Bab I
Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini.
Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian real dan bagian imajiner (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikan sebagai
i = −1 (1.1)
Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana, yaitu dari persamaan kuadrat :
ax2 +bx+ =c 0 (1.2)
dimana cara penyelesaiannya sudah teramat populer, yaitu rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus :
x b
a D
1 2 a
2 2
, = −
± (1.3)
dimana diskriminan :
D=b2 −4ac (1.4)
Untuk nilai diskriminan D ≥ 0, tidak ada masalah, karena akar-akar persamaannya bersifat real menurut persamaan (1.3). Nah, untuk kasus D < 0, di dalam matematika dasar dikata- kan bahwa persamaan kuadrat (1.2) tidak memiliki akar real. Implikasi selanjutnya adalah bahwa akar persamaannya termasuk bilangan kompleks. Bila diskriminan negatif itu ditu- liskan D = −d2, maka akar kompleksnya adalah :
x b
a i d
1 2 a
2 2
, = −
± (1.5)
Dalam himpunan bilangan kompleks, x1 dan x2 dikatakan sebagai konjugat (sekawan) satu terhadap yang lain, karena perkalian antar mereka akan menghasilkan bilangan real. Sifat- sifat yang dimiliki bilangan kompleks akan dibahas lebih lanjut di bagian-bagian berikutnya.
Penyajian bilangan kompleks : 1. bentuk rectangular
z = x + iy (1.6)
x = Re(z) - bagian real y = Im(z) - bagian imajiner bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang Argand seperti tampak pada gambar di sebelah ini.
Semua titik yang berada pada sumbu Re(z) mewakili garis bilangan real.
2. bentuk polar
z = r [ cos θ + i sin θ ] = r cis θ (1.7)
r = |z| - modulus bilangan kompleks θ = arg(z) - argumen bilangan kompleks
Range utama argumen : 0 ≤ Arg(z) < 2π sehingga : arg(z) = Arg(z) + k.2π
Hubungannya dengan bentuk rectangular tampak dari gambar di bidang Argand :
r x y
y x
= +
= −
2 2
θ tan 1 (1.8)
3. bentuk eksponen
z = r eiθ (1.9)
bentuk ini dapat diperoleh dari bentuk polar (1.7) dengan mengingat hubungan fungsi trigonometri dengan eksponensial kompleks :
sin θ = e e i
iθ − −iθ
2 ⇒ sinθ =Im(eiθ) (1.10a)
cos θ = eiθ +e−iθ
2 ⇒ cosθ=Re(eiθ) (1.10b)
Bentuk yang sering dipakai adalah bentuk rectangular (1.6) dan eksponensial (1.9). Bentuk eksponensial banyak dipakai dalam operasi pemangkatan dan perkalian, juga pada kasus-
Im(z)
Re(z) y
x θ
• r
z = x+iy
kasus yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti peristiwa perambatan gelombang, getaran, dan lain-lain.
Perlu ditambahkan bahwa di antara dua bilangan kompleks z1 dan z2 hanya dikenal hubun- gan dengan pengertian :
z z x x dan y y
z z x x atau y y
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
= ⇔ = =
≠ ⇔ ≠ ≠ (1.11)
Pengertian lebih besar (>) atau lebih kecil (<) tidak ada dalam perbendaharaan kata himpu- nan bilangan kompleks.
Operasi bilangan kompleks
Operasi aljabar 1. penjumlahan :
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2) (1.12) operasi penjumlahan dilakukan pada masing-masing bagian. Bagian real dijumlahkan dengan bagian real, bagian imajiner dengan bagian imajiner. Pengurangan adalah pen- jumlahan dengan nilai negatifnya.
2. perkalian :
z1.z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) (1.13a)
= r1r2 exp[i(θ1+θ2)] (1.13b)
Tampak bahwa perkalian antara 2 bilangan kompleks lebih sederhana apabila dilakukan dalam bentuk polar eksponensial (1.13b). Modulus hasilnya adalah perkalian antara modulus kedua bilangan itu, sedangkan argumen hasil tersebut merupakan jumlahan dari argumen-argumennya.
Pembagian adalah proses perkalian dengan kebalikan bilangan. Dalam bentuk ekspo- nensial kebalikan bilangan kompleks memiliki argumen yang negatif.
z1 /z2 = (r1 /r2 ) exp[i(θ1 −θ2)] (1.14) Tugas 1-1
Dengan memanfaatkan persamaan untuk perkalian (1.13b) dan pembagian (1.14) buktikanlah kesamaan (identitas) trigonometri :
• cos(θ1±θ2)=cosθ1cosθ2 msinθ1sinθ2
• sin(θ1 ±θ2)=sinθ1cosθ2 ±cosθ1sinθ2
3. pemangkatan :
Operasi pemangkatan juga memanfaatkan kemudahan yang dimiliki oleh bentuk ekspo- nensial :
zn = rn einθ (1.15)
dimana n adalah sembarang bilangan real
Persamaan (1.15) biasa dikenal dengan dalil de Moivre. Contoh pemanfaatan dalil ini adalah perhitungan akar persamaan : z5 − 1 = 0.
Tampak bahwa penyelesaian realnya adalah +1, bagaimana dengan penyelesaian kom- pleksnya? Ternyata mudah sekali untuk dikerjakan :
z5 = =1 eik2π ⇒ z=exp(i k25 π)
Penyelesaian ini sudah lengkap, yaitu 5 buah akar persamaan untuk nilai k = 0 sampai dengan 4. Penyelesaian z = +1 adalah untuk k = 0.
4. logaritma :
ln z = ln |z| + i Arg(z) (1.16)
= ln r + i θ
Sekali lagi bentuk eksponensial menampakkan keunggulannya di dalam operasi loga- ritma ini. Sebuah hal penting yang perlu dicatat adalah fungsi logaritma di dalam him- punan bilangan kompleks sebenarnya adalah fungsi bernilai jamak (multi-valued), ar- tinya untuk sebuah bilangan z, nilai logaritmanya lebih dari sebuah (dalam hal ini tak hingga banyaknya). Hal ini tampak pada persamaan (1.16) yang seharusnya memakai arg(z) di ruas kanan, bukan nilai utama Arg(z). Tetapi untuk membatasi agar fungsi ini bernilai tunggal (single-valued), range argumen dibatasi pada range utamanya saja (0 ≤ θ < 2π).
Operasi konjugasi Tugas 1-2
Dengan memanfaatkan dalil de Moivre (1.15) jabarkanlah ekspresi berikut da- lam fungsi sudut tunggal θ :
• cos 3θ
• sin 3θ
Istilah konjugat sudah disinggung di bagian depan. Jika dua bilangan kompleks di- kalikan menghasilkan bilangan real, kedua bilangan itu lantas disebut konjugat satu ter- hadap yang lain. Suatu bilangan kompleks z memiliki sekawan (konjugat) z* yang dide- finisikan dan ditulis sebagai :
z* = z= −x iy = re−iθ (1.17)
sehingga perkaliannya dengan z menghasilkan bilangan real :
z*z = |z|2 = r2 = x2+y2 (1.18)
Sifat ini dimanfaatkan untuk me-real-kan penyebut dalam pecahan bilangan kompleks, karena menurut persamaan (1.18) :
1/z = z*/|z|2 (1.19)
Sifat lain bilangan konjugat ini adalah distributif terhadap penjumlahan maupun perkalian :
• (z1+z2)* = z1* + z2* (1.20a)
• (z1.z2)* = z1*.z2* (1.20b)
Hal lain yang menyangkut konjugat adalah bagian real dan imajiner suatu bilangan kom- pleks z :
x = Re(z) = (z+z*)/2 (1.21a)
y = Im(z) = (z−z*)/2i (1.21b)
Geometri bilangan kompleks
Persamaan bilangan kompleks dapat dipakai untuk menggambarkan beberapa bentuk geometri dua dimensi di bidang Argand. Beberapa di antaranya adalah :
Lingkaran
Persamaan untuk lingkaran berpusat di z0
dan beruji R adalah :
|z - z0| = R (1.22) sehingga daerah di dalam dan di luar ling- karan tersebut dapat ditulis :
|z - z0| < R dan |z - z0| > R
Garis lurus
Persamaan untuk garis lurus yang menjadi garis sumbu di antara dua titik z dan z : z0
R
|z-z0| > R
• • •
|z-z0| = R
|z-z0| < R
|z - z1| = |z - z2| (1.23) Sedangkan persamaan garis yang dituliskan dalam bentuk linier : y = ax + b dapat ditu- liskan dalam bentuk kompleks melalui substitusi persamaan (1.21) untuk x dan y :
z z i
a z z b
− *= + +
( *)
2 2 (1.24)
Elips
Persamaan elips yang fokus-fokusnya di z0 dan -z0, dan memiliki semimayor (ruji panjang) R adalah :
|z + z0| + |z - z0| = 2R (1.25)
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap kedua fokus sama besar.
Aplikasi
Mungkin jarang diduga bahwa aplikasi bilangan kompleks ternyata amat luas.
Tentu saja tidak mungkin semua jenis aplikasi dapat disebutkan di sini, kecuali yang terkait dengan bidang-bidang dasar. Ambil contoh perhitungan impedansi, tegangan dan arus maksimum, dan fase getar pada listrik AC. Lihat pula diktat Fisika II.
Di dalam rangkaian AC setiap komponen dapat ditulis dalam bentuk bilangan kompleks : - resistor ditulis dengan bilangan real R
- reaktansi induktif ditulis dengan bilangan imajiner iXL
- reaktansi kapasitif ditulis dengan bilangan imajiner −iXC
- tegangan yang diberikan ditulis dengan bilangan kompleks V0 eiθ Misalnya untuk rangkaian seri RLC seperti rangkaian di bawah ini :
Impedansi rangkaian ini dapat dicari dari jumlahan (seri) dari ketiga komponennya :
z = R + i (XL − XC) (1.26)
= Z eiφ
Dari bilangan kompleks (1.26) dapat diartikan :
• modulusnya merupakan impedansi rangkaian :
Z = |z| = R2 +(XL − XC)2 (1.27)
• argumennya merupakan beda fase antara arus dan tegangan rangkaian :
φ = − − tan 1 X X
R
L C
(1.28) Untuk mengetahui mana yang bergetar lebih dulu, arusnya atau tegangannya, dapat digunakan hukum Ohm :
I = V z
V Z ei
= 0 (θ φ− ) (1.29) yang menunjukkan bahwa arusnya I keting- galan fasenya sejauh φ dari tegangannya.
Aplikasi pencarian akar kompleks
suatu persamaan terjadi pada saat penentuan stabilitas suatu sistem. Sebuah sistem, misal- nya dalam sebuah rangkaian penguat, dapat bersifat stabil atau tidak stabil. Secara umum sebuah penguat dengan umpan balik dapat digambarkan sebagai berikut.
Sinyal datang Es masuk ke dalam sistem penguat A, diperkuat menjadi sinyal ke- luaran E0. Sebagian keluaran, βE0, dium- pan balik untuk bergabung dengan sinyal Es
menjadi Eg. Jadi yang sebenarnya diperkuat adalah Eg ini :
E0 = A Eg (1.30) dimana :
Eg = Es + βE0 (1.31)
V0eiθ
R
iXL
-iXC
~
A
βE0
Es Eg
E0 Tugas 1-3
Selidiki bagaimana impedansi dan beda fase antara arus dan tegangannya jika ketiga komponen R, L, dan C dirangkai secara paralel satu sama lain !
A disebut perkuatan sinyal, dan β adalah bagian keluaran yang menjadi umpan balik. Baik A maupun β dapat berupa bilangan kompleks.
Perpaduan persamaan (1.30) dan (1.31) akan menghasilkan :
E0 = A Es + Aβ E0 (1.32)
Ketakstabilan sistem, berupa getaran misalnya, dapat ditengarai dari terjadinya keluaran E0
tanpa adanya masukan Es. Maka kondisi tak stabil terjadi jika E0 ≠ 0 untuk Es = 0, se- hingga kondisi ini menyebabkan persamaan (1.32) menghasilkan persamaan :
1-A(z)β(z) = 0 (1.33)
Jika persamaan (1.33) memiliki akar real positif, sistem ini tak stabil dan menjadi semakin liar. Jika akarnya itu bilangan kompleks di belahan sebelah kanan bidang Argand, sistem- nya juga tidak stabil, sistem akan mengalami getaran. Barulah jika akarnya ada di belahan kiri bidang Argand, sistem berada dalam keadaan stabil.
SOAL
1. Hitung akar-akar dari persamaan-persamaan berikut : a. x6+1 = 0
b. x6 −1= 0
2. Berapakah sudut kompleks ψ bila : a. sin ψ = 2
b. cos ψ = 2
3. Hitung modulus dan argumen z bila : a. z = ii
b. z = i
i +
− 1 1
c. z = ln (1 − i√3)
Hitung impedansi untai AC berikut. Tentukan pula beda fase arus terhadap tegangannya antara titik A dan B !
Nyatakan arusnya dalam fungsi waktu t !
Sebuah untai listrik AC terdiri dari resistor R, reaktansi induktif XL dan reaktansi kapasitif XC, seperti pada gambar.
R = 10 Ω dan XL = 5 Ω
Arus listrik yang mengalir pada untai ini : I = V/Z, dimana V adalah tegangan sumber dan Z adalah impedansi untainya.
Berapa XC yang harus dipasang agar arus dan 4.
V0eit
R = 1Ω
XL = 1Ω
XC = ½ Ω
~
5.
V
R iXL
-iXC
~
tegangannya sefase, yakni jika argumen bilangan kompleks untuk arus dan tegangannya sama besar ?
6. Hitung modulus dan argumen bilangan kompleks z, bila ia memenuhi persamaan : a. z3 +z2 + + =z 1 0
b. z2 − + =z 1 0
