Linear Programming Kendala Sama Dengan a

(1)

KENDALA BERBENTUK

SAMA DENGAN (=) ,

LEBIH BESAR SAMA DENGAN (≥) &

MASALAH KHUSUS

DALAM METODE SIMPLEKS

(2)

Sama Dengan (=)

2x

₁

+ 4x

₂

=

20 Ditambah

Variabel Basis Semu (Q)

:

2x

₁

+ 4x

₂

+ Q

=

20

Lebih Besar Sama Dengan (≥)

2x1 + 3x2 ≥ 30

Dikurangi Surplus Variable / - S :

2x1 + 3x2 - S = 30

Ditambah Variabel Basis Semu (Q) :

2x1 + 3x2 - S + Q = 30

Kurang Dari Sama Dengan (≤)

3x

₁

+ 2x

₂

≤ 150

Ditambah

Slack Variable

/

+ S

(3)

Q

sebagai

variabel semu

harus dikurangi hingga menjadi nol



Metode M Besar



Metode Dua Fase ( Dua Tahapan )

≤

+ S

≥

- S

+ Q

(4)

Metode M Besar



Koefisien fungsi tujuan

variabel semu

(

Q

)

diberi nilai

M



Z mak =

- M

(

- M

Q

)

(5)

Maksimum Z = 50x

1

+ 80x

2

d.k

[1]

x

1

≤

40 [2]

x

₂

≥

20 [3]

x

₁

+

x

₂

=

50 [4]

x

₁

,

x

₂

≥

0 [1]

x

₁

+

S

₁

+ 0S

₂

+ 0Q

₁

+ 0Q

₂

=

40 [2]

x

₂

+ 0S

₁

-

S

₂

+

Q

₁

+ 0Q

₂

=

20 [3]

x

₁

+

x

₂

+ 0S

₁

+ 0S

₂

+ 0Q

₁

+

Q

₂

=

50 [4]

x

₁

,

x

₂

,

S

₁

,

S

₂

,

Q

₁

,

Q

₂

≥

0

(6)

[1]

1x

₁

+

0x

₂

+

1S

₁

+ 0S

₂

+ 0Q

₁

+ 0Q

₂

=

40

(7)

CB Variabel_Basis

Tabel Awal Simpleks Metode M Besar

50 1 1 0 0 0 1

20 0 1 0 -1 1 0

-30 1 0 0 1 -1 1

( 1 )

______________________________________________

Angka lama baris Q2

(8)

(9)

(10)

Metode Dua Fase

Fase 1

: Mengnolkan variable semu dengan cara membuat

fungsi tujuan semu.

Koefisien fungsi tujuan variable semu ( Q ) :

Z mak :

-1 -

Q

1

,

-

Q

2

Z min :

+1 +

Q

1

,

+

Q

2

(11)

Fase 1 :

Maksimum Z =

–

Q

1

–

Q

2

(

-1

Q

1

-1

Q

2

)

(Fungsi Tujuan Semu )

Tabel Awal Fase Pertama

CB Variabel_Basis

c

_j

₀

_-1

Indeks

b

_i

x

₁

x

₂

S

₁

S

₂

Q

₁

Q

₂

0 S₁ 40 1 0 1 0 0 0 40/0 = ~

-1 Q₁ 20 0 1 0 -1 1 0 20/1=20

-1 Q₂ 50 1 1 0 0 0 1 50/1=50

(12)

Tabel Iterasi 1 Fase

Pertama

CB Variabel_Basis

c

_j

₀

_-1

Indeks

b

_i

x

₁

x

₂

S

₁

S

₂

Q

₁

Q

₂

0 S₁ 40 1 0 1 0 0 0 40/0 = ~

0 x₁ 20 0 1 0 -1 1 0 20/-1=-20

-1 Q₂ 30 1 0 0 1 -1 1 30/1=30

(13)

Tabel Iterasi 2 Fase Pertama

(14)

Fase 2 :

Maksimum Z = 50x

1

+ 80x

2

Tabel Awal Fase Kedua ( optimum )

CB Variabel_Basis

c

_j

50

80

0

Indeks

b

_i

x

₁

x

₂

S

₁

S

₂

0 S₁ 40 1 0 1 0

80 x₁ 50 1 1 0 1

0 S₂ 30 1 0 0 1

(15)

Masalah Khusus Dalam Metode

Simpleks

[1] Multiple Optimum Solution

[2] No Feasible Solution

(16)

Multiple Optimum Solution

(17)

(18)

Unbounded Solution

( apabila variabel basis yang harus dikeluarkan tidak dapat ditentukan karena tidak ada koefisien variabel dengan nilai positif )

Tabel Awal Simpleks

CB Variabel_Basis

c

_j

₆

₉

₀

Indeks

b

_i

x

₁

x

₂

S

₁

S

₂

0 S₁ 60 3 - 3 1 0

0 S₂ 120 - 9 3 0 1 120/3=40

(19)

Tabel Iterasi 1 ( Unbounded

Solution )

CB Variabel_Basis

c

_j

₆

₉

₀

Indeks

b

_i

x

₁

x

₂

S

₁

S

₂

0 S₁ 180 - 6 0 1 0

0 x₂ 40 - 3 1 0

⅓

(20)

No Feasible Solution

(Nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi masih ada variabel semu yang berada dalam basis dengan nilai positif)

(21)

Tabel Awal Simpleks (No Feasible

Solution)

CB Variabel Basis

c

_j

2

5

0

0 -M

Indeks

b

_i

x

₁

x

₂

S

₁

S

₂

Q

₁

0 S₁ 10 1 1

1

0

0 10/1 = 10

- M Q₁ 48 2 3

0

-

1

1 48/3 = 16

Zj – Cj - 48M - 2M - 3M 0 M 0

(22)

CB Variabel_Basis

Tabel Iterasi 1 (No Feasible Solution)

Semua nilai pada baris Zj – Cj ≥ 0 , tetapi Q1 ( Variable semu ) masih berada dalam basis dengan nilai positif 18 sehingga tidak ada penyelesaian yang optimum.

(23)

Degeneracy

(

apabila terdapat variabel keputusan dalam basis yang bernilai nol)

Maksimum Z = 4x

1

+ 1x

2

+ 3x

3

+ 0S

1

+ 0S

2

+ 0S

3

d.k

[1]

2x

₁

-

2x

₂

+

S

₁

+ 0S

₂

+ 0S

₃

=

60

(24)

Tabel awal simpleks (Degeneracy)

CB Variabel_Basis

c

_j

₄

₁

₃

₀

Indeks

B

_i

x

₁

x

₂

x

₃

S

₁

S

₂

S

₃

0 S₁ 60 2 - 2 0 1 0 0 60/2 = 30

0 S₂ 120 4 0 2 0 1 0 120/4 = 30

0 S₃ 90 2 2 2 0 0 1 90/2 = 45

(25)

Tabel iterasi 1 (Degeneracy)

CB Variabel_Basis

c

_j

₄

₁

₃

₀

Indeks

B

_i

x

₁

x

₂

x

₃

S

₁

S

₂

S

₃

4 x₁ 30 1 - 1 0

½

0 0 30/-1 = -30

0 S₂ 0 0 4 2 - 2 1 0 0/4 = 0

0 S₃ 30 0 4 2 - 1 0 0 30/4 = 7,5

(26)

Tabel iterasi 2 (Degeneracy)

CB Variabel_Basis

c

_j

₄

₁

₃

₀

Indeks

B

_i

x

₁

x

₂

x

₃

S

₁

S

₂

S

₃

4 x₁ 30 1 0 ½ 0 ¼ 0 30/0,5 = 60

1 x₂ 0 0 1 ½ - ½ ¼ 0 0/0,5 = 0

0 S₃ 30 0 0 0 1 - 1 1 30/0 = ~

Zj - Cj 120 0 0 - ½ - ½ 1,25 0

( Variabel keputusan

x

2

bernilai

nol

sehingga

(27)

Tabel iterasi 3 (Degeneracy)

CB Variabel_Basis

c

_j

₄

₁

₃

₀

Indeks

B

_i

x

₁

x

₂

x

₃

S

₁

S

₂

S

₃

4 x₁ 30 1 - 1 0 0,5 0 0 30/0,5 = 60

3 x₃ 0 0 2 1 - 1 0,5 0

0 S₃ 30 0 0 0 1 - 1 1 30/1 = 30

Zj - Cj 120 0 1 0 - 1 1,5 0

( Variabel keputusan

x

3

bernilai

nol

sehingga

(28)

Tabel iterasi 4 (Degeneracy)

Contoh di atas memberi gambaran bahwa ada kemungkinan

sebuah tabel tidak mengubah nilai Z, meskipun kasus

(29)

Variabel Keputusan Bertanda

Dalam asumsi formulasi LP maupun bentuk standar semua variabel keputusan harus nonnegatif .

Tetapi dalam beberapa kasus dapat terjadi atau memang dikehendaki adanya variabel keputusan bertanda negatif.

(30)

(31)

Variabel Keputusan Tak Terhingga

Menambahkan dua variabel nonnegatif yang berbeda sebagai pengganti apabila terdapat variabel keputusan bertanda tak terhingga .