ANALISIS DATA dan UJI HIDUP

TUGAS

ANALISIS DATA UJI HIDUP

Fungsi Densitas Peluang, Fungsi Survivor, dan Fungsi Hazard

Disusun oleh :

Nama : Syahrial Aufa NIM : 4112312010

STATISTIKA TERAPAN DAN KOMPUTASI JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

FUNGSI DENSITAS PELUANG

Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu interval yang kecil (t, t + ∆t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p) dinyatakan dengan f(t).

f(t)=lim

∆ t →0

[

P(t<T<t+∆t)

∆ t

]

Fungsi distribusi kumulatif pada waktu t untuk suatu individu adalah probabilitas bahwa suatu individu mengalami kegagalan sebelum waktu t atau pada interval waktu [0, ∞].

F(t)=P(T ≤ t)=

∫

0

t

f(x)dx

FUNSI SURVIVOR

Fungsi survivor adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t dengan t > 0. Fungsi survivor dinyatakan dengan S(t).

S(t)=P(T ≥t)=

∫

t ∞

f(x)dx=1−F(t)

Mengacu pada ilustrasi di depan:

S(t) = P[individu hidup lebih lama dari waktu t]

FUNGSI HAZARD

Fungsi hazard adalah suatu fungsi yang menunjukkan tingkat kegagalan atau resiko dalam interval (t, t + ∆t) dan diketahui bahwa individu tersebut telah bertahan hidup selama waktu t.

Fungsi hazard dinyatakan dengan:

h(t)=lim

∆ t →0

[

P(t ≤ T+∆ t_{T ≥ t})

∆ t

]

Fungsi hazard dapat pula dinyatakan oleh dua buah fungsi yaitu fungsi survivor dan fungsi densitas peluang.

h(t)=f(t)

S(t)=

f(t)

1−F(t) Kegunaan fungsi hazard :

1. Mengestimasi waktu terjadinya kerusakan (atau waktu antar kerusakan)

2. Mengestimasi waktu jumlah kru yang akan berperan dalam memperbaiki sistem 3. Mengestimasi ketersediaan sistem

4. Mengestimasi biaya garansi

5. Mengkaji kerusakan terhadap waktu

Beberapa macam fungsi hazard : mempunyai laju kerusakan konstant (dinyatakan dalam fungsi hazard) dengan nilai

3.1 0−8 _{kerusakan/jam. Berapakah reliabilitas sebuah kapasitor setelah digunakan} selama setahun (104 jam)? Untuk menerima kiriman kapasitor tersebut, konsumen memutuskan untuk melakukan tes selama 5000 jam dari 2000 sampel kapasitor. Berapakah kapasitor yang diduga rusak selama test?

Jawaban :

×2000=1999kapasitor

∴nf=2000−1999=1kapasitor

2. Hazard Linier Positif

Contoh :

Rolling resistance adalah suatu ukuran dari banyaknya energi yang hilang dalam ban ketika menahan dikarenakan arah yang berlawanan (gaya gesek). Sebuah perusahaan ban memperkenalkan material baru yang secara signifikan tidak hanya mampu mengembangkan rolling resistance tetapi juga menambah laju penggunaan dari ban. Analisa uji laboratorium dari 150 ban menunjukkan bahwa laju kerusakan dari ban baru adalah linier positif terhadap waktu dengan

h(t)=0,5×10−8t. Tentukan reliabilitas dari ban setelah penggunaan satu tahun. Berapa rata-rata waktu untuk mengganti ban karena aus?

Jawanban :

R(t)=e

Rata-rata waktu untuk mengganti ban adalah

Rata−rata(´t)=

√

₂π_λ=

√

π

2×0,5×1 0−8=17724jam

3. Model Weibull

Bentuk non-linier dari fungsi hazard digunakan ketika secara jelas tidak dapat direpresentasikan secara linier terhadap waktu dengan fungsi hazard yang terkenal

dengan model weibull: h(t)=_{θ t}γ γ−1 untuk γ dan θ bernilai positif. f(t) diberikan,

θ = parameter skala→(sifat umur produk/char. life)

γ = parameter bentuk→ bentuk distribusi

jika γ = 1 maka f(t) adalah density eksponensial,

jika γ = 2 maka f(t) adalah distribusi Rayleigh,

jika γ = 3,43938 maka akan mendekati distribusi normal.

Fungsi kerusakan kumulatif dan reliabilitas :

menjadi konstan dan ketika γ<1_{, fungsi hazard adalah fungsi menurun. Rata-rata} dan varians dari distribusi weibull adalah

E[T]=θ diamati mengikuti distribusi weibull dengan θ = 250 (pengukuran pada 1 05 daur ulang) dan γ=2.

a) Berapa reliabilitas batangan pada 106 daur ulang? Berapa fungsi hazard yang bersesuaian?

b) Berapa waktu hidup duga (expected life dalam daur ulang) untuk batangan baja jenis ini?

Jawaban :

a) Reliabilitas dari model weibull,

R¿

dan

h¿

b) Nilai hidup duga dari batangan baja jenis ini,

E[T]=θ hidup dari baja batangan mencapai ≈14×105 _{kali daur ulang.}

f(t)=_σ 1

√2πexp

[

−1

2

(

t−σμ

)

]

,−∞ ≤t ≤ ∞.

Kumulatif dan reliabilitas normal komponen

F(t)=P(t ≤ t)=

∫

Jika kerusakan suatu komponen t N(μ , σ), maka suatu komponen akan rusak pada

saat t dinyatakan,

Contoh:

Sebuah komponen mempunyai waktu kerusakan yang berdistribusi normal dengan

μ=40000 _{putaran, dan} σ=2000 _{putaran. Tentukan fungsi realiabilitas dan fungsi}

hazard pada 38000 putaran! Jawaban :

R(t)=1−F(t)=1−P(t ≤ t)

¿1−P

(

z ≤38000₂₀₀₀−40000

)

=1−P(z ≤−1.0) berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan standar deviasi σ:

E[X]=E[ln(t)_]=μ

Var[X]=Var[ln(t)]=σ2

Karena T=ex, maka rata-rata lognormal dapat ditemukan distribusi normal,

h(t)=f(t)

R(t)=

∅

₍

lnt_σ−μ

₎

tσR(t) .

Contoh :

Waktu kerusakan suatu komponen berdistribusi lognormal dengan µ = 6 dan σ = 2. Cari reliabilitas komponen tersebut dan laju keruskannya untuk hidup 200 satuan waktu.

¿_200×0,3752_2×0,6386=0,001472 kerusakan persatuan waktu.

6. Model Gamma

digunakan untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu komponen yang mempunyai kerusakan i tahap, 1 < i ≤ n. Atau kerusakan suatu sistem yang terjadi ketika n sub keruskan yang independen terjadi.

Dua parameter distribusi gamma: parameter bentuk(γ) dan paramater skala (θ).

 Jika 0 < γ < 1, laju kerusakan turun monoton dari tak hingga ke1/θ.

 Jika γ > 1, laju kerusakan naik monoton dari 1/θ ke tak hingga.

R(t)=1−F(t)=

∫

Jika parameter γ adalah integer n, distribusi gamma menjadi distribusi Erlang, sehingga,

Sehingga fungsi reliabilitas Distribusi Erlang,

R(t)=e

Dengan fungsi hazard Erlang,

h(t)=f(t)

Rata-rata dan Varians fungsi Gamma,

baterai tsb independent p digunakan berurutan. Tentukan reliabilitas dan laju kerusakan untuk sistem mesin pd t = 280 jam. Berapakah rata-rata waktu hidup sistem?

¿0,003746 kerusakan per jam.

E(T)=γθ=3(120)=360jam .

7. Model Beta

Digunakan untuk interval waktu kerusakan terbatas, misal(0,1) atau semua interval ditransformasi ke dalam interval (0,1).

f(t)=

{

Rata-rata dan Varians distribusi Beta :

E(T)=_αα_{+β ,}

Var(T)= αβ