(A.2)
MENENTUKAN NILAI PORTOFOLIO MENGGUNAKAN MODEL BINOMIAL SATU PERIODE
Eti Kurniati
Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Islam Bandung
Jalan Purnawarman N0 63 Bandung 40116 email:[email protected]
Abstrak
Saham dan obligasi merupakan financial security yang sering diperjualbelikan di financial market. Saham merupakan salah satu produk yang banyak diminati, karena membeli saham berarti ikut menjadi pemilik perusahaan. Sedangkan membeli obligasi ekivalen dengan mendepositokan uang di bank. Dalam kenyataannya membeli kedua financial security tersebut menghadapi suatu risiko.
Salah satu model yang digunakan untuk menentukan portfolio yang terdiri dari sejumlah obligasi dan sejumlah unit saham adalah model Binomial satu periode.Tujuan dari penulisan ini adalah untuk menentukan nilai portfolio menggunakan model Binomial satu periode yang memiliki arbitrage free.
Kata kunci : saham, obligasi, model Binomial satu periode.
Pendahuluan
Saham (stock) merupakan salah satu instrumen pasar keuangan yang paling popular. Bagi suatu perusahaan menerbitkan saham merupakan salah satu pilihan ketika perusahaan memutuskan untuk menambah pendanaan. Begitu juga bagi para investor, saham merupakan instrument investasi yang banyak dipilih karena saham mampu memberikan tingkat keuntungan yang menarik.
Saham merupakan salah satu sekuritas yang diperjualbelikan di pasar modal. Menurut Suad Husnan (2005 : 29) sekuritas merupakan secarik kertas yang menunjukkan hak pemodal (yaitu pihak yang memiliki kertas tersebut) untuk memperoleh bagian dari prospek atau kekayaan organisasi yang menerbitkan sekuritas tersebut, dan berbagai kondisi yang memungkinkan pemodal tersebut menjalankan haknya.
Menurut Darmadji dan Fakhruddin, (2001: 5), Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Wujud saham adalah selembar kertas yang menerangkan bahwa pemilik kertas tersebut adalah pemilik perusahaan yang menerbitkan surat berharga tersebut. Porsi kepemilikan ditentukan oleh seberapa besar penyertaan yang ditanamkan di perusahaan tersebut.
Orang yang memiliki saham akan mendapatkan hak untuk menerima sebagaian pendapatan tetap / deviden dari perusahaan tetapi juga berkewajiban menanggung resiko kerugian yang diderita perusahaan.
Oleh karena saham merupakan tanda penyertaan kepemilikan suatu perusahaan, maka orang yang memiliki saham memiliki hak untuk ambil bagian dalam mengelola perusahaan. Hak tersebut sesuai dengan hak suara yang dimilikinya berdasarkan seberapa besar saham yang dipunyai. Semakin banyak persentase saham yang dimiliki seseorang maka semakin besar hak suara yang dimiliki orang tersebut untuk mengontrol operasional perusahaan
Penentuan harga saham di setiap perusahaan tidaklah sama. Saham suatu perusahaan memiliki harga yang berbeda-beda bergantung kepada beberapa hal. Salah satu faktor yang berpengaruh adalah nilai perusahaan. Selain itu kemungkinan pertumbuhan keuntungan suatu perusahaan merupakan faktor lain yang tak kalah berpengaruh terhadap nilai saham suatu perusahaan, sehingga walaupun keuntungan sekarang tidak begitu besar tetapi prediksi keuntungan kedepan akan jauh menjadi lebih baik akan menyebabkan nilai saham melonjak.
Oleh karenanya nilai saham dipasar modal sering bergejolak.
Secara garis besar faktor-faktor yang menyebabkan gejolak harga saham dibagi menjadi dua.
Faktor pertama adalah faktor makro. Faktor makro adalah faktor-faktor yang mempengaruhi ekonomi secara keseluruhan, yaitu tingkat suku bunga yang tinggi, inflasi, tingkat produktivitas nasional, politik dan lain sebagainya. Hal ini dapat memiliki dampak penting pada potensi keuntungan perusahaan hingga pada akhirnya juga akan mempengaruhi harga sahamnya.
Faktor kedua adalah faktor mikro. Faktor mikro adalah faktor-faktor yang berdampak secara langsung pada perusahaan itu sendiri, misalnya perubahan manajemen, harga dan
ketersediaan bahan mentah, produktivitas pekerja dan lain sebagainya yang akan dapat mempengaruhi kinerja keuntungan perusahaan tersebut secara individual.
Oleh karena nilai saham suatu perusahaan seringkali bergejolak, diperlukan suatu cara memprediksi nilai saham dan segala kemungkinannya diwaktu mendatang. Sedangkan obligasi nilainya lebih stabil karena memiliki jangka waktu tertentu.
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengaplikasikan model Binomioal satu periode untuk menentukan nilai portfolio yang terdiri dari sejumlah saham dan obligasi yang memiliki free arbitrage.
2. Probabilitas
Kata probabilitas sering diartikan sebagai peluang. Berbicara tentang peluang sering dikaitkan dengan nilai kemungkinan. Misalnya ada dua kemungkinan yang akan terjadi dalam percobaan jika satu mata uang ditos satu kali yaitu muncul muka atau muncul belakang. Dua kemungkinan tersebut disebut ruang sampel.
Definisi 1. Ruang Sampel.
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, dan dilambangkan dengan .
Seperti contoh diatas, ruang sampel dari percobaan tos satu mata uang satu kali adalah
Salah satu cara untuk menentukan ruang sampel dapat digunakan diagram pohon. Misalkan akan ditentukan ruang sampel dari percobaan satu mata uang di tos dua kali
M
M
B
M
B
B
Gambar 1. Diagram Pohon Tos Mata Uang Dua Kali
Dari diagram pohon pada gambar tersebut dapat ditentukan ruang sampel percobaan tos mata uang dua kali yaitu : . Munculnya dua muka dari tos mata uang dua kali disebut kejadian.
Definisi 2. Kejadian.
Kejadian adalah kumpulan beberapa atau semua titik dari suatu ruang sampel .
Suatu kejadian mungkin terdiri dari beberapa titik sampel, atau mungkin semua titik sampel , atau mungkin tidak mengandung suau titik sampel, yang disebut kejadian kosong. Sebagai contoh, misalkan adalah muncul paling sedikit satu muka dari percobaan tos mata uang dua kali, maka . Ruang sampel dapat digunakan untuk menentukan peluang terjadinya suatu kejadian.
Definisi 3. Peluang.
Jika suatu kejadian terjadi dalam dari cara kemungkinan, dimana kemungkinan tersebut mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang terjadinya kejadian dinotasikan dengan , memiliki nilai
;
Seperti contoh diatas, kejadian adalah kejadian muncul paling sedikit satu muka dari percobaan tos mata uang dua kali. Kejadian terjadi dalam 3 cara yaitu
dari cara yaitu yang masing-masing memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi. Oleh karena itu peluang terjadinya kejadian yaitu = .
3. Penentuan Nilai Saham
Saham (Stock) merupakan salah satu finance security yang sangat dipengaruhi banyak hal, sehingga memungkinkan nilainya berfluktuasi. Salah satu model yang digunakan untuk
menentukan nilai saham adalah Binomial Pricing Model. Menurut model ini, nilai saham akan berubah dari suatu nilai ke satu nilai lain dari dua kemungkinan nilai yang ada.
Misalkan nilai awal suatu saham adalah . Terdapat dua nilai dan dimana
Demikian sehingga untuk periode berikutnya nilai saham yaitu akan berkisar antara
dan . Jelas terdapat dua kemungkinan nilai saham pada periode ke satu. Hal ini sesuai dengan kemungkinan muncul muka dan belakang dari satu kali tos mata uang.
Apabila satu mata uang ditos satu kali, ruang sampel yang diperoleh adalah .
dan .
Gambar 2. Pohon Binomial Nilai Saham Periode Pertama
Khususnya nilai dan diambil memenuhi . Hal ini mengakibatkan perubahan nilai dari ke menunjukkan penurunan nilai , sedangkan perubahan dari ke menunjukkan peningkatan nilai . Pada umumnya nilai .
Untuk periode kedua, nilai saham , akan mempunyai empat kemungkinan sesuai dengan kemungkinan apabila satu mata uang di tos dua kali. Apabila satu mata uang ditos dua kali, ruang sampael yang diperoleh adalah . Seperti pada periode pertama, nilai saham untuk periode kedua dapat dilihat dari pohon binomial. Misalkan nilai saham awal . Nilai saham periode kedua dapat dilihat dari Gambar 3.
Berikut,
! Gambar 3. Pohon Binomial Nilai Saham Periode kedua
Dengan cara yang sama dapat ditentukan nilai saham pada periode tertentu.
4. Model binomial Satu Periode
Model Binomial adalah model diskret yang sering digunakan di pasar financial. Salah satu model Binomial yang sederhana adalah model satu periode dengan dua asset. Misalkan asset yang digunakan adalah saham (stock) dan obligasi (bond). Model satu periode menggunakan titik-titik waktu " dan " . Obligasi adalah suatu sertifikat utang yang dikeluarkan oleh pemerintah atau perusahaan . Model obligasi dinotasikan dengan # yang menyatakan harga obligasi tersebut pada waktu "$ Oleh karena model yang akan di gunakan adalah model binomial satu periode, maka terdapat dua harga obligasi yaitu dan , dimana
dan
% &
Konstanta & adalah tingkat bunga. Membeli obligasi ekivalen dengan mendepositokan uang di Bank dengan tingkat bunga &. Asset yang lain dari model adalah saham (stock). Suatu perusahaan apabila akan meningkatkan modalnya seringkali dilakukan dengan mengeluarkan saham. Seperti obligasi, karena menggunakan model satu periode maka akan terdapat dua nilai saham yaitu dan . ' dan '(, dimana ( adalah variabel random dengan distribusi
( ) * +, -./0,0121",' - * +, -./0,0121",' -34 Diasumsikan bahwa
Misalkan terdapat suatu portfolio 5 6 7 yang terdiri dari 6 obligasi dan 7 unit saham.
Nilai dari portfolio adalah :
8#9 6#% 7# )6 % 7' :1;, " 6 % & % 7'( :1;, " 4
Suatu arbitrage portfolio mempunyai sifat-sifat :
89 dan 89 < dengan probabilitas 1.
Suatu model dikatakan arbitrage free jika tidak terdapat arbitrage portfolio.
Proposisi 1. Model Binomial satu periode adalah arbitrage free jika dan hanya jika
% &
Asumsikan bahwa
% &
Ini berarti bahwa % & merupakan kombinasi convex dari dan , yaitu :
% & = % =3
dimana = =3 > dan =% =3
Misalkan ? adalah probabilitas baru sehingga ?( = dan ?( =3 , maka
% & @ABC
% & B=' % =3'C
% & ' % & ' Suatu probabilitas ? disebut martingale jika kondisi berikut dipenuhi :
% & @ABC
Para ekonom menyebutnya sebagai neutral valuation formula.
Proposisi 2. Model Binomial satu periode adalah arbitrage free jika dan hanya jika terdapat suatu martingale ?.
Proposisi 3. Misalkan
% &
Untuk model binomial satu periode probabilitas martingale diberikan oleh :
= DEF3F3 dan =3 FDEF3
Kesimpulan
Sebagai financial sequrity, saham dan obligasi masing-masing memberikan resiko bagi pemiliknya. Oleh karena itu nilai portfolio yang terdiri dari sejumlah saham dan obligasi memungkinkan sangat berfluktuasi. Untuk menentukan nilai portfolio yang terbebas dari resiko tersebut dibutuhkan suatu model. Model binomial satu periode adalah model yang dapat digunakan untuk menentukan nilai portfolio yang terdiri dari sejumlah saham dan obligasi pada satu periode yang memiliki free arbitrage.
DAFTAR PUSTAKA
1. Chalasani, Prasad & Jha,Somesh (1996). Steven Shreve : Stochastic Calculus and Finance. Steven Shreve.
2. Van der Weide, Hans (2007). Financial Mathematics.
3. M.S. Joshi, The Concepts of Mathematical Finance
4. Husnan, Suad. (2000). Teori Portofolio dan Analisis Investasi. Yogyakarta: UPP AMP YKPN.
5. Elton and Gruber. (1995). Modern Portfolio: Theory and Investment Analysis. New York:
Wiley
