Beberapa Model Khusus Peluang Kontinu

BEBERAPA MODEL KHUSUS PELUANG KONTINU

OLEH :

NAMA : - ELITA ERAWATI SILABAN

- IIN KARTINI SAGALA - MUHAMMAD IRHAM - YUSNIAR SIAGIAN - YULIANI KRISTIN

KELAS : EKS A MATEMATIKA2013

JURUSAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2014

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, karena atas berkat dan karunianya maka kami boleh menyelesaikan sebuah makalah ini dengan tepat waktu.

Berikut ini kami mempersembahkan sebuah makalah dengan judul "BEBERAPA MODEL KHUSUS PELUANG KONTINU ”, yang menurut kami dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita untuk mempelajari hasil-hasil dari diskuisi kami.

Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan memohon permakluman bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang kami buat kurang tepat atau tidak dapat dimengerti oleh pembaca.

Dengan ini kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat.

Medan 10 april 2014

DAFTAR ISI

Kata pengantar ...i

Daftar isi ...ii

BAB I : Pendahuluan A. Latar belakang ...1

B. Rumusan masalah ...1

C. Tujuan ...1

BAB II : Pembahasan A. Peubah acak kontinu 1. Pengertian peubah acak kontinu...2

2. defenisi ...2

3. Nilai Harapan Sebaran Kontinu...2

B. Distribusi seragam 1. Pengertian ...3

C. Distribusi normal Pengertian ...3

1. Luas dibawah kurva normal...6

2. Teorema chebysev...7

D. Penerapan distribusi normal...8

E. Hampiran normal terhadap distribusi binomial pengertian ...9

BAB II : Kesimpulan dan Saran Kesimpulan ... Saran ...12

BAB I

Pendahuluan

A. Latar belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering kali melihat contoh atau penerapan dari sebuah peubah acak atau yang biasa disebut dengan peluang. Contoh yang sering kita lihat adalah pelemparan uang logam, judi, pelemparan mata dadu dll. Hasil dari setiap percobaan yang dilakukan pada sampel dapat di susun dalam sebuah daftar distribusi frekuensi. Jika data percobaan kita defenisikan pada suatu ruang sampel yang kontinu maka data tersebut dapat kita defenisikan ke fungsi padatan.

Bila ruang sampel titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan bayangannya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu. Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. Karena itu, distribusi peluangnya tidak mungkin disajikan dalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva.

Peubah acak kontinu dan fungsi kepadatan peluangnya muncul bila data percobaan kita defenisikan pada suatu ruang sampel yang kontinu. Oleh karena itu bila kita mengukur selang waktu, bobot, tinggi, volume, dan lain sebagainya, maka populasi dapat dinyatakan dengan suatu peluang kontinu. Terdapat beberapa model khusus untuk peluang kontinu yaitu : distribusi seragam, distribusi normal, dan hampiran normal terhadap distribusi binomial.

B. Rumusan masalah

Dari latar belakang diatas maka muncul beberapa masalah yaitu :

1. Bagaimanakah bentuk model-model khusus dari distribusi kontinu?

2. Bagamanakah cara menerapkan distribusi normal?

C. Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini adalah :

1. Untuk menjelaskan beberapa model khusus dari peluang kontinu 2. Untuk menjelaskan penerapan dari distribusi normal

BAB II

Pembahasan

Beberapa model khusus peluang kontinu A. Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu 1. Pengertian

Bila ruang sampel titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan bayangannya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu. Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. Karena itu, distribusi peluangnya tidak mungkin disajikan dalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva.

2. Defenisi

Defenisi 2.6 Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefenisikan diatas semua bilangan real R , bila

a. f(x)≥0untuk semua x∈R .

Defenisi 2.7 Distribusi komulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) deberikan oleh

F(x)=P(X ≤ x)=

∫

−∞ x

f(x)dx . untuk−∞<x<∞.

3. Nilai Harapan Sebaran Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f(x), maka nilai harapan dari X adalah

E(x)=

∫

−∞ ∞

xf(x)dx

Sebagai contoh, dapatkan E[X] jika diketahui fungsi kepekatan peluang

f(x)=

{

2x , untuk0≤ x ≤1 0,untuk x lainnya

Bentuk umum fungsi padat ( kontinu)

B. Distribusi Seragam

Andaikan peubah acak kontinu X nila-nilainya di dalam terbatas, misalnya selang buka (a, b) dan andaikan fungsi padat peluangnya konstan, katakan f(x) =

c, a < x < b. Maka menurut sifat fungsi padat peluang nilai c = 1

Apabila didefenisikan f(x) = 0 di luar selang itu maka lengkaplah sifat padat peluang itu.

Distribusi khusus ini diketahui sebagai distribusi seragam pada selang (a, b)

dengan fungsi padat peluang f(x; a, b) = 1

(b−a) , a < x < b, dan nol untuk nilai x yanglain. Penggunaan distribusi seragam terjadi dalam simulasi komputer yang terkait pada pembangkitan bilangan acak. Pembangkit bilangan acak merupakan fungsi dalam bahasa komputer yang didesain untuk menghasilkan bilangan apabila data berasal dari distribusi seragam atas selang (0, 1).

Fungsi distribusi kumulatis dari peubah acak yang berdistribusi seragam atas selang (a, b) mempunya bentuk :

x

Rataan peubah acak ini E(X) = a+₂b , sedang variansinya Var(X) =

(b−a)2 12 .

Besaran-besaran ini dapat dicari dengan menghitung E(X), E(X2_{) dalam bentuk} integral.

C. Distribusi Normal

Distribusi peluang kontinu yamg terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng. Dibidang pengukuran fisik seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diprosuksi sering kali menggunakan distribusi normal.

Pada tahun 1733, Abraham DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal. Ini merupakan dasar bagi banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855), yang juga menemukan persamaan waktu meneliti galad dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.

Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ , yaitu rataan dan simpangan bakunya. Jadi fungsi padat X akan dinyatakan dengan n( x; μ , σ ).

Distribusi normal. Fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan μ dan

variansi σ2 _{, adalah n ( x; μ , σ ) =} 1

√

2πσ e

−

(

1

2

)

[

(

x−μ

σ2

)

]

, −∞<x<∞ ,

Dengan π = 3,14159 . . . dan e = 2,71828 . . .

Begitu μ dan σ diketahui, maka seluruh kurva normal diketahui.

Gambar 1.1 kurva normal

ii

Gambar 1.2 kurva normal dengan μ₁<μ₂ dan σ₁=σ₂

Pada diatas telah dilukiskan dua buah kurva normal yang mempunyai simpangan baku yang sama tetapi rataannya berbeda. Kedua kurva persis sama tetapi titik tengahnya terletak ditempat yang berbeda sepanjang di sumbu datar.

Gambar 1.3 kurva normal dengan μ1=μ2 dan σ1<σ2

Gambar diatas terlukis dua kurva normal dengan rataan yang sama tetapi simpangan bakunya berlainan. Terlihat kedua kurva mempunayi titik tengah yang sama pada sumbu datar, tapi kurva dengan simpangan baku yang lebih besar tampak lebih melebar. Perhatikan bahwa luas dibawah kurva-peluang harus sama dengan 1 sehingga bila kumpulan data semakin berbeda maka makin rendah dan melebar pula kurvanya.

Gambar 1.4 kurva normal dengan μ₁<μ₂ dan σ₁<σ₂

Gambar diatas memperlihatkan dua kurva normal yang baik rataan maupun simpangan bakunya berlainan. Jelas keduanya memiliki letak titik tengah yang berlainan pada sumbu datar dan bentuknya mencerminkan dua nilai σ yang berlainan.

μ₁ μ₂

x

σ₁

σ₂

μ₁=μ₂

x

σ₁

x σ₂

Dengan mengamati gambar 1.1 sampai 1.4 serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari n(x; μ , σ¿ dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut :

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x = μ ;

2. Kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan μ ;

3. Kurva mempunyai titik belok pada x = μ ±σ , cekung dari bawah bila μ−σ<X<μ+σ , dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya;

4. Kedua ujung kurva normal yang mendekati asimtot sumbu datar bila nilai x bergerak menjauhi μ baik kekiri maupun ke kanan;

5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.

Untuk tiap pasang μ dan σ , sifat-sifat diatas selalu dipenuhi, hanya untuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, maka kurvanya makin rendah dan sebaliknya.

Berkaitan dengan sifat yang berlaku untuk sebuah fungsi densitas, dalam distribusi normal berlaku pula :

1.

_∫

1. Luas dibawah kurva normal

Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas dibawah kurva diantara kedua ordinat x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang peubah acak X mendapat nilai anatara x = x1 dan x = x2.

Gambar 1.5 P(¿¿1<X<x2)=luas daerah yang diarsirx

¿

Berdasarkan fungsi densitas tersebut maka, peluang x mempunyai nilai antara a dan b adalah luas daerah yang diarsir antara x = a dan x = b.

Secara umum, untuk sebuah fungsi densitas kontinyu f(x), berlaku :

3. P(a<x<b)=

∫

a b

f(x)dx

Contoh

Misalkan peubah acak X mempunyai fungsi dentitas

F(X)=X 2

3 ,−1<x<2=0 untuk yang lainnya

1. Buktikan bahwa fungsi tersebut adalah fungsi dentitas 2. Hitung P(0<x<1)

Sedangkan, untuk distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu x dengan fungsi densitas di berikan oleh

F(x)=P(X=x)=

∫

−∞ ∞

f(t)dt

Akibat persamaan diatas, maka P(a<x<b) = F (b)- F (a), dan

f(x) = dF(x)

dx

jika fungsi turunan ini terdefenisi

2. Teorema Chebyshev

Varians suatu peubah acak akan memberikan gambaran mengenai penyebaran pengamatan disekitar rata-rata. Varians atau simpangan baku kecil, maka data hasil pengamatan akan mengelompok di sekitar rata-rata. Karena itu, peluang suatu peubah acak akan mendapat nilai dalam suatu selang tertentu disekitar rata-rata akan lebih besar dari pada peubah acak dengan varians besar.

Berkaitan dengan ini, Chebyshev memberikan taksiran tentang peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak dan simpangan baku dari harga rata-rata.

P[|X−C|≥ ε]≤σ

Bentuk-bentuk yang ekuivalen dengan bentuk diatas adalah a. Berdasarkan komplemen suatu kejadian

P

(

|X−C|≤ ε

)

≥1−s

Atau berdasarkan kejadian komplemen

P

(

|X−μ|≤kσ

)

≥1− 1

k2

Ini dinamakan teorema Chebyskev

Peluang bahwa peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan

baku dari rata-rata adalah paling sedikit ( 1−1

k2¿ , dinyatakan oleh: P(μ−kσ<X<μ+kσ)≥1− 1

k2

Ini dinamakan teorema Chebyshev Contoh

Sebuah peubah acak X mempunyai rata-rata μ=8 dan variand σ=9 , sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah :

1. P( -4 < x < 20 ) D. Penerapan Distribusi Normal

Banyak masalah yang beberapa diantaranya dapat memakai jasa distribusi normal dibicarakan pada contoh berikut.

1. Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3,0 tahun, dengan simpangan baku 0,5 tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatu baterai tertentu akan berumur kurang dari 2,3 tahun. Jawab :

Mula-mula buatlah diagram sebagai gambar d. 1 yang menunjukkan distribusi umur baterai yang diberikan dan luas daerah yang ditanyakan.

Untuk menghitung P ( X < 2,3), hitunglah luas dibawah kurva normal sebelah kiri titik 2,3.

Ini sama saja dengan menghitung luas daerah sebelah kiri nilai z padanannya. Jadi peroleh

z=2,3−3

0,5 =−1,4

Dan kemudian dengan menggunakan tabel , diperoleh P( X< 2,3) = P (Z< -1,4)

= 0,0808

E. Hampiran Normal Terhadap Distribusi Binomial

Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial dengan langsung dapat di peroleh dari rumus distribusi binomial b (x; n, p). Bila n tidak ada dalam daftar yang tersedia maka peluang binomial terpaksa di hitung dengan cara hampiran.

Antara distribusi binomial dan distribusi normal terdapat hubungan tertentu. Jika untuk fenomena yang berdistribusi binomial berlaku kondisi berikut :

a. Ukuran N cukup besar

b. P(A) ; peluang terjadinya peristiwa A tidak terlau dekat ke nol, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal, dengan rata-rata

m=Np dan simpangan baku s=

√

Np(1−p) dengan X adalah peubah acak diskrit yang menyatakan terjadinya peristiwa A. Karena disini telah terjadi perubahan dari peubah acak diskrit ke kontinu, maka nilai-nilai X perlu mendapat penyesuaian. Yang dipakai adalah dengan jalan menambah atau mengurangi dengan 0,5.

Pendekatan normal terhadap binomial sangat memudahkan dalam perhitungan.

Teorema 5.1 Bila X peubah acak binomial dengan rataan μ=np dan variansi σ=npq maka bentuk limit distribusi nya adalah

z=X−np

√

npq

Bila n → ∞ , ialah distribusi normal baku n (z; 0; 1)

Untuk melihat hampiran normal terhadap distribusi binomial, mula-mula dilukiskan histogram b ( x; 15, 0,4) dan kemudian meletakkan kurva

σ=0,5

sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukiskanlah kurva normal dengan

μ=np=(15) (0,4)=6

Dan

σ2

=npq=(15)(0,4) (0,6)=3,6

Histogram b( x; 15, 0,4) dan kurva normal padanannya, yang seluruhnya telah tertentu oleh rataan dan variansinya dilukiskan pada gambar dibawah ini

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gambar untuk hampiran normal terhadap b(x; 15, 0,4)

Peluang yang tepat dari peubah acak binomial X mendapat suatu nilai x tertentu sama dengan luas persegi panjang yang dasarnya mempunyai titik tengah x.

BAB III

Penutup

Kesimpulan

Dari penyelesaian diatas maka dapat disimpulkan bahwa

1. Pada Peluang acak kontinu distribusi peluangnya tidak mungkin disajikan dalam bentuk tabel, akan tetapi distribusinya dapat dinyatakan dalam persamaan yang merupakan fungsi nilai-nilai peubah acak kontinu dan digambarkan dalam bentuk kurva.

2. Pengukuran Selang waktu, bobot, tinggi, volume dapat dinyatakan dengan suatu distribusi kontinu

3. Grafik normal pada distribusi normal berbentuk lonceng

4. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan (μ) dan standar deviasi ( σ¿

Daftar pustaka

 Team dosen. 2014. METODA STATISTIKA. Medan : Universitas negeri medan