Analisis Analisis Analisis Analisis
Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik
Jilid 2
Sudaryatno Sudirham
BAB 4
Analisis Rangkaian Menggunakan Transformasi Laplace
Setelah mempelajari bab ini kita akan
• memahami konsep impedansi di kawasan s.
• mampu melakukan transformasi rangkaian ke kawasan s.
• mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan s.
Di bab sebelumnya kita menggunakan transformasi Laplace untuk memecahkan persamaan rangkaian. Kita harus mencari terlebih dahulu persamaan rangkaian di kawasan t sebelum perhitungan-perhitungan di kawasan s kita lakukan. Berikut ini kita akan mempelajari konsep impedansi dan dengan konsep ini kita akan dapat melakukan transformasi rangkaian ke kawasan s. Dengan transformasi rangkaian ini, kita langsung bekerja di kawasan s, artinya persamaan rangkaian langsung dicari di kawasan s tanpa mencari persamaan rangkaian di kawasan t lebih dulu.
Sebagaimana kita ketahui, elemen dalam analisis rangkaian listrik adalah model dari piranti yang dinyatakan dengan karakteristik i-v-nya. Jika analisis dilakukan di kawasan s dimana v(t) dan i(t) ditransformasikan menjadi V(s) dan I(s), maka pernyataan elemenpun harus dinyatakan di kawasan s.
4.1. Hubungan Tegangan-Arus Elemen di Kawasan s 4.1.1. Resistor
Hubungan arus dan tegangan resistor di kawasan t adalah (t)
Ri t vR()= R Transformasi Laplace dari vR adalah
(s) R dt e t Ri dt e t v
s R st R st R
R I
V ( )=
∫
0∞ () − =∫
0∞ () − = Jadi hubungan arus-tegangan resistor di kawasan s adalah) ( )
(s R R s
R I
V = (4.1)
4.1.2. Induktor
Hubungan antara arus dan tegangan induktor di kawasan t adalah
dt (t) Ldi t
vL()= L
Transformasi Laplace dari vL adalah (ingat sifat diferensiasi dari transformasi Laplace) :
) 0 ( ) ) (
) ( ( )
( 0 st 0 L st L L
L
L e dt sL s Li
dt t Ldi dt
e t v
s = −
=
=
∫
∞ −∫
∞ − IV
Jadi hubungan tegangan-arus induktor adalah ) 0 ( ) ( )
( L L
L s =sLI s −Li
V (4.2)
dengan iL (0) adalah arus induktor pada saat awal integrasi dilakukan atau dengan kata lain adalah arus pada t = 0. Kita ingat pada analisis transien di kawasan waktu, arus ini adalah kondisi awal dari induktor, yaitu i(0+)
= i(0−).
4.1.3. Kapasitor
Hubungan antara tegangan dan arus kapasitor di kawasan t adalah
∫
+= t C c
C i t dt v
t C v
0 () (0) ) 1
(
Transformasi Laplace dari tegangan kapasitor adalah
s v sC
s C s C
C
) 0 ( ) ) (
( = I +
V (4.3)
dengan vC(0) adalah tegangan kapasitor pada t =0. Inilah hubungan tegangan dan arus kapasitor di kawasan s.
4.2. Konsep Impedansi di Kawasan s
Impedansi merupakan suatu konsep di kawasan s yang didefinisikan sebagai berikut.
Impedansi di kawasan s adalah rasio tegangan terhadap arus di kawasan s dengan kondisi awal nol.
Sesuai dengan definisi ini, maka impedansi elemen dapat kita peroleh dari (4.1), (4.2), dan (4.3) dengan iL (0) = 0 maupun vC (0) = 0,
sC s C Z s s sL
L Z s s R
Z s L L C C
R R R
1 ) (
) (
; ) (
) (
; ) (
)
( = = = = =
= I
V I
V I
V (4.4)
Dengan konsep impedansi ini maka hubungan tegangan-arus untuk resistor, induktor, dan kapasitor menjadi sederhana, mirip dengan relasi hukum Ohm.
) 1 (
; (s) )
(
; (s) )
( s
sL sC s R
s R L L C C
R I V I V I
V = = = (4.5)
Sejalan dengan pengertian impedansi, dikembangkan pengertian admitansi, yaitu Y = 1/Z sehingga untuk resistor, induktor, dan kapasitor kita mempunyai
sC sL Y
R Y
YR = L= 1 ; C =
;
1 (4.6)
4.3. Representasi Elemen di Kawasan s
Dengan pengertian impedansi seperti dikemukakan di atas, dan hubungan tegangan-arus elemen di kawasan s, maka elemen-elemen dapat direpresentasikan di kawasan s dengan impedansinya, sedangkan kondisi awal (untuk induktor dan kapasitor) dinyatakan dengan sumber tegangan yang terhubung seri dengan impedansi tersebut, seperti terlihat pada Gb.
4.1.
Resistor Induktor Kapasitor Gb.4.1. Representasi elemen di kawasan s.
) ( )
(s R R s
R I
V = ; VL(s)=sLIL(s)−LiL(0);
s v sC
s C s C
C
) 0 ( ) ) (
( = I +
V R
IR (s) +
VR(s)
−
− +
sL
LiL(0) +
VL (s)
−
IL (s)
+ − vCs(0) +
VC (s)
−
IC (s) sC
1
Representasi elemen di kawasan s dapat pula dilakukan dengan menggunakan sumber arus untuk menyatakan kondisi awal induktor dan kapasitor seperti terlihat pada Gb.4.2.
Gb.4.2. Representasi elemen di kawasan s.
) ( )
(s R R s
R I
V = ;
−
= s
s i sL
s L L
L
) 0 ) ( ( )
( I
V ;
(
( ) (0))
) 1
( C C
C s Cv
s = sC I + V
4.4. Transformasi Rangkaian
Representasi elemen ini dapat kita gunakan untuk mentransformasi rangkaian ke kawasan s. Dalam melakukan transformasi rangkaian perlu kita perhatikan juga apakah rangkaian yang kita transformasikan mengandung simpanan energi awal atau tidak. Jika tidak ada, maka sumber tegangan ataupun sumber arus pada representasi elemen tidak perlu kita gambarkan.
CO+TOH 4.1: Saklar S pada rangkaian berikut telah lama ada di posisi 1. Pada t = 0 saklar
dipindahkan ke posisi 2 sehingga rangkaian RLC seri terhubung ke sumber tegangan 2e−3t V.
Transformasikan rangkaian ke kawasan s untuk t > 0.
Penyelesaian :
Pada t < 0, keadaan telah mantap. Arus induktor nol dan tegangan kapasitor sama dengan tegangan sumber 8 V.
R IR (s) +
VR(s)
−
sC 1
CvC(0) IC (s) + VC (s)
− IL (s)
+ VL (s)
− sL
s iL(0)
1/2 F 3 Ω 1 H 2e−3t V
+ vC
− 1 S
2 + − +
8 V−
Untuk t > 0, sumber tegangan adalah vs = 2e−3t yang transformasinya ke kawasan s adalah
3 ) 2
( = +
s s Vs
Representasi kapasitor adalah impedansinya 1/sC = 2/s seri dengan sumber tegangan 8/s karena tegangan kapasitor pada t = 0 adalah 8 V. Representasi induktor impedansinya sL = s tanpa diserikan dengan sumber tegangan karena arus induktor pada t = 0 adalah nol.
Transformasi rangkaian ke kawasan s untuk t > 0 adalah
Perhatikan bahwa tegangan kapasitor VC (s) mencakup sumber tegangan (8/s) dan bukan hanya tegangan pada impedansi (2/s) saja.
Setelah rangkaian ditransformasikan, kita mengharapkan dapat langsung mencari persamaan rangkaian di kawasan s. Apakah hukum-hukum, kaidah, teorema rangkaian serta metoda analisis yang telah kita pelajari di kawasan t dapat kita terapkan? Hal tersebut kita bahas berikut ini.
4.5. Hukum Kirchhoff
Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa untuk suatu simpul berlaku
∑
==
n
k k t i
1
0 ) (
Jika kita lakukan transformasi, akan kita peroleh
0 ) ( )
( )
(
1 1 0
0 1
=
=
=
∑ ∫ ∑
∫ ∑
= =∞ −
∞ −
=
n
k k n
k
st k st
n
k
k t e dt i t e dt s
i I (4.7)
Jadi hukum arus Kirchhoff (HAK) berlaku di kawasan s. Hal yang sama terjadi juga pada hukum tegangan Kirchhoff. Untuk suatu loop
s s 2
3
3 2 + s
+ − +
s − 8
+ VC(s)
−
0 ) (
) ( )
(
0 ) (
1 1 0
0 1
1
=
=
=
⇒
=
∑ ∫ ∑
∫ ∑
∑
=
=
∞ −
∞ −
=
=
n
k k n
k
st k st
n
k k n
k k
s dt
e t v dt
e t v t v
V
(4.8)
4.6. Kaidah-Kaidah Rangkaian
Kaidah-kaidah rangkaian, seperti rangkaian ekivalen seri dan paralel, pembagi arus, pembagi tegangan, sesungguhnya merupakan konsekuensi hukum Kirchhoff. Karena hukum ini berlaku di kawasan s maka kaidah- kaidah rangkaian juga harus berlaku di kawasan s. Dengan mudah kita akan mendapatkan impedansi ekivalen maupun admitansi ekivalen
∑
∑
== k ekiv paralel k
seri
ekiv Z Y Y
Z ; (4.9)
Demikian pula dengan pembagi arus dan pembagi tegangan.
) ( )
(
; ) ( )
(
Z s s Z Y s
s Y total
seri ekiv k k
total paralel ekiv
k k I V V
I = = (4.10)
CO+TOH-4.2: Carilah VC (s) pada rangkaian impedansi seri RLC berikut ini.
Penyelesaian :
Kaidah pembagi tegangan pada rangkaian ini memberikan
) ) ( 2 )(
1 ( ) 2 ( 2 3 ) 2
2 ( 3
/ ) 2
( 2 s
s s s
s s s s s
s s in in in
R V V V
V = + +
+
= + +
+
=
Pemahaman :
Jika Vin(s) = 10/s maka
s s 2 + 3
−
+ VC (s)
− Vin (s)
t C t
C
s
s s
C
e e t
v
s s s s
s k s
s k s s
k s
s k s
k s k s
s s s
2 2
3
1 2
0 1
3 2 1
10 20 10 ) (
2 10 1 20 ) 10
(
) 10 1 ( 20
; ) 20
2 ( 20
; ) 10
2 )(
1 (
20
2 1 )
2 )(
1 ( ) 20 (
−
−
−
=
−
=
=
+
−
=
⇒
+ + + + −
=
⇒
+ =
=
− + =
= + =
= +
→
+ + + + + =
= +
V V
Inilah tanggapan rangkaian rangkaian RLC seri (dengan R = 3Ω , L = 1H, C = 0,5 F) dengan masukan sinyal anak tangga yang amplitudonya 10 V.
4.7. Teorema Rangkaian 4.7.1. Prinsip Proporsionalitas
Prinsip proporsionalitas merupakan pernyataan langsung dari sifat rangkaian linier. Di kawasan t, pada rangkaian dengan elemen-elemen resistor, sifat ini dinyatakan oleh hubungan
) ( ) (t Kxt
y =
dengan y(t) dan x(t) adalah keluaran dan masukan dan K adalah suatu konstanta yang ditentukan oleh nilai-nilai resistor yang terlibat.
Transformasi Laplace dari kedua ruas hubungan diatas akan memberikan )
( ) (s KX s Y =
dengan Y(s) dan X(s) adalah sinyal keluaran dan masukan di kawasan s.
Untuk rangkaian impedansi,
) ( )
(s KsX s
Y = (4.11)
Perbedaan antara prinsip proporsionalitas pada rangkaian-rangkaian resistor dengan rangkaian impedansi terletak pada faktor Ks. Dalam rangkaian impedansi nilai Ks, merupakan fungsi rasional dalam s.
Sebagai contoh kita lihat rangkaian seri RLC dengan masukan Vin(s). Jika tegangan keluaran adalah tegangan pada resistor VR (s), maka
) ( 1 )
) ( / 1 ) (
( 2 s
RCs LCs s RCs sC
sL R
s R in in
R V V
V
+
= + +
= +
Besaran yang berada dalam tanda kurung adalah faktor proporsionalitas.
Faktor ini, yang merupakan fungsi rasional dalam s, memberikan hubungan antara masukan dan keluaran dan disebut fungsi jaringan.
4.7.2. Prinsip Superposisi
Prinsip superposisi menyatakan bahwa untuk rangkaian linier besar sinyal keluaran dapat dituliskan sebagai
⋅
⋅
⋅ + +
+
= () () ()
)
( 11 2 2 3 3
o t K x t K x t K x t y
dengan x1, x2 , x3 … adalah sinyal masukan dan K1 , K2 , K3 … adalah konstanta proporsionalitas yang besarnya tergantung dari nilai-nilai elemen dalam rangkaian. Sifat linier dari transformasi Laplace menjamin bahwa prinsip superposisi berlaku pula untuk rangkaian linier di kawasan s dengan perbedaan bahwa konstanta proporsionalitas berubah menjadi fungsi rasional dalam s dan sinyal-sinyal dinyatakan dalam kawasan s.
⋅
⋅
⋅ + +
+
= ( ) ( ) ( )
)
( 1 1 2 2 3 3
o s Ks X s Ks X s Ks X s
Y (4.12)
4.7.3. Teorema Thévenin dan +orton
Konsep mengenai teorema Thévenin dan Norton pada rangkaian- rangkaian impedansi, sama dengan apa yang kita pelajari untuk rangkaian dengan elemen-elemen resistor. Cara mencari rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton sama seperti dalam rangkaian resistor, hanya di sini kita mempunyai impedansi ekivalen Thévenin, ZT , dan admitansi ekivalen Norton, Y) , dengan hubungan sbb:
) (
) ( 1
) ) ( ( ) (
; ) ( ) ( ) (
s s Z Y
Z s s s
Z s s
s
) T ) T
T hs T
) T ) ht
T
I V
I V I
I V V
=
=
=
=
=
=
(4.13)
CO+TOH-4.3: Carilah rangkaian ekivalen Thevenin dari rangkaian impedansi berikut ini.
Penyelesaian :
) )(
/ 1 (
/ )
/ 1 ( / ) 1 ( )
( 2 2 2 2
ω +
= + ω + +
=
=
s RC s
RC s s
s sC R s sC s ht
T V
V
2 2
) 1 ( )
( = = +ω
s s s R
s hs
) I
I
) / 1 (
1 /
1 ) / / 1 (
|| R sC C s RC
sC RC R
R ZT
= +
= +
=
4.8. Metoda-Metoda Analisis
Metoda-metoda analisi, baik metoda dasar (metoda reduksi rangkaian, unit output, superposisi, rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton) maupun metoda umum (metoda tegangan simpul, arus mesh) dapat kita gunakan untuk analisis di kawasan s. Hal ini mudah dipahami mengingat hukum-hukum, kaidah-kaidah maupun teorema rangkaian yang berlaku di kawasan t berlaku pula di kawasan s. Berikut ini kita akan melihat contoh-contoh penggunaan metoda analisis tersebut di kawasan s.
4.8.1. Metoda Unit Output
CO+TOH-4.4: Dengan menggunakan metoda unit output, carilah V2(s) pada rangkaian impedansi di bawah ini.
+ −
B E B A N 2
2+ω s
s
sC R 1
+ −
B E B A N VT ZT
Penyelesaian :
2 2
2
) ( )
( ) (
/ 1 ) 1 ( 1 ) ( ) (
1 ) ( : Misalkan
LCs sC sL s sC
s s
sC sC s
s s
s
L C
L
C C
=
×
=
→
=
=
→
=
=
→
=
=
→
=
V I
I
I V
V V
) ( 1 )
( )
(
1 )
( 1
1 ) 1
( ) ( ) (
) 1 ( 1 )
( ) ( ) (
2 1 1
2
2
* 1
2
* 2 1
2 2
s RCs LCs s R K s
RCs LCs
R s
I K
R RCs sC LCs
R s LCs s
s
R s LCs LCs
s s
s
s s
L R
R C
L R
I I
V
I I I
I V
V V
+
= +
=
⇒
+
= +
=
⇒
+
= + + +
= +
=
⇒
= +
→ +
= +
=
→
4.8.2. Metoda Superposisi
CO+TOH-4.5: Dengan menggunakan metoda superposisi, carilah tegangan
induktor vo (t) pada rangkaian berikut ini.
Penyelesaian :
Rangkaian kita transformasikan ke kawasan s menjadi
Jika sumber arus dimatikan, maka rangkaian menjadi :
+ − 2+β2
β s
B s
A R
sL + Vo
− R
R 1/sC
sL
I1(s)
+ V2(s)
− IC (s)
IR (s) IL (s)
+ − Bsinβt
Au(t) R
L + vo
− R
L R s A A sL R
L s A
sL R R RLs
sL R
RLs s
sL R ZL R RLs
2 / 2 / ) 2
(
o1 //
= +
= + + +
= +
⇒
= +
→
V
Jika sumber tegangan dimatikan, rangkaian menjadi :
) )(
2 / 2 (
2
1 1 1
/ ) 1
( )
(
2 2 2
2
2 o2 2
β + +
= β β +
× β
= +
β +
× β + +
×
=
×
=
s L R s
s RB
s B R sL
sRL
s B
sL R R sL sL s I sL
s L
V
θ
−
−
θ β
−
=
−
=
β +
=
→
+ β
= θ
β + β=
= − β
−
= +
→
β
− + β =
= +
→
β + − β + + + + β
= + +
=
⇒
j
j j
s L R s
e L
R k
L R
e L
j R L R j
s L R s k s
L R
L R s
k s
j s
k j s
k L R s
k RB L R s
A s s s
2 3 2
1
2 2 2
2 2 2
/ 2 1 2
2 3 1
o2 o1 o
4 ) / (
1
/ tan 2
, 4 ) / (
1 2
/ 1 )
)(
2 / (
) 2 / (
) 2 / ( )
(
2 / 2
2 /
2 /
) ( ) ( )
( V V
V
+ − s
AR sL
+ Vo1
− R
2 2+β
β s R B
sL + Vo2
− R
( )
+ β
+ +
β
− + + β
=
⇒
θ
− β θ
− β
−
−
−
) ( ) ( 2 2
2 2 2 o 2
4 ) / (
1 ) 2 / (
) 2 / (
2 ) 2
(
t j t j Lt R
Lt R
e e
L R
e L R
L R e RB
t A v
) cos(
4 ) / 4 (
) 2 (
2 2 2
2 2
2
o β −θ
β + + β
β +
− β
=
⇒ − t
L R e RB
L R
B R t A
v
Lt R
4.8.3. Metoda Reduksi Rangkaian
CO+TOH-4.6: Dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian selesaikanlah persoalan pada contoh 4.5.
Penyelesaian : Rangkaian yang ditransformasikan ke kawasan s kita gambar lagi seperti di samping ini.
Jika sumber tegangan
ditransformasikan menjadi sumber arus, kita mendapatkan
rangkaian dengan dua sumber arus dan dua resistor diparalel.
Rangkaian tersebut dapat disederhanakan menjadi rangkaian dengan satu sumber arus, dan kemudian menjadi rangkaian dengan sumber tegangan.
+
β +
β sR
A s
B R
2
2 2
R/2 sL
+ Vo
−
+ −
+ − 2+β2
β s
B s
A R
sL + Vo
− R
2 2+β
β s
B sR
A R
sL + Vo
− R
sR A s
B +
β +
β
2 2
R/2 sL + Vo
−
Dari rangkaian terakhir ini kita diperoleh :
+
β +
× β
= +
sR A s
B R R sL
s sL 2 2
o( ) /2 2
V
) )(
2 / (
) 2 / ( 2
/ 2 ) /
( 2 2
o + +β
+ β
= +
s L R s
s RB L
R s s A V
Hasil ini sama dengan apa yang telah kita peroleh dengan metoda superposisi pada contoh 4.5. Selanjutnya transformasi balik ke kawasan t dilakukan sebagaimana telah dilakukan pada contoh 4.5.
4.8.4. Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin
CO+TOH-4.7: Dengan menggunakan rangkaian ekivalen Thévenin selesaikanlah persoalan
pada contoh 4.5.
Penyelesaian :
Kita akan menggunakan gabungan metoda superposisi dengan rangkaian ekivalen Thévenin.
Tegangan hubungan terbuka pada waktu
induktor dilepas, adalah jumlah tegangan yang diberikan oleh sumber tegangan dan sumber arus secara terpisah, yaitu
2 2
2 2
2 / 2
/
2 ) 1
( ) (
β + + β
=
β +
× β
× + + ×
=
=
s RB s A
s R B s A R R s R
s ht
T V
V
Dilihat dari terminal induktor, impedansi ZT hanyalah berupa dua resistor paralel, yaitu
2 ZT = R
+ − ZT
sL + Vo
− VT
+ − 2+β2
β s
B s
A R sL
+ Vo
− R
+ − 2+β2
β s
B s
A R + Vht
− R
