Institut Teknologi Sepuluh Nopember - Surabaya. MATERI Kriteria Kestabilan Nyquist

(1)

Institut Teknologi Sepuluh Nopember - Surabaya

MATERI

Kriteria Kestabilan Nyquist

(2)

Pengantar

Pengantar

Materi Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

 Respon frekuensi suatu sistem adalah respon keadaan tunak sistem teerhadap sinyal masukan sinusoidal.

 Metode respon frekuensi dan metode penempatan akar adalah dua cara yang berbeda dalam aplikasi prinsip dasar analisis yang sama.

 Salah satu kelebihan dari metode respon frekuensi adalah fungsi transfer sistem dapat ditentukan secara eksperimen dengan

mengukur tanggapan frekuensi.

 Namun demikian, perancangan suatu sistem dalam domain frekuensi menuntut perancang untuk lebih memperhatikan bandwidth sistem dan efek nois dan gangguan pada respon sistem.

(3)

Materi

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Kriteria Kestabilan Nyquist

• Fungsi transfer Sistem loop tertutup

• Persamaan karakeristik:

• Semua akar persamaan karakteristik harus terletak pada sebelah kiri sumbu imajiner dalam bidang-s.

• Kriteria kestabilan Nyquist menghubungkan respon frekuensi loop terbuka dengan banyaknya zero dan pole yang terletak diebelah kanan sumbu imajiner bidang s.

• Kriteria ini ditemukan oleh H. Nyquist yang sangat berguna dalam teknik pengendalian. Karena kestabilan mutlak sistem loop tertutup dapat ditentukan secara grafis dari kurva respon frekuensi loop terbuka sehingga tidak perlu lagi mencari pole- pole loop tertutup.

) ( ) ( 1

) ( )

( ) (

s H s G

s G s

R s C

 

0 )

( ) (

1  G s H s 

(4)

Materi

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

• Kriteria kestabilan Nyquist, menentukan kestabilan loop tertutup berdasarkan fungsi transfer loop terbuka G(s)H(s) dari respon

frekuensi loop terbuka dan pole-pole loop terbuka

• Pada system open loop G(s)H(s) terdapat pole disebelah kanan sumbu imajiner dalam bidang s dan = konstan, maka agar sistem tersebut stabil, tempat kedudukan untuk w dari -~ ke +~ harus mengelilingi titik –1 + j0 sebanyak k kali berlawanan arah dengan jarum jam.

• Kriteria kestabilan dinyatakan dalam tahapan : (1). Kriteria ini dapat dinyatakan sebagai :

Z = N + P, dengan

Z = banyaknya zero dari 1 + G(s)H(s) yang terletak disebelah kanan sumbu imajiner dalam bidang s.

N = banyaknya pengelilingan terhadap titik –1 + j0 searah dengan jarum jam.

P = banyaknya pole dari G(s)H(s) disebelah kanan sumbu imajiner bidang s.

(5)

Materi

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

• Jika P = 0, maka sistem pengendalian stabil diperoleh

dengan Z = 0 atau N = -P, yang berarti diperoleh sebanyak P pengelilingan terhadap titik –1 + j0 berlawanan arah dengan jarum jam.

• Jika G(s)H(s) tidak mempunyai pole disebelah kanan sumbu imajiner bidang s, maka Z = N. jadi agar stabil  tidak boleh ada pengelilingan terhadap titik –1 + j0

• Dalam hal ini tidak perlu ditinjau tempat kedudukan tersebut untuk seluruh sumbu j , tetapi cukup bagian frekuensi

positifnya saja. Kestabilan sistem ini dapat ditentukan

dengan memeriksa jumlah pengelilingan terhadap titik –1 + j0 oleh diagram Nyquist .

(6)

Materi

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

• Daerah yang dilingkupi oleh diagram Nyquist ditunjukkan pada gambar berikut. Agar stabil, titik –1 + j0 harus terletak diluar daerah yang diarsir.

(7)

Materi

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

(2). Dalam menguji kestabilan sistem loop jamak harus

dilakukan dengan hati-hati karena melibatkan pole-pole disebelah kanan sumbu imajiner bidang s. (Walaupun loop dalam keadaan tidak stabil, tetapi keseluruhan sistem loop tertutup dapat dibuat stabil dengan perancangan yang

tepat).

Pemeriksaan terhadap pengelilingan –1 + j0 oleh tempat kedudukan belum cukup untuk mendeteksi kestabilan sistem loop jamak.

Meskipun demikian, ada atau tidaknya pole dari 1 + G(s)H(s) yang terletak disebelah kanan sumbu imajiner bidang s dapat ditentukan secara mudah dengan

menggunakan kriteria kestabilan Routh pada persamaan penyebut G(s)H(s).

(8)

Materi

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Jika fungsi transenden, seperti kelambatan e^-Ts, tercakup pada G(s)H(s), maka harus didekati dengan deret sebelum

digunakan kriteria kestabilan Routh. Salah satu bentuk deret dari e^-Ts :

dari deret diatas dapat diambil pendekatan :

Dengan pendekatan diatas diperoleh untuk keadaan daerah frekuensi .

48 ...

) ( 8

) ( 1 2

48 ...

) ( 8

) ( 1 2

3 2







 



Ts Ts

Ts

Ts Ts

Ts e ^Ts

Ts Ts Ts

Ts e ^Ts



 



 



2 2 1 2

1 2

(9)

Materi

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

(3). Jika tempat kedudukan melalui titik –1+j0, maka zero dari persamaan karakteristik atau pole loop tertutup terletak pada sumbu j, maka tidak diinginkan pada sistem pengendalian.

Pada kasus ini maka kontur pada bidang-s harus dimodifikasi dengan menggunakan lintasan setengah lingkaran dengan jari- jari yang sangat kecil , seperti ditunjukkan Gambar berikut

(10)

Materi

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Dalam menguji kestabilan sistem pengendalian linier dengan menggunakan Kriteria Kestabilan Nyquist, ada 3 kemungkinan:

1. Tidak ada pengelilingan titik –1+j0. Ini berarti bahwa sistem stabil jika tidak ada kutub dari G(s)H(s) yang terletak

disebelah kanan sumbu khayal bidang-s, jika tidak demikian sistem tidak stabil.

2. Ada satu atau lebih pengelilingan titik –1+j0 berlawanan jarum jam. Dalam hal ini sistem stabil jika banyaknya pengelilingan yang berlawanan arah dengan jarum jam sama dengan banyaknya kutub dari G(s)H(s) yang terletak disebelah kanan sumbu khayal bidang s, jika tidak

demikian maka sistem tidak stabil.

3. Ada satu atau lebih pengelilingan titik –1+j0 yang searah jarum jam. Dalam hal ini sistem tidak stabil.

(11)

Contoh Soal

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh 1

) 1 )(

1 ) (

( ) (

2

1  

 s T s T s s K

H s G

Periksalah kestabilan dengan menggunakan kriteria kestabilan Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih sebagai berikut,

(12)

Contoh Soal

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Jawab :

• Diagram Nyquist fungsi alih loop terbuka dengan nilai K kecil dan nilai K besar diperlihatkan pada gambar dibawah.

• Jumlah kutub G(s)H(s) dalam setengah kanan bidang s adalah nol.

• Dengan demikian, agar sistem ini stabil diperlukan N=Z=0 atau tempat kedudukan G(s)H(s) tidak mengelilingi titik –1+j0.

Contoh 1

(13)

Contoh Soal

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Jawab :

• Untuk nilai K kecil, tidak ada yang mengelilingi titik –1+j0.

maka sistem adalah stabil untuk nilai K kecil.

• Untuk nilai K besar, tempat kedudukan G(s)H(s) mengelilingi –1+j0 dua kali dalam arah jarum jam, menunjukan dua gaya kutub loop tertutup dalam setengah kanan bidang s dan

sistem tidak stabil.

• Untuk ketelitian yang baik, K harus besar. Akan tetapi, dari pandangan kestabilan, nilai K besar menyebabkan

kestabilan yang jelek atau bahkan tidak stabil.

• Guna mengkompromikan antara ketelitian dan kestabilan, perlu menyisipkan sebuah jaringan kompensasi kedalam sistem.

Contoh 1

(14)

Contoh Soal

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh 2

8 6

) 1 (

) 4 )(

2 (

) 1 ) (

( )

( ₂





 



 

s s

s K s

s

s s K

H s G

Periksalah kestabilan dengan menggunakan kriteria kestabilan Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih sebagai berikut,

(15)

Contoh Soal

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Jawab :

Dengan menggunakan fungsi [Re,Im]=nyquist(num,den,), program ploting fungsi alih diatas adalah,

clg

j=sqrt(-1);

th=pi/2:-.1:-pi/2;

% Select a Nyquist path with a large radius say 50

% to ensure open-loop poles are enclosed.

s1=j*(-50:.2:50); % Nyquist path on the jw-axis from -j50 to j50

s2=50*exp(j*th); % Nyquist path from pi/2 to -pi/2 with radius 50

s=[s1 s2]; % Row vektor containing the Nyquist path num=[12 12];

den=[1 -6 8];

[Re, Im]=cnyquist(num,den, s);

subplot(221),plot(s),title('Nyquist path'), grid

subplot(222),plot(Re,Im),title('Nyquist Diagram'),grid subplot(111)

Contoh 2

(16)

Contoh Soal

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

• Plot Diagram Nyquist

• Dari gambar diatas, fungsi alih loop terbuka mempunyai dua pole disebelah kanan bidang-s, adalah P=2.

• Lintasan Nyquist mengelilingi titik (-1,0) dua kali berlawanan dengan arah jarum jam, adalah N=-2 dan Z=P+N=2-2=0.

• Oleh karena itu, untuk K=12, Sistem loop tertutup adalah stabil.

• Gain margin (GM) adalah ½ dan gain untuk stabil secara marginal adalah K_c=1/2(12)=6.

• Jadi, sistem stabil untuk semua K>6.

Jawab :

Contoh 2

(17)

Latihan

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

) 20 )(

10 (

) 10 ) (

( )

(  

 

s s

s

s s K

H s G

Periksalah kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria kestabilan Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih loop terbuka berikut, Latihan Soal 1

(18)

Latihan

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

) 10 )(

2 (

) 5 , 0 ( ) 10

( )

( ₂



 

s s

s

s s K

H s G

Gambar diagram polar dengan K=1 dan K=10. Periksalah kestabilan sistem dengan menggunakan kriteria kestabilan Nyquist.

Tinjau sistem loop tertutup dengan fungsi alih loop terbuka berikut, Latihan Soal 2

(19)

Ringkasan

1. Kriteria kestabilan Nyquist didasarkan pada plot diagram polar

2. Kriteria kestabilan Nyquist menghubungkan respon frekuensi loop terbuka dengan banyaknya zero dan pole yang terletak diebelah kanan sumbu imajiner bidang s

Pengantar

Ringkasan

Latihan

Asesmen

(20)

Institut Teknologi Sepuluh Nopember - Surabaya. MATERI Kriteria Kestabilan Nyquist