Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2006 Nomor Soal: 21-30

(1)

1 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 3

Januari Pekan Ke-3, 2006

Nomor Soal: 21-30

21. Melalui (0, 0) buatlah garis-garis yang memotong lingkaran x2 y2 4x0

pada dua titik. Carilah tempat kedudukan pertengahan ke dua titik. Solusi:

Persamaan garis melalui (0, 0) adalah ymx.

Titik potong dengan lingkaran adalah:

0 4

2 2

2_ _ _

x x m x



xm2x4



0 x

0

1

x atau 2 ₂

1 4

m x

  

Titik tengah



1 2



2 1

x x x_T  



  

 

 

 ₂

1 4 0 2 1

m xT

₂ 1

2 m x_T

  

Karena titik tengah terletak pada garisymx, beratri

T T

x y m .

Tempat kedudukan yang diminta adalah

T T

x y

m  ₂

1 2

m x_T

  

₂

1 2

        

T T T

x y x

2

  

T T T

x y x

x_T2y_T2 2x_T

xT2yT22xT 0

Dengan menghilangkan indeksnya, maka diperoleh persamaan

0 2

2 2__y _ _x_

x yang merupakan tempat kedudukan pertengahan ke dua titik.

 



xT,yT



Y

X y = mx

(2)

22. Tentukan tempat kedudukan semua titik P(x, y) yang jaraknya sama terhadap titik-titik A(3, 2) dan B(1, 4).

Solusi: BP AP 



 

2



2



 

2



2

4 1

2

3      

 y x y

x



 

2

 

2

 

2



2

4 1

2

3      

 y x y

x

16 8 1

2 4

4 9

6 2 2 2

2_ _x_ __y _ _y_ __x _ _x_ _ _y _ _y_

x

0 4 4

8   

 x y

0 1 2xy 

Jadi, tempat kedudukan yang diminta adalah 2xy10.

23. Tentukan tempat kedudukan titik P(x, y) yang jaraknya dari titik A(4, 0) sama dengan jaraknya ke sumbu Y.

Solusi: BP AP



 

2



2



 

2



2

0 0

4 y x y y

x      



x4



2y2 x20

2 2 2

16

8x y x

x    

16 8

2 _ _x_

y

tempat kedudukannya adalah y2 8x16 (parabola).

24. Tentukanlah pusat lingkaran luar segitiga yang persamaan sisi-sisinya adalah

0 30 3

4x y  , xy10, dan 4x25y860. Solusi:

10

 y

x _ y10x

x

y10  4x25y860

4x25



10x



860 4x25025x860 21x336

x16 16



x  y10x 10166

Koodinat titik potong garis

x



y



10

dan

0

86

25

4 x



y





adalah A



16,6



.

0

86

25

4 x



y







4 x





25 y



86

25

4 x





y





4 x



3 y



30 

0

Y

X A(4, 0) P(x, y)

B(0, y)

O

A

C

B

0 30 3

4x y 

10

 y x

0 86 25

4x y 

(3)

Koordinat titik tengah garis BC adalah 



Koordinat titik tengah garis AB adalah 



sumbunya

m

_s yang melalui titik D tegak lurus pada garis BC, maka diperoleh

hubungan:

(4)

sumbunya

m

_s yang melalui titik D tegak lurus pada garis AB, maka diperoleh

hubungan:

Persamaan garis sumbu pada sisi AB adalah



Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:



O yang menunjukkan pusat lingkaran luar segitiga itu.

25. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(4, 2); B(1, 3); dan C(3, 5) adalah ....

Solusi:

Misalnya persamaan lingkaran adalah x2y22ax2byc0, maka

(5)

26. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik potong kedua lingkaran

(6)

2

4 5 0

x  x 



x1



x5



0 x1ataux 5 y6atauy 2

Titik-titik potongnya adalah

 

1, 6 dan



 5, 2



Misalnya persamaan lingkaran adalah x2y22ax2byc0, maka

dengan mensubstitusikan ke titik itu, kita memperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

0 0 0 0    c 0 0

c

Persamaan lingkarannya menjadi x2y22ax2by0,

1 36 2 12 0

25 4 10 4 0

a b

   



     

2 12 37....(1)

10 4 29....(2)

a b

  



 _ _



Persamaan (1) – 3  Persamaan (2) menghasilkan

28a 124

  

124 28 a

124 28

a  2 124 12 37

28 b

 _{   }

 

 

12 37 248 1284

28 28

b    

Jadi, persamaan lingkaran yang diminta adalah 2 2 2 124 2 107 0

28 28

x y   x  y

atau 14x214y2124x107y0

27. Garis 3x4y25menyinggung lingkaran x2y2 25 di titik ( , )a b . Nilai dari ....

a b  Solusi:

3x4y25

3 25

4 x y 

3 25 4 x

y    x2y2 25

2

2 3 25

25 4

x

x _  _ 

(7)

2

2 9 150 625

25 16

x x

x    

16x29x2150x625 16 25  25x2150x625 16 25  x26x25 16

x26x 9 0





2

3 0

x  x3

3 3 25

3 4

4 x  y    

Sehingga titik singgung

   

a b,  3, 4 , berarti a3danb4. Jadi, a   b 3 4 7.

28. Jumlah kuadrat dua bilangan adalah 221. Jika setiap bilangan bertambah 1 sehingga jumlah kuadratnya adalah 265. Tentukan bilangan-bilangan tersebut. Solusi:

Misalnya bilangan-bilangan tersebut adalah x dan y.

2 2

221

x y  .... (1)



 

2



2

1 1 265

x  y  .... (2)

2 ₂ ₁ 2 ₂ ₁ ₂₆₅

x  x y  y 

2 2

2 2 263

x y  x y 221 2 x2y263 2x2y42

21

y x.... (3)

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh





2

2 ₂₁ ₂₂₁

x  x 

2 2

441 42 221

x   xx 

2

2x 42x2200

2

21 110 0

x  x 



x10



x11



0

10 11

x  x

11 10

y  y

Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 10 dan 11.

29. Panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku adalah 82 cm dan luasnya 720 cm2. Tentukan kaki-kaki segitiga tersebut.

(8)

8 | Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2006 1

720 2xy

1440 xy

2 2 2

82

x y 



_x__y



2_₂_xy_₈₂2





2

2 1440 6724

xy   





2

9604

xy 

98 x y

98 y x

98 1440

y  x xy x



98x



1440

x298x14400



x80



x18



0

x80ataux18 y18atauy80

Jadi, panjang kaki-kaki segitiga siku-siku tersebut adalah 80 cm dan 18 cm. 30. Keliling segitiga siku-siku adalah 72 cm dan luasnya 216 cm2. Tentukan

sisi-sisi segitiga tersebut. Solusi:

Keliling = 72 72 x  y z

72 x y z

2 2 ₂ _{5184 144} 2

x y  xy  zz .... (1)

Luas = 216 1

216 2xy

432 xy .... (2)

2 2 2

x y z .... (3)

Dari (1), (2), dan (3) diperoleh

2 2

2 432 5184 144

z     zz 144z4320

30 z

30 72 30 42

z   x y   42

y x.... (4) Dari (2) dan (4) diperoleh



42



432

x x 

82

x

y

z

x

(9)

2

42 432 0

x  x 



x18



x24



0

18atau 24

x x

24atau 18

y y