REKAYASA GEMPA. Respon Struktur SDOF Akibat Beban Umum. Oleh Resmi Bestari Muin

(1)

MODUL KULIAH

REKAYASA GEMPA

Minggu ke 5 :

Respon Struktur SDOF Akibat Beban Umum

Oleh

Resmi Bestari Muin

PRODI TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN

UNIVERSITAS MERCU BUANA

(2)

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI i

X Respon Struktur SDOF Akibat Beban Umum 1

X.1 Pendahuluan . . . 1

X.2 Respon Beban Impuls . . . 1

X.2.1 1 Unit Beban Impuls . . . 1

X.2.2 Respon Struktur Akibat 1 Unit Beban Impuls . . . 2

X.3 Integral Duhamel . . . 2

X.4 Aplikasi Integral Duhamel pada Struktur SDOF . . . 5

X.4.1 Beban Konstan . . . 5

X.4.2 Beban Segi Empat . . . 5

X.4.3 Beban Sembarang pada Struktur Tanpa Redaman . . . 7

(3)

BAB X

Respon Struktur SDOF Akibat Beban

Umum

X.1 Pendahuluan

Pada kenyataannya beban gempa bukanlah beban harmonik maupun periodik.

Beban getaran tanah akibat gempa bumi sangat fluktuatif dan impulsif.

Beban yang impulsif, mempunyai durasi yang sangat pendek, sehingga penyer-apan energi yang dapat dilakukan struktur juga kurang sempurna, sehingga pengaruh redaman struktur juga kurang berarti.

Sehingga pada pembahasan sistim yang yang dikenai beban gempa, umumnya struktur dianggap tidak mempunyai redaman.

X.2 Respon Beban Impuls

X.2.1 1 Unit Beban Impuls

Gambar X.1. Satu Unit Beban Impuls

Jika suatu beban yang sangat besar bekerja untuk jangka waktu yang sangat pendek (lihat Gambar X.1, → 0), maka beban tsb disebut sebagai beban impuls.

(4)

Jika impuls yang dihasilkan beban tsb 1 unit satuan, maka beban tersebut disebut sebagai 1 unit beban impuls.

X.2.2 Respon Struktur Akibat 1 Unit Beban Impuls

Gambar X.2. Respon Struktur Akibat 1 Unit Beban Impuls

Setelah 1 unit beban impuls berhenti (t > τ ), struktur akan bergerak bebas, dengan kecepatan awal akibat pengaruh 1 unit beban impuls tersebut = 1/m, dan tidak ada perubahan perpindahan dalam selang waktu , artinya y(τ + ) = y(τ ), dalam hal ini = 0.

Sehingga respon struktur setelah beban tsb bekerja adalah, 1. Untuk struktur tak diredam :

h(t − τ ) = 1

mω sin {ω(t − τ )} (X.1)

2. Untuk struktur yang diredam :

h(t − τ ) = 1 mωd

e−ξω(t−τ )[sin (ωd(t − τ ))] (X.2)

X.3 Integral Duhamel

Salah satu cara untuk menentukan respon struktur akibat beban sembarang adalah dengan Integral Duhamel. Suatu beban sembarang p(t) yang bekerja pada struk-tur, dapat dianggap sebagai penjumlahan dari beban-beban impuls pendek yang tak terhingga jumlahnya (lihat Gambar X.3).

(5)

Gambar X.3. Beban Sembarang beban impuls tersebut. Impuls pada saat t = τ adalah p(τ )dτ .

Gambar X.4. Respon Struktur Akibat Impuls 1 da 2

Sehingga simpangan akibat satu impuls tersebut adalah :

besaran impuls tersebut x respon struktur akibat 1 unit impuls, yaitu

dy(t) = [p(τ )dτ ] h(t − τ ) (X.3)

Total respon struktur pada saat t adalah jumlah dari respon struktur akibat semua impuls sampai saat t tersebut, yakni

y(t) = Z t

0

p(τ )h(t − τ )dτ (X.4)

Dengan mensubstitusi persamaan (X.1) dan (X.2) ke persamaan (X.4), diperoleh per-samaan respon struktur akibat beban sembarang sebagai berikut :

(6)

Gambar X.5. Respon Total • Untuk struktur tak diredam :

y(t) = 1 mω

Z t

0

p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ (X.5)

• Untuk struktur yang diredam :

y(t) = 1 mωd e−ξω(t−τ ) Z t 0 p(τ ) sin (ωd(t − τ )) dτ (X.6)

Persamaan (X.5) dan (X.6) ini dikenal sebagai Integral Duhamel.

Jika ada kecepatan awal dan percepatan awal, maka persamaan Integral Duhamel menjadi

• Untuk struktur tak diredam :

y(t) = y0cos (ωt) + ˙ y0 ω sin (ωt) + 1 mω Z t 0 p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ (X.7)

• Untuk struktur yang diredam :

y(t) = e−ξωt y(0) cos (ωdt) + ˙ y(0) + y(0)ξω ωd sin (ωdt) + 1 mωd e−ξω(t−τ ) Z t 0 p(τ ) sin (ωd(t − τ )) dτ (X.8)

(7)

X.4 Aplikasi Integral Duhamel pada Struktur SDOF

X.4.1 Beban Konstan

Gambar X.6. Beban Konstan

Untuk struktur tanpa redaman dan kecepatan serta simpangan awal nol diberi be-ban konstan P0, maka dengan menggunakan integral Duhamel, diperoleh simpangan

struktur setiap saat t

y(t) = 1 mω Z t 0 p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ = P0 k |cos {ω(t − τ )}| t 0 y(t) = P0 k (1 − cos ωt) = yst(1 − cos ωt) (X.9) dimana yst = P0/k

X.4.2 Beban Segi Empat

Beban segi empat disini maksudnya, beban bekerja hanya pada durasi tertetu saja, yakni sampai t = td.

(8)

Gambar X.7. Beban Segi Empat

Dengan menggunakan persamaan (X.9), simpangan struktur pada saat t = td, adalah

y(td) =

P0

k (1 − cos ωtd) (X.10)

dan kecepatan pada saat t = td, adalah turunan pertama dari persamaan (X.9),

kemu-dian mengganti t dengan td, yakni

˙ y(td) =

P0

k ω(sin ωtd) (X.11)

Setelah t = td (t > td), beban berhenti bekerja, sehingga struktur bergetar bebas

dengan simpangan awal y(td) dan kecepatan awal ˙y(td) mulai saat (t − td), yakni

y(t) = P0

k {1 − cos(ωtd)} cos (ωt − td) + P0

kωω(sin ωtd) cos (ωt − td) y(t) = yst[cos (ωt − td) − cos(ωtd) cos (ωt − td) + sin(ωtd) sin (ωt − td)]

y(t) = yst[cos (ωt − td) − cos ω (td+ t − td)]

(9)

Jika FBD (Faktor Beban Dinamis) didefinisikan sebagai

F BD = perpindahan setiap saat t perpindahan satis =

y(t) yst

Maka FBD pada struktur yang dikenai beban dinamis segi empat adalah • 0 < t < td

F BD = 1 − cos ωtd

• t > td

F BD = cos (ωt − td) − cos (ωt)

X.4.3 Beban Sembarang pada Struktur Tanpa Redaman

Fungsi beban dinamik akibat gempa merupakan fungsi sembarang, sehingga penye-lesaian integral Duhamel untuk kodisi ini harus didekati secara numerik.

Integral Duhamel untuk struktur tanpa redaman,

y(t) = 1 mω

Z t

0

p(τ ) sin {ω(t − τ )} dτ (X.13)

Karena secara goneometri

sin {ω(t − τ )} = sin(ωt) cos(ωτ ) − cos(ωt) sin(ωτ ) (X.14)

Maka persamaan integral Duhamel (X.13) dapat ditulis dalam bentuk

y(t) = 1 mω Z t 0 p(τ ) cos(ωτ )dτ sin(ωt) − 1 mω Z t 0 p(τ ) sin(ωτ )dτ cos(ωt) atau

y(t) = D1(t) sin(ωt) − D2(t) cos(ωt) (X.15)

dimana D1(t) = 1 mω Z t 0 p(τ ) cos(ωτ )dτ (X.16)

(10)

dan D2(t) = 1 mω Z t 0 p(τ ) sin(ωτ )dτ (X.17)

Jika fungsi p(τ ) tidak sederhana, sehingga sulit untuk di integrasi atau malah tidak mungkin untuk diinitegrasi, maka dapat dilakukan pendekatan secara numerik.

Ada beberapa metoda pendekatan untuk mencari integrasi suatu suatu fungsi secara numerik, antara lain

1. Metoda Trapezoid 2. Metoda Simpson’s

Dengan menggunakan metoda Trapezoidal, integrasi suatu fungsiR y(x)dx dapat didekati secara numerik seperti diilustrasikan pada Gambar X.8 berikut. dimana

Gambar X.8. Pendekatan Numerik Metoda Trapezoid

Z xn

0

y(x)dx ≈ A1+ A2+ ..A(i) + ...An

A1 = y₁+ y0 2 ∆x A2 = y₂+ y1 2 ∆x Ai = y_i+ yi−1 2 ∆x

Persamaan (X.16), dapat ditulis juga dalam bentuk

D1(t) = 1 mω Z t 0 P1(τ )dτ dimana P1(τ ) = p(τ ) cos(ωτ ) (X.18)

(11)

Dengan membagi waktu sampai t menjadi ∆τ_n , dimana diskritisasi waktu diberi label i = 0,1,2, ....n, maka nilai D1 sampai diskrit waktu ke i adalah

D1(i)= D1(i−1)+

P1(τ )i+ P1(τ )i−1

2