M01922

(1)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/292615759

Pemetaan (1/z)^\alpha dan hasil pemetaannya

Conference Paper · December 2009

CITATION

1

READS

46

1 author:

Hanna Arini Parhusip

Universitas Kristen Satya Wacana

61 PUBLICATIONS 21 CITATIONS

SEE PROFILE

All content following this page was uploaded by Hanna Arini Parhusip on 02 February 2016.

(2)

ISBN : 978-979-16353-3-2

“

P

e

n

e

l

i

t

i

a

n

d

a

n

P

e

n

d

i

d

i

k

a

n

M

a

t

e

m

a

t

i

k

a

s

e

r

t

a

k

o

n

t

r

i

b

u

s

i

n

y

a

d

a

l

a

m

U

p

a

y

a

P

e

n

c

a

p

a

i

a

n

W

C

U

(

W

o

r

l

d

C

l

a

s

U

n

i

v

e

r

s

i

t

y

)

”

Yogyakarta, 5 Desember 2009

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

2009

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN

MATEMATIKA

Penyelenggara :

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

Kerjasama dengan

(3)

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

5 Desember 2009 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel‐artikel dala prosidi g i i telah diprese tasika

pada

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

pada tanggal 5 Desember 2009

di Jurusan Pendidikan Matematika

Tim Penyunting Artikel Seminar :

1. Prof. Dr. Rusgianto

2. Dr. Hartono

3. Dr. Jailani

4. Sahid, M.Sc

Jurusan Pendidikan Matematika

(4)

1

DAFTAR MAKALAH

kode Nama pemakalah Judul Hal

A.1 Imam Fahcruddin _{Spectrum Pada Graf Star (} _{) Dan Graf Bipartisi Komplit (} ₎ Dengan

1

A.2 M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung 12 A.3 Lucia Ratnasari/ Y.D. Sumanto KOMPLEMEN GRAF FUZZY 22 An.1 Muslim Ansori _{RUANG LINEAR BERNORMA}

(

)

2

,

[ , ]

ESS

C

H L

a b

31

An.2 Drajad Maknawi /Drs. Mulich, M.Si

Definisi Tipe Riemann untuk Integral Lebesgue

38

An.3 Rudianto Artiono Discounted Feynman Kac Untuk Mencari PDP Pada Penentuan Harga Opsi Saham Karyawan Setelah Vesting Period

49 An.4 Sujito, S.T., M.T Implementasi Lagrange Equation Pada Optimasi Incremental Fuel Cost

Pembangkit Energi Guna Penjadwalan Pembangkit Berbasis Metode Dynamic Programming

57

An.5 Hairur Rahman Globally Small Riemann Sums (Gsrs) Integral Henstock-Pettis Pada Ruang Euclide Rn

72 P.1 Drs. M. Nur Yadil, M.Si Penerapan Model Pembelajaran Van Hiele Untuk Meningkatkan

Pemahaman Siswa SMP Karunadipa Palu Terhadap Konsep Bangun- Bangun Segiempat

81

P.2 Drs. Syaiful, M.Pd Model Pengajaran Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Pada Guru SMP

92 P.3 Dra. Dwi Astuti, M.Si/ Bambang

Hudiono Perilaku Metakognisi Anak Dalam Matematika: Kajian Berdasarkan Etnis Dan Gender Pada Siswa SMP Di Kalimantan Barat

107

P.4 Budiyono Kompetensi Guru Sekolah Dasar Dalam Memahami Matematika SD

119

P.5 Budiyono /Wanti Guspriati Jenis-Jenis Kesalahan Dalam Menyelesaikan Soal Persamaan Differensial Biasa (PDB) Studi Kasus Pada Mahasiswa Semester V Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Purworejo

131

P.6 Drs. Abusyafik, M. Pd./ Siti Khanifah, S.

Pd PEMBELAJARAN FPB DAN KPK DENGAN DAN TANPA ALAT PERAGA PADA SISWA KELAS V SD NEGERI BLENGORKULON KECAMATAN AMBAL KABUPATEN KEBUMEN TAHUN PELAJARAN 2008/2009

141

P.7 Dra. Sulis Janu Hartati, M.T Karakteristik Proses Berpikir Siswa Kelas III Sekolah Dasar Pada Saat Melakukan Aktivitas Membagi

153

P.8 Drs. Hamdani, M.Pd. Pengembangan Pembelajaran Dengan Mathematical Discourse Dalam Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematik Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama

163

P.9 Dra. Tina Yunarti, M.Si Fungsi Dan Pentingnya Pertanyaan Dalam Pembelajaran

174

P.10 Supratman Membandingkan Hasil Belajar Matematika Siswa Yang Pembelajarannya Menggunakan Model Kooperatif Tipe Jigsaw Dengan Tipe Stad Pada Materi Lingkaran

185

P.11 Akhmad Jazuli Berfikir Kreatif Dalam Kemampuan Komunikasi Matematika 209 P.12 Agustin Ernawati, S.Pd./

(5)

2

P.13 Alfath Famela Rokhim/ Sitti Maesuri Patahuddin

Penggunaan Permainan Online Dalam Belajar Matematika

234 P.14 Darmadi, S.Si, M.Pd.

Spektrum Hasil Belajar Analisis Real Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika IKIP PGRI Madiun

Tahun Akademik 2008/2009

247

P.15 Endang Rahayu, S.Si, M.Pd. Pembelajaran Konstruktivisme Ditinjau Dari Gaya Belajar Siswa

252 P.16 Armiati Komunikasi Matematis dan Kecerdasan Emosional 270 P.17 Sitti Maesuri Patahuddin/ Siti Rokhmah/

Mohamad Nur

Pengembangan LKS berbasis ICT pada Pembelajaran Matematika SMP RSBI

281 P.18 Drs. Mustangin, M.Pd / Agustin Debora

MS

Penerapan Global Learning Dan Mind Mapping Dalam Pembelajaran Matematika Sebagai Jaringan Konsep

295 P.19 Drs.Dwikoranto,M.Pd MENINGKATKAN KOMPETENSI

GURU MATEMATIKA DAN IPA SMP MELALUI KEGIATAN LESSON STUDY 310

P.20 Siti Rokhmah/ Siti Maesuri Patahuddin /

Mohamad Nur LKS Matematika Berbasis ICT Untuk Memfasilitasi Siswa Berpikir Kritis

325 P.21 Agustin Debora MS, Drs. Mustangin,

MPd Dra. Santi Irawati, M.Si,Ph.D

Mengoptimalkan Memory Jangka Panjang Siswa SMPN1 Pajarakan dalam Memaknai Konsep Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Dengan Penyandian

336

P.22 Kartini, S.Pd. M.Si Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika 361 P.23 Ariyadi Wijaya, M.Sc Hypothetical Learning Trajectory

dan Peningkatan Pemahaman Konsep Pengukuran Panjang

373 P.24 Abdussakir, M.Pd/ Nur Laili Achadiyah,

S.Pd PEMBELAJARAN KELILING DAN LUAS LINGKARAN DENGAN STRATEGI REACT PADA SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 6 KOTA MOJOKERTO

388

P.25 Djamilah Bondan Widjajanti, M.Si KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA: APA dan BAGAIMANA MENGEMBANGKANNYA

402 P.26 Sugiman, M.Si PANDANGAN MATEMATIKA SEBAGAI AKTIVITAS INSANI BESERTA

DAMPAK PEMBELAJARANNYA

414

P.28 Kadir, S.Pd., M.Si. Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP melalui Penerapan Pembelajaran Kontekstual Pesisir

428 P.30 Risnanosanti PENGGUNAAN PEMBELAJARAN INKUIRI DALAM MENGEMBANGKAN

KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA SMA DI KOTA BENGKULU

441 P.31 Abdul Qohar PEMAHAMAN MATEMATIS SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

PADA PEMBELAJARAN DENGAN MODEL RECIPROCAL TEACHING

453

P.32 Ali Mahmudi, M.Pd Menulis sebagai Strategi Belajar Matematika 466 P.33 Dra. Sri Hastuti Noer, M.Pd. Peningkatan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa SMP Melalui

Pembelajaran Berbasis Masalah

473 P.34 Dra. Nila Kesumawati, M. Si Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP

Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik

484 P.35 Eri Satria Model Pembelajaran Computer Support Collaborative Learning (CSCL) 494 S.1 Pika Silvianti,

Khairil A. Notodiputro, I Made Sumertajaya

Pendekatan Metode Bayes Untuk Pendugaan Pengaruh Interaksi Pada Model Ammi

(Bayesian Approach for Estimating Interaction Effect of AMMI Model)

503

S.2 I Gede Nyoman Mindra Jaya Analisis Interaksi Genotipe Lingkungan Menggunakan Partial Least Square Path Modeling

514 S.3 H. Bernik Maskun *) _{Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut}

Menggunakan Statistik Chi-Kuadrat Rank (Pendekatan Non Parametrik)

530

(6)

3

S.5 Mohammad Masjkur

Metode Kemungkinan Maksimum Em Pendugaan Parameter Model Nonlinear Jerapan Fosfor

551

S.6 Enny Supartini Menentukan Statistik Pengujian Untuk Eksperimen Faktorial dengan Dua Kali Pembatasan Pengacakan

560 S.7 Neneng Sunengsih Seleksi Variabel Dalam Analisis Regresi Multivariat Multipel 567 S.8 Liana Kusuma Ningrum / Winita

Sulandari, M.Si

Penerapan Model Arfima (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average)

Dalam Peramalan Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI)

581

S.9 Retno Hestiningtyas / Winita Sulandari, M.Si

Pemodelan Tarch Pada

Nilai Tukar Kurs Euro Terhadap Rupiah

591

S.10 Epha Diana Supandi, S.Si., M.Sc./ Dra. Khurul Wardati, M.Si./ Iwan Kuswidi, S.Pd.I., M.Sc.

Aplikasi Multidimensional Scalling

(Studi Kasus : Analisis Segmentasi dan Peta Posisi UIN Sunan Kalijaga terhadap Perguruan Tinggi di Yogyakarta)

599

S.11 Anindya Apriliyanti Pravitasari

Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy CMeans Cluster Berdasarkan Proporsi Eigen Value Dari Matriks Similarity dan Indeks XB (Xie dan Beni)

623

S.12 Wahyu Wibowo METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE

633 S.13 Achmad Zanbar Soleh / Peris Siregar/

Resa Septiani Pontoh

SELEKSI VARIABEL KUALITATIF

MELALUI PROPORTIONAL REDUCTION IN UNCERTAINTY (PRU)

646 S.14 Lisnur Wachidah

Uji Kecocokan Chi-Kuadrat Untuk Distribusi Poisson Pada Data Asuransi 653 S.15 Danang Teguh Qoyyimi Model Suku Bunga Multinomial 666 S.16 Hery Tri Sutanto MULTI KOLLINIERITAS DALAM REGRESI MULTIPLE LOGISTIK 676 S.17 Hery Tri Sutanto Cluster Analysis 681 S.18 Anna Chadidjah/ Indra Elfiyan Model Regresi Data Panel untuk Menaksir Realisasi Total Investasi Asing dan

Dalam Negeri .(Studi Kasus di Provinsi Jawa Barat)

690

S.19 Siti Sunendiari Model Regresi Linier Dalam Melihat Keberhasilan Belajar Siswa SMU

731

S.20 Anik Djuraidah Indeks Kerentanan Sosial Ekonomi Untuk Bencana Alam Di Wilayah Indonesia

746 S.21 Anik Djuraidah Evaluasi Status Ketertinggalan Daerah Dengan Analisis Diskriminan 756 S.22 Isnani, M.Si Penggunaan Bootstrap Untuk Mendeteksi Keakuratanan Kriging 772 S.23 Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, M.Sc Pemanfaatan Software Open Source R dalam pemodelan ARIMA 786 S.24 Indahwati / Dian Kusumaningrum /

Wiwid Widiyani

APLIKASI REGRESI DUA LEVEL TERHADAP NILAI AKHIR METODE STATISTIKA

796

S.25 Indahwati / Yenni Angraeni /Tri Wuri Sastuti

PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG

816

S.26 Yusep Suparman Perlukah Cross Validation dilakukan?

Perbandingan antara Mean Square Prediction Error dan Mean Square Error sebagai Penaksir Harapan Kuadrat Kekeliruan Model

833

S.27 Ridha Ferdhiana, M.Sc

Uji Alternatif Data Terurut

Perbandingan antara Uji Jonckheere Terpstra dan Modifikasinya

(7)

4

S.28 Bertho Tantular Pelanggaran Asumsi Normalitas Model Multilevel Pada Galat Level yang Lebih Tinggi

849 S.30 Dien Sukardinah SENSITIFITAS INDIKATOR KESELURUHAN MULTIKOLINEARITAS

DALAM MODEL REGRESI LINEAR MULTIPEL

862 S.31 Lienda Noviyanti SUATU MODEL HARGA OBLIGASI 871 S.32 Kismiantini / Dhoriva Urwatul Wutsqa DAMPAK PENURUNAN HARGA BBM JENIS PREMIUM TERHADAP

ANGKA INFLASI DI KOTA YOGYAKARTA (Studi Aplikasi Model Intervensi dengan Step Function)

879

S.33 Iqbal Kharisudin Koefisien Determinasi Regresi Fuzzy Simetris Untuk Pemilihan Model Terbaik 895 S.35 Heri Retnawati Pengaruh Kemampuan Awal dan Kemampuan Berfikir Logis/penalaran

terhadap Kemampuan Matematika (Studi Komparasi Sensitivitas Program Lisrel 8.51 dan Amos 6.0)

910

S.36 Dhoriva Urwatul Wutsqa /Suhartono PERAMALAN DERET WAKTU MULTIVARIAT SEASONAL PADA DATA PARIWISATA DENGAN MODEL VAR-GSTAR

933 T.1 Muhammad Wakhid Musthofa, M.Si Desain Linear Quadratic Regulator pada Sistem Inverted Pendulum 950 T.2 Gumgum Darmawan, Okira Mapanta ,

Trifandi Lasalewo

Membangun Software Aplikasi pada Antrian Jaringan Jackson untuk menentukan Performansi Optimal

960 T.3 Totok Yulianto Simulasi Pengendalian Struktur berbasis pada Material Cerdas 979 T.4 John Maspupu

ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET

993

T.5 John Maspupu

PENENTUAN HUBUNGAN EKSPONEN SPEKTRAL DAN DIMENSI FRAKTAL SINYAL ULF GEOMAGNET

1000

T.6 Gatot Riwi Setyanto, Drs., M.Si. RISIKO PENDANAAN PENSIUN ACCRUED BENEFIT COST METHOD DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PENGARUH KURS VALUTA ASING

1010

T.7 Bachtiar Anwar Analyzing Coronal Mass Ejection of July 10, 2005 and Its Effect on the Earth’s Magnetosphere

1021

T.8 Sangadji FORMULA HERON:

TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK

1033

T.9 Dwi Lestari / Atmini Dhoruri, MS

Model Epidemi Berdasarkan Umur dan Kriteria Threshold 1040 T.10 Renny, M.Si MODEL MATEMATIKA

DALAM KASUS EPIDEMIK KOLERA DENGAN POPULASI KONSTAN

1051 T.11 Rubono Setiawan Analisa Kestabilan Ekuilibrium

Model Matematika Berbentuk Sistim Persamaan Diferensial Tundaan dengan Waktu Tundaan Diskrit

1064

T.12 I Made Sulandra Algoritma Groebner Walk Lambat? 1078 T.13 Dwi Ertiningsih, Widodo Optimalisasi dan Pemodelan Inventory dengan Dua Gudang Penyimpanan

untuk Barang yang Mengalami Penyusutan dengan Backlog Shortage dan Waktu Tunggu (Lead Time) Fuzzy

1093

T.14 M. Navi’ Jauhari Ulinnuha Perancangan Software Batik Berbasis Geometri Fraktal 1109 T.15 Habirun ANALISIS MODEL VARIASI HARIAN KOMPONEN GEOMAGNET

BERDASARKAN POSISI MATAHARI

1116 T.16 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat /

Sulistyono _PEMETAAN

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

_{DAN HASIL PEMETAANNYA}

1127

T.17 Dr. Hanna Arini Parhusip, MSc.nat / Siska Ayunani

METODEFINALTIUNTUKMENENTUKANBERATSAPIOPTIMAL 1139 T.18 Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. Metode Levenberg-Marquardt

Untuk Masalah Kuadrat Terkecil Nonlinear

(8)

5

T.19 Dra. Asmara Iriani Tarigan, M.Si Optimasi Jadwal Ujian di Perguruan Tinggi dengan Metode Branch and Bound 1162 T.20 Fitriana Yuli Saptaningtyas Metode Volume Hingga Untuk Mengetahui Pengaruh Sudut Pertemuan

Saluran Terhadap Profil Perubahan Sedimen Pasir Pada Pertemuan Sungai

1174

T.21 Nikenasih Binatari Model SIR untuk Ketahanan Behavioural 1187 T.22 Kuswari Hernawati Optimalisasi SEO (Search Engine Optimizer) sebagai upaya meningkatkan

unsur Visibility dalam Webometric

1198

T.23 Isnaini Rosyida PENENTUAN BILANGAN KROMATIK FUZZY PADA GRAF FUZZY GF(V,EF) MELALUI BILANGAN KROMATIK PADA CUT Gα(V,Eα)

(9)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

T-16

PEMETAAN

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

DAN

HASIL

PEMETAANNYA

Oleh

:

H.

A.

Parhusip

1

dan

Sulistyono

2

Program

Studi

Matematika

Industri

dan

Statistika

Fakultas

Sains

dan

Matematika

(FSM)

Universitas

Kristen

Satya

Wacana

(UKSW)

(www.uksw.edu)

1

pressure1733@hotmail.com

2

mahasiswa

S1,

matematika

–FSM

‐

UKSW

Abstrak

:

Pemetaan

w

=

(

1

/

z

)

α

,

dengan

α

∈

Z

−

(himpunan

bulat

negatif)

dan

α

∈

(

0

,

1

)

serta

hasil

pemetaannya

ditunjukkan

pada

makalah

ini.

Dapat

ditunjukkan

pemetaan

ini

konformal.

Hasil

pemetaan

diperoleh

dengan

melakukan

transformasi

geometri.

Kata

kunci

:

pemetaan

konformal,

fungsi

analitik,

persegi

1.

Pendahuluan

Pemetaan

konformal

adalah

pemetaan

yang

mempertahankan

besaran

dan

arah

sudut

diantara

sebarang

dua

kurva

yang

berpotongan

di

suatu

titik

tertentu.

Pada

makalah

terdahulu

(Parhusip

dan

Sulisyono,

2009)

ditunjukkan

hasil

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

untuk

α

=

1

dan

α

=

2

.

Hasil

pemetaan

ditunjukkan

dengan

terlebih

dahulu

ditunjukkan

untuk

pemetaan

garis

vertikal

dan

garis

horizontal

secara

terpisah.

Selanjutnya

dilakukan

pemetaan

untuk

1

bidang

persegi.

Untuk

persegi

lebih

dari

1

dilakukan

dengan

menggunakan

transformasi

geometri

seperti

pencerminan.

Pada

makalah

ini

akan

ditunjukkan

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

untuk

berbagai

nilai

α

.

Pada

Bab

II

ditunjukkan

pemetaan

konformal

w

=1/

z

dan

hasil

pemetaannya

yang

merupakan

hasil

penelitian

sebelum

ini

(Parhusip

dan

Sulisyono,

2009)

.

Pada

Bab

III

dijelaskan

cara

melakukan

penelitian

ini.

Hasil

dan

Pembahasan

ditunjukkan

pada

Bab

IV.

Selanjutnya

kesimpulan

ditunjukkan

pada

Bab

terakhir.

(10)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Telah

diketahui

bahwa

pemetaan

garis

vertikal

dan

haris

horisontal

oleh

w

=1/

z

merupakan

persamaan

lingkaran

(Parhusip

dan

Sulisyono,

2009).

Beberapa

hasil

pemetaan

untuk

garis

vertikal

dan

horizontal

ditunjukkan

pada

Gambar

1

‐

3.

Sedangkan

untuk

y

=

a

dan

garis

x

=

b

(

a,b

≠

0

)

dengan

fungsi

pemetaan

w

=

1/

z

untuk

berbagai

nilai

a

dan

b

yang

berbeda,

yaitu

a,b

>

0,

a

>

0

dan

b

<0,

a

<

0

dan

b

>

0

dan

a,b

<

0

berturut

‐

turut

ditunjukkan

pada

Gambar

4.

Gambar

1.

Persamaan

garis

x

=

c

,

x

=

d

dipetakkan

dengan

w

=1/

z

menjadi

lingkaran

,

c,d

>

0

Gambar

2.

Persamaan

garis

x

=

c

,

x

=

d

dipetakkan

dengan

w

=1/

z

menjadi

lingkaran

,

c,d

<

0.

Gambar

3.

Persamaan

garis

x

=

c

dan

x

=

d

dan

bayangannya

untuk

c

>0

dan

d

<0

Gambar

4.

Persamaan

garis

y

=

a

,

x

=

b

dipetakkan

dengan

w

=1/

z

menjadi

lingkaran

dengan

a,b

>

0,

a

>

0

dan

b

<0,

a

<

0

dan

b

>

0

dan

a,b

<

0.

Bayangan

persegí

untuk

1

persegi

(11)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

penuh)

jika

kita

juga

membatasi

persegí

yang

terbentuk

pada

Gambar

4a,

yaitu

Gambar

4a

diubah

sedemikian

sehingga

terbentuk

Gambar

5.

Gambar

5.

Persegi

ABCO

dan

bayangannya

dengan

pemetaan

w=1/z

.

Bayangan

pada

Gambar

5b

diperoleh

pertama

kali

mencari

batas

dari

bayangannya

yaitu

titik

A

'

,

B

'

dan

C

'

dan

kemudian

menghubungkan

titik

‐

titik

tersebut.

Untuk

titik

asal

tetap

dipetakkan

ke

titik

asal,

karena

titik

asal

O(0,0)

adalah

titik

singular

atau

kesingularan

dari

w=1/z

.

Untuk

titik

A(0,

a

)

pada

bidang

z

akan

dipetakkan

oleh

fungsi

w=1/z

ke

titik

'

(

0

,

1

)

a

A

−

pada

bidang

w

.

Hal

ini

karena

titik

A(0,

a

)

pada

bidang

z

dapat

ditulis

sebagai

z

=

0+

ia

,

sehingga

a

ia

z

w

1

0

1

−

=

+

=

dan

karena

w

=

u

+

iv

maka

diperoleh

titik

'

(

0

,

1

)

a

A

−

.

Untuk

titik

B

(

b,a

)

pada

bidang

z

akan

dipetakkan

oleh

fungsi

pemetaan

w

=1/

z

ke

titik

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

+

2 2 2

2

,

'

b

a

b

a

b

B

pada

bidang

w

.

Titik

B

'

diperoleh

dengan

menuliskan

titik

B

sebagai

z

=

b

+

ia

,

sehingga

diperoleh

2 2

b

a

ia

b

w

+

−

=

sehingga

diperoleh

koordinat

B

'

tersebut.

Untuk

selanjutnya

titik

C

(b,0)

pada

bidang

z

dipetakkan

ke

titik

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

,

1

'

b

C

pada

bidang

w

oleh

fungsi

pemetaan

w=1/z

Kemudian

titik

‐

titik

tersebut

dihubungkan

untuk

memperoleh

Gambar

5b.

Untuk

selanjutnya

kita

dapat

menyusun

hasil

pemetaan

untuk

tiap

persegi

pada

kuadran

yang

lain

dengan

cara

melakukan

pencerminan.

Matriks

transformasi

untuk

pencerminan

terhadap

sumbu

x

dan

sumbu

u

(12)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

1

0

1

R

X

(3)

sehingga

jika

koordinat

suatu

titik

A

dinyatakan

dalam

notasi

vektor

posisi

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

A A

y

x

dengan

koordinat

bayangannya

adalah

A

'

sebagai

vektor

posisi

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

'

A A

y

x

maka

dapat

ditulis

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

A A R A

A

y

x

X

y

x

' '

.

Kita

dapat

melakukan

transformasi

pencerminan

untuk

titik

B

dan

C

untuk

mendapatkan

koordinat

pencerminannya

berturut

‐

turut

B

'

dan

C

'

.

Kita

dapat

melakukan

pencerminan

dengan

cara

serupa

sehingga

dapat

diperoleh

berbagai

hasil

pemetaan

yang

ditunjukkan

pada

Gambar

6.

Gambar

6

diperoleh

dengan

melakukan

pencerminan

Gambar

5a

dan

Gambar

5b

terhadap

Sumbu

y

dan

sumbu

v

secara

berturut

‐

turut

menggunakan

matriks

transformasi

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

1

0

1

R

X

dan

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

1

0

1

R

X

.

Gambar

6.

Pemetaan

1

persegi

dan

hasil

pemetaannya

melalui

pencerminan.

(13)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Dengan

menggabungkan

hasil

gambar

‐

gambar

yang

diperoleh

pada

subbab

sebelum

ini

beserta

bayangannya,

diperoleh

beberapa

hasil

pemetaan

sebagaimana

ditunjukkan

pada

Gambar

7.

Untuk

persegi

dengan

jumlah

yang

lebih

banyak,

bayangannya

dapat

diperoleh

dengan

langkah

‐

langkah

yang

sama.

Gambar

7a.

Ilustrasi

perseguí

4

x

4

yang

dipetakkan

(kiri)

dan

hasil

pemetaannya

(kanan)

oleh

w=1/z

.

Gambar

7b.

Ilustrasi

perseguí

14

x

14

yang

dipetakkan

(kiri)

dan

hasil

pemetaannya

(kanan)

oleh

w=1/z

.

Modifikasi

pemetaan

w=1/z

dan

hasil

pemetaannya

Modifikasi

yang

ditunjukkan

pada

makalah

ini

adalah

menyusun

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dan

α

∈

N

(himpunan

bilangan

asli).

Dapat

ditunjukkan

bahwa

pemetaan

ini

merupakan

pemetaan

konformal

dengan

menyatakan

w

dalam

koordinat

polar

dan

memenuhi

persamaan

Cauchy

‐

Riemann.

Untuk

persegi

yang

dibentuk

dari

persegi

14

x14

yang

dipetakkan

oleh

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

ditunjukkan

pada

Gambar

10.

Gambar

10.

Pemetaan

persegi

14

x

14

(kiri)

oleh

2 1

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

dan

hasil

pemetaannya

(kanan).

3.

METODE

PENELITIAN

(14)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

3.1

Menunjukkan

bahwa

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

α

∈

Z

−

(himpunan

bulat

negatif)

adalah

pemetaan

konformal

3.2

Mengilustrasikan

hasil

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

,

α

=

−

β

dan

β

=

2

untuk

bidang

persegi

yang

dipetakkan.

3.3

Menunjukkan

bahwa

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

α

∈

(

0

,

1

)

adalah

pemetaan

konformal.

3.4

Mengilustrasikan

hasil

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

,

α

=

0

.

5

untuk

bidang

persegi

yang

dipetakkan.

4.

HASIL

&

PEMBAHASAN

4.1

Pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

α

∈

Z

−

(himpunan

bulat

negatif)

Untuk

α

∈

Z

−

maka

dapat

dituliskan

sebagai

α

=

−

β

dengan

β

∈

N

(himpunan

bilangan

asli)

sehingga

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

=

β

z

⎟

⎠

=

⎞

⎜

⎝

⎛

1

−

.

Sebutlah

w

=

z

β

=

w

₁

dengan

w

₁

=

u

+

iv

.

(4.1)

Teorema

4.1

.

Pemetaan

β

z

⎟

⎠

=

⎞

⎜

⎝

⎛

1

−

dengan

β

∈

N

merupakan

pemetaan

konformal.

Bukti.

Perlu

ditunjukkan

bahwa

w

=

z

β

=

w

₁

merupakan

pemetaan

analitik

yang

dapat

ditunjukkan

2

cara

yaitu

dengan

Koefisien

Binomial

(cara

I)

dan

koordinat

kutub

(cara

II).

Pada

bagian

ini

ditunjukkan

kedua

cara.

Cara

1

.

Karena

z

=

x

+

iy

maka

w

₁

=

z

β

=

(

x

+

iy

)

β

.

Dengan

menggunakan

koefisien

Binomial

diperoleh

β

z

w

₁

=

(

x

+

iy

)

β

=

j j

j

x

iy

C

(

)

0

−

=

∑

β β β

=

C

₀β

x

β

+

iC

₁β

x

β−1

y

−

C

₂β

x

β−2

y

2

−

iC

₃β

x

β−3

y

3

+

C

₄β

x

β−4

y

4

+

iC

₅β

x

β−5

y

5

+

...

.

(4.a)

Dengan

menuliskan

bagian

riil

dan

bagian

khayal

dari

persamaan

(4.a)

berturut

‐

turut

diperoleh

j j j k

j

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

x

C

x

u

₂ 2 2

0 6

6 6 4 4 4 2 2

2

...

(

1

)

−

= −

−

+

−

+

=

∑

−

=

β β β β β β β β β

(15)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

1 2 ) 1 2 ( 1 2 0 5 5 5 5 5 5 3 3 3 1

)

1

(

...

₊ − + + = − − − −

−

+

=

∑

−

=

j j

j k j j

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

x

u

β

β β β β β β β β β

Sehingga

j j j k j

j

C

x

y

x

u

₂ ₁ ₂

2 0

)

2

(

)

1

(

− − =

−

=

∂

∑

β

β β

(5.a)

1 2 2 2 0

2

)

1

(

− − =

∑

−

=

∂

j j

j k j j

y

x

jC

y

u

_β _β

(5.b)

1 2 ) 1 ( 2 1 2 0

)

1

2

(

)

1

(

₊ − + + =

−

=

∂

∑

j j

j k j j

y

x

C

j

x

v

β

_β _β

,

(5.c)

j j j k j j

y

x

C

j

y

v

₂₍ ₁₎ ₂

1 2 0

)

1

2

(

)

1

(

₊ − + =

+

−

=

∂

∑

β β

(5.d)

dengan

⎥⎦

⎥

⎢⎣

⎢

=

2

β

k

.

Dari

persamaan

(5.a)

‐

(5.b)

belum

terlihat

bahwa

persamaan

tersebut

memenuhi

persamaan

Cauchy

‐

Riemann

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−

=

∂

=

∂

x

v

y

u

y

v

x

u

dan

.

Oleh

karena

itu

masing

‐

masing

turuna

parsial

pada

persamaan

(5.a)

‐

(5.d)

dijabarkan

diperoleh

(

2

)

₂ 3 2

(

4

)

₄ 5 4

...,

1

0

−

+

−

+

=

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

x

C

x

u

β

_β _β

β

_β _β

β

_β _β

(6.a)

...,

6

4

2

0

−

₂ 2

+

₄ 4 3

+

₆ 6 5

+

=

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

y

x

C

y

u

β β β β β β

(6.b)

...,

)

5

(

)

3

(

)

1

(

−

₁ 2

−

₃ 4 3

+

−

₅ 6 5

+

=

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

y

x

C

x

v

β

_β _β

β

_β _β

β

_β _β

(6.c)

...,

5

3

₃ 3 2 ₅ 5 4

1

−

+

=

∂

− − −

y

x

C

y

x

C

x

C

y

v

β β β β β β

(6.d)

Dengan

menggunakan

identitas

0!=1,

maka

C

₀a

=

C

_aa

=

1

,

C

₁a

=

a

dan

a

b a a b

C

=

₋

.

Selain

itu

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

)!

(

!

)!

))(

1

(

)...(

2

)(

1

(

)!

(

!

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

bC

_ba

(16)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Maka

didapatkan

2

C

₂β

=

(

β

−

1

)

C

₁β

,

3

C

₃β

=

(

β

−

2

)

C

₂β

,

4

C

₄β

=

(

β

−

3

)

C

₃β

dan

seterusnya

sehingga

persamaan

(6.a)

‐

(6.d)

diperoleh

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−

=

∂

=

∂

x

v

y

u

y

v

x

u

dan

.

Yang

berarti

w

₁

memenuhi

persamaan

Cauchy

‐

Riemann.

Cara

2.

Dalam

koordinat

polar

w

₁

dapat

ditulis

sebagai

)

sin

(cos

1

βθ

β β

i

r

z

w

=

+

.

Denan

menuliskan

bagian

riil

dan

bagian

khayal

w

₁

diperoleh

u

(

r

,

θ

)

=

r

β

cos

βθ

dan

v

(

r

,

θ

)

=

r

β

sin

βθ

.

Sehingga

θ

βθ

β

βθ

β

β β

∂

=

∂

−

v

r

u

1

cos

1

cos

1

dan

r

u

r

v

∂

−

=

−

=

∂

β

β−1

sin

βθ

β

sin

βθ

.

Jadi

memenuhi

persamaan

Cauchy

‐

Riemann.

Karena

w

₁

merupakan

polinom

berderajat

β

atau

dapat

juga

disebut

sebagai

fungsi

pangkat,

maka

turunan

w

₁

yaitu

w

₁'

=

β

z

β−1

ada

untuk

setiap

z

≠

0

∈

C

.

Jadi

w

₁

merupakan

pemetaan

konformal.

Untuk

β

=

1

maka

diperoleh

w

₁

=

z

.

Hasil

pemetaan

adalah

gambar

yang

sama

karena

fungsi

pemetaan

ini

tidak

mengubah

bentuk

gambar

tetapi

hanya

menggantu

sumbu

‐

sumbu

koordinat,

yaitu

sumbu

x

menjadi

sumbu

u

dan

sumbu

y

menjadi

sumbu

v

berturut

‐

turut

untuk

bidang

z

dan

bidang

w

.

Pada

bagian

selanjutnya

ditunjukkan

untuk

β

=

2

.

4.2

Hasil

pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

,

α

=

−

β

dan

β

=

2

Untuk

nilai

β

=

2

diperoleh

w

₁

=

z

2

dan

ini

merupakan

fungsi

parabolik

atau

fungsi

kuadrat.

Berdasarkan

persamaan

(4.1)

maka

w

₁

=

x

2

+

2

ixy

−

y

2

.

Dengan

menuliskan

bagian

riil

dan

bagian

khayal

dari

w

₁

berturut

‐

turut

diperoleh

2 2

y

x

u

=

−

dan

v

=

2

xy

.

(7)

Berdasarkan

persamaan

(7)

maka

persamaan

garis

x

=

±

a

pada

bidang

–z

dipetakkan

sebagai

keluarga

parabola

pada

bidang

‐

w

,

yang

ditunjukkan

oleh

persamaan

(8.).

Yaitu

karena

ay

v

=

±

2

sehingga

a

v

y

2

±

=

dan

u

=

a

2

−

y

2

maka

2 2 2 2 2

4

2

a

v

a

v

a

u

⎟

=

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛±

−

=

.

(8.a)

Untuk

persamaan

garis

y

=

±

b

pada

bidang

‐

z

dipetakkan

sebagai

suatu

keluarga

parabola

pada

bidang

‐

w

,

yaitu

bx

v

=

±

2

sehingga

b

v

x

2

±

=

dan

2 2

b

x

u

=

−

maka

2 2 2 2 2

4

2

b

v

b

v

u

⎟

−

=

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛±

(17)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Keluarga

parabola

persamaan

(8.a)

‐

(8.b)

merupakan

sistem

ortogonal

(Gordon,1963).

Masing

‐

masing

dari

bayangan

garis

x

=

±

a

dan

y

=

±

b

dan

persegi

ditunjukkan

pada

Gambar

4.1

‐

4.3.

Gambar

11.

Bayangan

garis

x

=

±

a

dan

y

=

±

b

beserta

bayangan

persegi

ABCD

dengan

fungsi

2

z

w

=

.

Gambar

12.

Bayangan

garis

x

=

±

a

dan

y

=

±

b

untuk

a=1,2

dan

b=a,2

serta

w

=

z

2

.

Gambar

13.

Bayangan

sejumlah

persegi

berukuran

14

x

14

dengan

fungsi

w

=

z

2

.

4.3

Pemetaan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

(18)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009

Karena

α

∈

(

0

,

1

)

,

maka

dapat

dituliskan

b

a

=

α

dengan

a,b

∈

N

,

a

<

b

,

sehingga

diperoleh

b a

z

w

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1

α

.

Dalam

koordinat

polar

dapat

diperoleh

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

_θ −

θ

b

a

i

b

a

r

re

w

b a b a

i

cos

sin

1

.

Dengan

menuliskan

bagian

riil

dan

khayalnya

diperoleh

θ

b

a

r

u

b a

cos

−

=

,

θ

b

a

r

v

b a

sin

−

=

.

Sehingga

θ

b

a

r

b

a

r

u

_ba

cos

1 − −

−

=

∂

;

θ

b

a

r

b

a

u

_ba

sin

−

=

∂

;

(9.a)

θ

b

a

r

b

a

r

v

_ba

sin

1 − −

=

∂

;

θ

b

a

r

b

a

v

_ba

cos

−

=

∂

.

(9.b)

Jadi

persamaan

Cauchy

‐

Riemann

dipenuhi.

Karena

z

C

z

b

a

w

b a

∈

∀

≠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

,

0

1

'

1

maka

terbukti

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

α

∈

(

0

,

1

)

merupakan

pemetaan

konformal.

Untuk

2

1

=

α

,

maka

diperoleh

bentuk

pemetaan

z

w

=

1

.

Dengan

menggunakan

koordinat

polar

diperoleh

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = − 2 2 sin 2 2 cos 1 2 /

1 θ π θ π

θ k

i k r

re

w i

,

k

=

0,1.

(10)

Sehingga

untuk

k

=

0

diperoleh

nilai

utama

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

sin

2

cos

1

0

θ

i

r

w

_k

dan

untuk

nilai

k

=

1

diperoleh

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

− =

2

sin

2

cos

1

2 / 1 1

π

θ

π

θ

i

r

re

w

_k i

.

Dengan

mengingat

bahwa

sin

(

a

+

b

)

=

sin

a

cos

b

+

cos

a

sin

b

dan

cos(

a+b

)=cos

a

cos

b

–

sin

a

sin

b

,

maka

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

2

sin

2

cos

1

θ

i

r

w

_k

=

−

w

_k₌₀

.

Dengan

menuliskan

w

_k₌₀

=

u

+

iv

,

maka

bagian

riil

dan

bagian

khayal

dapat

ditulis

sebagai

2

cos

1

θ

r

u

=

dan

2

sin

1

θ

r

(19)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Dengan

menuliskan

persamaan

(11)

dalam

x

dan

y

diperoleh

2

cos

1

+

θ

=

r

u

.

Karena

2

cos

1

cos

2

θ

=

+

θ

diperoleh

2

1

2

1

2

1

2

1

2 2

x

y

x

y

x

r

x

r

x

r

u

+

=

+

=

+

=

+

=

.

Secara

sama,

karena

2

cos

1

sin

2

θ

=

−

θ

diperoleh

2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 2

2 2 x y x y x x r r r x r r r x r

v + −

+ − = − − = − − = − − =

.

Sehingga

untuk

setiap

titik

(a,b)

pada

bidang

‐

z

akan

dipetakkan

menjadi

titik

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ + − + + + 2 1 , 2

1 2 2

2 2 2 2 2 2 a b a b a b b a b a

pada

bidang

‐

w.

Dengan

mengambil

nilai

utama

w

_k₌₀

yaitu

0

≤

θ

<

2

π

maka

bayangan

sejumlah

persegi

berukuran

14

x

14

ditunjukkan

pada

Gambar

14

pada

dua

cabang.

Gambar

14

Hasil

pemetaan

w

_k₌₀

=

z

1

untuk

14

x14

persegi.

Kita

dapat

melakukan

pemetaan

untuk

berbagai

nilai

α

yang

lain

dan

menyusun

aspek

matematis

sebagaimana

di

atas.

Untuk

nilai

2

1

−

=

α

dapat

ditunjukkan

hasil

pemetaan

yang

ditunjukkan

pada

Gambar

15.

Gambar

15.

Hasil

pemetaan

persegi

14x14

dengan

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

dengan

2

1

−

=

α

.

(20)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Pada

makalah

ini

telah

ditunjukkan

hasil

pemetaan

persegi

n

x

n

dari

α

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

z

w

1

untuk

α

∈

Z

−

(himpunan

bilangan

bulat

negatif)

dan

α

∈

(

0

,

1

)

.

Diperoleh

bahwa

hasil

pemetaan

persegi

n

x

n

untuk

α

=

2

merupakan

keluarga

parabola.

Sedangkan

pemetaan

persegi

n

x

n

dengan

2

1

=

α

merupakan

bentuk

lemniscate

yang

terpotong

‐

potong.

Beberapa

pengembangan

dapat

dilakukan

dengan

melakukan

pemetaan

tak

konformal

untuk

bidang

persegi.

DAFTAR

PUSTAKA

Churchill,

R.

V.

1960.

Complex

Variables

and

Applications

,2nd

Edition.

McGraw

‐

Hill

Book

Company.

New

York.

Gordon,

L.

I

dan

Sim

Lasher.

1963.

Elements

of

Complex

Variables

.

Holt,

Rinehart

and

Winston,

Inc.

Parhusip

H.

A.,

dan

Sulistyono,

Pemetaaan

Konformal

dan

Modifikasinya

untuk

suatu

Bidang

Persegi,

Prosiding

Seminar

Nasioanal

Matematika

UNPAR

5

September

2009,

hal.MT

250

‐

259,

Vol

4.

Th.

2009,

ISSN

1907

‐

3909.

Pustaka

Web

web1.

http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html