Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga By Plengdut - March 11, 2013 2878 Perhatikan himpunan-himpunan berikut.
P adalah himpunann nama-nama hari, dapat ditulis P = {senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu}.
Himpunan bilangan cacah, dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, …} dengan anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Himpunan bilangan ganjil, dapat ditulis G = {1, 3, 5, 7, …} dengan anggotanya 1, 3, 5, 7, … dan seterusnya.
S adalah himpunan bilangan asli kurang dari 100, dapat ditulis S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 99}.
Pada himpunan P di atas, semua anggota himpunan P sudah didaftar, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, dan minggu. Jadi, banyaknya anggota himpunan P ada 7.
Perhatikan himpunan S. Tidak semua anggota himpunannya didaftar di antara dua kurung kurawal. Namun, kamu bisa menentukan bilangan yang paling besar anggotanya, yaitu 99. Jika diurutkan mulai dari 1, 2, 3, 4, …, 99 lalu dihitung maka banyak anggotanya ada 99.
Himpunan seperti P dan S disebut himpunan berhingga. Sekarang, perhatikan himpunan C dan G di atas. Tidak semua anggotanya didaftar dan juga tidak dapat ditentukan, berapakah bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan. Karena tidak diketahui anggota yang terbesar maka tidak dapat dihitung banyaknya anggota pada himpunan C dan G. Himpunan seperti C dan G disebut himpunan tak berhingga. Jadi, kapankah suatu himpunan dikatakan tak berhingga dan kapan dikatakan berhingga?
Contoh Soal:
Apakah himpunan berikut termasuk himpunan tak berhingga atau himpunan berhingga?
a. K adalah himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai huruf S b. L adalah himpunan bilangan bulat positif
Penyelesaian:
Banyaknya anggota K ada 3, maka n (K) = 3 Jadi, K merupakan himpunan berhingga.
b. L = {1, 2, 3, 4, …}
Banyaknya anggota L tidak semuanya dapat didaftar karena tidak dapat ditentukan berapa bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan L, maka banyak anggota himpunan L tidak dapat dihitung. Jadi, L merupakan himpuan tak berhingga.
Gottfried Wilhelm Leibniz
Selain berperan dalam kalkulus, Pria Jerman, Gottfried Wilhelm Leibniz memiliki kontribusi yang besar dalam pengembangan Logika Simbolis. Saat kecil, Leibniz belajar berbagai macam pengetahuan secara otodidak. Dia belajar Bahasa Latin sendiri saat usianya delapan tahun dan mulai belajar bahasa Yunani saat
berumur dua belas tahun. Saat itu, dia sedang mempelajari karya Aristoteles dan mulai tertarik pada Logika Formal.
Pada usia lima belas tahun, Leibniz menjadi siswa di University of Leipzig untuk belajar ilmu hukum. Dia mendapat gelar Bachelor dua tahun kemudian dan gelar master tahun berikutnya kemudian pindah ke University of Nuremberg.
Leibniz menerima gelar doktornya dalam setahun. kemudian segera mendapat tawaran Profesorship yang ditolaknya, dia mengatakan bahwa "Ada sesuatu yang lain dipikirannya". Selain ilmu hukum, sesuatu yang lain itu termasuk politik, religi, sejarah, literature, metafisik, filosofi, logika dan matematika. Dia bekerja dari dukungan banyak pihak, dan melayani elit saat itu sebagai seorang pengacara, sejarawan dan pustakawan. Saat itu, Leibniz ditawari unuk menjadi pustakawan di Vatikan yang lagi-lagi ditolaknya.
Kontribusi Leibniz untuk logika adalah karyanya "Karakter Universal." Leibniz percaya, mengkombinasikan logika dan matematika, sebuah bahasa simbolis yang umum dapat diciptakan yang dengan demikian dapat membantu mencari solusi masalah sains dengan kesalahan sekecil mungkin. Dalam Bahasa
Substansinya, Leibniz percaya saat suatu masalah dibahasakan dalam bahasa universal ini, masalah itu akan dengan sendirinya terpecahkan dengan
mengaplikasikan aturan matematis yang berlaku untuk simbol itu.
Leibniz bekerja dalam pengkajian logika simbolis dan tidak memiliki karir akademi lagi. Pengkajian secara sistematis terhadap logika simbolis tidak berjalan sampai abad ke sembilan belas.
Diposkan oleh Adhie di 20.06 Kirimkan Ini lewat Email BlogThis!
Berbagi ke Twitte
MAKALAH LOGIKA PROPOSIONAL
Latar Belakang
Logika berasal dari kata bahasa Yunani “Logos”, yang dalam bahasa inggris berarti “Word”, “Speech”, atau “What Is Spoken”, lebih dekat lagi dengan istilah “Thought” atau “Reason”. Oleh karena itu, definisi logika adalah ilmu
pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prisip-prinsip dari
penalaran argumen yang valid. Logika itu sendiri pertama kali dikemukakan oleh Aristoteles ( 384 – 322 SM ), Filsuf dan ahli sains dari Yunani, seorang murid Akademi Plato, sehingga logika yang diperkenalkannya disebut logika Aristoteles yang merupakan logika klasik atau tradisional. Ia merumuskan logika dengan cara menuliskan argumen/pendapat yang akan bisa dibuktikan kebenarannya yang disebut Silogisme.
Sebuah contoh silogisme(disebut silogisme barbara) :
Premis : Semua A adalah B
Premis : Semua B adalah C
Konklusi : Semua A adalah C
terbentuk dari pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk berikut:
Semua A adalah B (Universal Affirmative) Tidak A adalah B(Universal Negative)
Beberapa A adalah B(Particular Affirmative) Beberapa A adalah tidak B(Particular Negative)
Huruf A dan B diatas menggantikan suatu kata benda.
Pada awalnya logika dipelajari sebagai salah satu cabang filosofi. Kemudian dipergunakan dalam bidang matematika dan sekarang dalam ilmu komputer. Logika disini disebut logika simbol karena mempelajari usaha-usaha untuk menyimbolisasikan logika secara formal. Dengan kata lain logika dipelajari
sebagai sistem formal yang menjelaskan peranan sekumpulan rumus-rumus atau sekumpulan aturan untuk derivasi. Derivasi dipahami sebagai pembuktian
valliditas argumen yang kuat dengan didukung kenyataan bahwa kesimpulan yang benar harus diperoleh dari premis-premis yang benar.
Logika Modern
Setelah Aristoteles masih banyak pemikir-pemikir yang menemukan konsep lain tentang logika tapi masih berkisar pada pemikiran Aristoteles, kemudian baru pada abad ke 19, Augustus De Morgan (1806-1871) dan George Boole (1815-1864), para ahli matematika Inggris yang mengembangkan logika klasik menjadi logika modern atau logika simbolik. Sumbangsih dari kedua tokoh tersebut adalah Induksi Matematika dan hukum ekuivalensi De Morgan(Augustus De Morgan) serta Aljabar Boole((George Boole). Logika tersebut kemudian dikembangkan dan diperkaya oleh penemuan-penemuan dari Gottlob Frege (1848-1925), ahli matematika dari Jerman, Bertrand Russell (1872-1970), Alfred North Whitehead (1861-1947), dan lainnya. Sistem logika yang dikembangkan oleh dua nama terakhir membahas argumen-argumen yang memungkinkan sesuatu dapat dimasukkan ke dalam bentuk yang lebih luas daripada silogistik. Logika modern ini mengenalkan simbol-simbol untuk kalimat yang lengkap dan perangkai-perangkai (Connectives) yang akan merangkainya “and”, “or”, “if… the…”, “if and only if..” dan sebagainya. Dalam bentuk yang biasa, semua well-formed sentences didalam logika modern memiliki satu nilai saja dari dua nilai berikut, yaitu benar (True) atau salah (False).
berikut yaitu “True” atau “False”. Nilai benar dapat diganti dengan angka satu dan nilai salah dapat diganti dengan angka 0.. logika modern dijadikan dasar pembuatan aljabar-boole yang dikembangkan oleh George Boole dan menjadi dasar teori tentang pengembangan computer digital, terutama dalam
pengembangan mikroprocesor sebagai otak komputer digital.
Suatu well-formed sentence, dalam logika akan diformulasikan dalam bentuk suatu rumus sehingga dinamakan well-formed formulae(wff) atau bentuk logika yang menggunakan tanda kurung(fully parenthesized expression).
Logika matematika yang menangani masalah well-formed formulae yang hanya memiliki nilai benar dan salah adalah :
Logika proposisional memfokuskan Pernyataan yang mempunyai benar atau salah.
Logika Predikat. Memfokuskan penanganan terhadap pernyataan yang tidak dapat diproses oleh logika proposional.
Logika proposisional dikembangkan oleh George Boole dan Augustus De Morgan yang memberinya nama logika simbolik karena logika tersebut bekerja dengan mamanipulasi symbol-simbol. Dasar pemberian nilainya kemudian
diformulasikan pada Tabel Kebenaran yang diperkenalkan oleh Emil L. Post dan Ludwig J.J Wittgenstein. Morgan sendiri akhirnya bisa membuktikan kesalahan dari silogisme.
Contoh : Semua kuda adalah hewan
Dengan demikian, semua kepala kuda adalah kepala semua hewan.
Logika proposisional sendiri sebenarnya sudah berkembang untuk menangani pernyataan-pernyataan yang tak mampu diselesaikan oleh logika proposisional dan berkembang menjadi logika predikat yang sudah diperkenalkan oleh Sir William Hamilton dengan doktrinnya yang dinamakan “Quantification Theory” =. Sehingga tidak heran jika ada yang menyebutnya logika kuantifikasi atau
pengkuantoran logika. Kemudian dikembangkan oleh Gottlob Frege, tetapi
formula-formula logika predikat yang digunakan sekarang yang diberi nama First Order Logic dikenalkan oleh David Hilbert dan Wilhelm Ackerman pada Tahun 1928.
George Boole adalah seorang filsuf dan matematikawan yang berasal dari Inggris. Beliau membangun modern logika simbolik dan yang aljabar logika, sekarang disebut Aljabar Boolean, yang digunakan sebagai dasar untuk desain sirkuit komputer digital.
George Boole lahir pada tanggal 2 November di Lincoln, England. Orang tuanya bernama John Boole dan Mary Ann Joyce. Ia diberi pelajaran pertama dalam matematika dan juga diajarkan untuk membuat instrumen optik oleh ayahnya, seorang pembuat sepatu.
George memiliki pendidikan sekolah dasar, namun sedikit pengajaran yang lebih formal dan akademik. William Brooke, sastra di Lincoln, mungkin telah
membantunya dalam mengajarkan Latin, yang mana ia juga dapat belajar di sekolah Thomas Bainbridge.
Biografi George Boole Pencetus Aljabar Boolean sumber : en.wikipedia.org
George harus membantu keluarganya ketika bisnis ayahnya menurun. Saat berusia 16 tahun, ia sudah mengajar di sebuah sekolah yang berada di Riding of Yorkshie Barat. Ia memanfaatkan waktu luangnya untuk membaca.
George membaca jurnal matetika di Lincoln Mechanics Institute. Ia juga membaca Isaac Newton Principia, Pierre-Simon Laplace Traite de mécanique céleste, dan Joseph-Louis Lagrange Mécanique analytique dan belajar untuk memecahkan masalah-masalah dalam aljabar.
George belajar mengenai kalkulus lebih dalam melalui buku matematika yang diberikan oleh teman kenalannya ketika ia berpatisipasi di Lincoln Mechanics Institute yang didirikan pada tahun 1833, yaitu bernama Sir Edward Bromhead. Ia juga mendapat teks kalkulus karya Sylvestre Francois Lacroix yang didapatkan dari George Stevens Dickson dari St Swithin Lincoln.
Saat berusia 20 tahun George Boolean mendirikan sebuah sekolah di Lincoln. Saat berusia 24 tahun ia mengambil alih Hall's Academy di Waddington. Akademi tersebut ia dapatlan ketika Robert Hall yang pada saat itu berstatus pemiliknya meninggal dunia.
Pada tahun 1849, ia bekerja sebagai profesor matematika di Queen College, Cork di Irlandia. Pada tahun 1854, ia bekerja pada aljabar logika yang lebih dikenal sebagai aljabar boolean. Pada tahun yang sama ia memperkenalkan metode simbolik umum inferensi logis melalui Laws of Thought.
George menikah dengan Mary Everest pada tahun 1855. Dari pernikahan tersebut mereka mempunyai lima orang anak perempuan yang diberi nama, Mary Lucy, Magaret, Alicia, Lucy Everest, dan Ethel Lilian. Pada tahun 1847 ia ikut serta dalam membangun sebuah building society.
Alicia Boole salah satu anak perempuannya menjadi seorang ahli matematika. Sementara saudaranya Everest Boole menjadi seorang profesor wanita pertama dalam bidang kimia di Inggris. Selain ayahnya anaknya juga berprestasi.
George dianugerahi Keith Medal oleh Royal Society of Edinburgh pada tahun 1855 dan terpilih sebagai Fellow dari Royal Society pada tahun 1857. Ia juga menerima gelar kehormatan dari LL.D. dari University of Dublin dan Universitas Oxford.
