TAP.COM - PENGGUNAAN STATISTIK TATAAN UNTUK MENENTUKAN MEDIAN CONTOH ...

(1)

Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak

dari Distribusi Eksponensial

Herlina Hanum, Yuli Andriani, dan Retno

Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia

Intisari: Statistik Tataan merupakan statistik dengan prinsip pengurutan suatu sampel acak dari sebaran bertipe diskrit atau kontinu yang positif. MisalkanX1, X2, . . . , Xnsuatu sampel acak makaYiadalah statistik tataan ke-idari

sampel acak tersebut dengani= 1,2, . . . , n di manaY1 < Y2 <· · ·< Yn. Pada penelitian ini prinsip Statistik Tataan

digunakan pada penentuan nilai median dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameterβyang memiliki bentuk fungsi kepadatan peluangf(x) = 1

βe−

x/β _{untuk 0}_{< x <}

∞dan sama dengan 0 untuk lainnya. Median merupakan nilai

tengah dari sekelompok objek. Median dari peubah acak berdistribusi Eksponensial yang diperoleh adalah

m=βln 1− ₍n−1

2 )!(

n−1

2 )!(n+ 1)

4n!β(x−3)/2

2/(n+1)!−1

untuknganjil, dan

m=βln



1−

(n2_{+ 2n)β}2−x₍n 2 −1)!(

n

2 −1)!

16n!

!2/(n+1) 

−1

,

untukngenap.

Abstract: Order statistics is statistics with principle is ordering a random sample of the positive discrete or continous distribution . LetX1, X2, . . . , Xndenote a random sample, soYiis called theithorder statistics of that random sample

withi = 1,2, . . . , nand Y1 < Y2 <· · · < Yn. In the research, principle of order statistics is used in determining the

median of a random samples of an Exponential distribution with parameterβ which has probability density function f(x) = 1

βe−

x/β _{for 0}_{< x <}_∞_{and = 0, for otherwise Median is central value of the random sample of An Exponential} Distribution is found as:

m=βln 1− ₍n−1

2 )!(

n−1

2 )!(n+ 1)

4n!β(x−3)/2

2/(n+1)!−1

for oddn, and

m=βln



1−

(n2+ 2n)β2−x₍n 2 −1)!(

n

2 −1)!

16n!

!2/(n+1) 

−1

,

for evenn.

Mei 2010

1 PENDAHULUAN

1.1 latar Belakang

P

enyelidikan segugus data kuantitatif akan sangatmembantu bila didefinisikan ukuran-ukuran nu-merik yang menjelaskan ciri-ciri data. Ukuran yang penting adalah ukuran pemusatan dan ukuran baran. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat penye-baran nilai-nilai data. Salah satu ukuran pemusatan yang banyak digunakan adalah median. Median meru-pakan nilai tengah dari segugus data yang telah diu-rutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau seba-liknya.

Nilai median dalam suatu pengamatan yang berupa segugus data dalam bilangan riil dapat dengan mu-dah ditentukan, karena nilai-nilai tersebut mumu-dah un-tuk diurutkan. Sebaliknya jika diberikan suatu sam-pel acakX1, X2, . . . , Xn yang non numerik,

penguru-tan nilai tidak dapat dilakukan. Akibatnya penentuan letak median dari sampel acak tersebut tidak dapat langsung ditentukan.

Dalam teori statistika dikenal statistik tataan (order statistics_{) yaitu urutan nilai peubah acak dari yang}

(2)

defi-nisi bahwa nilai peluang peubah acak dengan batas atas median adalah 1/2. Oleh karena itu dalam peneli-tian ini diangkat permasalahan bagaimana menen-tukan median dari sampel acak yang non numerik, jika diketahui fungsi kepekatan peluang peubah acak asal sampel acak tersebut. Penelitian ini diterapkan pada peubah acak Eksponensial, karena memiliki terapan yang sangat luas. Pada contoh soal digunakan nilai parameter β= 2

1.2 Tujuan dan Manfaat

Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan ni-lai median dari contoh acak dari distribusi Eksponen-sial. Manfaat yang bisa didapat dari penelitian ini an-tara lain dapat memahami kaitan penggunaan statis-tik tataan dalam menentukan nilai median serta dapat mengetahui nilai median dari suatu peubah acak yang memiliki distribusi Eksponensial.

2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Distribusi Eksponensial

Suatu peubah acak kontinuXberdistribusi Eksponen-sial dengan parameter skala β > 0 memiliki bentuk fungsi kepadatan peluang:

f(x) = (₁

β e−

x/β_{untuk 0}_{< x <}_∞

0 untuk lainnya .

Untuk peubah acak kontinuX yang menyebar me-nurut distribusi Eksponensial dengan parameterβjika dan hanya jika P|X > a+t|X.a| =P[X > t] untuk semuaa >0 dant >0[1].

2.2 Median

BilaX1,X2,. . .,Xnmenyatakan sampel acak

beruku-ran n, diurutkan membesar menurut besar nilainya, maka median sampel ditentukan sebagai statistik,

X = Xn+1

2 bila n ganjil X =

Xn/2+X(n/2)+1 2 bila n genap[2]_.

Menurut Waxmann[3] _{median adalah rerata} po-sisi, karena median adalah nilai bilangan ditengah dari sekolompok objek. Nilainya ditemukan dengan menyusun bilangan dalam suatu urutan, baik menaik maupun menurun, lalu menentukan subjek mana yang ada ditengah.

2.3 Statistik Tataan

Misalkan X1, X2, . . ., Xn sampel acak dari sebaran

bertipe kontinu dengan f(x) positif pada a < x < b

. Misalkan Y1 adalah sampel acak terkecil dari X i, Y2 sampel acak terkecil kedua dari Xi dan

seterus-nya sampai Yn sampel acak terbesar dari Xi. Jadi

Y1 < Y2 < · · · < Yn mewakili X1, X2, . . . , Xn jika

diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Secara spesifik dinyatakan bahwaYi , i = 1,2, . . . , n adalah

statistik tataan ke-i dari sampel acak X1, X2, . . . , Xn

.

Sebagai sampel acak dari peubah acak yang memi-liki fungsi kepadatan peluangf(x) =X1, X2, . . . , Xn,

masing-masing adalah peubah acak yang memiliki se-baran seperti X dan bersifat bebas stokastik iden-tik. Dari sifat tersebut dan banyaknya kemungki-nan urutanX1, X2, . . . , Xn, fungsi kepadatan peluang

bersamaY1< Y2<· · ·< Yn adalah

g(y1, y2,· · · , yn) =

  

 

n!f(y1)f(y2)· · ·f(yn)

dengana < y1· · ·< yn< b

0 untuk selainnya

Dengan melakukan pengintegralan terhadap peubah acakYi yang lain, fungsi kepadatan marginal Yj, 1≤

j≤ndidapat

gj(yj) =

  

 

n!

(j−1)!(n−j)![f(yj)]

j−1[1−F(y

j)]n−jf(yj)

untuka < yj< b

0 untuk selainnya

denganf(yj) adalah fungsi kepadatan peluangXpada

X = yj, sementara F(yj) adalah fungsi sebaran X

padaX = yj . Sementara fungsi kepadatan peluang

bersama dari statistik tataanYidanYj,1≤i < j≤n,

adalah

gij(yi, yj) =

n!

(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!

×[F(yi)]i−1[F(yj)]j−i−1

×[1−F(yj)]n−jf(yi)f(yj)

untuka < yi< yj < b[4]

3 METODOLOGI

Pada penentuan nilai median langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Diberikan sampel acak X1, X2,· · ·, Xn, dari

peubah acak X dalam bentuk fungsi kepadatan peluang suatu distribusi Eksponensial.

2. Untuk median dengan n ganjil diketahui rumus yaitu Xk = Xn+1

2 maka langkah selanjutnya adalah menentukan fungsi kepadatan peluang me-dian tersebut yaitugk(yk) dengan k = n+1₂ ,

se-dangkan untuk median dengan n genap diketahui rumus yaitu X = Xn/2+X(n/2)+1

2 sehingga perlu

dilakukan transformasi peubah acak Yn/2 dan

(3)

3. Menentukan nilai median dengan mengintegral-kan fungsi kepadatan peluang median baik un-tuk n ganjil maupun n genap dengan batas atas m dan batas bawah 0 (berdasarkan batas bawah distribusi Eksponensial) dengan menya-makan pengertian peluang yaituP(X < m) = 1 2 .

4 HASIL DAN PEMBAHASAN

Diberikan sampel acak X1, X2,· · ·, Xn, yang

berdis-tribusi Eksponensial dengan parameterβ dalam ben-tuk fungsi kepadatan peluang yaitu :

f(x) = 1

βe

−βx, 0< x <∞

= 0, lainnya,

Fungsi Sebaran dari sampel acak X1, X2,· · ·, Xn,

yang berdistribusi Eksponensial berbentuk

f(x) =

4.1 Penentuan Nilai Median dengan n ganjil

Suatu median dengan jumlah n ganjil didefinisikan

M = Y(n+1)/2 di mana Yn adalah sampel acak

ter-tinggi dari suatu sampel acak X1, X2, . . . , Xn, maka

fungsi kepadatan peluang median dari distribusi Eks-ponensial dengan jumlah n ganjil diperoleh seba-gai fungsi kepadatan peluang Statistik Tataan ke-k

(gk(yk)) dengank= (n+ 1)/2 yaitu

Dari fungsi kepadatan peluang median tersebut da-pat ditentukan nilai mediannya yaitu dengan meng-integralkan fungsi kepadatan peluang median ter-hadap Yk dengan batas bawah 0 (berdasarkan batas

bawah distribusi Eksponensial) dan batas atasmserta dengan menyamakan pengertian peluang yaituP(X < m) = 1/2

Akhirnya didapat nilai median contoh acak berdis-tribusi Eksponensial untuk jumlahnganjil

m=βln

4.2 Penentuan Nilai Median dengann genap

dari Peubah Acak Berdistribusi Eksponensial

Diambil Y1 sebagai sampel acak terkecil, Y2 sebagai sampel acak terkecil kedua dan seterusnya hinggaYn

sebagai sampel acak terbesar sehingga Y1 < Y2 <

· · · < Yn dari sampel acak X1, X2, . . . , Xn yang

diberikan, maka median dengan jumlahngenap didefi-nisikan sebagaiM = (Yn/2+Y(n/2)+1)/2. Selanjutnya ditentukan fungsi kepadatan peluang bersama statis-tik tataan g(Yn/2+Y(n/2)+1) untuk suatu distribusi Eksponensial.

Fungsi kepadatan peluang bersama statistik tataan ke-Yn/2dan ke-Y(n/2)+1untuk suatu distribusi Ekspo-nensial diberikan oleh

g(Yn/2+Y(n/2)+1) =

Penentuan fungsi kepadatan peluang median dari fungsi kepadatan peluang bersama pada pers.(4) tidak dapat langsung diselesaikan. Berdasarkan definisinya bahwa M = (Yn/2 +Y(n/2)+1)/2 yang merupakan fungsi linier dari statistik tataan ke-(n/2) + 1 dan

ke-n/2, maka perlu dilakukan transformasi dari peubah acak M ke peubah acak Z dengan mengambil Z1 = (Yn/2+Y(n/2)+1)/2 dan Z2 = Yn/2 sehingga didapat

Y(n/2)+1 = 2Z1 −Z2 dan Yn/2 = Z2. Selanjutnya dengan mendifferensialkan peubah Y(n/2)+1 dan Yn/2 masing-masing terhadapZ1danZ2diperoleh nilai Ja-cobian

(4)

g(Yn/2+Y(n/2)+1), diperoleh fungsi kepadatan

pelu-Akhirnya, fungsi kepadatan peluang median dapat diperoleh dengan mengintegralkanh(Z1, Z2) terhadap

Z2 yaitu: fungsi kepadatan peluang median dengan n genap dari peubah acak berdistribusi Eksponensial sebagai berikut

Selanjutnya, dari fungsi kepadatan peluang median dapat ditentukan mediannya yaitu dengan menginte-gralkan fungsi kepadatan peluang median dengan n

genap yang telah diperoleh terhadapZ1dengan batas bawah 0 (berdasarkan batas bawah distribusi Ekspo-nensial) dan batas atasm serta dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P(X < m) = 1/2 diperoleh

Berdasarkan penguraian statistik tataan terhadap suatu peubah acak berdistribusi Eksponensial tersebut diperoleh suatu nilai median untuk jumlah n genap yaitu

4.3 Contoh Penggunaan Rumus Median

Contoh 1. Diberikan X1, X2, . . . , X7 suatu sampel acak berukurann= 7 dari suatu distribusi Eksponen-sial dengan parameterβ = 2. Tentukan nilai median-nya!

Penyelesaian:

Karenan= 7 ganjil maka dari pers.(3) diperoleh nilai mediannya

m= 2 ln(0,7694)−1_{= 0}_,₅₂₄

Contoh 2. Diberikan X1, X2, . . . , X8 suatu sampel acak berukurann= 8 dari suatu distribusi Eksponen-sial dengan parameterβ= 2. Tentukan nilai median-nya?

Penyelesaian:

Karenan= 8 genap maka dari pers.(7) diperoleh nilai mediannya

m= 2 ln(1−0,1475)−1_{= 0}_,₃₁₉₁

5 SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Berdasarkan uraian pada bagian pembahasan dapat disimpulkan bahwa:

1. Statistik Tataan untuk 1 peubah digunakan pada penentuan nilai median dengan n ganjil, sedang-kan Statistik Tataan untuk 2 peubah digunasedang-kan pada penentuan nilai median denganngenap. 2. Suatu fungsi kepadatan peluang median untuk

peubah acak berdistribusi Eksponensial tergan-tung dari fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi Eksponensial itu sendiri dengan faktor pengali tergantung dari jumlahnpada suatu nilai

β tertentu.

3. Nilai Median untuk n ganjil dapat ditentukan melalui rumus

Sementara untukngenap digunakan rumus

m =βln 1−

Untuk pengembangan lebih lanjut disarankan untuk membahas tentang:

1. Penentuan median suatu peubah acak dengan dis-tribusi yang berbeda

(5)

DAFTAR PUSTAKA

[1]_{Nugroho, S., 2008, Bab 2 Peubah Acak,}

www.geocities.com/mhsmatmipaunib/

StatistikaMatematika02.Pdf, diakses pada tanggal 16 september 2008; Bab 4, Sebaran Fungsi Peubah Acak,

www.geocities.com/dosmatmipaunib/

StatistikaMatematika04.pdf, diakses pada tanggal 16 september 2008

[2]_{Suryadi, C., 2003, Beberapa Distribusi Peluang Kontinu}

II,http://kur2003.if.itb.ac.id/ file/CN%20IF2152%20Beberapa%

20Distribusi%20Peluang%20Kontinu%20II%20.pdf, diakses pada tanggal 16 september 2008

[3]_{Waxmann, P., 1993,}_{Businiss Mathematics and Statistics}_,

3rd edition, Prentice Hall, Victoria

[4]_{Hogg, R.V. and A.T. Craig, 1995,}_{Introduction to}