BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Metode Analisis Data
2.1.1. Uji Validitas
Validitas adalah suatu ukuran yang membuktikan bahwa apa yang diamati peneliti sesuai dengan apa yang sesungguhnya ada dalam dunia kenyataan, dan apakah penjelasan yang diberikan memang sesuai dengan yang sebenarnya terjadi. Pengukuran ini juga bertujuan untukmengetahui kebenaran data yang diperoleh dengan instrument, yakni apakah instrument itu sungguh sungguh mengukur variabel yang sesungguhnya (Nasution, 1996 : 105). Uji validitas yang digunakan dalam penelitian ini adalah dengan menggunakan nilai r hasil Corrected Item Total Correlation dengan kriteria adalah sebagai berikut:
1. Jika 𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙, maka data yang dikumpulkan dinyatakan valid. 2. Jika 𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝑟𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙, maka data yang dikumpulkan dinyatakan tidak valid.
2.1.2. Uji Reliabilitas
0,20 < 𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 0,40 : Reliabilitas rendah
0,40 < 𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 0,60 : Reliabilitas sedang / cukup 0,60 < 𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 0,80 : Reliabilitas tinggi
0,80 < 𝑟ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 1,00 : Reliabilitas sangat tinggi
2.2.Model Regresi Linier
Analisis regresi merupakan suatu model yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel dependen (Y) dengan variabel independen (X). Dalam model regresi sederhana hanya terdiri dari satu variabel independen (X) yang digunakan sebagai alat analisis untuk mengetahui hubungan fungsional antara satu peubah respon dengan satu peubah penjelas. Secara matematis hubungan fungsional regresi linier sederhana dituliskan dalam model sebagai berikut:
𝑌 =𝛽0+𝛽1𝛸+𝑒 (2.1)
dengan
Y = nilai variabel dependen
X = nilai variabel independen
𝛽0 = parameter intercept
𝛽1 = koefisien slope
e = galat/residual
Umumnya nilai koefisien regresi (β) tidak diketahui maka untuk mengetahuinya harus dilakukan dengan menaksir parameter. Metode yang digunakan untuk menaksir koefisien regresi tersebut adalah metode kuadrat terkecil (OLS).
Penaksir koefisien regresi untuk persamaan 1 tersebut adalah :
𝛽̂ = ( 𝑋′𝑋 )−1𝑋′ 𝑌 (2.2)
cov (𝛽̂) = ( 𝑋′𝑋 )−1𝜎2 (2.3)
2.3. Model Regresi Multilevel
Model regresi multilevel diperkenalkan oleh Goldstein (1995) yang bertujuan untuk mengatasi masalah pada data yang berstruktur hirarki. Data berstruktur hirarki ini muncul karena adanya individu-individu yang terkumpul/tersarang dalam kelompok-kelompok sosialnya. Dengan adanya indikasi bahwa data yang dianalisis berasal dari beberapa level maka model regresi multilevel merupakan bagian dari model regresi campuran (Linier mixed models) yang menggabungkan efek tetap dan efek acak ke dalam suatu persamaan.
Model regresi multilevel yang sederhana hanya terdiri dari 2-level dimana level-1 merupakan data individu dan level-2 merupakan data kelompok (West et.al., 2007). Secara umum model regresi 2-level pada level-1 terdiri dari variabel independen pada level individu atas n individu dan level-2 terdiri dari variabel dependen pada level kelompok atas j taraf.
Persamaan regresi model level 1 :
𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0𝑗+𝛽1𝑗𝑋𝑖𝑗+𝑒𝑖𝑗 (2.4)
dimana
Y = variabel dependen
i = menyatakan individu dalam taraf level 2 ke j (i = 1,2,3,…,𝑁𝑗) j = menyatakan taraf level 2 ( j = 1,2,…,J)
𝛽0𝑗 = merupakan intersep sekolah ke j
𝛽1𝑗 = merupakan koefisien regresi sekolah ke-j
𝑒𝑖𝑗 = galat/ sisaan
sama dan dilambangkan dengan 𝜎2. Untuk memprediksi keragaman antar taraf dapat diprediksi dengan memasukkan peubah penjelas (Z) ke dalam level-2 (level sekolah) dan menganggap 𝛽0𝑗 dan 𝛽1𝑗 respon dari persamaan berikut :
𝛽0𝑗 = 𝛾00+𝛾01𝑍𝑗+𝑢0𝑗 (2.5)
𝛽1𝑗 = 𝛾10 +𝛾11𝑍𝑗+𝑢1𝑗
β = koefisien regresi bervariasi antar kelompok 𝛾00 = koefisien intersept
𝛾01 = efek prediktor level 1
𝛾10 = efek prediktor level 2
𝛾11 = efek interaksi antar level (cross-level interaction)
u = efek acak atau error pada level-2
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.5 persamaan 2.4 maka persamaan yang akan dihasilkan merupakan persamaan model regresi dua level:
𝑌𝑖𝑗 =𝛾00+𝛾10𝑋𝑖𝑗+𝛾01𝑍𝑗+𝛾11𝑍𝑗𝑋𝑖𝑗+𝑢1𝑗𝑋𝑖𝑗+𝑢0𝑗+𝑒𝑖𝑗 (2.6)
Komponen tetap komponen acak
Persamaan 2.6 diatas adalah persamaan lengkap model multilevel dimana 𝑌𝑖𝑗 merupakan bentuk regresi campuran yang terdiri dari penjumlahan komponen tetap (fixed effect) dengan komponen acak (random effect). Pada persamaan tersebut nilai 𝑋𝑖𝑗,𝑍𝑗 mengindikasikan adanya interaksi antar peubah bebas pada level 1 dan level 2 .
Secara umum nilai peubah respon 𝑌𝑖𝑗 dapat diprediksi oleh 𝑍𝑗 dan dapat menggambarkan hubungan fungsional antara 𝑌𝑖𝑗 dengan 𝑋𝑖𝑗 bergantung pada nilai 𝑍𝑗.
Model level-1 dengan P variabel independen:
𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0𝑗+∑𝑃𝑝=1𝛽𝑝𝑗𝑋𝑝𝑖𝑗 +𝜀𝑖𝑗 (2.7)
Model level-2 dengan Q variabel independen : 𝛽0𝑗 = 𝛾00+∑𝑄𝑞=1𝛾0𝑞𝑍𝑞𝑗+𝑢0𝑗
𝛽𝑝𝑗 = 𝛾𝑝0 +∑𝑄𝑞=1𝛾𝑝𝑞𝑍𝑞𝑗 +𝑢𝑝𝑗 (2.8)
dengan mensubstitusikan persamaan 2.8 ke persamaan 2.7 akan diperoleh model umum regresi 2-level
𝑌𝑖𝑗 =𝛾00+∑𝑃𝑝=1𝛾𝑝0𝛸𝑝𝑖𝑗+∑𝑄𝑞=1𝛾0𝑝𝑍𝑞𝑗+∑𝑃𝑝=1∑𝑄𝑞=1𝛾𝑝𝑞𝛸𝑝𝑖𝑗𝑍𝑞𝑗+∑𝑃𝑝=1𝑢𝑝𝑗𝑋𝑝𝑖𝑗+𝑢0𝑗 +𝑒𝑖𝑗
(2.9) dengan
γ = koefisien regresi
𝑢 = sisaan pada level kelompok
𝑒 = sisaan pada level individu
Secara umum model regresi multilevel dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan menotasikan X sebagai variabel independen pada komponen tetap dan Z sebagai variabel independen pada komponen acak sebagai berikut:
𝑌𝑗 =𝑋𝑗𝛽+𝑍𝑗𝑢𝑗+𝜀𝑗 (2.10)
Dimana:
𝑌𝑗= vektor peubah respon
𝑋𝑗= matriks peubah penjelas untuk parameter tetap
𝑍𝑗= matriks peubah penjelas untuk parameter acak
𝑢𝑗= vektor koefisien regresi efek acak
𝜀𝑗= vektor error/ galat
2.4. Sub Model Regresi Multilevel
2.3.1. Model Intersep (Intercept Only – Model)
Intercept-only model merupakan model yang paling sederhana karena pada model ini
hanya terdiri dari intersep saja tanpa ada peubah penjelas yang dimasukkan dalam setiap level. Intercept-only model pada level terendah (level siswa) persamaannya:
𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0𝑗+𝑒𝑖𝑗 (2.11)
dimana:
𝑌𝑖𝑗 = respon siswa ke-i di sekolah j
𝛽0𝑗= intersep sekolah ke-j
𝑒𝑖𝑗 = sisaan
Pada level tertinggi (level sekolah) persamaannya:
𝛽0𝑗 =𝛾00 +𝑢0𝑗 (2.12)
dimana:
𝛽0𝑗= nilai dugaan untuk rata – rata sekolah
𝛾00= rataan umum
dengan mensubstitusikan persamaan 2.12 kedalam persamaan 2.11 maka dihasilkan persamaan tunggalnya:
𝑌𝑖𝑗 =𝛾00+𝑢0𝑗+𝑒𝑖𝑗 (2.13)
Dari persamaan intercep-only diatas korelasi intraklas (ICC) dapat diformulasikan sebagai berikut:
𝜌 = 𝜎𝑢02
𝜎𝑢02 +𝜎𝑒2 0 ≤ ρ ≤ 1 (2.14)
𝜎𝑢02 merupakan keragaman pada level tertinggi dan 𝜎𝑒2 merupakan keragaman pada level
terendah. Korelasi intraklas (ρ) mengindikasikan proporsi keragaman antara siswa yang terpilih acak sebagai contoh dalam populasi/ sekolah yang sama (Hox, 2002).
2.3.2. Model Intersep Acak
Model intersep acak yaitu model yang hanya koefisien intersep saja yang bersifat acak. Model pada level terendah :
𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0𝑗+𝛽1𝑋𝑖𝑗 +𝜀𝑖𝑗 (2.15)
Jika pada level terendah terdapat sebanyak P variabel independen maka persamaannya menjadi :
𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0𝑗+∑𝑃𝑝=1𝛽𝑝𝑗𝑋𝑝𝑖𝑗 +𝜀𝑖𝑗 (2.16)
Dengan :
𝑌𝑖𝑗 = variabel dependen untuk unit ke-i pada level 1 dalam unit ke-j pada level 2
𝛽𝑝𝑗 = fixed effects untuk variabel bebas ke-p
𝑋𝑝𝑖𝑗 = variabel independen ke-p di level 1 untuk unit ke-i pada level 1 dalam unit ke-j pada
level 2
𝜀𝑖𝑗 = error untuk unit ke-i pada level 1 dalam unit ke-j pada level 2
Model pada level tertinggi :
𝛽0𝑗 = 𝛾00+ 𝑢0𝑗 (2.17)
Model 2.17 disubstitusikan kedalam model 2.15 maka model lengkap intersep acak yang terbentuk adalah :
𝑌𝑖𝑗 =𝛾00 + 𝛽1𝑋1𝑗+𝑢0𝑗 +𝑒𝑖𝑗 (2.18)
2.3.3. Model Koefisien Acak
Model koefisien acak yaitu model yang dibentuk dengan menambahkan variabel bebas pada level 2 kedalam persamaan level 1.
Model level 2:
𝛽0𝑗 =𝛾00+𝛾10𝑍𝑗+𝑢0𝑗
𝛽1𝑗 =𝛾00+𝛾11𝑍𝑗+𝑢1𝑗
𝛽2𝑗 = 𝛾00 +𝛾12𝑍𝑗+𝑢2𝑗 (2.19)
2.4.Metode Pendugaan Parameter
Parameter yang biasa digunakan pada regresi multilevel yaitu metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square/ OLS) dan metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood/
ML). Namun metode OLS kurang tepat digunakan karena adanya kemiripan karakteristik unit-unit pada level-1 dalam unit level-2 yang menyebabkan data tersebut tidak bersifat independen. Longford (1989) mengusulkan untuk menggunakan metode Kuadrat Terkecil Umum (Generalised Least Square). Metode penduga GLS ini disebut Iterative Generalised Least Square/ IGLS. Penduga parameternya adalah:
𝛽̂ = (𝑋′𝑉−1𝑋)−1𝑋′𝑉−1𝑌 (2.20)
dimana V merupakan matriks block diagonal dari parameter acak.
2.5.Pengujian Hipotesis dan Pembandingan Model
Hipotesis pada regresi multilevel dapat dibentuk menjadi model reference (model penuh) dan model nested (model tersarang). Model penuh merupakan model yang mencakup kedua hipotesis (H0 dan H1) yang terdiri dari semua parameter yang diuji sedangkan model
tersarang merupakan model yang hanya mencakup H0. Regresi multilevel menggunakan
metode kemungkinan maksimum menghasilkan penduga dan galat baku penduga parameter yang dapat digunakan sebagai penguji keberartian parameter pada model regresi multilevel. Hipotesis yang diuji :
Level 1
𝐻0:𝛽𝑘𝑗 = 0 vs 𝐻1: 𝛽𝑘𝑗 ≠ 0
dengan k = 1, 2, …, q
(q = jumlah parameter tetap pada level 1)
Level 2
(r = jumlah parameter tetap pada level 2)
Pengujian hipotesis tersebut dilakukan dengan menggunakan uji statistik Wald dengan persamaan sebagai berikut:
𝑡= 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑔𝑎 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑏𝑎𝑘𝑢𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑔𝑎
dimana t mengikiti sebaran t student dengan derajat kebebasan untuk penduga parameter level-1 adalah n-q-1 dan untuk penduga parameter level 2 adalah j-r-1.
Untuk membandingkan dua model yang telah dibentuk dapat dilakukan dengan menggunakan nilai deviance (D).
𝐷 = −2 log�𝜆0
𝜆1� (2.21)
dimana 𝜆0 adalah fungsi kemungkinan dibawah hipotesis nol pada saat mencapai konvergen dan 𝜆1 adalah fungsi kemungkinan dibawah hipotesis alternatif pada saat mencapai konvergen. (Tantular; 2009). Semakin kecil nilai Deviance pada model tersebut maka model tersebut dikatakan semakin cocok.
Prosedur pembandingan model dengan menggunakan nilai deviance sebagai berikut:
1. Misalkan ada dua model, M1 dan M2
2. Asumsikan M1 adalah model yang diturunkan dari M2 dengan menghilangkan satu parameter (M1 tersarang dalam M2)
3. Asumsikan M1 adalah model yang sama sekali berbeda dengan M2 (M1 tidak tersarang dalam M2)
4. Menghitung nilai perbedaan deviance nya dengan persamaan: diff = D1 – D2
diff mengikuti sebaran khi-kuadrat dengan derajat kebebasan k = p2 – p1 (p1 adalah
banyaknya parameter pada M1 dan p2 banyak parameter pada M2). Apabila hasil diff yang
Selain menggunakan nilai deviance untuk menentukan kecocokan model juga dapat dilakukan dengan membandingkan nilai fungsi likelihood antara dua model. Pengukuran tersebut dilakukan dengan menggunakan selisih dari nilai -2 log likelihood yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasannya adalah selisih dari banyaknya parameter yang ditaksir kedua model. (Kurnia, 2011)
2.6.Keragaman yang Dapat Dijelaskan
Keragaman respon yang dapat dijelaskan oleh peubah penjelas dalam model disebut koefisien determinasi. Pada model regresi multilevel terdapat lebih dari satu nilai koefisien determinasi karena koefisen determinasi didefenisikan disetiap level. Koefisien determinasi pertama pada level-1 bertujuan untuk menilai rasio ragam galat terhadap ragam total dirumuskan sebagai berikut:
𝑅12 = 1− 𝜎�𝑒𝑝2
𝜎�𝑒02 (2.22)
𝜎�𝑒2𝑝= penduga ragam galat level-1 dengan p peubah penjelas
𝜎�𝑒20= penduga ragam galat level-1 tanpa peubah penjelas
Koefisien determinasi pada level-2 dirumuskan sebagai berikut:
𝑅22 = 1− 𝜎�𝑢0𝑝2
𝜎�𝑢02 (2.23)
𝜎�𝑢20𝑝= penduga ragam galat level-2 dengan p peubah penjelas
