STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRAA ∗ -ALJABAR

Vol.3_No.1_{Hal. 63 – 67} ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA

_A

∗

-ALJABAR

ROZA ARDILLA Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

rozaardilla@gmail.com

Abstrak.Dalam tulisan ini dipelajari tentang struktur semilattice pada PraA∗_-Aljabar

(A,∧,∨,(·)∼_{) yang dituliskan sebagai ¯A. Didefinisikan sebuah operasi biner}∗_{pada Pra} A∗_{-Aljabar dan ditunjukkan bahwa ( ¯A,}∗_{) adalah sebuah semilattice. Selanjutnya}

didefin-isikan suatu relasi terurut parsial≤∗ dan dibuktikan beberapa sifat pada suatu relasi

terurut parsial tersebut yang diinduksi dari struktur semilattice ( ¯A,∗_{). Di samping itu}

juga dikaji tentang nilai supremum dan nilai infimum dari beberapa sub himpunan pada semilattice ( ¯A,∗_).

Kata Kunci: PraA∗_{-Aljabar, poset, semilattice}

1. Pendahuluan

Gagasan Pra A∗_{-Aljabar diperkenalkan pada tahun 2000 oleh Venkateswara Rao.}

Pra A∗_{-Aljabar adalah suatu sistem matematika (A,∧,∨,(·)}∼_{) dimana A} meru-pakan himpunan tak kosong dengan ∧ (meet) dan ∨ (join) adalah operasi biner dan (·)∼ _{adalah operasi tunggal, jika∀x, y, z∈Aberlaku}

1. x∼∼ _=x,

2. x∧x=x, 3. x∧y =y∧x, 4. (x∧y)∼ _=x∼_∨y∼_,

5. x∧(y∧z) = (x∧y)∧z, 6. x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z), 7. x∧y =x∧(x∼_∨y).

Tulisan ini difokuskan pada struktur semilattice pada Pra A∗_{-Aljabar. Suatu}

himpunan tak kosong A dengan sebuah operasi biner ” ∗ _{” pada A dinamakan}

sebuahsemilattice jika elemen-elemennya memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

1. x∗_{x=x,∀x∈A(disebut sifat idempoten),}

2. x∗_y=y∗_{x,∀x, y∈A(disebut sifat komutatif),}

3. x∗_(y∗_{z) = (x}∗_y)∗_{z,∀x, y, z∈A(disebut sifat asosiatif).}

Artikel ini bertujuan untuk mendefinisikan sebuah operasi biner ”∗ _{” pada Pra} A∗_{-Aljabar ¯Adan menunjukkan bahwa ( ¯A,}∗_{) adalah sebuah semilattice. Kemudian}

akan dikaji sifat-sifat pada suatu relasi terurut parsial ”≤_∗ ” yang diinduksi dari

struktur semilattice ( ¯A,∗_{). Selanjutnya juga akan ditentukan nilai supremum dari}

{x, x∼_{}dan nilai infimum dari{x, y},∀x, y∈Apada semilattice ( ¯A,}∗_).

2. Struktur Semilattice pada Pra A∗_-Aljabar

Definisi 2.1. [1] Suatu himpunan tak kosongAdengan sebuah operasi biner ”∗ _” disebut sebuah semilattice jika berlaku sifat sebagai berikut :

1. x∗_{x=x,∀x∈A(disebut idempoten),} 2. x∗_y=y∗_{x,∀x, y∈A (disebut komutatif ),}

3. x∗_(y∗_{z) = (x}∗_y)∗_{z,∀x, y, z∈A(disebut asosiatif ).}

Teorema 2.2. [1] Misalkan A¯ (A,∧,∨,(·)∼_{) adalah Pra A}∗_{-Aljabar dan} didefin-isikan suatu operasi biner ” ∗ _{” pada A}¯ _{yang memenuhi sifat x}∗_{y = x∧y, untuk} setiapx, y∈A. Maka ( ¯A,∗_{)adalah sebuah semilattice.}

Bukti. Misalkan ¯A adalah suatu Pra A∗_{-Aljabar. Akan dibuktikan bahwa ( ¯A,}∗₎

adalah sebuah semilattice, yaitu dengan menunjukkan bahwa relasi ” ∗ _{” bersifat}

idempoten, komutatif, dan asosiatif.

(i) Ambil sebarangx∈A. Akan ditunjukkanx∗_{x=x. Perhatikan bahwa:}

x∗_x=x∧x=x.

Jadix∗_{x=x, maka relasi ”}∗ _{” adalah idempoten.}

(ii) Ambil sebarangx, y∈A. Akan ditunjukkanx∗_y=y∗_{x. Perhatikan bahwa:}

x∗_{y=x∧y=y∧x=y}∗_x.

Jadix∗_y=y∗_{x, maka relasi ”}∗ _{” adalah komutatif.}

(iii) Ambil sebarang x, y, z ∈A. Akan ditunjukkan x∗_(y∗_{z) = (x}∗_y)∗_{z. Perhatikan}

bahwa:

x∗_(y∗_{z) =x}∗_{(y∧z) =x∧(y∧z) = (x∧y)∧z= (x}∗_y)∗_z.

Jadix∗_(y∗_{z) = (x}∗_y)∗_{z, maka relasi ”}∗ _{” adalah asosiatif.}

Berdasarkan (i),(ii), dan (iii) maka ( ¯A,∗_{) adalah sebuah semilattice.}

Definisi 2.3. [1] Misalkan A¯ adalah suatu Pra A∗_{-Aljabar. Suatu relasi ” ≤} ∗ ” didefinisikan sebagaix≤_∗y jikax∗_y=x.

Teorema 2.4. [1] Untuk setiapx, y∈A pada PraA∗_{-Aljabar A}¯ _{didefinisikan} op-erasi biner ” ∗ _{” padaA}¯_{maka berlaku:}

1. x∧y≤∗x, 2. x∨y≤_∗x∨x∼_.

(1) Ambil sebarangx, y∈A. Akan dibuktikanx∧y≤∗xyaitu dengan menunjukkan

Bukti. Berdasarkan Definisi 2.3, karenax∗_{y=xmaka x≤} ∗y.

1. x∗_{(y∨z) = (x}∗_y)∨(x∗_z),

Kemudian ambilx∼_{∈A maka berlaku:}

x∼∗_(x∨x∼_{) =x}∼_∧(x∨x∼_{) =x}∼_{∧1 =x}∼_.

Bukti. Misalkan ¯A adalah PraA∗_{-Aljabar. Akan ditunjukkan bahwax∧y}

Bukti. Berdasarkan Lema 2.8 diketahui bahwa x∧y adalah batas bawah dari

{x, y}. Misalkan m adalah batas bawah dari{x, y}maka

m≤∗x ⇔ m∗x=m danm≤∗y ⇔m∗y=m.

Perhatikan bahwa m∗_{(x∧y) = m, sehingga m ≤}

∗ x∧y. Oleh karena itu, x∧y

merupakan batas bawah terbesar dari{x, y}. Dengan kata lain, inf{x, y} =x∧y.

3. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak . Admi Nazra, Ibu Lyra Yulianti, Bapak Mahdhivan Syafwan dan Ibu Yanita yang telah memberikan masukan dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka

[1] Rao, J.V. dan A. Satyanarayana. 2010.Semilattice Structure on PreA∗_-Algebra.

Asian Journal of Scientific Research, Vol. 3(4).