BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Diagram Alir Penelitian
Berikut adalah diagram alir penelitian konduksi pada arah radial dari pembangkit energy berbentuk silinder.
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Analitik
Metode Analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah lazim.
4.1.1 Benda yang Berbebntuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan
Temperatur Permukaan Konstan
Perhatikan suatu silinder panjang dengan jari-jari dalam r, dan panjang L, seperti pada gambar 4.1. Untuk silinder yang panjangnya sangat besar dibandingkan dengan diameternya, dapat diandaikan bahwa aliran kalor berlangsung menurut arah radial, sehingga koordinat ruang yang diperlukan untuk menentukan sistem ini adalah r .
Gambar 4.1 Konduksi panas radial pada silinder.
Gambar 4.2 Benda Silinder dengan Pembangkit Energi
Persamaan konduksi panas, dimana :
Temperatur permukaan = Tw
T(r) = Tw pada r = b
Persamaan (4.3a) diselesaikan dengan integrasi pertama :
Untuk maka distribusi temperature menjadi
Dengan mengintegrasikan persamaan (4.5), maka
Distribusi temperatur dari pers (4.5) dimasukkan ke pers (4.4) menjadi ;
4.1.2 Fluks Panas
Hukum dasar yang memberikan hubungan antara laju aliran panas dengan gradient temperatur, berdasarkan observasi eksperimen, yang secara umum dinamakan setelah ahli Matematika dan Fisika dari Perancis Joseph Fourier yang menggunakannya dalam teori analisanya tentang panas. Untuk material homogen, solid isotropic (contohnya: material yang konduktivitas termalnya tidak bergantung pada arah. Hukum Fourier diberikan dalam bentuk dimana gradient temperatur adalah normal vektor ke permukaan isothermal, vektor flux panas q(r,t) menggambarkan laju aliran panas per satuian waktu, per satuan luas dari permukaan isothermal pada arah yang mengalami penurunan temperatur, dan k adalah konduktiviats termal dari material yang positif secara kuantitas skalarnya. Jika vektor flux panas q(r,t) berada pada arah yang temperaturnya menurun, tanda minus pada persamaan (4.2) membuat laju aliran panas bernilai positif. Jika flux panas dalam W/m2 dan gradient temperatur adalah oC/m, konduktivitas termal bersatuan W/m oC.
Sehingga jelas bahwa laju aliran panas untuk gradient temperatur yang diberikan secara langsung proporsional terhadap konduktivitas termal dari material. Sehingga dalam analisa perpindahan panas konduksi, konduktifitas termal dari material adalah sifat yang sangat penting, yang mengontrol laju aliran panas dalam suatu medium.
Fluks panas di dalam medium didefinisikan sebagai berikut :
Untuk fluks panas pada batas permukaan adalah
Jika r = b maka fluks panas menjadi :
4.1.3 Benda Berbentuk Silinder dengan Pembangkit Energi dan Konveksi
Konveksi adalah perpindahan panas oleh gerakan massa pada fluida dari suatu daerah ruang ke daerah lainnya. Perpindahan panas konveksi merupakan mekanisme perpindahan panas antara permukaan benda padat dengan fluida. Mekanisme fisis perpindahan panas konveksi berhubungan dengan proses konduksi. Guna menyatakan pengaruh konduksi secara menyeluruh digunakan hukum Newton tentang pendinginan, yaitu :
dimana:
= Laju perpindahan panas (W)
h = Koefisien perpindahan panas konveksi
A = Luas permukaan Tw = Suhu permukaan (oC)
= Suhu fluida (oC)
Pada gambar 4.3, aplikasi energi pada disipasi energi secara konveksi yang berasal dari luar permukaan menuju ke dalam dengan temperatur yang konstan .
Konveksi
Secara matematik dapat ditulis persamaan:
Persamaan (4.14a) diintegrasikan dan diaplikasikan ke syarat batas pers (4.14b) dengan menentukan C1 = 0 maka,
Persamaan diatas diintegrasikan untuk mendapatkan distribusi temperatur pada C2 menjadi :
Pers (4.14c) diintegrasikan dengan syarat batas r = b maka C2 menjadi :
Distribusi temperatur pada silinder menjadi :
Secara fisika koefisien perpindahan panas mempunyai 2 batasan yaitu :
1. Distribusi temperatur pada bidang datar (slab) pada koefisien perpindahan panas
maka,
2. Koefisien perpindahan panas yang bernilai kecil di mana temperature T(r) menjadi tak terhingga, maka syarat batas pada pers (4.14b) menjadi :
Persamaan (4.14) disubtitusikan ke persamaan (4.19), maka menjadi :
4.2 Solusi Numerik
Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *).
4.2.1 Persamaan Konduksi Panas pada Koordinat Silinder
Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder adalah sebagai berikut.
Persamaan konduksi panas pada koordinat silinder hanya dihitung pada arah radialnya saja, terlihat pada persamaan (4.23).
Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu :
4.2.2 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder
Gambar 4.4 Metode Beda Hingga pada Koordinat Silinder
Pendekatan beda tengah untuk turunan parsial pada persamaan (4.22) adalah sebagai berikut
Untuk persamaan konduksi panas pada arah radial dengan pembangkit energy,yaitu : syarat batas dan , maka ;
Persamaan tersebut harus diturunkan untuk mendapatkan pendekatan orde dua. Dari persamaan (4.24), maka didapat;
Subtitusikan persamaan (4.25a) dan (4.25a) kedalam persamaan (4.27) untuk mendapatkan persamaan kesetmbangan panas.
Persamaan (4.28) dapat disederhanakan menjadi;
Pada Gambar 4.6, setiap bagian berisi M + 1 pada lokasi berikut;
r = (m-1) ∆r pada m = 1,2,…, M+1
Gambar 4.6 Seleksi Node pada Benda Berbentuk Silinder
dengan node – node m =1 dan m = M+1 sebanding dengan pusat dan luar batas permukaan benda silinder, dan node m=2,3,…,M adalah node dalam (seperti gambar diatas). Untuk temperatur node M+1 dinyatakan sebagai;
pada m =1,2,…,M+1 2-15 Panas yang timbul pada element dengan ketebalan pada node m maka;
Dimana;
H = panjang silinder
Dari persamaan (4.28) didapat kesetimbangan energi pada silinder ;
Atau
untuk
Rata – rata panas yang timbul
Dari persamaan (4.31), persamaan beda hingga untuk kesetimbangan konduksi panas pada tengah node m = 1, maka;
Pada syarat batas r = b maka perlu menentukan syarat batas temperatur , fluks panas dan konveksi.
Kesetimbangan energi pada batas node M+1 di r = b maka;
Dimana
Dari ekspresi diatas diperoleh;
Untuk m = M + 1
Dimana
Subtitusikan persamaan (4.37)ke persamaan kesetimbangan energi dan persamaan bedahingga dengan syarat batas r = b pada m = M + 1 maka dapat ditulis sebagai berikut;
Contoh benda yang berbentuk silinder.
Benda sejenis chrome nikel yang berbentuk batang dengan diameter 10 cm,
konduktiviti termal , energi yang timbul dari panas elektrik
dengan rata-rata . Permukaan batang dipanasi secara konveksi dengan
koefisien perpindahan panas pada temperatur
a. Tentukan distribusi temperatur secara analitik!
b. Tentukanlah persamaan beda hingga jika radius batang dibagi kedalam 5 interval!
c. Galat
Dit : a. Secara Analitik b. Secara Numerik
c. Galat Jawab :
a. Penyelesaian secara analitik Dari persamaan (4.17) :
Maka,
Pada saat r = 0
Pada saat r = 0.01
Pada saat r = 0.02
Pada saat r = 0.04
Pada saat r = b
b. Penyelesaian secara numerik M = 5, maka;
Persamaan beda hingga dipusat (4.35) pada node m =1 maka diperoleh;
untuk m = 1
Persamaan beda hingga dari persamaan (4.32) untuk node m =2 s/d 5 maka diperoleh ;
Diperoleh persamaan berbentuk matrik 6 X 6 untuk 6 node temperatur Tm, m = 1 s/d 6.
Dari persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks;
Tabel 4.1 Hasil distribusi temperature secara numerik
Berdasarkan hasil distribusi analitik dan numerik, maka diperoleh galatnya.
Tabel 4.2 Hasil galat dari distribusi temperatur secara analitik dan numerik
Node R T analitik (oC) T numerik (o
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:
1. Secara analitik bahan krom nikel memiliki temperatur permukaan isolasi pada r = 0 diperoleh sebesar , temperatur pada batas konveksi r = b
diperoleh sebesar
2. Secara numerik bahan krom nikel memiliki temperatur pemukaan isolasi r = 0 terjadi pada node m = 1 sebesar , temperatur pada batas konveksi r
