Modul 13 Ukuran Sampel

(1)

Modul 13

Ukuran Sampel

Daftar Isi

13.1 Tujuan Pembelajaran . . . . 1

13.2 Prinsip Penghitungan Besar Sampel . . . . 1

13.3 Ukuran Sampel untuk Uji Mean . . . . 3

13.4 Ukuran Sampel untuk Uji dua Mean . . . . 5

13.5 Ukuran Sampel untuk Uji Proporsi . . . . 5

13.6 Ukuran Sampel untuk Uji RR dan OR . . . . 7

13.7 Latihan . . . . 9

13.1 Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai melakukan pembelajaran pada bagian ini, mahasiswa diharapkan dapat: 1. Menjelaskan prinsip penghitungan besar sampel

2. Menghitung ukuran sampel dengan diberikan outcome yang menjadi perhatian dan asumsi tertentu

13.2 Prinsip Penghitungan Besar Sampel

Suatu penelitian bidang ilmu kesehatan atau epidemiologi dimulai dari desain penelitian yang salah satunya adalah penentuan ukuran sampel yang diperlukan dalam studi. Sampel yang berukuran sangat besar mungkin akan menghasilkan kesimpulan yang signifikan secara statistik, namun mungkin tidak signifikan secara substansi maupun praktek. Selain itu, penelitian ddengan sampel sangat besar akan menghabiskan banyak biaya dan tenaga.

(2)

13.2. Prinsip Penghitungan Besar Sampel 2

Tabel 13.1: Kesalahan Tipe I dan Tipe II

Keputusan Uji Kenyataan

H0 benar H0 salah

H0tidak ditolak benar salah (Tipe II)

H0ditolak salah (Tipe I) benar

Sebaliknya penelitian dengan sampel yang terlalu sedikit akan berakhir tanpa ada kesimpulan, atau tidak memberikan hasil yang signifikan secara statistik, meskipun sebe-narnya penting secara substansi.

Oleh karena itu penghitungan besar sampel, dengan diberikan syarat dan asumsi ter-tentu, memegang peranan penting dalam penelitian di bidang kesehatan dan epidemiologi. Tujuan utama penghitungan sampel adalah untuk verifikasi bahwa data yang akan dikum-pulkan akan cukup berguna dalam menjawab pertanyaan penelitian.

Perhitungan sampel dapat ditentukan berdasarkan presisi (precision analysis) dan ber-dasarkan power (power analysis). Keduanya dilakukan dengan cara mengendalikan Ke-salahan Tipe I dan KeKe-salahan Tipe II dalam uji hipotesis suatu parameter tertentu. Penger-tian dua kesalahan tersebut dapat dilihat pada Tabel 13.1.

Lebih lanjut kesalahan tersebut dinyatakan dalam probabilitasα,βdanpower = 1₋β

sebagai berikut

α = P(Kesalahan Tipe I)

= P(H0ditolak|H0benar) (13.1)

β = P(Kesalahan Tipe II)

= P(H0 tidak ditolak|H0salah) (13.2)

P ower = 1₋β

= P(H0ditolak|H0salah) (13.3) Perhitungan sampel berdasarkan presisi biasanya digunakan dalam aurvei, misalnya survei prevalensi suatu penyakit tertentu atau suatu status kesehatan tertentu. Presisi ada-lah setengah dari lebar interval konfidensi, untuk semua bentuk interval konfidensi yang berdasarkan pada distribusi yang simetrik seperti misalnya distribusi Normal dan distri-busi t.

Perhitungan sampel berdasarkan power memerlukan kuantitas effect sizeδ, yaitu se-lisih minimal antara nilai parameter di bawah H0 dengan parameter di bawahH1 yang masih dianggap penting secara substansial. Misalnya, untuk uji dua mean µ1 dan µ2, effect size adalahδ =µ1−µ2.

Secara umum besar ukuran sampel ditentukan oleh faktor-faktor berikut: 1. Ukuran sampel akan membesar jika standar deviasi (variansi) membesar

(3)

13.3. Ukuran Sampel untuk Uji Mean 3

2. Ukuran sampel akan membesar jikaαmengecil

3. Ukuran sampel akan membesar jika power= 1₋βmembesar 4. Ukuran sampel akan membesar jika presisi dan effect size mengecil

Formulasi penghitungan ukuran sampel ditentukan oleh uji statistik yang digunakan. Pada dasarnya dari setiap uji statistik dapat diturunkan formulasi untuk penghitungan ukuran sampel. Dalam modul ini akan dibahas beberapa rumus penghitungan besar sampel untuk beberapa uji tertentu. Formulasi untuk permasalahan ukuran sampel yang lebih general, berdasarkan rancangan studi tertentu, dan statistik uji tertentu yang lebih lengkap akan dibahas dalam kuliah Biostatistika dan Epidemiologi II.

13.3 Ukuran Sampel untuk Uji Mean

Berdasarkan analisis presisi, ukuran sampelnditentukan berdasarkan interval konfidensi untuk meanµdan presisiE, yaitu setengah lebar interval konfidensi. interval konfidensi untukµditentukan dengan formulasi

¯

X_±Z_α/2

σ

√

n (13.4)

denganX¯ adalah mean sampel,Z_α/2adalah nilai batasZ normal standar untuk probabi-litas ekorα/2atau kuantil ke-1₋α/2danσadalah deviasi standar. Presisi dalam metode ini sama dengan setengah lebar interval konfidensi, atau

E =Z_α/2

σ

√

n, (13.5)

sehingga diperoleh ukuran sampel

n= Z

2

α/2σ 2

E2 . (13.6)

Dalam metode ini, formulasi untuknditurunkan berdasarkan Kesalahan Tipe I saja (α). Penghitungan ukuran sampel berdasarkan analisis power memerlukan baik Kesalahan Tipe I maupun Kesalahan Tipe II dan biasanya digunakan untuk permasalahan inferensi terkait uji hipotesis.

Misalkan akan dihitung besar sampel untuk uji hipotesis sebagai berikut:

H0 :µ=µ0

H1 :µ > µ0 denganα=0,05 dan statistik uji

Z = X¯ −µ0

(4)

13.3. Ukuran Sampel untuk Uji Mean 4

Apabila nilai parameter di bawahH0dinotasikanµ0, di bawahH1 dinotasikanµ1, maka effect size uji ini adalah selisih antaraµ0 denganµ1. Power suatu uji merupakan fungsi darindan effect size danαsehingga dari situ dapat diturunkan formulasi untuk menghi-tung ukuran sampeln.

power = P(Z > Zα |H0salah)

= P(Z > Zα |H1benar)

= P(Z > Zα |µ=µ1). (13.8) Di bawahH0, bila nilaiZditransformasikan kembali keX¯ berdasarkan statistik uji (13.7) akan diperoleh ¯ X =Zα σ √ n+µ0 (13.9)

yang apabila dimasukkan ke (13.8) diperoleh

power = P( ¯X > Zα

σ

√

n+µ0 |µ=µ1). (13.10)

NilaiX¯ ditransformasikan keZkembali di bawah asumsiH1, menjadi

power = P(Z > Zα σ √ n+µ0−µ1 σ/√n ) = P(Z > Zα+ µ0−µ1 σ/√n ). (13.11)

Karena sifat simetri distribusi Normal yang manaP(Z > z) =P(Z <₋z), sehingga

power = P(Z < µ1−µ0

σ/√n −Zα) (13.12)

yang ekivalen dengan

Zβ = µ1−µ0 σ/√n −Zα (13.13) diselesaikan kendiperoleh n= (Zβ+Zα) 2 σ2 (µ1−µ0)2 (13.14) Untuk uji dua sisi, penghitungan besar sampel sama seperti formula (13.14), denganZα

(5)

13.4. Ukuran Sampel untuk Uji dua Mean 5

Contoh 13.1

Dalam suatu penelitian tentang CVD (Cardiovascular Disease) diketahui mean kadar ko-lesterol dari penelitian sebelumnya adalah 175 mg/dL dengan deviasi standar 50 mg/dL. Berapa ukuran sampel yang diperlukan untuk mendeteksi perbedaan kolesterol sebesar 15mg/dL, dua sisi, denganα= 5%dan Power 90%?

Jawab:

Diketahui power= 1₋β =0,9, atau β =0,1; effect size_|µ1 −µ0|= 15;σ = 50; dan

α=0,05; diperoleh sampel berukuran

n = (Zα/2+Zβ) 2 σ2 (µ1−µ0)2 = (1,96+1,28) 2 502 152 = 116,64_≈117

13.4 Ukuran Sampel untuk Uji dua Mean

Uji dua mean biasanya digunakan untuk membandingkan untuk melihat apakah ada bedaan antar dua mean dari dua kelompok sampel. Apabila mean kelompok sampel per-tama adalah µ1 dan mean sampel kelompok kedua adalah µ2, kuantitas yang menjadi perhatian adalahµ1−µ2 =δ. Diasumsikan variansi yang sama untuk kedua kelompok yaitu σ2

. Ukuran sampel untuk kedua kelompok dinotasikan sebagai n1 dan n2, total sampeln=n1+n2dan rasio alokasi sampelr=n1/n2.

Uji hipotesis untuk perbandingan dua mean ditentukan sebagai berikut

H0 :µ1 =µ2

H1:µ1−µ2 =δ

dengan δ < 0atau δ > 0untuk uji satu sisi, danδ ₆= 0 untuk ujia dua sisi. Formulasi ukuran sampel dapat diturunkan seperti pada bagian 13.3 menggunakan metode power dan dapat diperoleh

n= (r+ 1)

2

(Zα+Zβ)2σ2

δ2_r (13.15)

untuk uji satu sisi. Untuk uji dua sisi, Zα diganti denganZα/2pada formula (13.15) di

atas.

13.5 Ukuran Sampel untuk Uji Proporsi

Untuk keperluan penelitian seperti survei prevalensi, rumusan ukuran sampel proporsi dapat diturunkan menggunakan presisi seperti pada bagian 13.3. Interval konfidensi(1₋

(6)

13.5. Ukuran Sampel untuk Uji Proporsi 6

α)untuk proporsiπdengan pendekatan Normal adalah

P_±Z_α/2

r

π(1₋π)

n (13.16)

denganPadalah estimasi untuk parameter proporsiπ.

Dengan diberikan presisi E, yaitu setengah lebar interval konfidensi di atas, dapat diturunkan formula untuk besar sampel sebagai berikut

n= Zα/2P(1−P)

E2 (13.17)

Contoh 13.2

Dinas kesehatan di suatu daerah ingin melakukan pendugaan terhadap prevalensi tuber-kulosis pada anak-anak di bawah 5 tahun di daerahnya. Berapa anak yang harus dima-sukkan dalam sampel, sehingga angka prevalensi dapat diduga dalam jarak 5% di atas dan di bawah prevalensi yang sesungguhnya dengan tingkat keyakinan 95%, jika diasumsikan Proporsi yang sebenarnya adalah 20%?

Jawab:

Perkiraan besar proporsiP = 20%, denganα=0,05 dan presisiE =0,05. Menggunak-an rumus penghitungMenggunak-annberdasarkan presisi diperoleh:

n = Zα/2P(1−P) E2 = 1,96 2 (0,2)(0,8) 0,052 = 245,85_≈246

Untuk permasalahan uji hipotesis proporsi, ukuran sampel dapat diturunkan menggu-nakan pendekatan power uji. Hipotesis untuk uji proporsi adalah sebagai berikut

H0:π = π0

H1:π = π0+δ

= π1

denganπadalah proporsi parameter yang dianggap benar,π0adalah asumsi nilai proporsi;

δ < 0atau δ > 0untuk uji satu sisi, dan δ ₆= 0 untuk ujia dua sisi. Formulasi ukuran sampel dapat diturunkan seperti pada bagian 13.3 menggunakan metode power dan dapat diperoleh n = 1 δ2 h Zα p π0(1−π0) +Z_β p π1(1−π1) i . (13.18)

(7)

13.6. Ukuran Sampel untuk Uji RR dan OR 7

13.6 Ukuran Sampel untuk Uji RR dan OR

Uji terkait risiko relatif (RR) dan odds ratio (OR) pada prinsipnya adalah uji proporsi (probabilitas) dua populasi, namun dinyatakan sebagai rasio (multiplikatif) bukan sebagai selisih (aditif). Hipotesis untuk risiko relatif adalah sbb.:

H0 : π1 =π2

H1 : π1/π2=λ,

denganπ1 adalah probabilitas pada grup 1, danπ2adalah probabilitas pada grup 2, yang pada pernyataan di atas grup 2 adalah grup referensi (pembanding), yaitu sebagai penye-but (denominator) pada RR. Untuk uji satu sisiλ < 1atauλ > 1, sedangkan untuk uji dua sisiλ₆= 1.

Penghitungan ukuran sampel berdasarkan RR ini hanya tepat untuk rancangan studi cohort, cross-sectional atau intervention. Studi case-control seperti telah dipelajari pada Modul 2 dan Modul 4, dirancang berdasarkan sampling yang berbeda dan penghitungan sampelnya akan lebih tepat jika diturunkan berdasarkan OR.

Menggunakan pendekatan power uji, dengan rasio alokasi sampelr = n1/n2, total sampel yang diperlukan adalah

n= r+ 1 r(λ₋1)2_π2 h Zα p (r+ 1)pc(1−pc) +Zβ p λπ(1₋λπ) +rπ(1₋π)i 2 , (13.19) denganπ =π2adalah proporsi pada grup referensi danp_c adalah proporsi bersama (ga-bungan) dari kedua grup, yang diestimasi sbb.:

pc=

π(rλ+ 1)

r+ 1 . (13.20)

Bilar= 1, yaitu kedua grup mempunyuai ukuran sampel yang sama,

pc=

π(rλ+ 1) 2 =

π1+π2

2 . (13.21)

Untuk uji dua sisi,ZαdigantiZα/2pada rumus (13.19).

Dalam penghitungan sampel (13.19),nbergantung padaπ2, yaitu probabilitas dalam grup referensi. Kuantitas ini dapat diestimasi dari studi sejenis yang pernah dilakukan, pilot study, maupun asumsi.

Dalam desain case-control, uji seperti di atas tidak dapat langsung diturunkan untuk mendapatkan formulasinkarenaπ1 danπ2tidak dapat diestimasi.

π1 = P(D+|E+)

π2 = P(D+|E−)

adalah probabilitas sakit (atau dapat berupa outcome yang lain yang menjadi perhatian), jika diketahui individu mendapatkan eksposE+(untukπ1) atau non-eksposE−(untuk

(8)

13.6. Ukuran Sampel untuk Uji RR dan OR 8

π2). Dalam desain case-control yang dapat diestimasi adalah

φ1 = P(E+|D+) =P(E+|Case)

φ2 = P(E+|D−) =P(E+|Control),

yaitu sebagai variabel dependennya adalah eksposure bukan penyakit, karena proses sam-pling yang diawali dari pemilihan kasus (case) dan kontrol (control) terlebih dahulu. Rasio yang dapat dihitung adalah

λ∗₌_φ

1/φ2. (13.22)

Namun, dengan menggunakan teorema Bayes dapat diperolehφ1 dariπ1 danπ2 se-bagai berikut

φ1=

λP

1 + (λ₋1)P (13.23)

denganP =P(E+)adalah prevalensi dari kelompok ekspos. Nilaiφ2didekati olehP

φ2≈P (13.24)

sehingga dapat diperoleh

λ∗ ₌ _φ 1/φ2 = λP 1 + (λ₋1)P × 1 P = λ 1 + (λ₋1)P (13.25)

Formula untukndesain case-control untuk uji satu sisi diberikan sebagai berikut

n= (r+ 1)(1 + (λ−1)P) 2 rP2₍₁ −P)2₍_λ −1)2 " Zα p (r+ 1)p∗ c(1−p∗c) +Zβ s λP(1₋P) [1 + (λ₋1)P]2 +rP(1−P) #2 , (13.26) dengan p∗ c = P r+ 1 rλ 1 + (λ₋1)P + 1 . (13.27)

(9)

13.7. Latihan 9

13.7 Latihan

13.1. Jelaskan (turunkan secara matematis) formulasinuntuk rumus (13.17) dan (13.18) 13.2. Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara obat diuretics (obat untuk me-lancarkan buang air kecil) dan kasus terjatuh pada manula. Hal ini karena diuretics dipercaya juga akan menurunkan tekanan darah. Dalam studi ini peneliti meren-canakan untuk mengambil sampel pada apotik-apotik dan menanyai para manula apakah mereka pernah terjatuh dalam setahun dalam periode mereka mendapatkan dierutics. Variabel yang menjadi perhatian adalah, apakah mereka minum diuretics dan apakah mereka pernah terjatuh yang agak parah, jawabannya berupa ya/tidak. Kesemuanya ada 2000 subyek.

(a) Diperkirakan 1/3 dari para manula yang tidak minum diuretics akan meng-alami kasus jatuh yang parah dalam setahun. Uji statistik apa yang tepat untuk permasalahan ini, kemudian hitunglah power uji ini, mengasumsikan ukuran sampel yang sama dari tiap kelompok, untuk mendeteksi resiko terja-tuh lebih tinggi 1,2 kalinya pada manula yang minum diuretics (uji dua sisi,

α= 5%)

(b) Permasalahan apa yang mungkin terjadi pada desain penelitian seperti di atas, jika ada?

(c) Alternatif desain studi apa yang dapat dilakukan pada masalah penelitian ini, jika ada?

(10)

Bibliografi

Armitage, P. and Colton, T. (1998). Encyclopedia of Biostatistics, John Wiley and Sons, Inc.

Chow, S. C. (2000). Encyclopedia of Biopharmaceutical Statistics., John Wiley and Sons, Inc.

Hofacker, C, F. (1983). Abuse of statistical packages: the case of the general linear model, Am J Physiol Regul Integr Comp Physiol 245: R299–R302.

Kleinbaum, D. G., Kupper, L. L. and Morgenstern, H. (1982). Epidemiologic Research: Principles and Quantitative Methods., Wadsworth, Inc.

Last, J. (1995). A Dictionary of Epidemiology, 3rd edn., Oxford University Press. Le, C. T. (2003). Introductory Biostatistics, John Wiley and Sons, Inc.