Metode Statistika (STK211) Pertemuan III Konsep Peluang (Probability Concept)

Metode Statistika (STK211)

Pertemuan III Konsep Peluang

(Probability Concept)

Ruang Contoh dan Kejadian



Ruang Contoh adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.

– Notasi dari ruang contoh adalah sebagai berikut:

 S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasil

 n bisa terhingga atau tak terhingga

– Contoh:

 Melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}

 Melempar mata uang : S={M,B}

 Jenis kelamin bayi : S={L,W}



Ruang kejadian adalah anak gugus dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu.

– Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, …).

Contoh:

 Sisi muka muncul dari pelemparan dua buah mata uang:

A = {MM, MB, BM}

 Munculnya sisi ganjil pada dadu pertama dari pelemparan dua buah dadu:

B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 31, 32, …., 56}

Cara Menghitung Ukuran Ruang Contoh

 Penggandaan

– Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen- komponen yang saling bebas.

N(S) = n1 x n2 x … x n1 – Contoh

Melempar 3 buah mata uang

N(S) = 2 x 2 x 2 = 8

Melempar 2 buah dadu

N(S) = 6 x 6 = 36



Permutasi

– Permutasi merupakan kejadian dimana susunan objek yang terpilih diperhatikan.

– Misalkan memilih orang untuk membentuk

kepengurusan suatu organisasi, dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua.

– Permutasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:

– Contoh

Dari 5 orang kandidat akan dibentuk susunan pengurus (Ketua, Wakil, Bendahara)

N(S) = P⁵₃ = 5!/(5-3)! = 60

! 0 ...

) 1 (

) (

! 0 ...

) 2 ( ) 1 ( )!

(

!

x x r

n x r n

x x n

x n

nx r

n P_rⁿ n









 

 



Kombinasi

– Kombinasi merupakan kejadian dimana susunan objek yang terpilih tidak diperhatikan.

– Misalkan memilih sejumlah orang untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian.

– Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:

– Contoh

Dari 5 orang akan dibentuk tim cepat tepat yang beranggotakan 3 orang.

N(S) = C

⁵₃

= 5!/(5-3)!3! = 10

!

! 0 ...

) 1 (

) (

! 0 ...

) 2 (

) 1 (

! )!

(

!

xr x x r

n x r n

x x n

x n

nx r

r n C_rⁿ n









 

 

Peluang Kejadian



Peluang adalah rasio antara banyaknya

kejadian yang diharapkan dari suatu percobaan jika percobaan tersebut pada kondisi yang

sama. Peluang biasanya dinotasikan dengan P, misal P(A) peluang kejadian A.



Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:

1. 0  p(xi)  1, untuk i=1,2, …, n

2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1,

3. p(A1+A2+…+Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang

terpisah.

1 ) (

1





 n

i

xi

p

Contoh:

1.

Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6

jika setiap sisi seimbang maka peluangnya p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6

2.

Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurang atau sama dengan empat maka ruang kejadiannya:

A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4

Maka peluang kejadian A adalah:

P(A) = 4/6 = 2/3

Kejadian Saling Bebas



Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi.



Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:

P(AB)=P(A).P(B)

Contoh: Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki- laki?

P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

Peluang Bersyarat

 Peluang bersyarat adalah peluang

suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.

 Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), dimana:

P(A/B) = P(AB) / P(B)

 Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,

P(A/B)=P(A)

Contoh:

Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah

peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B).

P(A/B) = P(AB)/P(B)

= (3/5)(2/4)/(3/5) = 2/4



Untuk

mengerjakan kasus diatas, dapat juga dilakukan sebagai berikut:

– Perhatikan tabel kemungkinan

disamping

– P(A/B)=(6/20)/(12/

20)=1/2

Pertama Kedua

Merah Biru Total

Merah 2/20 6/20 8/20

Biru 6/20 6/20 12/20

Total 8/20 12/20 20/20

Teorema Bayes



Suatu gugus universum disekat menjadi beberapa anak gugus B1, B2, …, Bn dan A suatu kejadian pada U dengan p(B)0

maka,

P(A) =  P(Bi)P(A/Bi)



Peluang B

_k

bersyarat A, dapat dihitung sebagai berikut:

P(B

_k

/A) = P(B

_k

A)/ P(A)

 Perhatikan diagram berikut:

– Ruang contoh dipecah menjadi kejadian B1, B2,…,Bn saling terpisah

– Disamping itu ada kejadian A, yang dapat terjadi pada kejadian B1, B2,…,Bn.

Dengan demikian,

A=(AB1) + (AB2) + ….

+ (ABn)

– Peluang kejadian A adalah:

P(A)=P(AB1) + P(AB2) + …. + P(ABn)

– Dengan memanfaatkan sifat peluang bersyarat, diperoleh peluang Bk bersyarat A adalah:

B1 ………. Bn

Kejadian A

P(Bk/A) = P(Bk)P(A/Bk)/  P(Bi)P(A/Bi)

 Contoh

Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini

menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa

membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4. Maka peluang hari akan hujan jika diketahui

mahasiswa membawa payung adalah:

P(H) = 0.6

P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P/H) = 0.8

P(P/TH) = 0.4 Jadi,

64 . 0

48 . 0 16 . 0 48 . 0

48 . 0 4

. 0 4 . 0 8 . 0 6 . 0

8 . 0 6 . ) 0

/ (

) / ( ) ( ) / ( ) (

) / ( ) ) (

/ (

 

 



 

x x

P x H P

TH P P TH P H P P H P

H P P H P P

H P

LATIHAN MANDIRI

1. Seseorang membawa sebuah kantong belanja yang berisi 6 buah apel lokal (L) dan 4 buah apel impor (I) yang baru dibeli dari sebuah toko buah.

a. Bila sebuah apel diambil secara acak dari kantong tersebut, ada berapa macam kemungkinan apel itu terambil tanpa membedakan jenisnya? Berapa peluang terambil apel lokal? Dan berapa peluang terambil apel impor?

b. Bila dua buah apel diambil secara acak tanpa pemulihan, hitung berapa banyak kemungkinan contoh terambil bila urutan jenis apel tidak diperhatikan (misalnya, LI dan IL adalah sama)? Berapa

peluang kedua apel tersebut adalah apel lokal (P(LL))?

c. Dari butir b, bila apel pertama terambil adalah apel lokal, berapa peluang apel kedua terambil adalah apel impor (P(I|L))?

d. Diketahui bahwa peluang terserang lalat buah (S) jika apel lokal atau P(S|L) adalah 0,2 dan jika apel impor atau P(S|I) adalah 0,3. Jika dari kantong buah tersebut diambil sebuah apel secara acak dan ternyata terdapat lubang gigitan ulat lalat buah, berapa peluang bahwa apel tersebut adalah apel impor atau P(I|S)?

2. Peluang seekor ikan sakit insang adalah 0.3. Bila di dalam wadah terdapat 10 ekor ikan, berapakah

peluang terdapat 4 ekor ikan yang terkena penyakit insang?

3. Di dalam suatu bak terdapat 4 ikan mas, 6 ikan lele,

dan 10 ikan gurame. Lalu, diambil 5 ikan dari bak

tersebut. Berapakah peluang kelima ikan yang

terambil tersebut terdiri dari 2 ikan mas, 2 ikan lele,

dan 1 ikan gurame?

4. Di antara mahasiswa terdapat 70% yang mendapatkan nilai A untuk mata kuliah Metode Statistika, dan 40% mahasiswa memperoleh nilai A untuk mata pelajaran Pengantar Komputer.

Sedangkan, mahasiswa yang memperoleh nilai A pada kedua mata kuliah tersebut adalah 20%.

Berapakah peluang seorang mahasiswa

mendapatkan nilai A pada mata kuliah Pengantar

Komputer bila diketahui bahwa dia mendapatkan

nilai A pada mata kuliah Metode Statistika?

Desa Ayam yang Mati (ekor)

Desa Ayam yang

Mati (ekor)

X₁ 70 X₆ 75

X₂ 80 X₇ 96

X₃ 90 X₈ 73

X₄ 50 X₉ 71

X₅ 30 X₁₀ 82

5. Diketahui data ayam yang mati akibat serangan penyakit NCD (New Castle Diseases) di 10 desa sebagai berikut:

• Hitunglah median, rataan, kuartil pertama dan kuartil ketiganya!

• Hitunglah kisaran (range) dan jangkauan antar kuartil dari data di atas!

• Buatlah diagram kotak garisnya!

• Identifikasi, apakah ada pencilannnya? Jika ada pengamatan yang mana saja

SELAMAT BERLATIH