Graf dan Operasi graf

Bab II Graf dan Operasi graf

Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan (Chartrand dan Lesniak, 1996).

II.1 Graf dan subgraf

Graf G(V, E) adalah suatu sistem yang terdiri dari himpunan berhingga tak kosong V = V (G) dan himpunan E = E(G) yang merupakan himpunan pasangan tak ter- urut {u, v} dengan u, v ∈ V dan u 6= v. Selanjutnya, himpunan V disebut himpunan titik dan himpunan E disebut himpunan sisi dari G. Setiap v ∈ V disebut titik, sedangkan setiap e = {u, v} ∈ E disebut sisi. Sisi e = {u, v} sering ditulis uv. Jika e = uv, maka titik u disebut tetangga dari titik v, dan sebaliknya. Banyaknya titik di G disebut order, sedangkan banyaknya sisi di G disebut ukuran dari G. Graf dengan order satu disebut graf trivial.

Notasi N (u) menyatakan himpunan semua tetangga dari titik u, yakni N (u) = {v|uv ∈ E(G)}. Derajat, d_G(v), dari titik v pada graf G adalah banyaknya tetangga dari titik v. Jadi d_G(v) = |N (v)|. Suatu titik yang berderajat satu pada suatu graf disebut titik pendan, sedangkan sisi yang menempel pada titik pendan disebut sisi pendan. Titik terisolasi dari suatu graf adalah titik berderajat nol. Derajat minimum, δ(G), dari graf G adalah derajat terkecil dari titik-titik di G. Derajat maksimum, ∆(G), dari graf G adalah derajat terbesar dari titik-titik di G. Pada Gambar II.1 (a), u₆ adalah titik pendan dan u₇ titik terisolasi. Titik u₁, u₃, u₄ dan u₅ bertetangga dengan u₂. Jadi N (u₂) = {u₁, u₃, u₄, u₅} dan |N (u₂)| = 4. Jika semua titik pada graf G berderajat r, maka G disebut graf r-reguler. Graf 3-reguler disebut juga graf kubik, salah satu contohnya dapat dilihat dalam Gambar II.1(b).

Dua graf G dan H disebut isomorfik, ditulis dengan G ∼= H, jika terdapat fungsi bijektif ψ : V (G) → V (H) sedemikian sehingga berlaku uv ∈ E(G) jika dan hanya jika ψ(u)ψ(v) ∈ E(H). Fungsi ψ yang demikian disebut isomorfisma. Pada Gam- bar II.2 diberikan graf G₁ yang isomorfik dengan G₂. Sebagai contoh, fungsi

Gambar II.1. Ketetanggaan pada graf dan graf 3-reguler

ψ : V (G₁) → V (G₂) yang didefinisikan dengan

ψ(u1) = u1, ψ(u2) = u3, ψ(u3) = u5, ψ(u4) = u2, ψ(u5) = u4, ψ(u6) = u6

adalah sebuah isomorfisma. Di pihak lain, G₁ tidak isomorfik dengan G₃, karena G₃ memuat C₃ sedangkan G₁ tidak.

Gambar II.2. Graf yang isomorfik dan tidak isomorfik

Graf H disebut subgraf dari graf G, dinotasikan H ⊆ G, jika V (G) ⊆ V (H) dan E(G) ⊆ E(H). Suatu subgraf dari graf G dapat diperoleh dengan menghapus suatu titik atau sisi di G. Misalkan u ∈ V (G) dan |V (G)| ≥ 2, maka G − u adalah subgraf dari graf G dengan V (G − u) = V (G) \ {u} dan E(G − u) = E(G) \ {uv|uv ∈ E(G)}. Misalkan e ∈ E(G), maka G − e adalah suatu subgraf dari graf G dengan V (G − e) = V (G) dan E(G − e) = E(G) \ {e}. Gambar II.3 menunjukkan graf G dan subgrafnya yang diperoleh dengan menghapus suatu sisi atau titik.

Gambar II.3. Graf dan subgrafnya

Jika u dan v tidak bertetangga di G, maka G + uv adalah suatu graf dengan

V (G + uv) = V (G) dan E(G + uv) = E(G) ∪ {uv}. Gambar II.4 menunjuk- kan graf G dan G + uv.

Gambar II.4. Graf G dan G + uv

Jalan W dari titik u ke titik v pada graf G adalah barisan u = u₀, e₁, u₁, e₂, u₂, e₃, . . . , u_k−1, e_k, u_k = v dari titik-titik dan sisi-sisi pada G sedemikian sehingga e_i = u_i−1u_i untuk i = 1, 2, . . . , k. Bilangan k (banyaknya sisi) disebut panjang dari W . Pada suatu jalan mungkin terjadi pengulangan titik dan sisi. Jalan W biasanya dituliskan sebagai u₀, u₁, . . . , u_k. Selanjutnya, titik u dan titik v disebut titik ujung dari jalan W . Jika semua titik di W berbeda, maka W disebut lintasan. Lintasan dengan n titik dinotasikan sebagai P_n.

Titik u dikatakan terhubung dengan titik v pada graf G jika terdapat suatu lintasan dengan titik u dan v sebagai titik ujungnya. Suatu graf G dikatakan terhubung jika setiap dua titiknya terhubung, sedangkan graf yang tidak demikian disebut tak terhubung. Jarak, d(u, v), antara titik u dan titik v pada suatu graf terhubung G didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek antara u dan v di G.

Subgraf F dari graf G dikatakan terhubung maksimal jika untuk setiap subgraf terhubung H dari G dengan F ⊆ H ⊆ G, maka F = H. Setiap subgraf terhubung maksimal dari suatu graf G disebut komponen dari G. Banyaknya komponen pada suatu graf G dinotasikan dengan k(G). Suatu titik v di graf G didefinisikan sebagai titik potong dari G jika k(G) < k(G − v). Jembatan e dari suatu graf G adalah suatu sisi di E(G) sehingga k(G − e) = k(G) + 1. Graf dengan 4 komponen ditunjukkan dalam Gambar II.5.

Gambar II.5. Graf dengan 4 komponen

Graf tak trivial terhubung yang tidak mempunyai titik potong disebut graf tak ter-

pisahkan (nonseparable). Graf tak trivial yang mempunyai titik potong mempunyai subgraf khusus yang disebut blok. Blok dari suatu graf G adalah subgraf tak ter- pisahkan maksimal dari G. Sebagai contoh, Gambar II.6 menunjukkan suatu graf dengan 5 blok, titik v₃, v₅dan v₈adalah titik potong, v₃v₅dan v₄v₅adalah jembatan.

Gambar II.6. Graf dengan 5 blok

II.2 Klasifikasi graf

Suatu graf disebut graf lengkap jika setiap dua titiknya bertetangga. Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan Kn. Graf G(V, E) disebut bipartit jika V (G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan V₁ dan V₂ sedemikian sehingga jika uv ∈ E(G), maka {u, v} * Vⁱ untuk setiap i = 1, 2. Suatu graf bipartit disebut bipartit lengkap, dinotasikan K_m,n dengan m = |V₁| dan n = |V₂|, jika setiap titik di V₁ bertetangga dengan setiap titik di V2 dan sebaliknya. Graf bipartit lengkap K1,n

disebut graf bintang. Gambar II.7 menunjukkan graf lengkap K₆ dan graf bipartit lengkap K3,4.

Gambar II.7. Graf lengkap K6 dan graf bipartit lengkap K3,4

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat positif, n ≥ 3 dan 1 ≤ m ≤ bⁿ₂c. Graf Petersen diperumum P (n, m) adalah suatu graf kubik dengan himpunan titik dan himpunan sisi, berturut-turut,

V (P (n, m)) = {xi, yi|1 ≤ i ≤ n}

dan

E(P (n, m)) = {x_ix_i+1|1 ≤ i ≤ n} ∪ {x_iy_i|1 ≤ i ≤ n} ∪ {y_iy_i+m|1 ≤ i ≤ n}

dengan penjumlahan indeks dalam modulo n. Jika m = 1, graf Petersen diperumum P (n, 1) disebut juga graf prisma. Biasanya graf prisma dengan 2n titik dinotasikan dengan Dn. Graf Petersen adalah graf P (5, 2). Graf P (5, 2) dan graf prisma D5

ditunjukkan pada Gambar II.8.

Gambar II.8. Graf Petersen diperumum

Graf siklus C_n adalah graf 2-reguler terhubung dengan n titik. Suatu graf dise- but tanpa siklus (acyclic) jika tidak memuat subgraf yang isomorfik dengan graf siklus. Graf tanpa siklus yang terhubung disebut pohon. Graf tanpa siklus G de- ngan k(G) ≥ 1 disebut hutan. Suatu graf G disebut siklus-tunggal (unicyclic) jika G terhubung dan hanya memuat sebuah graf siklus. Sebagai ilustrasi, perhatikan Gambar II.9.

Gambar II.9. Graf pohon, graf hutan, dan graf siklus-tunggal

Selanjutnya didefinisikan beberapa kelas graf pohon dan graf yang komponennya berupa graf pohon. Lintasan P_n, dapat juga didefinisikan sebagai graf yang diper- oleh dari graf siklus C_ndengan menghapus sebuah sisi. Caterpillar adalah suatu graf pohon sedemikian hingga jika semua titik pendannya dihapus diperoleh graf lintasan.

Sedangkan, graf lobster adalah suatu graf pohon yang bila semua titik pendannya dihapus akan diperoleh caterpillar. Graf yang setiap komponennya merupakan graf lintasan disebut hutan linier, sedangkan graf yang setiap komponennya adalah graf bintang disebut graf galaksi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar II.10.

Gambar II.10. Beberapa graf tanpa siklus

II.3 Operasi pada graf

Misalkan G1 dan G2 adalah dua buah graf sedemikian sehingga V (G1) ∩ V (G2) = ∅.

Gabungan G = G₁ ∪ G₂ adalah graf dengan V (G) = V (G₁) ∪ V (G₂) dan E(G) = E(G1) ∪ E(G2). Secara umum, jika G1, G2, . . . , Gn adalah n buah graf sedemikian sehingga V (G_i) ∩ V (G_j) = ∅ untuk i 6= j, maka gabungan G₁ ∪ G₂ ∪ . . . ∪ G_n =

∪ⁿ_i=1Gi ∼= G adalah graf dengan V (G) = ∪ⁿ_i=1V (Gi) dan E(G) = ∪ⁿ_i=1E(Gi). Jika G₁ = G₂ = . . . = G_n = H, maka G = ∪ⁿ_i=1G_i ditulis G = nH.

Join dari graf G₁ dan G₂, dinotasikan dengan G = G₁+ G₂, adalah graf G dimana V (G) = V (G1) ∪ V (G2) dan E(G) = E(G1) ∪ E(G2) ∪ {uv|u ∈ V (G1), v ∈ V (G2)}.

Graf roda W_n adalah join dari C_n dan K₁. Graf pertemanan (friendship graph) C₃^t

adalah join dari K₁ dengan tP₂. Graf kipas F_n adalah join dari P_n dan K₁. Graf kipas ganda F_n,2 adalah join dari P_n dan 2K₁ (lihat Gambar II.11).

Gambar II.11. Graf yang dihasilkan dari operasi join

Hasil kali graf G₁ dan G₂ adalah graf G = G₁ × G₂ yang didefinisikan sebagai berikut:

V (G) = V (G₁) × V (G₂)

dan

(x₁, x₂)(y₁, y₂) ∈ E(G) ⇔ x₁ = y₁dan x₂y₂ ∈ E(G₂) atau x₂ = y₂dan x₁y₁ ∈ E(G₁).

Graf buku B_ndidefinisikan sebagai K_1,n× P₂. Graf prisma diperumum didefinisikan sebagai Cn× Pm. Graf tangga Lndidefinisikan sebagai Pn× P2. Graf tangga L4 dan graf buku B₄ dapat dilihat pada Gambar II.12.

Gambar II.12. Graf yang dihasilkan dari operasi perkalian

Corona G  H dari dua graf G and H didefinisikan sebagai graf yang diperoleh de- ngan mengambil sebuah duplikat dari graf G dan |V (G)| duplikat H1, H2, . . . , H|V (G)|

dari H, kemudian menghubungkan titik ke-i dari G ke setiap titik di H_i, i = 1, 2, 3, . . . , |V (G)|. Sebagai contoh, C5  2K1 dan P3  P2, berturut-turut ditun- jukkan Gambar II.13.

Gambar II.13. Graf yang dihasilkan dari operasi corona