Pengantar Analisa Algoritma

Pengantar

Analisa Algoritma

Pendahuluan

 Suatu permasalahan memungkinkan untuk

diselesaikan dengan lebih dari satu algoritma (pendekatan)

 Bagaimana kita ‘memilih’ satu diantara beberapa

algoritma tersebut. Bagaimana kita mengukur ‘efisiensi’ dari algoritma tersebut ?

Mengukur Efisiensi :

 Perbandingan Empiris: Run Program  Analisis Algoritma (Asimptotis)

Kesulitan Perbandingan Empiris :

 Diperlukan usaha pemrograman dan pengujian

yang lebih banyak

 ‘Penulisan’ program yang berbeda memungkinkan

menghasilkan kualitas program yang berbeda

 Pemilihan kasus-kasus uji empiris mungkin tidak

Sumberdaya kritis suatu program

 running-time (waktu eksekusi program), sehingga

kita harus menganalisa waktu yang diperlukan untuk me-run program (algoritma).

 ruang (memory, space- memori utama dan memori

tambahan) yang diperlukan untuk me-run program. Ruang yang diperlukan ini sangat

Faktor yang mempengaruhi running-time

 ‘Lingkungan’ dimana program itu dijalankan, yang

antara lain meliputi kecepatan CPU, bus dan perangkat keras pendukung yang lain.

 Persaingan dengan user lain pada jaringan juga bisa

memperlambat waktu eksekusi.

 Bahasa pemrograman dan kualitas ‘kode’ yang

dihasilkan oleh kompiler juga dapat memberikan pengaruh yang signifikan.

 Kemampuan pemrogram yang menerjemahkan

Analisis Algoritma

 Analisis algoritma asimptotis (asymptotic algorithm

analysis) mengukur efisiensi suatu algoritma

berdasar-kan ‘ukuran’ input (yang biasanya besar), karena running-time suatu algoritma sebagian besar tergantung pada ukuran input.

Analisa Algoritma (lanjutan)

 Pertimbangan utama ketika mengestimasi

performansi suatu algoritma adalah jumlah ‘operasi dasar’ (basic operation) yang diperlukan untuk oleh algoritma untuk memproses suatu input dengan

ukuran (size)

 Running time dinyatakan dalam T(n) untuk fungsi T

Contoh:

 Diberikan suatu algoritma untuk menemukan nilai terbesar

dalam suatu array yg berisi n integer positip

 Misalkan c jumlah waktu yang diperlukan untuk menguji suatu nilai dalam

fungsi ini, termasuk didalamnya waktu yang diperlukan untuk increment nilai i dll, maka

T(n) = cn

static int largest(int[ ] A, int n) { // Dapatkan nilai terbesar

int currlarge = 0; // inisialisasi nilai terbesar saat ini for (int i=0; i<n; i++) // untuk setiap elemen array

if (A[i] > currlarge) // nilai terbesar saat ini berubah currlarge=A[i];

return currlarge; // return nilai terbesar }

Contoh 2

 Misal cuplikan kode program sebagai berikut

 Maka, T(n) = c2 n2

sum = 0;

for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++)

Best, Worst dan Average Cases

 Untuk beberapa algoritma, input yang berbeda

dapat memerlukan jumlah waktu yang berbeda.

 Sebagai ilustrasi, misalkan kita ingin mencari suatu

elemen array (posisi) yang memuat nilai K dan algoritma akan berhenti jika nilai K ditemukan. Dengan pencarian secara sekuensial

Best case: 1 Worst case: n

Best, Worst dan Average Cases

 Best case

Umumnya kita tidak digunakan karena jarang terjadi dan

terlalu optimistik untuk karakteristik umum dari running-time suatu algoritma.

 Worst case

Bisa diketahui secara pasti bahwa paling buruk algoritma akan memerlukan proses sebanyak kasus terburuk ini.

Analisa ini juga sangat penting digunakan untuk aplikasi real-time (waktu-nyata)

 Average case

Menyatakan ‘perilaku umum’ suatu algoritma bila diberikan input dengan ukuran n

Komputer Lebih Cepat vs Algoritma Lebih Cepat

 Apa yang terjadi jika kita membeli komputer baru

yang mempunyai kecepatan 10 kali lebih cepat (misal dapat memproses 100.000 input dalam satu satuan waktu) dibandingkan komputer lama (misal dapat memproses 10.000 input)?

 Pada kasus tertentu, penambahan kecepatan

komputer kurang berpengaruh pada jumlah input yang diproses. Mengapa?

Komputer Lebih Cepat vs Algoritma Lebih Cepat

10n 10n n' = T(n) n n' Perubahan n'/n 10n 1.000 10.000 n' = 10n 10 20n 500 5.000 n' = 10n 10 5n log n 250 1.842 < n' < 10n 7,37 2n2 _{70 223 3,16} 2n _{13 16 n' = n + 3}

--n: ukuran input yang dapat diproses dalam satu detik pada komputer 1 n’: ukuran input yang dapat diproses dalam satu detik pada komputer 2

Analisis Asimptotis: Batas Atas (Big-Oh)

 Definisi :

T(n) adalah anggota dari himpunan Ο(f(n)) jika ada dua konstanta positip c dan n0 sedemikian hingga

| T(n) | ≤ c | f(n) | untuk semua n > n0

 Definisi ini memberikan arti bahwa untuk semua

himpunan data yang cukup besar (yaitu n > n0)

algoritma akan selalu mengeksekusi lebih kecil dari c | f(n) | step pada best, average dan worst case.

Contoh-contoh

 Contoh 2.4:

Jika T(n) = 3n2 _{maka T(n) ada dalam O(n}2_).

Demikian juga, T(n) ada dalam O(n3_{), O(n}4_{) dan seterusnya,}

sehingga yang kita pilih adalah batas atas terkecil (least upper bound).

 Contoh 2.5:

Mencari nilai K yang disimpan dalam suatu array. T(n) = c_sn/2

Untuk semua nilai n > 1, |c_sn/2| ≤ c_s |n|

Sehingga, dengan definisi, T(n) adalah anggota O(n) untuk n₀ = 1 dan c = c_s

Contoh-contoh:

 Contoh 2.6 :

Diketahui T(n) = c₁n2 _{+ c}

2n pada average case.

Dapatkan O(f(n)) |c₁ n2 _{+ c}

2n| ≤ |c1n2 + c2n2 | ≤ (c1 + c2) | n2 |

untuk semua n > 1, sehingga, | T(n) | ≤ c |n2_{| untuk c = c}

1 + c2 dan n0 = 1

Jadi, dengan definisi, T(n) adalah anggota dari O(n2_).

 Contoh 2.7 :

Batas Bawah : Big-Omega

 Definisi :

T(n) adalah anggota dari himpunan Ω(g(n)) jika ada dua konstanta positip c dan n₀ sedemikian hingga

| T(n) | ≥ c | g(n) | untuk semua n > n₀

Definisi ini memberikan arti bahwa untuk semua himpunan data yang cukup besar (yaitu n > n₀)

algoritma akan selalu mengeksekusi lebih besar dari c|g(n)| step pada best, average dan worst case.

Contoh

 Diketahui T(n) = c₁n2 + c₂n pada average case.

Dapatkan Ω(g(n)) |c₁n2 _{+ c} 2n| ≥ c1|n2| untuk semua n > 1 Sehingga, |T(n)| ≥ c|n2_{| untuk c=c} 1 dan n0=1

Jadi, berdasarkan definisi, T(n) adalah anggota dari Ω(n2_).

 Demikian juga, T(n) juga merupakan anggota dari

Ω(n) dan Ω(1). Pada kasus ini yang kita pilih adalah batas bawah terbesar (greatest lower bound).

Big-Theta

Definisi :

Suatu algoritma dikatakan anggota Θ(h(n)) jika algoritma itu adalah anggota O(h(n)) dan anggota Ω(h(n))

 Contoh 2.9 :

Karena T(n) = c₁n2 _{+ c}

2n adalah angota O(n2) dan

Aturan Simplifikasi

 Ketika kita menentukan persamaan running time

suatu algoritma, kita akan menentukan bentuk yang paling sederhana, sehingga diperlukan

aturan-aturan penyederhanaan untuk ketiga Oh, big-Omega dan big-Theta

Beberapa Aturan Penyederhanaan:

1) Jika f(n) adalah anggota O(g(n)) dan g(n) adalah anggota O(h(n)),

maka f(n) adalah anggota O(h(n)).

2) Jika f(n) adalah anggota O(kg(n)) untuk konstanta k > 0, maka

f(n) adalah anggota O(g(n)).

3) Jika f₁(n) adalah anggota O(g₁(n)) dan f₂(n) adalah anggota

O(g₂(n)), maka (f₁+ f₂)(n) adalah anggota O(max(g₁(n), g₂(n))).

4) Jika f₁(n) adalah anggota O(g₁(n)) dan f₂(n) adalah anggota O(g₂(n)), maka f₁(n) f₂(n) adalah anggota O(g₁(n) g₂(n)). Aturan ini juga berlaku untuk big-omega dan big-theta.

25

Time Complexity Examples (1)

Contoh 3.9:

a = b;

This assignment takes constant time, so it is

(1).

Contoh 3.10:

sum = 0;

for (i=1; i<=n; i++) sum += n;

26

Time Complexity Examples (2)

Contoh 3.11:

sum = 0;

for (j=1; j<=n; j++) for (i=1; i<=j; i++)

sum++;

for (k=0; k<n; k++) A[k] = k;

27

Time Complexity Examples (3)

Contoh 3.12:

sum1 = 0;

for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++)

sum1++; sum2 = 0;

for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=i; j++)

28

Time Complexity Examples (4)

Contoh 3.13: sum1 = 0; for (k=1; k<=n; k*=2) for (j=1; j<=n; j++) sum1++; sum2 = 0; for (k=1; k<=n; k*=2) for (j=1; j<=k; j++) sum2++;

Statement Control yang lain?

Perhitungan running time dapat dinyatakan secara garis besar sebagai berikut :

 Untuk loop while, perhitungannya sama dengan loop for  Statemen if lebih besar daripada then/else, mungkin

melibatkan probabilitas karena adanya penyeleksian kondisi

 Rekursifitas: diselesaikan dengan relasi berulang  Subrotine call: Kompleksitas dari subroutine yang

dipanggil