PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SURYAKANCANA
TEGANGAN
Bahan Kuliah 6
6.1
PENDAHULUAN
Suatu keruntuhan sebuah struktur seringkali diawali oleh keretakan kecil pada sambungan dan membesar secara cepat melampaui kekuatan material struktur yang bersangkutan. Jadi, apa sebenarnya kekuatan material itu? Bagaimana kita menganalisanya? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengenal konsep tentangtegangan (stress). Terdefinisikannya variabel ini merupakan langkah pertama menuju formula yang dapat digunakan untuk analisa kekuatan elemen struktur dan merancang elemen tersebut.
Vable, M (2011) saat menulis Mechanics of Material : Stress (sumber : http://www.me.mtu.edu/ ~mavable/MoM2end) menggambarkan suatu logika statika struktur, di mana analisis akan lebih sederhana jika gaya terdistribusi sembarang pada diagram benda bebas (free body diagram/FBD) dapat digantikan oleh suatu gaya ekivalen dan momen sebelum menuliskan persamaan keseimbangan. Formula yang dikembangkan dalam mekanika bahan menghubungkan tegangan-tegangan dengan gaya-gaya internal dan momen.FBDdigunakan untuk menghubungkan gaya-gaya internal dan momen dengan gaya-gaya eksternal dan momen.
6.2
TEGANGAN
PADA PERMUKAAN BENDA
Tegangan–tegamgan pada permukaan adalah sistem gaya internal terdistribusi yang dapat dipecahkan kembali menjadi dua komponen yaitu gaya normal (tegak lurus) pada permukaan irisan imaginer. Tegangan ini disebut sebagaitegangan normaldan tegangan yang bersinggungan (paralel) dengan permukaan irisan disebuttegangan geser.
Beban yang bekerja pada balok dapat berupa gaya maupun momen yang terletak pada bidang yang merupakan sumbu longitudinal balok. Gaya dipahami bekerja tegaklurus sumbu longitudinal, dan bidang yang mengandung beban diasumsikan sebagai bidang simetri dari balok
Tegangan-tegangan
Gaya-gaya internal dan
momen
Gaya-gaya eksternal dan
momen Keseimbangan
Ekivalensi statis
Gambar 6.1.
6.2.1 Definisi Tegangan
“Tarikan” internal dalam benda padat, atau TEGANGAN, dapat didefinisikan dengan cara yang serupa dengan yang dijelaskan sebelumnya.
Bayangkan irisan melintang sembarang dibuat pada benda padat sehingga membentuk free- body seperti terlihat pada gambar.
Perhatikan suatu “tarikan” eksternal V yang menunjukkan gaya per satuan luas dan bekerja pada permukaan benda. “Tarikan” V adalah vektor terikat, artinya V tidak dapat bergeser sepanjang garis kerjanya sambil tetap mempertahankan makna keberadaannya.
Dengan kata lain, vektor tarik tidak dapat digambarkan sebagaimana adanya kecuali jika baik gaya maupun permukaan dimana gaya bekerja telah ditetapkan. Dengan ditentukannya ∆F dan ∆s, tarikan V didefinisikan sbb :
Tarikan permukaan akan muncul pada permukaan yang terekspose, serupa dengan tarikan eksternal yang bekerja pada permukaan luar benda padat. Tegangan pada titik P dapat didefinisikan menggunakan persamaan yang sama sebagaimana persamaan V sebelumnya. Oleh karena itu, tegangan dapat diinterpretasikan sebagai “tarikan” internal yang berkerja pada bidang acuan internal yang didefinisikan. Kita tidak dapat mengukur tegangan tanpa sebelumnya menetapkan terlebih dahulu bidang acuannya.
6.2.2 Tensor Tegangan (Matriks Tegangan)
“Tarikan” permukaan atau TEGANGAN yang bekerja pada bidang acuan secara tipikal diuraikan menjadi 3 komponen ortogonal mutual. Satu komponen bekerja secara normal (tegak lurus) terhadap permukaan penampang dan merepresentasikan TEGANGAN LANGSUNG (direct stress). Dua komponen lainnya bekerja secara tangensial permukaan dan merepresentasikan TEGANGAN-TEGANGAN GESER (shear stresses).
Perbedaan tegangan langsung dan tegangan geser dapat dilihat pada tabel berikut :
Tegangan Langsung (Direct Stress) Tegangan Geser (Shear Stress) Cenderung untuk merubah volume material
(contoh : tekanan hidrostatis)
Cenderung untuk merubah bentuk benda tanpa merubah volumenya
Tertahan oleh modulus volume (bulk modulus) benda yang tergantung pada Modulus Young dan Poisson Ratio
Tertahan oleh modulus geser (shear modulus) benda
ds dF s F
V s
Pendefinisian satu set bidang acuan internal dengan sistem koordinat Cartesian memungkinkan tegangan digambarkan pada titik internal P dalam arah koordinat x, y, dan z. Sebagai contoh, status tegangan pada titik P dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubus yang sangat kecil (infinitesimal) dengan 3 komponen tegangan pada setiap sisi dari enam sisi kubus (satu tegangan langsung dan dua tegangan geser).
Setiap titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P. Setiap titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P.
Kesembilan komponen tegangan tersebut adalah :
Dimana tegangan-tegangan yang melintasi diagonal matriks adalah identik, (yaitu σxy= σyx, σyz= σzy,
σxz= σyz)
Bidang Tegangan
Karena 2 tegangan utama lainnya berada pada sebuah bidang, permasalahan 2 D yang dipermudah ini disebut persoalan tegangan bidang. Asumsikan bahwa tegangan utama yang diabaikan berorientasi kearah z, maka matriks tegangan pada bidang 2D menjadi :
Pendefinisian satu set bidang acuan internal dengan sistem koordinat Cartesian memungkinkan tegangan digambarkan pada titik internal P dalam arah koordinat x, y, dan z. Sebagai contoh, status tegangan pada titik P dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubus yang sangat kecil (infinitesimal) dengan 3 komponen tegangan pada setiap sisi dari enam sisi kubus (satu tegangan langsung dan dua tegangan geser).
Setiap titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P. Setiap titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P.
Kesembilan komponen tegangan tersebut adalah :
Dimana tegangan-tegangan yang melintasi diagonal matriks adalah identik, (yaitu σxy= σyx, σyz= σzy,
σxz= σyz)
Bidang Tegangan
Karena 2 tegangan utama lainnya berada pada sebuah bidang, permasalahan 2 D yang dipermudah ini disebut persoalan tegangan bidang. Asumsikan bahwa tegangan utama yang diabaikan berorientasi kearah z, maka matriks tegangan pada bidang 2D menjadi :
Pendefinisian satu set bidang acuan internal dengan sistem koordinat Cartesian memungkinkan tegangan digambarkan pada titik internal P dalam arah koordinat x, y, dan z. Sebagai contoh, status tegangan pada titik P dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubus yang sangat kecil (infinitesimal) dengan 3 komponen tegangan pada setiap sisi dari enam sisi kubus (satu tegangan langsung dan dua tegangan geser).
Setiap titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P. Setiap titik pada benda kajian berada dalam keseimbangan statis, hanya ada 9 (sembilan) komponen tegangan dari 3 bidang yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan status tegangan pada titik P.
Kesembilan komponen tegangan tersebut adalah :
Dimana tegangan-tegangan yang melintasi diagonal matriks adalah identik, (yaitu σxy= σyx, σyz= σzy,
σxz= σyz)
Bidang Tegangan
9 Komponen tegangan
Kelompok dari sembilan komponen tegangan ini dikenal sebagai tensor tegangan (atau matriks tegangan). Notasi subskrip yang digunakan untuk kesembilan komponen tegangan mempunyai arti berikut :
σξη = tegangan pada bidang ξ sepanjang arah η
ξ adalah arah normal permukaan dimana tegangan bekerja η adalah arah komponen tegangan
Kaji keseimbangan statis dari benda yang dikenai area vektor gaya b. Dengan menggunakan hukum Newton Pertama tentang gerak dihasilkan satu set persamaan diferensial yang mengarah pada distribusi tegangan dalam benda padat berikut :
Dalam kasus 2 tegangan dimensi, persamaan di atas menjadi :
Dalam permasalahan teknik sipil yang menyangkut tegangan pada pelat tipis atau pada permukaan bebas dari elemen struktur, seperti permukaan tekan tipis, bejana tipis di bawah tekanan eksternal dan internal, terdapat satu tegangan utama, yang jauh lebih kecil dari dua tegangan lainnya.
Dengan mengasumsikan bahwa tegangan utama yang kecil ini sama dengan nol, tegangan 3 dimensi dapat dikurangi menjadi tegangan 2 dimensi.
6.2.3 Transformasi Koordinat
Arah koordinat terpilih untuk menganalisa struktur biasanya didasarkan pada bentuk struktur. Sebagai hasilnya, komponen tegangan langsung dan tegangan geser dapat diasosiasikan dengan arah-arah ini. Sebagai contoh, untuk menganalisa suatu batang seseorang hampir selalu mengarahkan satu arah koordinat sejajar/sepanjang sumbu batang.
9 Komponen tegangan
Kelompok dari sembilan komponen tegangan ini dikenal sebagai tensor tegangan (atau matriks tegangan). Notasi subskrip yang digunakan untuk kesembilan komponen tegangan mempunyai arti berikut :
σξη = tegangan pada bidang ξ sepanjang arah η
ξ adalah arah normal permukaan dimana tegangan bekerja η adalah arah komponen tegangan
Kaji keseimbangan statis dari benda yang dikenai area vektor gaya b. Dengan menggunakan hukum Newton Pertama tentang gerak dihasilkan satu set persamaan diferensial yang mengarah pada distribusi tegangan dalam benda padat berikut :
Dalam kasus 2 tegangan dimensi, persamaan di atas menjadi :
Dalam permasalahan teknik sipil yang menyangkut tegangan pada pelat tipis atau pada permukaan bebas dari elemen struktur, seperti permukaan tekan tipis, bejana tipis di bawah tekanan eksternal dan internal, terdapat satu tegangan utama, yang jauh lebih kecil dari dua tegangan lainnya.
Dengan mengasumsikan bahwa tegangan utama yang kecil ini sama dengan nol, tegangan 3 dimensi dapat dikurangi menjadi tegangan 2 dimensi.
6.2.3 Transformasi Koordinat
Arah koordinat terpilih untuk menganalisa struktur biasanya didasarkan pada bentuk struktur. Sebagai hasilnya, komponen tegangan langsung dan tegangan geser dapat diasosiasikan dengan arah-arah ini. Sebagai contoh, untuk menganalisa suatu batang seseorang hampir selalu mengarahkan satu arah koordinat sejajar/sepanjang sumbu batang.
9 Komponen tegangan
Kelompok dari sembilan komponen tegangan ini dikenal sebagai tensor tegangan (atau matriks tegangan). Notasi subskrip yang digunakan untuk kesembilan komponen tegangan mempunyai arti berikut :
σξη = tegangan pada bidang ξ sepanjang arah η
ξ adalah arah normal permukaan dimana tegangan bekerja η adalah arah komponen tegangan
Kaji keseimbangan statis dari benda yang dikenai area vektor gaya b. Dengan menggunakan hukum Newton Pertama tentang gerak dihasilkan satu set persamaan diferensial yang mengarah pada distribusi tegangan dalam benda padat berikut :
Dalam kasus 2 tegangan dimensi, persamaan di atas menjadi :
Dalam permasalahan teknik sipil yang menyangkut tegangan pada pelat tipis atau pada permukaan bebas dari elemen struktur, seperti permukaan tekan tipis, bejana tipis di bawah tekanan eksternal dan internal, terdapat satu tegangan utama, yang jauh lebih kecil dari dua tegangan lainnya.
Dengan mengasumsikan bahwa tegangan utama yang kecil ini sama dengan nol, tegangan 3 dimensi dapat dikurangi menjadi tegangan 2 dimensi.
6.2.3 Transformasi Koordinat
Bagaimanapun, tegangan dalam arah yang tidak sejajar dengan satu set koordinat asli dapat saja menjadi penting. Sebagai contoh, kegagalan bidang pada balok silang yang mudah retak akibat torsi biasanya membuat 450dari sumbu balok .
Transformasi tegangan terhadap koordinat {x, y, z} menjadi tegangan terhadap koordinat{x’, y’, z’} dapat dirumuskan dalam persamaan berikut :
Dimana sudut θ adalah sudut rotasi antara 2 koordinat (positif dalam arah berlawanan jarum jam), lihat gambar di atas.
Arah sumbu utama dan Tegangan Utama
Pertama, ada sudut θp dimana tegangan geser τx’y’ menjadi nol. Sudut itu ditemukan dengan
menyusun/menetapkan τx’y’= nol diatas persamaan transformasi dan diperoleh nilai :
Sudut ini didefinisikan sebagai arah sumbu utama dimana hanya ada tegangan normal saja. Tegangan ini disebut tegangan utama dan ditemukan dari tegangan-tegangan aslinya (diekspresikan dalam arah x, y , dan z) melalui :
Bagaimanapun, tegangan dalam arah yang tidak sejajar dengan satu set koordinat asli dapat saja menjadi penting. Sebagai contoh, kegagalan bidang pada balok silang yang mudah retak akibat torsi biasanya membuat 450dari sumbu balok .
Transformasi tegangan terhadap koordinat {x, y, z} menjadi tegangan terhadap koordinat{x’, y’, z’} dapat dirumuskan dalam persamaan berikut :
Dimana sudut θ adalah sudut rotasi antara 2 koordinat (positif dalam arah berlawanan jarum jam), lihat gambar di atas.
Arah sumbu utama dan Tegangan Utama
Pertama, ada sudut θp dimana tegangan geser τx’y’ menjadi nol. Sudut itu ditemukan dengan
menyusun/menetapkan τx’y’= nol diatas persamaan transformasi dan diperoleh nilai :
Sudut ini didefinisikan sebagai arah sumbu utama dimana hanya ada tegangan normal saja. Tegangan ini disebut tegangan utama dan ditemukan dari tegangan-tegangan aslinya (diekspresikan dalam arah x, y , dan z) melalui :
Bagaimanapun, tegangan dalam arah yang tidak sejajar dengan satu set koordinat asli dapat saja menjadi penting. Sebagai contoh, kegagalan bidang pada balok silang yang mudah retak akibat torsi biasanya membuat 450dari sumbu balok .
Transformasi tegangan terhadap koordinat {x, y, z} menjadi tegangan terhadap koordinat{x’, y’, z’} dapat dirumuskan dalam persamaan berikut :
Dimana sudut θ adalah sudut rotasi antara 2 koordinat (positif dalam arah berlawanan jarum jam), lihat gambar di atas.
Arah sumbu utama dan Tegangan Utama
Pertama, ada sudut θp dimana tegangan geser τx’y’ menjadi nol. Sudut itu ditemukan dengan
menyusun/menetapkan τx’y’= nol diatas persamaan transformasi dan diperoleh nilai :
Tegangan normal (σx’dan σy’) dan tegangan geser (τx’y’) bervasiasi terhadap putaran sudut secara
halus, berkaitan dengan persamaan transformasi koordinat. Akan dapat terjadi pasangan sudut dimana tegangan-tegangan berada pada nilai yang spesifik/khusus.
Arah Tegangan Geser Maksimum
Tegangan geser maksimum adalah sama dengan setengah dari selisih 2 tegangan utama.
Sudut penting lainnya adalah θs, dimana terjadi tegangan geser maksimum. Hal ini dapat ditemukan
dengan mencari nilai maksimum tegangan geser pada persamaan transformasi, dan mendapatkan nilai θnya. Hasilnya adalah :
Transformasi arah tegangan geser maksimum dapat diilustrasikan dengan gambar berikut :
6.2.4 Lingkaran Mohr (Otto Mohr, 1882)
Lingkaran Mohr menggambarkan tegangan utama dan transformasi tegangan melalui format grafis. Dua tegangan utama ditunjukkan dengan warna merah, dan tegangan geser maksimum dalam warna orange.
Tegangan normal (σx’dan σy’) dan tegangan geser (τx’y’) bervasiasi terhadap putaran sudut secara
halus, berkaitan dengan persamaan transformasi koordinat. Akan dapat terjadi pasangan sudut dimana tegangan-tegangan berada pada nilai yang spesifik/khusus.
Arah Tegangan Geser Maksimum
Tegangan geser maksimum adalah sama dengan setengah dari selisih 2 tegangan utama.
Sudut penting lainnya adalah θs, dimana terjadi tegangan geser maksimum. Hal ini dapat ditemukan
dengan mencari nilai maksimum tegangan geser pada persamaan transformasi, dan mendapatkan nilai θnya. Hasilnya adalah :
Transformasi arah tegangan geser maksimum dapat diilustrasikan dengan gambar berikut :
6.2.4 Lingkaran Mohr (Otto Mohr, 1882)
Lingkaran Mohr menggambarkan tegangan utama dan transformasi tegangan melalui format grafis. Dua tegangan utama ditunjukkan dengan warna merah, dan tegangan geser maksimum dalam warna orange.
Tegangan normal (σx’dan σy’) dan tegangan geser (τx’y’) bervasiasi terhadap putaran sudut secara
halus, berkaitan dengan persamaan transformasi koordinat. Akan dapat terjadi pasangan sudut dimana tegangan-tegangan berada pada nilai yang spesifik/khusus.
Arah Tegangan Geser Maksimum
Tegangan geser maksimum adalah sama dengan setengah dari selisih 2 tegangan utama.
Sudut penting lainnya adalah θs, dimana terjadi tegangan geser maksimum. Hal ini dapat ditemukan
dengan mencari nilai maksimum tegangan geser pada persamaan transformasi, dan mendapatkan nilai θnya. Hasilnya adalah :
Transformasi arah tegangan geser maksimum dapat diilustrasikan dengan gambar berikut :
6.2.4 Lingkaran Mohr (Otto Mohr, 1882)
Ingat, tegangan normal sama dengan tegangan utama jika elemen tegangan searah dengan arah sumbu utama, dan tegangan geser sama dengan tegangan geser maksimum jika elemen tegangan diputar 450 dari arah sumbu utama.Jika elemen tegangan diputar dari arah sumbu utama (atau geser maksimum), komponen tegangan normal akan selalu berada pada lingkaran Mohr.
Perumusan Lingkaran Mohr
Diketahui formula transformasi untuk tegangan bidang pada lokasi yang diberikan sebagaimana ekspresi yang sudah dikaji sebelumnya :
Dengan menggunakan hubungan trigonometri dasar (cos²2θ+sin²2θ=1), diperoleh :
Persamaan ini adalah persamaan lingkaran
Persamaan di atas merupakan cara yang mudah untuk menginterpretasikan σxdan σysebagai dua
tegangan utama, dan τxysebagai tegangan geser maksimum.
Dapat didefiniskan bahwa tegangan rata-rata σavedan suatu “radius” R (yang sama dengan tegangan
geser maksimum), adalah sebagai berikut :
Dengan substitusi ekspresi di atas pada persamaan sebelumnya, maka persamaan lingkaran di atas sekarang dapat diekspresikan dalam bentuk yang sudah biasa dikenal:
Ingat, tegangan normal sama dengan tegangan utama jika elemen tegangan searah dengan arah sumbu utama, dan tegangan geser sama dengan tegangan geser maksimum jika elemen tegangan diputar 450 dari arah sumbu utama.Jika elemen tegangan diputar dari arah sumbu utama (atau geser maksimum), komponen tegangan normal akan selalu berada pada lingkaran Mohr.
Perumusan Lingkaran Mohr
Diketahui formula transformasi untuk tegangan bidang pada lokasi yang diberikan sebagaimana ekspresi yang sudah dikaji sebelumnya :
Dengan menggunakan hubungan trigonometri dasar (cos²2θ+sin²2θ=1), diperoleh :
Persamaan ini adalah persamaan lingkaran
Persamaan di atas merupakan cara yang mudah untuk menginterpretasikan σxdan σysebagai dua
tegangan utama, dan τxysebagai tegangan geser maksimum.
Dapat didefiniskan bahwa tegangan rata-rata σavedan suatu “radius” R (yang sama dengan tegangan
geser maksimum), adalah sebagai berikut :
Dengan substitusi ekspresi di atas pada persamaan sebelumnya, maka persamaan lingkaran di atas sekarang dapat diekspresikan dalam bentuk yang sudah biasa dikenal:
Ingat, tegangan normal sama dengan tegangan utama jika elemen tegangan searah dengan arah sumbu utama, dan tegangan geser sama dengan tegangan geser maksimum jika elemen tegangan diputar 450 dari arah sumbu utama.Jika elemen tegangan diputar dari arah sumbu utama (atau geser maksimum), komponen tegangan normal akan selalu berada pada lingkaran Mohr.
Perumusan Lingkaran Mohr
Diketahui formula transformasi untuk tegangan bidang pada lokasi yang diberikan sebagaimana ekspresi yang sudah dikaji sebelumnya :
Dengan menggunakan hubungan trigonometri dasar (cos²2θ+sin²2θ=1), diperoleh :
Persamaan ini adalah persamaan lingkaran
Persamaan di atas merupakan cara yang mudah untuk menginterpretasikan σxdan σysebagai dua
tegangan utama, dan τxysebagai tegangan geser maksimum.
Dapat didefiniskan bahwa tegangan rata-rata σavedan suatu “radius” R (yang sama dengan tegangan
geser maksimum), adalah sebagai berikut :
Lingkaran ini berpusat pada nilai tegangan rata-rata, dan mempunyai radius R yang sama dengan tegangan geser maksimum, sebagaimana digambarkan di bawah ini.
Tegangan-tegangan Utama dari Lingkaran Mohr
Keuntungan utama dari penggunaan Lingkaran Mohr untuk tegangan adalah bahwa tegangan utama σ1dan σ2serta tegangan maksimum τmax didapat langsung melalui gambar lingkaran.
di mana :
Lingkaran Mohr dapat digunakan untuk mencari arah tegangan utama. Pertama, misalkan bahwa tegangan normal dan geser σx, σy, τxydiperoleh pada titik O pada benda yang diekspresikan relatif
terhadap koordinat XY, sebagaimana ditunjukkan pada elemen tegangan berikut. Lingkaran Mohr untuk status tegangan secara umum diperlihatkan pada gambar sebelah kiri.
τmax
Lingkaran ini berpusat pada nilai tegangan rata-rata, dan mempunyai radius R yang sama dengan tegangan geser maksimum, sebagaimana digambarkan di bawah ini.
Tegangan-tegangan Utama dari Lingkaran Mohr
Keuntungan utama dari penggunaan Lingkaran Mohr untuk tegangan adalah bahwa tegangan utama σ1dan σ2serta tegangan maksimum τmax didapat langsung melalui gambar lingkaran.
di mana :
Lingkaran Mohr dapat digunakan untuk mencari arah tegangan utama. Pertama, misalkan bahwa tegangan normal dan geser σx, σy, τxydiperoleh pada titik O pada benda yang diekspresikan relatif
terhadap koordinat XY, sebagaimana ditunjukkan pada elemen tegangan berikut. Lingkaran Mohr untuk status tegangan secara umum diperlihatkan pada gambar sebelah kiri.
τmax
Lingkaran ini berpusat pada nilai tegangan rata-rata, dan mempunyai radius R yang sama dengan tegangan geser maksimum, sebagaimana digambarkan di bawah ini.
Tegangan-tegangan Utama dari Lingkaran Mohr
Keuntungan utama dari penggunaan Lingkaran Mohr untuk tegangan adalah bahwa tegangan utama σ1dan σ2serta tegangan maksimum τmax didapat langsung melalui gambar lingkaran.
di mana :
Lingkaran Mohr dapat digunakan untuk mencari arah tegangan utama. Pertama, misalkan bahwa tegangan normal dan geser σx, σy, τxydiperoleh pada titik O pada benda yang diekspresikan relatif
terhadap koordinat XY, sebagaimana ditunjukkan pada elemen tegangan berikut. Lingkaran Mohr untuk status tegangan secara umum diperlihatkan pada gambar sebelah kiri.
Dari gambar lingkaran Mohr terlihat bahwa lingkaran berpusat pada σavedan mempunyai radius R,
dan kedua titik {σx, τxy} dan {σy, -τxy} yang terletak pada sisi yang berlawanan dari lingkaran.
Garis yang menghubungkan σxdan σydidefinisikan sebagai Lxy.
Sudut antara sumbu-X dan Y dengan sumbu utama didefisnikan sebagai θp, dan sama dengan
setengah sudut antara garis Lxydengan sumbu σ seperti digambarkan secara skematik berikut :
Sudut rotasi koordinat θp adalah positif jika rotasi dimulai dari koordinat XY dan menuju ke
koordinat XpYp. Sebaliknya pada lingkaran Mohr θpdidefinisikan positif jika rotasi dimulai dari garis
tegangan utama (yaitu sumbu σ) dan menuju ke garis tegangan XY (yaitu garis Lxy). Sudut θp
mempunyai kondisi yang berlawanan diantara dua gambar tersebut, karena pada salah satu konsepnya rotasi dimulai dari koordinat XY, dan pada konsep lainnya rotasi dimulai dari koordinat utama.
Beberapa buku menghindari dikotomi antara θpdi lingkaran Mohr dan θpdi elemen tegangan
dengan menggunakan (σx,-τxy ) sebagai ganti (σx, τxy) pada lingkaran Mohr. Hal ini akan memutar
polaritas dari θp pada lingkaran. Metoda apapun yang diambil, pada dasarnya sebuah tanda
berlawanan dibutuhkan baik pada interpretasi atau pada saat memplot untuk membuat lingkaran Mohr secara fisik dapat berarti.
Lingkaran Mohr dapat digunakan mentransformasikan tegangan-tegangan dari satu koordinat ke koordinat lainnya, serupa dengan yang digambarkan pada penjelasan bidang tegangan.
Misalkan bahwa tegangan normal dan geser σx, σy, τxy didapat pada titik O pada benda, dan
diekspresikan terhadap sumu koordinat XY. Diharapkan untuk mencari tegangan-tegangan yang diekspresikan dengan koordinat X’Y’, yang diputar sebesar θ dari XY, sebagaimana gambar di bawah. Dari gambar lingkaran Mohr terlihat bahwa lingkaran berpusat pada σavedan mempunyai radius R,
dan kedua titik {σx, τxy} dan {σy, -τxy} yang terletak pada sisi yang berlawanan dari lingkaran.
Garis yang menghubungkan σxdan σydidefinisikan sebagai Lxy.
Sudut antara sumbu-X dan Y dengan sumbu utama didefisnikan sebagai θp, dan sama dengan
setengah sudut antara garis Lxydengan sumbu σ seperti digambarkan secara skematik berikut :
Sudut rotasi koordinat θp adalah positif jika rotasi dimulai dari koordinat XY dan menuju ke
koordinat XpYp. Sebaliknya pada lingkaran Mohr θpdidefinisikan positif jika rotasi dimulai dari garis
tegangan utama (yaitu sumbu σ) dan menuju ke garis tegangan XY (yaitu garis Lxy). Sudut θp
mempunyai kondisi yang berlawanan diantara dua gambar tersebut, karena pada salah satu konsepnya rotasi dimulai dari koordinat XY, dan pada konsep lainnya rotasi dimulai dari koordinat utama.
Beberapa buku menghindari dikotomi antara θpdi lingkaran Mohr dan θpdi elemen tegangan
dengan menggunakan (σx,-τxy) sebagai ganti (σx, τxy) pada lingkaran Mohr. Hal ini akan memutar
polaritas dari θp pada lingkaran. Metoda apapun yang diambil, pada dasarnya sebuah tanda
berlawanan dibutuhkan baik pada interpretasi atau pada saat memplot untuk membuat lingkaran Mohr secara fisik dapat berarti.
Lingkaran Mohr dapat digunakan mentransformasikan tegangan-tegangan dari satu koordinat ke koordinat lainnya, serupa dengan yang digambarkan pada penjelasan bidang tegangan.
Misalkan bahwa tegangan normal dan geser σx, σy, τxy didapat pada titik O pada benda, dan
diekspresikan terhadap sumu koordinat XY. Diharapkan untuk mencari tegangan-tegangan yang diekspresikan dengan koordinat X’Y’, yang diputar sebesar θ dari XY, sebagaimana gambar di bawah. Dari gambar lingkaran Mohr terlihat bahwa lingkaran berpusat pada σavedan mempunyai radius R,
dan kedua titik {σx, τxy} dan {σy, -τxy} yang terletak pada sisi yang berlawanan dari lingkaran.
Garis yang menghubungkan σxdan σydidefinisikan sebagai Lxy.
Sudut antara sumbu-X dan Y dengan sumbu utama didefisnikan sebagai θp, dan sama dengan
setengah sudut antara garis Lxydengan sumbu σ seperti digambarkan secara skematik berikut :
Sudut rotasi koordinat θp adalah positif jika rotasi dimulai dari koordinat XY dan menuju ke
koordinat XpYp. Sebaliknya pada lingkaran Mohr θpdidefinisikan positif jika rotasi dimulai dari garis
tegangan utama (yaitu sumbu σ) dan menuju ke garis tegangan XY (yaitu garis Lxy). Sudut θp
mempunyai kondisi yang berlawanan diantara dua gambar tersebut, karena pada salah satu konsepnya rotasi dimulai dari koordinat XY, dan pada konsep lainnya rotasi dimulai dari koordinat utama.
Beberapa buku menghindari dikotomi antara θpdi lingkaran Mohr dan θpdi elemen tegangan
dengan menggunakan (σx,-τxy) sebagai ganti (σx, τxy) pada lingkaran Mohr. Hal ini akan memutar
polaritas dari θp pada lingkaran. Metoda apapun yang diambil, pada dasarnya sebuah tanda
berlawanan dibutuhkan baik pada interpretasi atau pada saat memplot untuk membuat lingkaran Mohr secara fisik dapat berarti.
Lingkaran Mohr dapat digunakan mentransformasikan tegangan-tegangan dari satu koordinat ke koordinat lainnya, serupa dengan yang digambarkan pada penjelasan bidang tegangan.
Misalkan bahwa tegangan normal dan geser σx, σy, τxy didapat pada titik O pada benda, dan
Gambarkan lingkaran Mohr untuk status tegangan yang diberikan, (σx, σy, dan τxyyang ditunjukkan
di bawah)
Gambarkan garis Lxymelintang lingkaran dari (σx, τxy) ke (σy, -τxy).
Putar garis Lxyoleh 2 x θ (dua kali sudut antar XY dan X’Y’) dan dalam arah yang berlawanan dengan
θ. (arah panah berputarnya garis Lxydengan sudut 2θ dalam gambar merupakan arah sebaliknya dari
perputaran yang terjadi). Tegangan –tegangan dalam koordinat baru (σx’, σy’, danτx’y’) dapat dibaca
pada lingkaran.
Kasus 1 : τxy > 0 danσx>σy
Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy> 0) dan tidak lebih dari
450(karena σx> σy)
Gambarkan lingkaran Mohr untuk status tegangan yang diberikan, (σx, σy, dan τxyyang ditunjukkan
di bawah)
Gambarkan garis Lxymelintang lingkaran dari (σx, τxy) ke (σy, -τxy).
Putar garis Lxyoleh 2 x θ (dua kali sudut antar XY dan X’Y’) dan dalam arah yang berlawanan dengan
θ. (arah panah berputarnya garis Lxydengan sudut 2θ dalam gambar merupakan arah sebaliknya dari
perputaran yang terjadi). Tegangan –tegangan dalam koordinat baru (σx’, σy’, danτx’y’) dapat dibaca
pada lingkaran.
Kasus 1 : τxy > 0 danσx>σy
Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy> 0) dan tidak lebih dari
450(karena σx> σy)
Gambarkan lingkaran Mohr untuk status tegangan yang diberikan, (σx, σy, dan τxyyang ditunjukkan
di bawah)
Gambarkan garis Lxymelintang lingkaran dari (σx, τxy) ke (σy, -τxy).
Putar garis Lxyoleh 2 x θ (dua kali sudut antar XY dan X’Y’) dan dalam arah yang berlawanan dengan
θ. (arah panah berputarnya garis Lxydengan sudut 2θ dalam gambar merupakan arah sebaliknya dari
perputaran yang terjadi). Tegangan –tegangan dalam koordinat baru (σx’, σy’, danτx’y’) dapat dibaca
pada lingkaran.
Kasus 1 : τxy > 0 danσx>σy
Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy> 0) dan tidak lebih dari
Kasus 2 : τxy < 0 danσx>σy
Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy< 0) dan tidak lebih dari 450(karena
σx> σy)
Kasus 3 : τxy > 0 dan σx< σy
Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy> 0) dan antara 450
sampai 900(karena σx< σy)
Kasus 2 : τxy < 0 danσx>σy
Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy< 0) dan tidak lebih dari 450(karena
σx> σy)
Kasus 3 : τxy > 0 dan σx< σy
Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy> 0) dan antara 450
sampai 900(karena σx< σy)
Kasus 2 : τxy < 0 danσx>σy
Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy< 0) dan tidak lebih dari 450(karena
σx> σy)
Kasus 3 : τxy > 0 dan σx< σy
Sumbu utama berlawanan arah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy> 0) dan antara 450
Kasus 4 : τxy < 0 dan σx< σy
Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy< 0) dan antara 45 0
sampai 900 (karena σx< σy)
Kasus 5 : τxy = 0 dan σx> σy
Sumbu utama satu garis dengan sumbu sekarang (karena σx> σydan τxy= 0)
Kasus 4 : τxy < 0 dan σx< σy
Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy< 0) dan antara 45 0
sampai 900 (karena σx< σy)
Kasus 5 : τxy = 0 dan σx> σy
Sumbu utama satu garis dengan sumbu sekarang (karena σx> σydan τxy= 0)
Kasus 4 : τxy < 0 dan σx< σy
Sumbu utama searah jarum jam dari sumbu sekarang (karena τxy< 0) dan antara 45 0
sampai 900 (karena σx< σy)
Kasus 5 : τxy = 0 dan σx> σy
Kasus 6 : τxy = 0 dan σx< σy
Sumbu utama tepat 900dari sumbu sekarang (karena σx< σydan τxy= 0)
6.2.5 Tegangan Pada Balok
Tipe-tipe beban yang bekerja pada balok
Beban yang bekerja pada balok dapat berupa gaya maupun momen yang terletak pada bidang yang merupakan sumbu longitudinal balok. Gaya dipahami bekerja tegaklurus sumbu longitudinal, dan bidang yang mengandung beban diasumsikan sebagai bidang simetri dari balok.
Efek-efek gaya dan momen yang bekerja pada balok adalah :
1. memberikan lendutan (deflection) tegaklurus sumbu longitudinal batang,
2. menghasilkan tegangan normal maupun geser pada setiap penampang melintang batang yang tegaklurus sumbu batang.
Kasus 6 : τxy = 0 dan σx< σy
Sumbu utama tepat 900dari sumbu sekarang (karena σx< σydan τxy= 0)
6.2.5 Tegangan Pada Balok
Tipe-tipe beban yang bekerja pada balok
Beban yang bekerja pada balok dapat berupa gaya maupun momen yang terletak pada bidang yang merupakan sumbu longitudinal balok. Gaya dipahami bekerja tegaklurus sumbu longitudinal, dan bidang yang mengandung beban diasumsikan sebagai bidang simetri dari balok.
Efek-efek gaya dan momen yang bekerja pada balok adalah :
1. memberikan lendutan (deflection) tegaklurus sumbu longitudinal batang,
2. menghasilkan tegangan normal maupun geser pada setiap penampang melintang batang yang tegaklurus sumbu batang.
Kasus 6 : τxy = 0 dan σx< σy
Sumbu utama tepat 900dari sumbu sekarang (karena σx< σydan τxy= 0)
6.2.5 Tegangan Pada Balok
Tipe-tipe beban yang bekerja pada balok
Beban yang bekerja pada balok dapat berupa gaya maupun momen yang terletak pada bidang yang merupakan sumbu longitudinal balok. Gaya dipahami bekerja tegaklurus sumbu longitudinal, dan bidang yang mengandung beban diasumsikan sebagai bidang simetri dari balok.
Efek-efek gaya dan momen yang bekerja pada balok adalah :
1. memberikan lendutan (deflection) tegaklurus sumbu longitudinal batang,
Komponen yang tegak lurus setiap bidang disebut sebagai tegangan normal (σn) dan komponen yang sejajar dengan setiap bidang adalah tegangan geser (τ).
Gambar di bawah ini mengilustrasikan hubungan antara tarikan (σ) dan tegangan normal (σn) dan komponen tegangan geser (τ) bekerja pada bidang tunggal yang diproyeksikan dalam 2 dimensi pada segmen garis AB.
Proyeksi dua dimensi dari prisma segitiga kanan dengan tegangan normal (σn) dan geser (τ) yang bekerja pada bidang yang didefinisikan oleh garis AB. Gaya normal dan geser merupakan komponen dari tarikan σ .
Tipe lenturan (bending)
Jika kopel (couples) diberikan pada ujung-ujung balok dan tidak ada gaya yang bekerja pada batang, maka tekukan disebutlenturan murni (pure bending).
Komponen yang tegak lurus setiap bidang disebut sebagai tegangan normal (σn) dan komponen yang sejajar dengan setiap bidang adalah tegangan geser (τ).
Gambar di bawah ini mengilustrasikan hubungan antara tarikan (σ) dan tegangan normal (σn) dan komponen tegangan geser (τ) bekerja pada bidang tunggal yang diproyeksikan dalam 2 dimensi pada segmen garis AB.
Proyeksi dua dimensi dari prisma segitiga kanan dengan tegangan normal (σn) dan geser (τ) yang bekerja pada bidang yang didefinisikan oleh garis AB. Gaya normal dan geser merupakan komponen dari tarikan σ .
Tipe lenturan (bending)
Jika kopel (couples) diberikan pada ujung-ujung balok dan tidak ada gaya yang bekerja pada batang, maka tekukan disebutlenturan murni (pure bending).
Komponen yang tegak lurus setiap bidang disebut sebagai tegangan normal (σn) dan komponen yang sejajar dengan setiap bidang adalah tegangan geser (τ).
Gambar di bawah ini mengilustrasikan hubungan antara tarikan (σ) dan tegangan normal (σn) dan komponen tegangan geser (τ) bekerja pada bidang tunggal yang diproyeksikan dalam 2 dimensi pada segmen garis AB.
Proyeksi dua dimensi dari prisma segitiga kanan dengan tegangan normal (σn) dan geser (τ) yang bekerja pada bidang yang didefinisikan oleh garis AB. Gaya normal dan geser merupakan komponen dari tarikan σ .
Tipe lenturan (bending)
Misalnya, pada gambar di bawah ini balok diantara dua gaya dengan arah ke bawah merupakan sasaran atau subjeklenturan murni.
Lentur yang dihasilkan oleh gaya-gaya yang tidak membentuk kopel (momen) disebut lenturan biasa (ordinary bending).Batang yang dikenai lenturan murni hanyamempunyai tegangan normal dan tidak terjadi tegangan geserpada batang. Batang yang dikenai lenturan biasamempunyai baik tegangan normal maupun geseryang bekerja pada batang.
Sifat aksi balok
Suatu balok dapat dibayangkan sebagai susunan sejumlah tak terhingga serat atau batang tipis memanjang (longitudinal). Setiap seratdiasumsikan beraksi secara independen terhadap yang lain, yaitu, tidak ada tekanan lateral atau tegangan geser diantara serat.
Balok seperti ditunjukkan pada gambar, misalnya, akan melentur kebawah dan serat-serat pada bagian bawah akan mengalami pemanjangan sedang pada bagian atas akan mengalami pemendekan.
Perubahan panjang serat ini menghasilkan tegangan dalam serat. Bagian yang mengalami pemanjangan mempunyai tegangan tarik dengan arah sumbu memanjang, sedang bagian yang mengalamipemendekan terjadi tegangan tekan.
Didalam balok, yang tersusun atas kumpulan serat, terdapat permukaan serat yang tidak mengalami pemanjangan maupun pemendekan, sehingga tidak terkena tarikan maupun tekanan. Permukaan ini disebut permukaan netral (neutral surface).
Titik potong permukaan netral dengan penampang melintang balok yang tegaklurus terhadap sumbu memanjangnya disebut sumbu netral (neutral axis). Semua serat yang terletak di sebelah sumbu netral dalam kondisi tarik dan di sebelah lainnya dalam kondisi tekan.
P
P
Lentur elastis balok
Perhatikan gambar potongan balok pada kondisi tanpa pembebanan seperti pada gambar.
Setelah menerima pembebanan, balok yang melendut akan membentuk radius of curvature ( = ρ) seperti pada gambar.
Perhatikan juga sistem koordinat : x – y
Regangan memanjang (longitudinal strain)yang terjadi dapat diformulasikan sebagai berikut :
Sementara itu, balok dengan gaya dalam momen menimbulkan tegangan normal sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini
Tegangan maksimum yang terjadi dapat diformulasikan sebagaimana hukum Hooke berikut :
Sumbu netral pada balok dapat dihitung dengan formulasi berikut :
0 0 0
Perhatikan gambar potongan balok pada kondisi tanpa pembebanan seperti pada gambar.
Setelah menerima pembebanan, balok yang melendut akan membentuk radius of curvature ( = ρ) seperti pada gambar.
Perhatikan juga sistem koordinat : x – y
Regangan memanjang (longitudinal strain)yang terjadi dapat diformulasikan sebagai berikut :
Sementara itu, balok dengan gaya dalam momen menimbulkan tegangan normal sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini
Tegangan maksimum yang terjadi dapat diformulasikan sebagaimana hukum Hooke berikut :
Sumbu netral pada balok dapat dihitung dengan formulasi berikut :
Perhatikan gambar potongan balok pada kondisi tanpa pembebanan seperti pada gambar.
Setelah menerima pembebanan, balok yang melendut akan membentuk radius of curvature ( = ρ) seperti pada gambar.
Perhatikan juga sistem koordinat : x – y
Regangan memanjang (longitudinal strain)yang terjadi dapat diformulasikan sebagai berikut :
Sementara itu, balok dengan gaya dalam momen menimbulkan tegangan normal sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah ini
Tegangan maksimum yang terjadi dapat diformulasikan sebagaimana hukum Hooke berikut :
Berdasarkan keseimbangan momen :
Tegangan normal dalam balok
Untuk setiap balok yang mempunyai suatu bidang simetri memanjang dan dikenai momen lentur M pada suatu penampang melintangnya, tegangan normal yang bekerja pada serat memanjang pada jarak y dari sumbu netral balok diberikan dengan :
di mana I menyatakan momen inersia penampang melintang terhadap sumbu netral
Tegangannya bervariasi dari nol pada sumbu netral balok sampai maksimum pada serat terluar balok. Tegangan ini juga disebut lenturan (flexural/ bending), atau tegangan serat (fiber stresses). Ketika aksi dalam balok masih dalam batas elastis, sumbu netral melewati centroid atau pusat penampang melintang. Dengan demikian, momen inersia I yang muncul dalam persamaan diatas untuk tegangan normal adalah momen inersia luasan penampang-melintang terhadap sumbu yang melewati centroid penampang melintang balok.
Pada serat terluar balok nilai koordinat y sering dinyatakan dengan simbol c. Dalam kasus ini tegangan tekuk dapat dinyatakan dengan :
atau
2 : second moment of inertial (with respect to the neutral axis)
A
Untuk setiap balok yang mempunyai suatu bidang simetri memanjang dan dikenai momen lentur M pada suatu penampang melintangnya, tegangan normal yang bekerja pada serat memanjang pada jarak y dari sumbu netral balok diberikan dengan :
di mana I menyatakan momen inersia penampang melintang terhadap sumbu netral
Tegangannya bervariasi dari nol pada sumbu netral balok sampai maksimum pada serat terluar balok. Tegangan ini juga disebut lenturan (flexural/ bending), atau tegangan serat (fiber stresses). Ketika aksi dalam balok masih dalam batas elastis, sumbu netral melewati centroid atau pusat penampang melintang. Dengan demikian, momen inersia I yang muncul dalam persamaan diatas untuk tegangan normal adalah momen inersia luasan penampang-melintang terhadap sumbu yang melewati centroid penampang melintang balok.
Pada serat terluar balok nilai koordinat y sering dinyatakan dengan simbol c. Dalam kasus ini tegangan tekuk dapat dinyatakan dengan :
atau
2 : second moment of inertial (with respect to the neutral axis)
A
Untuk setiap balok yang mempunyai suatu bidang simetri memanjang dan dikenai momen lentur M pada suatu penampang melintangnya, tegangan normal yang bekerja pada serat memanjang pada jarak y dari sumbu netral balok diberikan dengan :
di mana I menyatakan momen inersia penampang melintang terhadap sumbu netral
Tegangannya bervariasi dari nol pada sumbu netral balok sampai maksimum pada serat terluar balok. Tegangan ini juga disebut lenturan (flexural/ bending), atau tegangan serat (fiber stresses). Ketika aksi dalam balok masih dalam batas elastis, sumbu netral melewati centroid atau pusat penampang melintang. Dengan demikian, momen inersia I yang muncul dalam persamaan diatas untuk tegangan normal adalah momen inersia luasan penampang-melintang terhadap sumbu yang melewati centroid penampang melintang balok.
Pada serat terluar balok nilai koordinat y sering dinyatakan dengan simbol c. Dalam kasus ini tegangan tekuk dapat dinyatakan dengan :
RasioI/cdisebut modulus penampang dan biasanya dinyatakan dengan simbolZ. Satuannya adalah m3. Dengan demikian tegangan lentur maksimum dapat dinyatakan dengan :
Sementara, Jumlah aljabar gaya-gaya vertikal pada satu sisi penampang melintang balok disebut gaya geser pada penampang tersebut.
Untuk suatu balok yang dikenai gaya geserVpada penampang melintang tertentu, terjadi tegangan geserτ baik horisontal maupun vertikal. Besarnya tegangan geser vertikal pada suatu penampang melintang adalah sedemikian sehingga tegangan-tegangan ini mempunyai resultan gaya sebesarV. Pada penampang melintang balok seperti ditunjukkan pada gambar, simetri bidang vertikal mempunyai gaya-gaya dan sumbu netral yang melalui pusat penampang.
Koordinatydiukur dari sumbu netral. Momen inersia luasan penampang melintang terhadap sumbu netral dinyatakan denganI.
Tegangan geser pada seluruh serat dengan jaraky0dari sumbu netral dinyatakan dengan formula :
dimana b menyatakan lebar balok pada lokasi dimana tegangan dihitung
Dari persamaan di atas dapat dibuktikan bahwa tegangan geser maksimum selalu terjadi pada sumbu netral balok, dimana tegangan geser pada serat terluar selalu nol. Sebaliknya, tegangan normal bervariasi dari nol pada sumbu netral menuju maksimum pada serat terluar.
Z M
c y yda
Ib V
0
