HAKIKAT M
HAKIKAT MATEMATATEMATIKAIKA Abstrak
Abstrak Mat
Matemaematiktika a adaladalah ah ilmilmu u uniuniverversal sal yanyang g menmendasdasari ari perperkemkembanbangan gan ilmilmu u penpengetgetahuaahuan n dandan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Matematika memiliki peran teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Matematika memiliki peran yang sangat besar dalam kehidupan. Walaupun memiliki banyak peranan, namun banyak yang yang sangat besar dalam kehidupan. Walaupun memiliki banyak peranan, namun banyak yang belum mengetahui pengertian matematika itu
belum mengetahui pengertian matematika itu sendiri. Ada banyak pengertian dari matematika itusendiri. Ada banyak pengertian dari matematika itu se
sendindiriri. . AAda da yayang ng berberpependandapatpat, , mamatetemamatitika ka adaadalalah h cacabanbang g ililmu mu penpengetgetahahuan uan ekeksasak k dandan terorganisisr secara sistematik, matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, terorganisisr secara sistematik, matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan, dan matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan, dan lain sebagainya. Selain itu, matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, ilmu terstruktur dan juga lain sebagainya. Selain itu, matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, ilmu terstruktur dan juga mat
matematematika ika sebsebagai agai ratratu u dan dan pelpelayaayan n ilmilmu. u. MatMatemaematiktika a sebsebagai agai ilmilmu u deddeduktuktif if yaiyaitu tu daldalamam matematika, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran pernyataan matematika, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran pernyataan sebelumnya dan dalam matematika pernyataan awal dikenal dengan istilah aksioma. Matematika sebelumnya dan dalam matematika pernyataan awal dikenal dengan istilah aksioma. Matematika sebagai ilmu terstruktur yaitu matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur sebagai ilmu terstruktur yaitu matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsurunsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsurunsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma!postulat dan akhirnya pada teorema dan yang terakhir unsur yang didefinisikan, ke aksioma!postulat dan akhirnya pada teorema dan yang terakhir mat
matematematika ika sebsebagaagai i ratratu u dan dan pelpelayan ayan ilmilmu u dimdimaksaksudkudkan an bahbahwa wa matmatemaematiktika a adaladalah ah sebsebagaiagai sumber dari ilmu yang lain. "engan perkataan lain, perkembangan matematika tak tergantung sumber dari ilmu yang lain. "engan perkataan lain, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmuilmu lain.
pada ilmuilmu lain. Kata Kunci :
Kata Kunci : MatematiMatematika, Induktif, Teka, Induktif, Terstrukturrstruktur, Ratu dan Pelayan Ilmu,, Ratu dan Pelayan Ilmu, Ilmu TentangIlmu Tentang Pol
Pola a dan dan HubHubungungan, an, SemSemestesta a PemPembicbicara, ara, KonKonsissisten ten adada a SisSistemtem, , KesKeseaeakatkatan, an, SimSimbolbol Kosong dari Arti
Kosong dari Arti
A!
A! PE"#AH$%$A"PE"#AH$%$A" "al
"alam am filfilsafsafat at ilmilmu u penpengetagetahuahuan n memmempelapelajarjari i eseesensi nsi ataatau u hakhakikaikat t ilmilmu u pengpengetaetahuanhuan tertentu secara rasional. #ilsafat ilmu pengetahuan merupakan cabang filsafat yang mempelajari tertentu secara rasional. #ilsafat ilmu pengetahuan merupakan cabang filsafat yang mempelajari teori pembagian ilmu, metode yang digunakan dalam ilmu, tentang dasar kepastian dan jenis teori pembagian ilmu, metode yang digunakan dalam ilmu, tentang dasar kepastian dan jenis ket
keteraerangangan n yanyang g berberkaikaitan tan dengdengan an kebekebenarnaran an ilmilmu u tertertententu. tu. $lm$lmu u pengpengetaetahuan huan mermerupakupakanan se
sesusuatatu u yayang ng sasangngat at amamat at pepentinting ng babagi gi seselulururuh h mamanunusisia a di di dundunia ia inini. i. $l$lmu mu penpengetgetahuahuanan merupakan sesuatu yang sangat tidak pernah habis bila kita pelajari karena ilmu pengetahuan itu merupakan sesuatu yang sangat tidak pernah habis bila kita pelajari karena ilmu pengetahuan itu sangat luas. Semua orang ingin menggali ilmu pengetahuan setinggitingginya untuk menambah sangat luas. Semua orang ingin menggali ilmu pengetahuan setinggitingginya untuk menambah wawasan yang dikuasai. %ada &aman seperti sekarang, banyak jalan yang dapat digunakan untuk wawasan yang dikuasai. %ada &aman seperti sekarang, banyak jalan yang dapat digunakan untuk menamb
menambah ah ilmu pengetahuailmu pengetahuan n selaiselain n dengan cara dengan cara membacmembaca a seperseperti semboyan yang ti semboyan yang mengatmengatakanakan 'banyak jalan menuju (oma). *adi, ilmu pengetahuan sangat penting bagi semua orang untuk 'banyak jalan menuju (oma). *adi, ilmu pengetahuan sangat penting bagi semua orang untuk masa depan.
#ilsafat ilmu pengetahuan merupakan salah satu cabang yang mempersoalkan mengenai masalah hakikat pengetahuan. +ang dimaksud dalam hal ini adalah suatu ilmu pengetahuan kefilsafatan yang secara khusus hendak memperoleh pengetahuan tentang hakikat pengetahuan. "alam filsafat ilmu dipelajari mengenai ilmu dan matematika sebab, ilmu tanpa matematika tidak berkembang serta, matematika tanpa ilmu tak ada keteraturan. "engan pengetahuan manusia dapat mengembangkan mengatasi kelangsungan hidupnya, memikirkan halhal yang baru dan menjadikan manusia sebagai makhluk yang khas di muka bumi ini. egitu erat hubungan matematika dengan ilmu pengetahuan lainnya sehingga terkadang matematika tersebut terdapat di semua bidang ilmu lainnya.
Matematika memiliki peranan penting dalam berbagai aspek kehidupan. anyak permasalahan dan kegiatan dalam hidup kita yang harus diselesaikan dengan menggunakan ilmu
matematika seperti menghitung, mengukur, dan lainlain. Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. %eran matematika dewasa ini semakin penting, karena banyaknya informasi yang disampaikan orang dalam bahasa matematika seperti, tabel, grafik, diagram, persamaan dan lainlain. Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik , kedokteran atau medis, ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. "engan demikian, pendidikan matematika mampu menyiapkan sumber daya manusia -S"M yang berkualitas yang ditandai memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi sesuai dengan tuntutan kebutuhan. /leh karena itu mata pelajaran matematika sangat perlu diajarkan kepada semua peserta didik mulai dari taman kanak kanak. 0amun kebanyakan orang ataupun guru mengajarkan matematika tanpa pernah mengajarkan
atau menjelaskan mengenai hakikat matematika itu sendiri. *adi siswa yang diajarkan juga kurang mengetahui hakikat dari matematika tersebut.
1ntuk lebih jelasnya penulis akan mengkaji hakikat matematika tersebut dalam makalah ini yang meliputi pengertian matematika, karakteristik matematika
sebagai ilmu deduktif,
juga ilmu terstruktur, matematika adalah ratu dan pelayan ilmu, matematika adalah
ilmu tentang pola dan hubungan, matematika memperhatikan semesta pembicara,
matematika konsisten pada sistem, matematika bertumpu pada kesepakatan,
matematika memiliki simbol kosong dari arti.
&! PEM&AHASA"
'!( Pengertian Matematika
'Apakah matematika itu 2) tidak dapat dengan mudah dijawab. Hal ini dikarenakan sampai saat ini belum ada kepastian mengenai pengertian matematika karena pengetahuan dan pandangan masingmasing dari para ahli yang berbedabeda. Ada yang mengatakan bahwa
matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif, matematika adalah metode berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan ilmu yang lain. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang dari ilmu pengetahuan alam. 3ata matematika berasal dari perkataan 4atin mathematika yang mulanya diambil dari perkataan +unani mathematike yang berarti mempelajari. %erkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu -knowledge, science. 3ata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar -berpikir. *adi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir -bernalar. Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio -penalaran, bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiranpikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran -(usseffendi 56, 789: ;7<9. $stilah mathematics -$nggris, mathematik -*erman, mathemati=ue -%erancis, matematico -$tali, matematiceski -(usia, atau mathematick! wiskunde -elanda berasal dari perkataan lain matematika, yang mulanya diambil dari perkataan +unani, >?@>?BCDE mathFmatikG, yang berarti ' (elating to learning).
Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. 3emudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsepkonsep matematika supaya konsep konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasi matematika yang bernilai global -universal. 3onsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika. "apat dikatakan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan
yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang ada didalamnya. $ni berarti bahwa belajar matematika pada hakekatnya adalah belajar konsep, struktur konsep dan mencari
hubungan antar konsep dan strukturnya.
Ada beberapa definisi dari beberapa para ahli mengenai matematika, diantaranya seorang matematikawan &en)amin Peirce menyebut matematika sebagai ilmu yang menggambarkan simpulansimpulan yang penting. "i pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa sejauh hukumhukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pastiI dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan).
4ain halnya dengan Russefendi -7899 ; JK yang mengatakan bahwa matematika terorganisasikan dari unsurunsur yang tidak didefinisikan, definisidefinisi, aksiomaaksioma, dan dalildalil di mana dalildalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.
*ames dan *ames -78L menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsepkonsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. 6etapi ada juga pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika,
aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.
Selain itu ada juga pendapat dari *o+nson dan Rising-78LJ yang menyatakan matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa symbol mengenai ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifatsifat dalam teoriteori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsure yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.
4ain halnya dengan Reys dkk -789<, matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. Kline -78LK matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri,
tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.
Menurut Roy Hollands )matematika adalah suatu sistem yang rumit tetapi tersusun sangat baik yang mempunyai banyak cabang). Secara luas matematika tidak hanya berhubungan dengan bilanganbilangan tetapi lebih luas ia berhubungan dengan alam semesta. 6he 4iang Nie mengutip pendapat seorang ahli matematika bernama -+arles Ed.ar *eanneret yang mengatakan; )Mathematics is the majestic structure by man to grant him comprehension of the universe, yang artinya matematika adalah struktur besar yang dibangun oleh manusia untuk memberikan pemahaman mengenai jagat raya.
MenurutSoed)adi -J:::; 7 mengemukakan bahwa ada beberapa definisi atau pengertian matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu sebagai berikut;
• Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik
• Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi
• Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.
• Matematika adalah pengetahuan faktafakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.
• Matematika adalah pengetahuan tentang strukturstruktur yang logic
• Matematika adalah pengetahuan tentang aturanaturan yang ketat.
Ernest melihat matematika sebagai suatu konstruktivisme sosial yang memenuhi tiga premis sebagai berikut; i) The basis of mathematical knowledge is linguistic language, conventions and rules, and language is a social constructions; ii) Interpersonal social processes are required to turn an individual’s subjective mathematical knowledge, after publication, into accepted objective mathematical knowledge; and iii) Objectivit itself will be understood to be social ! -5rnest, 7887;<J. Selain 5rnest, terdapat sejumlah tokoh yang memandang matematika
sebagai suatu konstruktivisme sosial. Misalnya, #ienes mengatakan bahwa matematika adalah ilmu seni kreatif. /leh karena itu, matematika harus dipelajari dan diajarkan sebagai ilmu seni. -(useffendi, 7899;7:.
&ourne juga memahami matematika sebagai konstruktivisme sosial dengan penekanannya pada knowing how, yaitu pebelajar dipandang sebagai makhluk yang aktif dalam mengkonstruksi
ilmu pengetahuan dengan cara berinteraksi dengan lingkungannya. Hal ini berbeda dengan pengertian knowing that yang dianut oleh kaum absoluitis, di mana pebelajar dipandang sebagai mahluk yang pasif dan seenaknya dapat diisi informasi dari tindakan hingga tujuan. -(omberg, 6.A. 788J; LOJ.
Kitc+er lebih memfokuskan perhatiannya kepada komponen dalam kegiatan matematika. -*ackson, 788J;LOK. "ia mengklaim bahwa matematika terdiri atas komponenkomponen; bahasa -language yang dijalankan oleh para matematikawan, pernyataan -statements yang digunakan oleh para matematikawan, pertanyaan -=uestions penting yang hingga saat ini belum terpecahkan, alasan -reasonings yang digunakan untuk menjelaskan pernyataan, dan ide matematika itu sendiri. ahkan secara lebih luas matematika dipandang sebagai the science of pattern.
Sejalan dengan kedua pandangan di atas, Su)ono -7899;O mengemukakan beberapa pengertian matematika. "i antaranya, matematika diartikan sebagai cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik. Selain itu, matematika merupakan ilmu pengetahuan tentang penalaran yang logik dan masalah yang berhubungan dengan bilangan.
ahkan dia mengartikan matematika sebagai ilmu bantu dalam menginterpretasikan berbagai ide dan kesimpulan.
%engertian yang lebih plural tentang matematika dikemukakan oleh/reudental -7887;7. "ia mengatakan bahwa "mathematics look like a plural as it still is in #rench $es %athematiques !Indeed, long ago it meant a plural& four arts 'liberal ones worth being pursued
b free men)! %athematics was the quadrivium, the sum of arithmetic, geometr astronom and music, held in higher esteem than the 'more trivial) trivium& grammar, rhetoric and dialectic! ( s far as I am familiar with languages, *ucth is the onl one in which the term for mathematics is neither derived from nor resembles the internationall sanctioned %athematica! The *ucth term was virtuall coined b +imon '-./0123)& 4iskunde, the science of what is certain! 4is en 5eker, sure and certain, is that which does not ield to an doubt, and kunde means, knowledge, theor!
"ari sisi abstraksi matematika, "e.man melihat tiga ciri utama matematika, yaituI matematika disajikan dalam pola yang lebih ketat, matematika berkembang dan digunakan lebih luas dari pada ilmuilmu lain, dan matematika lebih terkonsentrasi pada konsep. -*ackson, 788J;LOO.
Selanjutnya, pendapat para ahli mengenai matematika yang lain, di antaranya telah muncul sejak kurang lebih <:: tahun sebelum masehi, dengan tokohtokoh utamanya %lato -<JLPK<L SM dan seorang muridnya Aristoteles -K<9PKJJ SM. Mereka mempunyai pendapat yang berlainan.Plato berpendapat, bahwa matematika adalah identik dengan filsafat untuk ahli pikir, walaupun mereka mengatakan bahwa matematika harus dipelajari untuk keperluan lain. /bjek matematika ada di dunia nyata, tetapi terpisah dari akal. $a mengadakan perbedaan antara aritmetika -teori bilangan dan logistik -teknik berhitung yang diperlukan orang. elajar aritmetika berpengaruh positif karena memaksa yang belajar untuk belajar bilanganbilangan abstrak. "engan demikian matematika ditingkatkan menjadi mental aktivitas mental abstrak pada objekobjek yang ada secara lahiriah, tetapi yang ada hanya mempunyai representasi yang bermakna.
Sedangkan orang Arab, menyebut matematika dengan Qilmu alhisab yang berarti ilmu berhitung. "i $ndonesia, matematika disebut dengan ilmu pasti dan ilmu hitung. Sebagian orang
$ndonesia memberikan plesetan menyebut matematika dengan 'matimatian), karena sulitnya mempelajari matematika. -Abdusysyakir, J::L;O. %ada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilanganbilangan bulat :, 7, 7, J, P J, R, dst, melalui beberapa operasi dasar; tambah, kurang, kali dan bagi.
Matematika secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruangI tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka. "alam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematikaI pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika. Sedangkan dalam 3amus esar ahasa $ndonesia -3$, matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. menurut Sumardyono -J::<;J9 secara umum definisi matematika dapat dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya;
• Matematika sebagai struktur yang terorganisir. Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang
lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma!postulat, pengertian pangkal!primitif, dan dalil!teorema -termasuk di dalamnya lemma -teorema pengantar!kecil dan corolly!sifat.
• Matematika sebagai alat -tool. Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalammencari
solusi pelbagai masalah dalam kehidupan seharihari.
• Matematika sebagai pola pikir deduktif. Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki
pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif -umum.
• Matematika sebagai cara bernalar -the way of thinking. Matematika dapat pula dipandang
sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika matematika memuat cara pembuktian yang sahih -valid, rumusrumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis.
• Matematika sebagai bahasa artifisial. Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam
matematika. ahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.
• Matematika sebagai seni yang kreatif. %enalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan
ideide dan polapola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.
Meskipun diberikan pengertian matematika dengan panjang lebar secara tertulis atau lisan penjelasannya, belum memberikan jawaban secara utuh yang dapat dipahami secara menyeluruh
tentang apa matematika itu. Menurut ourant dan (obbin bahwa untuk dapat mengetahui apa matematika itu sebenarnya, seseorang harus mempelajari sendiri ilmu matematika tersebut. Matematika dapat kita pelajari dengan baik bila disertai dengan mengerjakannya. "alam proses bekerja tersebut diperlukan keterlibatan berpikir yang kita sebut dengan berpikir kritis. 3arena matematika dapat ditinjau dari semua sudut, dan memasuki seluruh segi kehidupan manusia baik dari yang sederhana sampai yang kompleks.
'!' Matematika sebagai Ilmu #eduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. $ni berarti proses pengerjaan matematika harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan -induktif, tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. "asar pembuktian deduktif yang berperan besar dalam matematika adalah kebenaran, suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataanpernyataan sebelumnya. %enarikan kesimpulan yang demikian ini sangat berbeda
dengan penarikan kesimpulan pada penalaran induktif yang dipaparkan pada hasil pengamatan atau eksperimen terbatas.
"alam penalaran deduktif, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran pernyataan sebelumnya. Mungkin timbul pertanyaan bagaimana menyatakan kebenaran dari pernyataan yang paling awal2 1ntuk mengatasi hal tersebut, dalam penalaran deduktif diperlukan beberapa pernyataan awal atau pangkal sebagai 'kesepakatan) yang diterima kebenarannya tanpa pembuktian. %ernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam matematika dikenal dengan istilahaksioma atau ostulat! "alam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.
Sebagai contoh dalam $lmu %engetahuna Alam -$%A, bila seseorang melakukan percobaan memanaskan sebatang logam, ternyata logam yang dipanaskan tersebut akan memuai. 3emudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai juga, dan seterusnya mengambil beberapa contoh jenisjenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika dipanaskan. "ari percobaan ini dapat dibuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai. 3esimpulan atau generalisasi seperti ini merupakan hasil penalaran secara induktif. Neneralisasi seperti ini dalam $%A dibenarkan.
ontoh dalam $%A seperti tersebut di atas, secara matematika belum dapat dianggap sebagai generalisasi. "alam matematika, contohcontoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.
Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Neneralisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.
-onto+ (;
%ernyataan; jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap.
Tabel '!( Pen)umla+an &ilangan 0an)il
1 ( 2 3
( J <
4 9 7: 7J
%erhatikan hasil penjumlahan pada tabel 7. Apa yang bisa Anda katakan2 6entunya Anda akan mengatakan bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap.
"alam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi. Matematika tetap tidak membenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum membuktikannya secara deduktif.
&ukti deduktif
Misalkan m dan n sebarang dua bilangan bulat,
maka Jm T 7 dan Jn T 7 masingmasing merupakan bilangan ganjil. *ika kita jumlahkan;
-Jm T 7 T -Jn T 7 U J-m T n T 7
3arena m dan n bilangan bulat, maka -m T n T 7 bilangan bulat, sehingga J-m T n T 7 adalah
bilangan genap
*adi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
-onto+ '
*umlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 79::.
Misalnya siswa mengukur ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 79::. Walaupun proses
pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitigasegitiga yang lain dan hasilnya selalu sama dengan 79::, tetap kita tidak dapat menyimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut
dalam sebuah segitiga sama dnegan 79::, sebelum membuktikan secara deduktif.
d c a
b
Naris a !! garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk∠7, ∠J, ∠K, ∠<, ∠O. ∠7T∠JT∠KU 79::-membentuk sudut lurus
∠7U∠<-sudutsudut bersebrangan dalam ∠KU∠O-sudutsudut bersebrangan dalam
Maka;∠7T∠JT ∠KU∠<T∠JT ∠OU 79::3arena∠<T∠JT∠Omerupakan jumlah dari
ketiga sudut dalam pada sebuah segitiga, maka dapat disimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 79::.
"ari uraianuraian di atas, dapatlah kita simpulkan bahwa matematika itu merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi -induktif tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.
'!2 Matematika sebagai Ilmu Terstruktur
Menurut (useffendi -6im M3%M, J::7IJO matematika mempelajari tentang pola keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsurunsur yang tidak terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma!postulat dan akhirnya pada teorema. 3onsepkonsep matematika tersusun secara hierarki, terstruktur, logis, dan sistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. "alam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau konsep selanjutnya. $barat membangun sebuah gedung bertingkat, lantai kedua dan selanjutnya tidak akan terwujud apabila fondasi dan lantai sebelumnya yang menjadi prasyarat benarbenar dikuasai, agar dapat memahami konsepkonsep selanjutnya.
Sebagai contoh dapat dilihat susunan topiktopik dalam matematika yang harus dipelajari terlebih dahulu -dan berikutnya untuk sampai pada topik persamaan. 1ntuk sampai pada topik persamaan tersebut haruslah melalui jalurjalur pasti yang telah tersusun. Sebaliknya apabila jalurjalur itu dilanggar, maka konsep persamaan tidak akan tertanam dengan baik.
atatan; "ari diagram di bawah, terlihat bahwa untuk memahami konsep persamaan memerlukan konsepkonsep lain yang menjadi prasyaratnya, akan tetapi tidak perlu setiap konsep di bawahnya dipakai. ukup dipilih sebuah jalur tertentu, tergantung dari tujuannya.
1ntuk lebih memperjelas uraian di atas, marilah kita lihat con toh berikut ini;
3ita ambil contoh pada satu bagian kecil yang dipelajari dalam matematika, yaitu dalam geometri. %ada Neometri terdapat unsurunsur yang tidak didefinisikan antara lain titik, garis, dan bidang.
Apakah titik itu2 6itik dalam matematika diasumsikan ada, tetapi tidak dinyatakan dalam suatu kalimat yang tepat untuk mejelaskannya. Sebab titik adalah suatu obyek matematika yang
tidak didefinisikan -unsur primitif. %alingpaling kita hanya mampu untuk sekedar memberikan gambaran bahwa titik itu tidak mempunyai ukuran panjang, luas, isi, dan berat. Suatu titik digambarkan hanya untuk membantu pemikiran kita saja. Meskipun demikian kita sepakat bahwa titik itu ada.
Sedangkan bidang -datar adalah sesuatu yang bentuknya datar seperti permukaan meja yang tidak mempunyai batas pinggir. Meskipun kita tidak mampu untuk memberikan pernyataan dengan tepat, tetapi kita sepakat bahwa bidang itu ada. 6itik dan bidang itu termasuk ke dalam unsur primitif yang eksistensinya diakui ada. 6anpa pemikiran semacam itu matematika tidak akan terwujud.
"ari unsurunsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk unsurunsur matematika yang terdefinisi.
ontoh;
7 "ua garis berpotongan memiliki satu titik sekutu. 6itik itu selanjutnya disebut titik potong.
J Segitiga adalah lengkungan tertutup sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah segmen garis -sudah tentu definisi tentang ruas garis, operasi gabungan, dan lengkungan tertutup sederhana sudah terlebih dahulu diberikan.
K ilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua -pengertian bilangan bulat dan habis dibagi sebelumnya telah dipahami.
"ari unsurunsur yang tidak terdefinisi dan unsurunsur terdefinisi dapat dibuat asumsi asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misalnya;
7 Melalui sebuah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis ke suatu titik yang lain. J 3esamaan ditambah kesamaan menghasilkan kesamaan.
%ernyataanpernyataan tersebut di atas tidak perlu dibuktikan kebenarannya, karena tanpa membuktikannya secara formal sudah dapat diterima kebenarannya berdasarkan pemikiran logis. 6ahap selanjutnya, dari unsurunsur yang tidak terdefinisi, unsurunsur yang terdefinisi, dan aksioma atau postulat dapat disusun teoremateorema yang kebenarannya harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku umum.
Misalnya;
*umlah ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 79: derajat -ukuran sudut dalam derajat
telah didefinisikan terlebih dahulu.
"an teorema yang telah terbentuk dapat dirumuskan lagi teorema baru sebagai pengembangan atau perluasannya.
ontoh lainnya dapat kita lihat dari konsepkonsep yang ada dalam struktur aljabar atau aljabar modern atau aljabar abstrak seperti grup, ring, field, integral domain dan teorema teoremanya yang nampak dengan jelas merupakan suatu sistem matematika yang mempunyai keteraturan struktur yang terorganisasikan dengan baik.
Ambil contoh lainnya lagi, misalnya geometri modern yang merupakan suatu sistem matematika aksiomatik, yang memiliki unsur tidak didefinisikan, unsur yang didefinisikan, postulat atau aksioma dan dalil atau teori yang dirumuskan dengan jelas. "inamakan geometri modern karena memiliki istilah, simbol dan gambar yang akurat yang tidak meragukan, karena tidak mempunyai dua arti atau lebih. Misalnya pada geometri modern antara ruas garis dan garis mempunyai simbol dan gambar yang berbeda, sedangkan pada geometri tradisional sama. "emikian pula tentang kakikaki sebuah segitiga sama kaki pada geometri modern disebut kongruen, sedangkan pada geometri tradisional disebut sama. 3emudian istilah atau bahasa dalam geometri modern jauh lebih tepat dari pada bahasa dalam geometri tradisional. Misalnya dalam geometri tradisional kita sering mengatakan 4uas sebuah segitiga U 7: mJ. "alam
geometri modern kita harus mengatakan '4uas daerah sebuah segitigaU7: mJ). Alasannya,
karena segitiga itu tidak mempunyai luas, yang mempunyai luas adalah daerah sitiga.
Masih banyak contohcontoh lainnya yang memperlihatkan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan mengenai struktur yang terorganisasikan dengan baik, dan semua struktur dalam matematika diorganisasikan dengan sistematis dalam rangkaian urutan yang logis.
'!6 Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. "engan perkataan lain, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmuilmu lain. anyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hobby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmuilmu lain. "engan perkembangan teknologi, banyak cabangcabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir. anyak ilmuilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika. Sebagai contoh, banyak
teoriteori dan cabangcabang dari #isika dan 3imia -modern yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep 3alkulus, khususnya tentang %ersamaan "iferensial. %enemuan dan pengembangan 6eori Mendel dalam iologi melalui konsep %eluang, 3arakteristik Matematika -probabilitasI 6eori 5konomi mengenai %ermintaan dan %enawaran yang dikembangkan melalui konsep #ungsi dan 3alkulus.
"ari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan, seperti telah diuraikan di atas, tersirat bahwa matematika itu sebagai suatu ilmu yang berfungsi pula untuk melayani ilmu pengetahuan. "engan perkataan lain, matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri
sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya. abang matematika yang memenuhi fungsinya seperti yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan matematika terapan -Applied Mathematics.
'!3 Matematika Adala+ Ilmu Tentang Pola dan Hubungan
Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsepkonsep tertentu atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi.
Misal ;
*umlah a bilangan genap selamanya sama dengan aJ.
ontoh ;
a U 7 maka jumlahnya U 7 U 7J.
Selanjutnya 7 dan K adalah bilanganbilangan ganjil jumlahnya adalah < U JJ. erikutnya 7, K,
O,dan L, maka jumlahnya adalah 7 U <J dan seterusnya. "ari contohcontoh tersebut, maka dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama dengan aJ.
Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.
Misalnya ; Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut dengan lingkaran, antara O V U K: dengan K: ; O U . Antara 7:J U 7:: dengan U 7:. "emikian
juga cabang matematika satu dengan lainnya saling berhubungan seperti aritmatika, aljabar, geometri dan statistika, dan analisis.
'!7 Matematika Memer+atikan Semesta Pembicaraan
%enyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbol simbol akan bermakna jika ruang lingkup pembicaraanya jelas. *ika ruang lingkupnya bilangan, maka dsimbolsimbol tersebut diartikan bilangan. ontoh ; %enyelesaian persamaan diselesaikan dengan memperhatikan semesta pembicaraan. *ika semesta pembicaraannya bilangan riil, maka hasilnya adalah . 6etapi jika semesta pembicaraannya bilangan bulat maka penyelesaiannya Qhimpunan kosong.
'!4 Matematika Konsisten #engan Sistemnya
"alam matematika banyak system yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang tidak saling berkaitan. "idalam masingmasing sistem berlaku konsistensi atau ketaata&asan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang diterapkan terlebih dahulu. 3onsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaran. Hal ini menjadi masalah matematika harus konsisten terhadap hasilnya. Menurut Soedjadi- J:::,O, bila diperhatikan satu per satu karakteristik matematika tersebut, maka dapat dipahami bahwa matematika yang amat pusing dalam hidup keseharian mereka baik kini maupun masa yang akan datang. ila karakteristik tersebut secara sadar dimanfaatkan sebagai wahana pendidikan jelas memiliki edukasi yang dapat mengarahkan siwa untuk disiplin atau taat pada peraturan.
'!8 Matematika &ertumu Pada Keseakatan
3esepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari pembuktian yang berputarputar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian. 3esepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive. Aksioma yang disebut juga potulat merupakan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, sedangkan konsep primitive bertujuan memberikan pengertian pangkal yang tidak seharusnya didefinisikan.
'!5 Matematika Memiliki Simbol 9ang Kosong #ari Arti
Matematika memiliki banyak simbol, baik huruf maupun bilangan. Model matematika V T y U &, belum tentu bermakna atau berarti. 6idak selalu V, y, & berarti bilangan. ilanganbilangan yang digunakan dalam pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real. Makna huruf dan
operasi tergantung permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model matematika. ahkan tanda 'T) tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua bilangan, tetapi bisa jadi operasi untuk vector, matriks dan lainlain. Secara umum, V T y U & masih kosong dari arti, tergantung permasalahannya. *adi, model atau symbol matematika sesungguhnya kosong dari arti. $a akan bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika. 3osongnya arti dari modelmodel matematika itu merupakan 'kekuatan) matematika, yang dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.
