Dasar Analisis Algoritma Rekursif

Design

and

Analysis

Algorithm

Contents

Contents

Format Fungsi Rekursif

2

Fungsi Rekursif

3 1

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

Apa itu fungsi rekursif?



Fungsi yang memanggil dirinya sendiri



Sebuah fungsi f juga merupakan fungsi rekursif jika memanggil fungsi lain g dan di dalam g

Apa itu fungsi rekursif?

Permasalahan yang dapat diselesaikan oleh fungsi rekursif memiliki sifat

Memiliki kasus sederhana yang dapat langsung diselesaikan (base case). Contoh 0! = 1.

Kasus yang kompleks dapat diuraikan menjadi kasus yang identik dengan ukuran yang lebih kecil

(recursive cases). Contoh: n! = n * (n-1)!

Dengan menerapkan karakteristik 2 berulang-ulang,

recursive cases akan mendekati dan sampai pada

Format Fungsi Rekursif

if this base case

solve it else

Format Fungsi Rekursif



Cabang if berisi base case, sedangkan bagian

elsenya berisi recursive case



Agar rekursi dapat berhenti input recursive

Latihan



Buatlah fungsi rekursif untuk menghitung nilai Xn



Pohon rekursifnya?

Algorithm pangkat(X, n)

//algoritma untuk menghitung nilai Xn _{secara rekursif}

//input : integer positif X dan n //output : nilai Xn

if n = 1

return X

Latihan



Buatlah fungsi rekursif untuk menghitung bilangan fibonacci ke n



Pohon rekursifnya?

Algorithm fib(n)

//algoritma untuk menghitung bilangan fibonacci ke n //secara rekursif

//input : n

//output : bilangan fibonacci ke n

if n = 0 or n = 1

return n

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif



Analisalah efisiensi waktu algoritma rekursif

Algorithm pangkat(X, n)

//algoritma untuk menghitung nilai Xn _{secara rekursif}

//input : integer positif X dan n //output : nilai Xn

if n = 1

return X

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

Langkah-langkah umum untuk menganalisa efisiensi waktu algoritma rekursif

1.Tentukan metrik untuk ukuran input

2.Identifikasi basic operation algoritma

3.Tentukan apakah untuk ukuran input yang sama banyaknya eksekusi basic operation bisa berbeda

4.Tentukan persamaan rekursi yang menunjukkan berapa kali basic operation dieksekusi

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

1 : Metrik untuk ukuran input



Sesuatu pada input yang jika membesar, maka banyaknya pemanggilan fungsi rekursif

bertambah



Pada kasus ini adalah nilai n. Jika n membesar, maka banyaknya komputasi atau pemanggilan fungsi rekursi bertambah

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

2 : Basic operation



Pada algoritma rekursif merupakan salah satu operasi pada kondisi seleksi base case atau bagian recursive case



Basic operationnya dipilih = yang dilakukan 1 kali setiap kali fungsi rekursif dipanggil

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

3 : Case



Apakah ada best case, average case dan worst case?



Untuk input n tertentu misal 5, recursion treenya selalu sama. Banyaknya komputasi /

pemanggilan fungsi rekursi tetap.

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

4 : Persamaan rekursif banyaknya eksekusi basic operation

 Jika algoritma pangkat dieksekusi dengan input (X, n) maka basic operation dieksekusi satu kali. Namun

pada saat eksekusi, algoritma tersebut juga

memanggil dirinya sendiri dengan input (A, B-1).

 Hal ini menyebabkan secara internal basic operation dieksekusi lagi.

 Berapa kali banyaknya basic operation dieksekusi untuk input n?

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

4 : Persamaan rekursif banyaknya eksekusi basic operation



Jika C(n) menyatakan banyaknya basic

operation dieksekusi untuk input berukuran n dan C(n - 1) menyatakan banyaknya basic operation dieksekusi untuk input berukuran n-1,

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

5 : Rumus langsung yang menunjukkan banyaknya basic operation dieksekusi

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

5 : Rumus langsung yang menunjukkan banyaknya basic operation dieksekusi

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

5 : Rumus langsung yang menunjukkan banyaknya basic operation dieksekusi



Nilai initial condition C(1) disubtitusikan ke C(n -i) pada bentuk umum C(n).

Analisa Efisiensi Algoritma Rekursif

5 : Rumus langsung yang menunjukkan banyaknya basic operation dieksekusi

Subtitusi tersebut mensyaratkan C(n - i) = C(1) atau n – i = 1

i = n – 1

nilai i = n – 1 disubtitusikan ke bentuk umum C(n) = i + 1 sehingga

Analisa Waktu Algoritma

Pada algoritma Xn



Untuk bentuk rekursif, digunakan teknik perhitungan dengan relasi rekurens

 Untuk kasus basis, tidak ada operasi perkalian  (0)

Analisa Waktu Algoritma

Relasi rekurens

 T(n)=0 untuk n=1

 T(n)=(n-1)+1 untuk n>1



Analisa waktu:

Latihan 2



Buatlah fungsi rekursif untuk menghitung nilai faktorial bilangan n



Buat pohon rekursif untuk faktorial(5)

Soal 1



Buatlah fungsi rekursif untuk menghitung permasalahan Menara Hanoi



Bagaimana memindahkan piringan di A ke

sebuah tiang B; setiap kali hanya satu piringan yang boleh dipindahkan, tetapi tidak boleh ada piringan besar di atas piringan kecil. Ada tiang perantara C



Analisis efisiensi algoritma ?

Algorithm Hanoi(n, A, B, C)

if n = 1

pindahkan piringan A ke B else

Hanoi(n-1,A,C,B)

pindahkan piringan A ke B Hanoi(n-1,C,B,A)



Relasi rekurens :

 T(n) = 1 untuk n=1

 T(n) = 2T(n-1) + 1 untuk n>1



Analisis waktu:

Bukti Pernyataan Pendeta



T(n) = 2n_-1



Jumlah seluruh perpindahan piringan. Jika

perpindahan 1 piringan membutuhkan waktu 1 detik, maka waktu yang dibutuhkan untuk

memindahkan 64 piringan : 264 _{-1 detik}

= 10.446.744.073.709.551.615

Soal 2

 Algoritma Fibonacci adalah algoritma rekursif yang bertujuan untuk menampilkan angka fibonacci.

𝐹 𝑛 = 0,1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 0𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 1

𝐹 𝑛 − 1 + 𝐹 𝑛 − 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 > 1

Pertanyaan :

a. Gambarkan pohon rekursifnya untuk fib(5) !

b. Analisis dan hitung kompleksitas dari

C(n) = C(n-1) + C(n-2) + 1 !

(diasumsikan C(1)=1 dan C(0)=1).

Soal 2



Desainlah algoritma untuk menghitung 2n _untuk

semua n integer positif berdasarkan konsep 2n = 2n−1 + 2n−1.



Buatlah persamaan rekursifnya lalu hitung estimasi waktunya, basic operationya adalah penambahan.



Gambarkan gambar pohon rekursifnya dan

hitung jumlah pemanggilan yang dilakukan n=4

Soal 3



Apa tujuan dari Algoritma ini?

Soal 4

 Perhatikan algoritma rekursif untuk menghitung S(n) = 13 _{+ 2}3 _{+ . . . + n}3_.

 Buatlah persamaannya lalu hitung estimasi waktu ekseskusi basic operationya(multiplication)

Soal 5



Buatlah persamaannya lalu hitung estimasi waktu ekseskusi basic operationya