Analisis Rangkaian Listrik

Analisis

Analisis

Analisis

Analisis

Rangkaian

Rangkaian

Rangkaian

Rangkaian Listrik

Listrik

Listrik

Listrik

Menggunakan

Transformasi Fourier

BAB 2

Analisis Rangkaian Menggunakan

Transformasi Fourier

Dengan pembahasan analisis rangkaian dengan menggunakan transformasi Fourier, kita akan

• mampu melakukan analisis rangkaian menggunakan transformasi Fourier.

• mampu mencari tanggapan frekuensi. 2.1. Transformasi Fourier dan Hukum Rangkaian

Kelinieran dari transformasi Fourier menjamin berlakunya relasi hukum Kirchhoff di kawasan frekuensi. Relasi HTK misalnya, jika ditransformasikan akan langsung memberikan hubungan di kawasan frekuensi yang sama bentuknya dengan relasinya di kawasan waktu.

0 ) ( ) ( ) ( : masikan ditransfor jika 0 ) ( ) ( ) ( : HTK relasi Misalkan 3 3 1 3 2 1 = ω − ω + ω = − + V V V t v t v t v

Hal inipun berlaku untuk KCL. Dengan demikian maka transformasi Fourier dari suatu sinyal akan mengubah pernyataan sinyal di kawasan waktu menjadi spektrum sinyal di kawasan frekuensi tanpa mengubah bentuk relasi hukum Kirchhoff, yang merupakan salah satu persyaratan rangkaian yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian listrik.

Persyaratan rangkaian yang lain adalah persyaratan elemen, yang dapat kita peroleh melalui transformasi hubungan tegangan-arus (karakteristik i-v elemen). Dengan memanfaatkan sifat diferensiasi dari transformasi Fourier, kita akan memperoleh relasi di kawasan frekuensi untuk resistor, induktor, dan kapasitor sebagai berikut.

) ( ) ( : Kapasitor ) ( ) ( : Induktor ) ( ) ( : Resistor ω ω = ω ω ω = ω ω = ω C C L L R R C j L j R V I I V I V

Relasi diatas mirip dengan relasi hukum Ohm. Dari relasi di atas kita dapatkan impedansi elemen, yaitu perbandingan antara tegangan dan arus di kawasan frekuensi

C j Z L j Z R ZR = L= ω C = _ω 1 ; ; (2.1) Bentuk-bentuk (2.1) telah kita kenal sebagai impedansi arus bolak-balik. Dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa transformasi Fourier suatu sinyal akan tetap memberikan relasi hukum Kirchhoff di kawasan frekuensi dan hubungan tegangan-arus elemen menjadi mirip dengan relasi hukum Ohm jika elemen dinyatakan dalam impedansinya. Dengan dasar ini maka kita dapat melakukan transformasi rangkaian, yaitu menyatakan elemen-elemen rangkaian dalam impedansinya dan menyatakan sinyal dalam transformasi Fouriernya. Pada rangkaian yang ditransformasikan ini kita dapat menerapkan kaidah-kaidah rangkaian dan metoda-metoda analisis rangkaian. Tanggapan rangkaian di kawasan waktu dapat diperoleh dengan melakukan transformasi balik.

Uraian di atas paralel dengan uraian mengenai transformasi Laplace, kecuali satu hal yaitu bahwa kita tidak menyebut-nyebut tentang kondisi-awal. Hal ini dapat difahami karena batas integrasi dalam mencari transformasi Fourier adalah dari −∞ sampai +∞. Hal ini berbeda dengan transformasi Laplace yang batas integrasinya dari 0 ke +∞. Jadi analisis rangkaian dengan menggunakan transformasi Fourier mengikut sertakan seluruh kejadian termasuk kejadian untuk t < 0. Oleh karena itu cara analisis dengan transformasi Fourier tidak dapat digunakan jika kejadian pada t < 0 dinyatakan dalam bentuk kondisi awal. Pada dasarnya transformasi Fourier diaplikasikan untuk sinyal-sinyal non-kausal sehingga metoda Fourier memberikan tanggapan rangkaian yang berlaku untuk t = −∞ sampai t = +∞.

CO TOH-2.1: Pada rangkaian seri antara resistor R dan kapasitor C diterapkan tegangan v1. Tentukan tanggapan rangkaian vC.

Penyelesaian:

Persoalan rangkaian orde pertama ini telah pernah kita tangani pada analisis transien di kawasan waktu maupun kawasan s (menggunakan transformasi Laplace). Di sini kita akan menggunakan transformasi Fourier.

Transformasi Fourier dari rangkaian ini adalah : tegangan masukan V1(ω),

R + v1 − C + vC − R + V 1/jωC + VC

impedansi resistor R terhubung seri dengan impedansi kapasitor

C jω

1

. Dengan kaidah pembagi tegangan kita dapatkan tegangan pada kapasitor adalah

) ( ) / 1 ( / 1 ) ( ) / 1 ( / 1 ) ( ) ( _{1 1 1} ω + ω = ω ω + ω = ω + = ω V V V V RC j RC C j R C j Z R Z C C C

Tegangan kapasitor tergantung dari V1(ω). Misalkan tegangan masukan v1(t) berupa sinyal anak tangga dengan amplitudo 1. Dari Tabel-1.1. tegangan ini di kawasan frekuensi adalah

) ( 1 ) ( 1 ω = _ω+πδω j

V _{. Dengan demikian maka}

(

) (

j RC

)

RC RC j j RC j RC j RC C / 1 / ) ( / 1 / 1 ) ( 1 ) / 1 ( / 1 ) ( + ω ω δ π + + ω ω =       ω δ π + ω + ω = ω V

Fungsi impuls δ(ω) hanya mempunyai nilai untuk ω = 0, sehingga pada umumnya F(ω)δ(ω) = F(0)δ(ω). Dengan demikian suku kedua ruas kanan persamaan di atas

₍

₎

( )

/ 1 / ) ( _=πδω + ω ω δ π RC j RC . Suku pertama dapat diuraikan, dan persamaan menjadi

) ( / 1 1 1 ) ( +πδω + ω − ω = ω RC j j C V

Dengan menggunakan Tabel-1.1. kita dapat mencari transformasi balik

[

]

[

1

]

() 2 1 ) ( ) sgn( 2 1 ) (t t e (1/ ) ut e (1/ ) u t vC = − − RC t + = − − RC t Pemahaman :

Hasil yang kita peroleh menunjukkan keadaan transien tegangan kapasitor, sama dengan hasil yang kita peroleh dalam analisis transien di kawasan waktu di Bab-4 contoh 4.5. Dalam menyelesaikan persoalan ini kita tidak menyinggung sama sekali mengenai kondisi awal pada kapasitor karena transformasi Fourier telah mencakup keadaan untuk t < 0.

CO TOH-2.2: Bagaimanakah vC pada contoh 2.1. jika tegangan yang diterapkan adalah v1(t) = sgn(t) ?

Penyelesaian:

Dari Tabel-1.1. kita peroleh

[

]

ω = j t) 2 sgn(

F

. Dengan demikian maka VC(ω) dan uraiannya adalah

RC j j j RC j RC C / 1 2 2 2 / 1 / 1 ) ( + ω − ω = ω       + ω = ω V

Transformasi baliknya memberikan

) ( 2 ) sgn( ) (t t e (1/ ) u t v_C = − − RC t Pemahaman:

Persoalan ini melibatkan sinyal non-kausal yang memerlukan penyelesaian dengan transformasi Fourier. Suku pertama dari vC(t) memberikan informasi tentang keadaan pada t < 0, yaitu bahwa tegangan kapasitor bernilai −1 karena suku kedua bernilai nol untuk t < 0. Untuk t > 0, vC(t) bernilai 1 − 2e−(1/RC) tu(t) yang merupakan tegangan transien yang nilai akhirnya adalah +1. Di sini terlihat jelas bahwa analisis dengan menggunakan transformasi Fourier memberikan tanggapan rangkaian yang mencakup seluruh sejarah rangkaian mulai dari −∞ sampai +∞. Gambar vC(t) adalah seperti di bawah ini. -2 -1 0 1 2 -40 -20 0 20 40 −2e−(1/RC) t u(t) −1 −2 +1 sgn(t) sgn(t)−2e−(1/RC) tu(t) vC t

2.2. Konvolusi dan Fungsi Alih

Jika h(t) adalah tanggapan rangkaian terhadap sinyal impuls dan x(t) adalah sinyal masukan, maka sinyal keluaran y(t) dapat diperoleh melalui integral konvolusi yaitu

) ( ) ( ) ( 0

∫

τ −τ τ = th xt d t y (2.2)

Dalam integral konvolusi ini batas integrasi adalah τ = 0 sampai τ = t karena dalam penurunan formulasi ini h(t) dan x(t) merupakan bentuk gelombang kausal. Jika batas integrasi tersebut diperlebar mulai dari τ = −∞ sampai τ = +∞, (2.2) menjadi

∫

+∞ −∞ = τ τ −τ τ = h xt d t y() ( ) ( ) (2.3)

Persamaan (2.3) ini merupakan bentuk umum dari integral konvolusi yang berlaku untuk bentuk gelombang kausal maupun non-kausal. Transformasi Fourier untuk kedua ruas (2.3) adalah

[ ]

∫

∫

∫

∞ −∞ = ω − ∞ + −∞ = τ +∞ −∞ = τ       τ τ − τ =       _{τ −τ τ} = ω = t t j dt e d t x h d t x h t y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

_F

F

Y (2.4)

Pertukaran urutan integrasi pada (2.4) memberikan

∫

∫

∫

∫

∞ −∞ = τ ∞ + −∞ = ω − ∞ −∞ = τ +∞ −∞ = ω − τ       τ − τ = τ       τ − τ = ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d dt e t x h d dt e t x h t t j t t j Y (2.5)

Mengingat sifat pergeseran waktu pada transformasi Fourier, maka (2.5) dapat ditulis ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω = ω       τ τ = τ ω τ = ω

∫

∫

∞ −∞ = τ ωτ − ∞ −∞ = τ ωτ − X H X X Y d e h d e h j j (2.6)

Persamaan (2.6) menunjukkan hubungan antara transformasi Fourier sinyal keluaran dan masukan. Hubungan ini mirip bentuknya dengan persamaan yang memberikan hubungan masukan-keluaran melalui fungsi alih T(s) di kawasan s yaitu Y(s) = T(s) X(s). Oleh karena itu H(ω) disebut fungsi alih bentuk Fourier.

CO TOH-2.3: Tanggapan impuls suatau sistem adalah || 2 )

(t e t h =α −α . Jika sistem ini diberi masukan sinyal signum, sgn(t), tentukanlah tanggapan transiennya.

Penyelesaian:

Dengan Tabel-1.1. didapatkan H(ω) untuk sistem ini

2 2 2 2 2 | | 2 2 2 ) ( ω + α α = ω + α α α =    α = ω

_F

e− tα H

Sinyal masukan, menurut Tabel-1.1. adalah

[

]

ω = = ω j F X( ) sgn(t) 2 Sinyal keluaran adalah

) )( ( 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ω − α ω + α ω α = ω ω + α α = ω ω = ω j j j j X H Y

yang dapat diuraikan menjadi

ω − α + ω + α + ω = ω j k j k j k1 2 3 ) ( Y 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) )( ( 2 ) ( 2 2 3 2 2 2 0 2 0 1 + = α + α α α = ω + α ω α = ω ω − α = − = α + α α − α = ω − α ω α = ω ω + α = = ω − α ω + α α = ω ω = α = ω α = ω α − = ω α − = ω = ω = ω j j j j j j j j j k j j j k j j j k Y Y Y

Jadi ) ( 1 1 2 ) ( ω − + α + ω + α − + ω = ω j j j Y _sehingga )] ( ] 1 [ ) ( ] 1 [ ) ( ) ( ) sgn( ) ( ( ) t u e t u e t u e t u e t t y t t t t − + − + − = − + − = α α − − α − α −

Gambar dari hasil yang kita peroleh adalah seperti di bawah ini.

CO TOH-2.4: Tentukan tanggapan frekuensi dari sistem pada contoh-2.3.

Penyelesaian :

Fungsi alih sistem tersebut adalah

2 2 2 ) ( ω + α α = ω H _.

Kurva |H(ω)| kita gambarkan dengan ω sebagai absis dan hasilnya adalah seperti gambar di bawah ini.

0 1 -20 -10 0 10 20 |H(ω)| ω 0 1 -1 0 1 -40 0 40 y(t) +1 −1 [−1+eα t ] u(t) [1−e−α t ]u(t) t

Pada ω =0, yaitu frekuensi sinyal searah, |H(ω)| bernilai 1 sedangkan untuk ω tinggi |H(ω)| menuju nol. Sistem ini bekerja seperti low-pass filter. Frekuensi cutoff terjadi jika

2 | ) 0 ( | | ) ( |H ω = H α = α − α = ω ⇒ = ω + α α 644 . 0 2 2 1 2 2 2 2 2 c c 2.3. Energi Sinyal

Energi total yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal didefinisikan sebagai

∫

−+∞∞ = pt dt W_total ()

dengan p(t) adalah daya yang diberikan oleh sinyal kepada suatu beban. Jika beban berupa resistor maka

R t v R t i t p() () () 2 2 ₌ = ; dan jika

bebannya adalah resistor 1 Ω maka

egangan ataupun t arus berupa ) ( dengan ) ( 2 1 t f dt t f W

∫

+∞ ∞ − Ω= _(2.7)

Persamaan (2.7) digunakan sebagai definisi untuk menyatakan energi yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal. Dengan kata lain, energi yang diberikan oleh suatu gelombang sinyal pada resistor 1 Ω menjadi pernyataan kandungan energi gelombang tersebut.

Teorema Parseval menyatakan bahwa energi total yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang dapat dihitung baik di kawasan waktu maupun kawasan frekuensi. Pernyataan ini dituliskan sebagai

∫

∫

−+∞∞ +∞ ∞ − Ω= f t dt= _π ω dω W1 2 | ( ) |2 2 1 ) ( F _(2.8)

Karena |F(ω)|2 merupakan fungsi genap, maka (2.8) dapat dituliskan

∫

+∞ Ω =_π ω ω 0 2 1 | ( ) | 1 d W F _(2.9)

Jadi di kawasan waktu energi gelombang adalah integral untuk seluruh waktu dari kuadrat bentuk gelombang, dan di kawasan frekuensi energinya adalah (1/2π) kali integrasi untuk seluruh frekuensi dari kuadrat besarnya (nilai mutlak) transformasi Fourier dari sinyal.

Penurunan teorema ini dimulai dari (2.7).

∫

∫

∫

−+∞∞ ∞ ∞ − ω +∞ ∞ − Ω       ω ω π = = f t dt f t e d dt W ( ) j t 2 1 ) ( ) ( 2 1 F

Integrasi yang berada di dalam tanda kurung adalah integrasi terhadap ω dan bukan terhadap t. Oleh karena itu f(t) dapat dimasukkan ke dalam integrasi tersebut menjadi

∫ ∫

−+∞∞ ∞ ∞ − ω Ω       _{ω ω} π = f t e d dt W () ( ) j t 2 1 1 F

Dengan mempertukarkan urutan integrasi, akan diperoleh

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − ∞ ∞ − ω − − +∞ ∞ − ∞ ∞ − ω Ω ω ω π = ω ω − ω π = ω       ω π = ω       ω π = d d d dt e t f d dt e t f W t j t j 2 ) ( 1 | ) ( | 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 F F F F F

Teorema Parseval menganggap bahwa integrasi pada persamaan (2.8) ataupun (2.9) adalah konvergen, mempunyai nilai berhingga. Sinyal yang bersifat demikian disebut sinyal energi; sebagai contoh: sinyal kausal eksponensial, eksponensial dua sisi, pulsa persegi, sinus teredam. Jadi tidak semua sinyal merupakan sinyal energi. Contoh sinyal yang mempunyai transformasi Fourier tetapi bukan sinyal energi adalah sinyal impuls, sinyal anak tangga, signum, dan sinus (tanpa henti). Hal ini bukan berarti bahwa sinyal ini, anak tangga dan sinyal sinus misalnya, tidak dapat digunakan untuk menyalurkan energi bahkan penyaluran energi akan berlangsung sampai tak hingga; justru karena itu ia tidak disebut sinyal energi melainkan disebut sinyal daya.

CO TOH-2.5: Hitunglah energi yang dibawa oleh gelombang

[

]

() 10 ) (t e 1000 ut v = − t V Penyelesaian:

Kita dapat menghitung di kawasan waktu

[

]

[

]

J 20 1 2000 100 100 10 0 2000 0 2000 0 2 1000 1 = − = = = ∞ − ∞ ₋ ∞ ₋ Ω

∫

∫

t t t e dt e dt e W

Untuk menghitung di kawasan frekuensi, kita cari lebih dulu V_{(ω)=10/(jω+1000).} J 20 1 2 2 20 1 1000 tan ) 1000 ( 2 100 10 100 2 1 1 2 6 2 1 =             π₋ − π π = ω π = ω       + ω π = ∞ ∞ − − ∞ ∞ − Ω

∫

d W

Pemahaman: Kedua cara perhitungan memberikan hasil yang sama. Fungsi |F(ω)|2 menunjukkan kerapatan energi dalam spektrum sinyal. Persamaan (2.40) adalah energi total yang dikandung oleh seluruh spektrum sinyal. Jika batas integrasi adalah ω1 dan ω2 maka kita memperoleh persamaan

∫

ωω ω ω π = 2 1 2 12 | ( )| 1 d W F _(2.10)

yang menunjukkan energi yang dikandung oleh gelombang dalam selang frekuensi ω1dan ω2.

Jika hubungan antara sinyal keluaran dan masukan suatu pemroses sinyal adalah Y(ω)=H(ω)X(ω)_{maka energi sinyal keluaran adalah}

∫

∞ Ω =_π ω ω ω 0 2 2 1 | ( )| | ( )| 1 d W H X _(2.11)

Dengan hubungan-hubungan yang kita peroleh ini, kita dapat menghitung energi sinyal langsung menggunakan transformasi Fouriernya tanpa harus mengetahui bentuk gelombang sinyalnya.

CO TOH-2.6: Tentukan lebar pita yang diperlukan agar 90% dari total energi gelombang exponensial v(t)=10

[

e−1000t

]

u(t)V dapat diperoleh. Penyelesaian: Bentuk gelombang

[

]

() 10 ) (t e 1000 u t v = − t → 1000 10 ) ( + ω = ω j V Energi total : J 20 1 0 2 10 1 1000 tan ) 1000 ( 100 10 100 1 0 1 0 2 6 2 1 =    π₋ π = ω π = ω       + ω π = ∞ − ∞ Ω

∫

d W

Misalkan lebar pita yang diperlukan untuk memperoleh 90% energi adalah β, maka 1000 tan 10 1 1000 tan ) 1000 ( 100 10 100 1 1 0 1 0 2 6 2 % 90 β π = ω π = ω       + ω π = − β − β

∫

d W Jadi rad/s 6310 20 9 tan 1000 20 1 9 . 0 1000 tan 10 1 1 = β ⇒       π = β ⇒ × = β π ⇒ −

Soal-Soal

1. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Jika v1 = −10 V, v2 = 10 V, tentukan vin , Vin(ω) , V_{o(ω) , vo.}

2. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = −10 V, v2 = 5 V.

3. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = 10e100t V, v2 = 10e−100t V.

4. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = 10e100t V, v2 = −10e− 100t V. − + − + 1 µf 10 kΩ + vin − + vo − v1 v2 1 2 S − + − + 1 µf 10 kΩ + vin − + vo − v1 v2 1 2 S − + − + + 1 H vin − + vo − v1 v2 1 2 S 0,5 kΩ

5. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞. Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞. Tentukan vin , Vin(ω) , Vo(ω) , vo, jika v1 = 10 V, v2 = 10e−100t V.

6. Pada sebuah rangkaian seri L = 1 H, C = 1µF, dan R = 1 kΩ, diterapkan tegangan vs = 10sgn(t) V. Tentukan tegangan pada resistor.

7. Tanggapan impuls sebuah rangkaian linier adalah h(t) = sgn(t). Jika tagangan masukan adalah vs(t) = δ(t)−10e−10tu(t) V, tentukan tegangan keluarannya.

8. Tentukan tanggapan frekuensi rangkaian yang mempunyai tanggapan impuls

h(t) = δ(t)−20e−10tu(t).

9. Tentukan tegangan keluaran rangkaian soal 8, jika diberi masukan vs(t) = sgn(t).

10. Jika tegangan masukan pada rangkaian berikut adalah t

v₁=10cos100 V, tentukan tegangan keluaran vo.

− + 1µF 10kΩ 10kΩ + v1 + vo − + − + + vin − + vo − v1 v2 1 2 S 0,5 kΩ 1 H − + − + + vin − + vo − v1 v2 1 2 S 100 Ω 1 H

11. Ulangi soal 10 untuk sinyal yang transformasinya 400 200 ) ( 2 1 + ω = ω V

12. Tentukan enegi yang dibawa oleh sinyal V ) ( 500 ) (t te 100 ut

v = − t . Tentukan pula berapa persen energi yang dikandung dalam selang frekuensi −100 ≤ ω ≤ +100 rad/s . 13. Pada rangkaian filter RC berikut ini, tegangan masukan adalah

V ) ( 20 5 1 e u t v = −t .

Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran vo terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya.

14. Pada rangkaian berikut ini, tegangan masukan adalah V ) ( 20 5 1 e ut v = −t .

Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran vo terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya.

− + 1µF 10kΩ 10kΩ + v1 + vo + vo − + − 100kΩ 1µF v1 100kΩ