapkan keuntungan yang tinggi, maka ia harus bersedia menanggung risiko yang tinggi pula. Hampir semua investor pasti tidak menginginkan adanya kerugian pada waktu melakukan investasi. Oleh karena itu,

Untuk mengontrol sistem risiko tersebut dapat menggunakan Value at Risk ( disingkat VaR). Nilai VaR selalu disertai dengan probabilitas yang menunjukkan seberapa mungkin kerugian yang terjadi akan lebih kecil dari nilai VaR tersebut. Salah satu kelebihan dari VaR adalah bahwa metode pengukuran ini dapat diaplikasikan ke seluruh produk-produk finansial yang diperdagangkan. Beberapa pendekatan dapat digunakan untuk menghitung besarnya nilai VaR tersebut.

Meskipun berbagai metode dapat menghitung besarnya kerugian yang dicapai oleh investor, dalam paper ini akan dicoba optimisasi portofolio investasi di bawah Value-at-Risk dengan pendekatan multifaktor yang bertujuan untuk mengetahui komposisi portofolio optimal dengan menggunakan pendekatan tersebut.

2. PERUMUSAN MASALAH 2.1 Return Saham

“Return adalah keuntungan investasi atau pendapatan yang diterima dari selisih lebih investasi yang dilakukan sedangkan keuntungan yang diharapkan merupakan rata-rata tertimbang dari pendapatan historis yang tercermin dari rata-rata profitabilitas tingkat keuntungan”(Husnan, 2000:204).

Return saham dihitung secara harian menggunakan model geometrik yang memberikan continously compound return dan dihitung sebagai berikut :

.G 2 H_II_JKLJ M (1) 2.2 Model GARCH

Untuk deret log return ._#, model GARCH (- =) (- <  dan = <  adalah bilangan bulat) didefinisikan sebagai berikut:

.# N % ,#

,# O#P#

O# Q% R QSGT GO#FG % R UWVT VP#FV % P# (2)

di mana P_# adalah urutan dari independent and identically distributed (11) variabel acak dengan mean 0 dan variansi 1, Q_< , dengan Q_>  untuk 1   X - dan U_V>  untuk :   X  = (Tsay, 2005:114).

2.3 Model Multifaktor

Jika &_G# menyatakan return sekuritas ke-1 pada waktu ",Q_G menyatakan unique return sekuritas 1, Y_V# menyatakan return indeks :, U_GV menyatakan derajat kepekaan tingkat return sekuritas 1 terhadap perubahan

return indeks : dan ._Z menyatakan rata-rata return aktiva bebas risiko, maka model multifaktor dapat ditulis: &G# .Z% QG% R U^VT GV[YV#\ .Z]% PG# (3)

di mana P_G# adalah residual error dari unique return sekuritas ke-1. Juga diasumsikan bahwa P_G# tidak berkorelasi dengan P_V# untuk 1 _ :.

2.4 Model Mean, Variansi, dan Kovariansi Saham Individual dengan Menggunakan Model Multifaktor

Misalkan N_G# @B&_G#C, maka expected return saham individual dengan model multifaktor dalam time

series dapat ditulis:

NG# .` % QG% R U^GT GVaNbV#\ .Zc (4)

di mana N_G# menunjukkan forecasting 1 langkah ke depan dari model return indeks.

Model variansi dan standar deviasi saham individual dengan model multifaktor dalam time series dapat ditulis

OG#  R UGT^ GVObV# % OdJe (5)

OG#  fR U^GT GVObV#  % Od_Je (6)

Dalam model time series, dapat dituliskan kembali persamaan kovariansi antar saham berdasarkan model multifaktor, yaitu

OGV#  R^gTUGgUVgObg#  (9) di mana O_GV menunjukkan forecasting 1 langkah ke depan dari model kovariansi return indeks.

Estimasi VaR untuk saham individual 1 dengan koefisien kepercayaan  \ Q100% adalah:

8,&GQ  \hiOG% NG (10)

di mana _ adalah besar investasi awal, N_G adalah mean return saham1, O_G adalah standar deviasi dari return saham 1 dan h_i adalah persentil dari distribusi normal standar untuk tingkat konfidensi

α

. Tanda minus pada persamaan diatas menunjukkan bahwa VaR merupakan estimasi dari kerugian (losses).

2.5 Model Optimasi Portofolio

Asumsikan vektor nilai-nilai ekspektasi adalah T

=

(

µ µ

₁

,

₂

,...,

µ

_n

)

µ

dengan N_G @&_G 1 

 X   dan matriks kovariansi adalah R  [OGV] 1 :   X  , dengan OGV j/k[&G &V] 1 :   X  .

Seperti yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya bahwa bobot return saham pada suatu portofolio

(

w w

1

,

2

,...,

w

n

)

=

T

w

, di mana R l^_{GT G}  atau

_{e w}

T

₌

1

dengan

e

T

=

(

1,1,...,1

)

vektor elemen satu-satu. Model rata-rata portofolio dapat ditulis kembali sebagai berikut

µ

_P

=

E R

(

_P

)

=

T

µ w

(11) dan model variansi portofolio sebagai berikut

σ

_P2

=

Var R

(

_P

)

=

T

Σ

VaR

P

=

z

α

σ

P

−

µ

P

=

z

α

(

Σ

)

1/ 2

−

T T

w

w

µ w

(13)

Suatu portofolio

w

*

disebut efisien jika tidak ada portofolio

w

dengan N_I> N_mn dan 8,&_I 8,&_mn. Untuk mendapatkan suatu portofolio yang efisien, digunakan fungsi obyektif yang sangat sederhana. Yaitu

maksimumkan oN_I\ 8,&_I o >  di mana p adalah toleransi risiko investor. Sehingga, untuk investor dengan toleransi risiko o >  harus menyelesaikan persoalan optimasi:

Maksimumkan

{

2

τ

T

−

z

_α

(

T

)

1/ 2

+

T

}

µ w

w Σw

µ w

(14) dengan batasan

_{e w}

T

=

1

Fungsi Lagrange diberikan oleh

L w

( , )

λ

=

(2

τ

+

1)

T

−

z

_α

(

T

Σ

)

1/ 2

+

λ

(

T

−

1)

µ w

w

w

e w

.

Menggunakan teorema Kuhn-Tucker, syarat optimalitas adalah

(2

1)

_{1/ 2}

0

(

)

z

L

w

α

τ

λ

∂

=

+

−

+

=

∂

T

Σw

µ

e

w Σw

L

1

0

λ

∂

=

− =

∂

T

e w

.

Untuk o  , diperoleh suatu portofolio minimum dengan vektor bobot

w

Min. Berdasarkan atas perhitungan aljabar dan mengambil nilai-nilai:

A

=

_{e Σ e}

T -1

,

B

=

µ Σ e e Σ µ

T -1

+

T -1 , dan

C

=

T -1

−

z

_α2

µ Σ µ

, diperoleh nilai q  r\ % \  jLst u ,

dan vektor bobotnya adalah

Min

λ

λ

+

=

+

-1 -1 T -1 T -1

Σ µ

Σ e

w

e Σ µ

e Σ e

. (15)

Untuk o < , diperoleh portofolio optimum dengan vektor bobot ln. Berdasarkan perhitungan aljabar dan mengambil nilai-nilai:

A

=

T -1

e Σ e

,

B

=

(2

τ

+

1)(

µ Σ e

T -1

)

+

e Σ µ

T -1

)

, dan

C

=

(2

λ

+

1) (

2 T -1

)

−

z

_α2

µ Σ µ

, diperoleh nilai q  r\ % _{\  j}L_{st u , dan vektor bobotnya adalah}

(2

1)

(2

1)

τ

λ

τ

λ

+

+

=

+

+

-1 -1 T -1 T -1

Σ µ

Σ e

w*

e Σ µ

e Σ e

(16)

Jika vektor

w

Mindisubstitusikan ke dalam persamaan (13) dan (15), maka diperoleh return portofolio minimum dan Value at Risk minimum. Sedangkan, jika vektor

w

*

disubstitusikan ke dalam persamaan (16), maka akan diperoleh return portofolio yang optimum.

3. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Data observasi yang digunakan dalam paper ini merupakan harga penutupan saham selama 1183 hari periode 3 Januari 2005 dan 29 Desember 2009. Untuk data saham yaitu Bank Mandiri, Bank BRI, Bank BNI, dan PT Indofood, Tbk. Sedangkan untuk data indeks yaitu IHSG, kurs USD, kurs Euro, dan kurs Yen. Estimasi model GARCH yang diperoleh dengan pendekatan time series yaitu untuk return IHSG didapatkan parameter model AR(1)-GARCH(1,1) sebagai berikut:

.# $v.#F% ,#

O# $vwx % $,#F % $w O#F % P#

Untuk return kurs USD didapatkan parameter model AR(1)-GARCH(2,1) sebagai berikut: .# \$wx.#F% ,#

O# $ yy % $ vy,#F \ $ yvv ,#F % $wvv O#F % P#

Untuk return kurs Euro didapatkan parameter model ARMA(1,1)-GARCH(1,1) sebagai berikut: .# $wywy.#F% ,#% $w wv,#F

O# $ % $wxv w,#F % $vvO#F % P#

Untuk return kurs Yen didapatkan parameter model ARMA(1,2)-GARCH(3,5) sebagai berikut: ._# $xxxv._#F% ,_#% $xyvx,_#F

O# $w,#F \ $x,#F \ $ xw,#F % $ yyO#F % $ xyO#F

% $ O#F % $ wvwO#F \ $xxwO#Fz % P#

Dari data return saham Bank Mandiri (&_{|}#), Bank BRI (&_~E#), Bank BNI(&_~}#), dan PT Indofood (&_b}#) akan diperoleh persamaan regresi linear berganda dengan pendekatan multifaktor masing-masing return saham sebagai variabel terikat dengan return indeks IHSG, kurs USD, kurs Euro, dan kurs Yen sebagai

variabel-variabel bebas yang dapat ditulis sebagai Y_b€ Y_ Y_‚ Y_ƒ dan disajikan pada Tabel 3.1 berikut ini. Tabel 3.1: Persamaan Model Regresi Setiap Saham

Saham Model Regresi „ & - \ k,2*

Bank

Mandiri $wv−$wY@−$wv%$vY…−$wv%P †" &{|}# $y % $ wYb€\ $wv \ $x Y\ 369.9 55.69% 0.000

BRI

&~E# $v y % $vyYb€\ $wv % $yY\

$wv−$yY@−$wv−$Y…−$wv%P&" 309.9 51.30% 0.000 &~}# $v yv % $wYb€\ $wv \ $Y\

PT Indofood

&b}# $vv % $xYb€\ $wv % $ Y\

$wv−$vY@−$wv%$ Y…−$wv%PY†‡" 243.7 45.3% 0.000

Melalui uji signifikansi linear didapatkan nilai mean dan variansi return saham individual yang diberikan dalam Tabel 2 berikut ini.

Tabel 3.2: Mean dan Variansi Return Saham Individual

Statistik Saham

Bank Mandiri Bank BRI Bank BNI PT Indofood

Mean 0.000136 0.002713 0.005125 0.006383

Variansi 0.000707 0.000747 0.000887 0.000764

Standar Deviasi 0.026589 0.027331 0.029782 0.027640

Misalkan menginvestasikan dana sebesar Rp.1,00 pada masing-masing saham dengan koefisien kepercayaan sebesar 95%, maka diperoleh VaR masing-masing saham yaitu:

Tabel 3.3: Value at Risk Saham Individual

Saham Value at Risk

Bank Mandiri $ 

Bank BRI $

Bank BNI $ w

PT Indofood $ vwx

Diperoleh hasil bahwa portofolio-portofolio efisien terletak di sepanjang garis dengan toleransi risiko sebesar   o  $w, di mana dihasilkan expected return portofolio tertinggi sebesar 0.005166 dan tingkat

Gambar 3.1: Efficient Frontier Portofolio

Adapun komposisi portofolio efisien memuat rasio expected return dan VaR diberikan dalam Tabel 3.4 berikut ini.

Tabel 3.4: Komposisi Portofolio Optimal

p Bobot N_I 8,&_I NIˆ8,&_I

0.41 0.050265 0.230204 0.294581 0.42495 0.004851 0.030389 0.159618 0.42 0.047797 0.229894 0.295439 0.426869 0.004866 0.030402 0.16006 0.43 0.045323 0.229584 0.296301 0.428793 0.004882 0.030415 0.160501 0.44 0.042843 0.229272 0.297164 0.430721 0.004897 0.030429 0.160941 0.45 0.040356 0.228959 0.298029 0.432654 0.004913 0.030442 0.161379 0.46 0.037864 0.228647 0.298897 0.434592 0.004928 0.030457 0.161817 0.48 0.032859 0.228019 0.300638 0.438483 0.00496 0.030486 0.16269 0.5 0.027829 0.227387 0.302389 0.442395 0.004991 0.030517 0.163559 0.52 0.022772 0.226752 0.304149 0.446327 0.005023 0.030549 0.164424 0.54 0.017687 0.226114 0.305919 0.450281 0.005055 0.030583 0.165286

0.58 0.007431 0.224826 0.309488 0.458256 0.005119 0.030655 0.166996 0.6086 2.28E-05 0.223896 0.312066 0.464015 0.005166 0.03071 0.168208

4. KESIMPULAN

Pada paper ini, pemilihan portofolio optimal dapat ditentukan berdasarkan komposisi portofolio efisien yang menghasilkan mean return dan Value at Risk portofolio dengan rasio terbesar. Dari perhitungan rasio mean

return dan Value at Risk portofolio diperoleh portofolio optimal yang memberikan mean return optimal sebesar

0.005166 dengan VaR optimal sebesar 0.03071.

DAFTAR PUSTAKA

Hogg, R. V. dan Craig, T. A. 1958. Introduction to Mathematical Statistics, Fourth Edition. New Jersey : Prentice Hall.

Husnan, Suad. 2000. Dasar-Dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas Edisi Kedua. Yogyakarta : Unit Penerbit dan Percetakan STIM YKPN.

Sudjana. 2005. Metode Statistika. Bandung : Transito Tufte. E. R. 1983. The Visual Display of Quantitative

Information. Cheshire : Graphic Press.