PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Persamaan Diferensial Parsial (PDP) digunakan oleh Newton dan para ilmu- wan pada abad ketujuhbelas untuk mendeskripsikan tentang hukum-hukum dasar pada fisika. Jika ilmu-ilmu pada fisika lanjut (Advanced Physics) ditinjau kembali, maka akan ditemukan bahwa persamaan diferensial parsial berperan penting da- lam penggambaran fisis dari benda-benda yang melibatkan besaran-besaran yang berubah terhadap ruang dan waktu. Salah satu persamaan diferensial yang banyak digunakan dalam bidang fisika terutama pada bidang mekanika kuantum adalah persamaan Schr¨odinger. Persamaan Schr¨odinger lahir dari seorang fisikawan ber- kebangsaan Australia bernama Erwin Schr¨odinger pada tahun 1925. Persamaan ini digunakan untuk mengamati perilaku suatu partikel yang berada dalam tingkatan atomik atau subatomik.
Dalam mekanika klasik, perilaku suatu benda atau partikel dapat diamati ji- ka fungsi posisi dan momentum dari benda tersebut diketahui. Namun untuk sebuah partikel yang sangat kecil seperti elektron, fungsi posisi dan momentum tidak dapat ditentukan dengan pasti dikarenakan oleh bentuknya yang bahkan tidak teramati langsung oleh mata. Penelitian terkait dengan perilaku elektron lalu dilakukan, diperoleh beberapa bukti bahwa suatu elektron memiliki sifat serupa dengan par- tikel dan serupa dengan gelombang yang selanjutnya disebut sebagai sifat dualitas partikel-gelombang. Elektron yang diasumsikan memiliki sifat seperti partikel ter- nyata memiliki sifat seperti gelombang juga karena dapat terdifraksi dan bergerak secara bebas. Pergerakan dari elektron tersebut selanjutnya disajikan dalam fungsi gelombang. Persamaan Schr¨odinger digunakan untuk menentukan fungsi gelom- bang yang sesuai. Jika fungsi gelombang yang terkait telah ditentukan,
1
maka informasi lain mengenai pergerakan dan perilaku gelombang selanjutnya da- pat ditentukan. Schr¨odinger mendefinisikan persamaannya dalam dimensi satu se- bagai berikut:
i~∂Ψ(x, t)
∂t = −~2 2 ¯m
∂2Ψ(x, t)
∂x2 + V (x)Ψ(x, t)
dengan ~ merupakan bentuk modifikasi konstanta Planck, ¯m merupakan massa, V (x) menyatakan energi potensial dan Ψ(x, t) menyatakan fungsi gelombang.
Sedangkan persamaan Schr¨odinger dalam dimensi dua didefinisikan dalam Becerril, dkk (2008) sebagai berikut:
i~∂Ψ(x, y, t)
∂t = −~2 2 ¯m
∂2Ψ(x, y, t)
∂x2 +∂2Ψ(x, y, t)
∂x2
+ V (x, y)Ψ(x, y, t)
dengan ~ merupakan bentuk modifikasi konstanta Planck, ¯m merupakan massa, V (x, y) menyatakan energi potensial dan Ψ(x, y, t) menyatakan fungsi gelombang.
Diperhatikan bahwa persamaan Schr¨odinger memuat fungsi energi poten- sial V . Nilai dari V mempengaruhi domain pergerakan dari partikel yang fungsi gelombangnya akan dicari. Dalam Atkins dan Paula (2006) diberikan ilustrasi sing- kat mengenai kasus partikel yang bergerak bebas dengan V = 0 dan kasus osilasi harmonik dengan nilai V = 12kx2 pada dimensi satu serta kasus osilasi harmonik dimensi dua dengan fungsi energi potensial V = 12K (x2+ y2). Dari pembahasan yang diberikan ternyata diperoleh kesimpulan bahwa nilai V mempengaruhi bentuk fungsi gelombang yang dihasilkan dan juga daerah pergerakan dari partikel. Untuk kasus V = 0 baik pada dimensi satu maupun dimensi dua, daerah pergerakan parti- kel berturut-turut akan dibatasi oleh dinding berbentuk persegi dan kubus yang ter- bentuk dari syarat batas persamaan yang ditentukan. Untuk kasus osilasi harmonik dimensi satu dan dimensi dua, daerah pergerakan dari partikel akan berupa parabola dan paraboloida. Bentuk dari daerah pergerakan ini juga akan mempengaruhi be- sar probabilitas menemukan partikel di suatu titik di dalam daerah pergerakan yang terbentuk. Hal ini yang kemudian mendasari penulis untuk membahas dan menga- mati pergerakan dari partikel pada dimensi satu dan dua dengan kasus partikel yang bergerak bebas dan kasus osilasi harmonik.
Dalam buku yang ditulis Griffiths (1995) serta Atkins dan Paula (2006), - dijabarkan mengenai hal yang melatarbelakangi pembentukan dari fungsi Schr¨odi- nger. Dituliskan juga secara singkat mengenai penyelesaian eksak serta interpretasi dari fungsi gelombang dari persamaan Schr¨odinger dimensi satu yang dikaitkan de- ngan pembelajaran mengenai pergerakan elektron.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, perumusan masalah yang akan dibahas antara lain:
1. Perumusan teori-teori yang mendasari perhitungan guna memperoleh penye- lesaian eksak persamaan Schr¨odinger.
2. Penyelesaian eksak dari persamaan Sch¨odinger untuk permasalahan partikel dalam kotak dan osilasi harmonik dimensi satu.
3. Penyelesaian eksak dari persamaan Schr¨odinger untuk permasalahan partikel dalam kotak dan osilasi harmonik dimensi dua.
4. Simulasi serta interpretasi dari masing-masing fungsi gelombang yang diper- oleh yang dikaitkan dengan pergerakan elektron.
1.3. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini penulis hanya membahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan Schr¨odinger dimensi satu dan dua beserta dengan simulasi meng- gunakan aplikasi Matlab. Pengembangan pembahasan mengenai permasalahan ini tidak dilakukan karena dibutuhkan analisa dan pembelajaran yang lebih mendalam
1.4. Maksud dan Tujuan
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan un- tuk memberikan gambaran sederhana mengenai penyelesaian eksak dari persamaan
Schr¨odinger serta simulasi dan interpretasi terkait. Selain itu dapat juga digunakan sebagai bahan dasar untuk pembahasan-pembahasan lebih lanjut dengan topik yang hampir sama.
1.5. Tinjauan Pustaka
Literatur utama yang digunakan dalam skripsi ini adalah karya ilmiah dari Becerril, dkk (2008). Dalam karya tersebut dibahas mengenai Penyelesaian Per- samaan Schr¨odinger begantung waktu dimensi satu dan dua dengan menggunakan metode analitik dan metode numerik. Skripsi ini hanya akan meninjau penyelesaian analitik saja yang diberikan dalam karya tersebut.
Sebagai landasan teori, Ross (1984) dan Pinchover dan Rubenstein (2005) menjelaskan mengenai persamaan diferensial serta klasifikasinya. Selain itu di- jelaskan juga mengenai permasalahan syarat batas dan syarat awal serta metode- metode yang digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial. Per- samaan Schr¨odinger pada pembahasan ini dipandang sebagai permasalahan syarat batas yang diselesaikan dengan menggunakan metode separasi peubah. Dalam per- masalahan syarat batas terdapat kasus khusus yang dinamakan sebagai Masalah Sturm-Liouville. Definisi dan teorema Sturm-Liouville dijelaskan dalam Humi dan Miller (1992) dan Pinsky (1940). Selanjutnya, teori distribusi probabilitas yang mendasari interpretasi fungsi gelombang diberikan dalam Hogg dan Craig (1978).
Definisi fungsi Gamma diberikan dalam Sebah dan Gourdon (2002). Fungsi Gam- ma merupakan suatu fungsi dengan argumen berupa suatu bilangan. Hasil dari fung- si Gamma dapat dinyatakan dalam bentuk faktorial.
Persamaan Schr¨odinger diperkenalkan pada tahun 1925 oleh seorang ilmu- wan berkebangsaan Australia yang bernama Erwin Schr¨odinger. Persaman Schr¨odi- nger memberikan suatu fungsi gelombang yang digunakan untuk mengamati perila- ku partikel yang sangat kecil seperti elektron. Namun fungsi gelombang tersebut ti- dak dapat menginterpretasikan pergerakan partikel secara tepat sehingga dilakukan penginterpretasian fungsi gelombang dengan menggunakan konsep distribusi pro-
babilitas. Dari interpretasi tersebut akan diperoleh probabilitas keberadaan partikel pada suatu interval posisi tertentu (Griffiths, 1995). Dalam tulisan yang dikemu- kakan oleh Becerril, dkk (2008) diberikan penyelesaian persamaan Schr¨odinger pa- da dimensi satu dan dimensi dua. Selain itu, dilihat perilaku partikel berdasarkan fungsi energi potensial yang diberikan yaitu saat V (x) = 0 dan V (x) 6= 0. Fungsi gelombang yang diperoleh kemudian disimulasikan dengan menggunakan program Matlab. Penginterpretasian fungsi gelombang untuk permasalahan pergerakan elek- tron dilakukan dengan mengacu pada karya Atkins dan Paula (2006).
1.6. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur dengan mengacu pada beberapa pustaka baik berupa buku ataupun karya ilmiah yang berka- itan dengan pembahasan mengenai penyelesaian persamaan Schr¨odinger bergantung waktu. Penelitian pada skripsi ini diawali dengan identifikasi persamaan Schr¨odi- nger, yang setelah ditelaah merupakan salah satu bentuk persamaan diferensial par- sial. Selanjutnya ditentukan fungsi energi potensial yang digunakan dan disubsti- tusikan ke dalam persamaan sehingga akan diperoleh bentuk yang lebih sederhana dan dapat ditentukan metode yang sesuai untuk mencari penyelesaiannya. Penye- lesaian yang diperoleh ditentukan dengan menggunakan Teorema Masalah Sturm- Liouville dan Metode Separasi Peubah. Teori mengenai probabilitas juga dipelajari karena akan mendasari teori mengenai kondisi normal yang akan membantu dalam menginterpretasi pergerakan serta kemungkinan posisi elektron. Selanjutnya sete- lah diperoleh penyelesaian yang sesuai dan kondisi normal dipenuhi, dilakukan si- mulasi dengan menggunakan program Matlab untuk memperoleh gambaran meng- enai pergerakan partikel secara umum. Selain itu, fungsi gelombang dan simulasi yang dilakukan akan dikaitkan dengan permasalahan tentang pergerakan elektron.
1.7. Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika penulisan se- bagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakan penulisan skripsi, perumusan masalah, maksud dan tujuan penulisan, batasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang mendasari pembahasan permasalah- an yang dilakukan.
BAB III PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHR ¨ODINGER DIMENSI SATU DAN DUA
Pada bab ini dibahas penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Schr¨odinger de- ngan masing-masing gaya yang diberikan. Penyelesaian eksak dan dari persamaan Schr¨odinger bergantung waktu dimensi satu dibahas pada subbab pertama. Pada subbab kedua dibahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan osilasi harmo- nik dimensi satu. Selanjutnya, berturut-turut pada subbab ketiga dan keempat di- bahas mengenai penyelesaian eksak dari persamaan Schr¨odinger bergantung waktu dan osilasi harmonik dimensi dua.
BAB IV PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya dan disertakan pula saran yang dapat digunakan sebagai bahan untuk penelitian yang selanjutnya.
