l ; ~ '" /c rc, r OF1lMISASI DENOAN KENDALA

OF1lMISASI DENOAN KENDALA

r~--···-,·-·

l ;

~

'"

OLEH: TRIKUNCORO Dibiayai oleh :

DanaOPF

TabUn Anganm 1990/1991 Surat Keputuaan DeJean :

Nomor : 31/SKD/90 TBIJ888l : 1 Nopember 1990

---1

FAKULTAS MA1EMATIKA DAN

n.MU

PENOETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS OADJAH MADA

DEPARTEMEN PENDIDIKAN DAN KEBUDAY AAN

1990

/c

rc, r ~9 ·.:~r 1~'1 0 c. (

..

_{. '}

_.

i

;r·

KATA P ~NG/\N TAR

Asselam'mualaikum wr wb,

Puj i syuku r k ehadi rat lU 1 ah SIJT a tas p etunj uk dan hi dayah NYA sehingga laporan penPlitian• ini dapat diselesaikan t~ pat pada waktunya.

Topik yang cfib8has dalam laporan penelitien ini adalah OE:_ TIMISASI DENGliN KEND.l\L.t\. Topik ini merupakan kelanjutan dari topik penelitian yang berjudul OPTIMISASI LEIJAT METO DA NUMERIS Y.~ng dilakukf"n oleh Drs. 8. Susanta dan penur-lis sendirL Penelitian terdahulu membatasi pembahasan h.2. nya pada optimalisasi fungsi-fungsi tanpa kendala,

semen-tara penelitian ini melengkapinya dengan membahas optima-lisasi fungsi-fungsi dengan kendala.

Penulis menyadari' baht.ra 11'\poran penelitian ini niasih sa -ngat jauh d8ri sempurna, untuk itu kriltik dan saran untuk perbaikan sangat penulis har~pkan.

Kepada: 1 • Bapak 2. Bapak 3. Bepak

4.

Bepak Dekan FMIPA

Ketua kAgiatan Proyek OPF UGM

Ketua Juruscm Matematika FMIPA dan Drs. 8. Susanta selaku pembimbing

penulis mengucapkan terima kasih atas segala bantuan, do-rongan, bimbingan, ijin dan persetujuan pendanaannya. \Jassalam'mualaikum wr wb.

INTI SARI

Optimisasi dengan kendala mempunyai beberapa metoda untuk menemukan ni-lai optimalnya. Masing-masing_ metoda mempunyai kekuatan dan kelemahan dalam memberikan arah menuju titik konvergen atau nilai optimal.

Proses menuju konvergensi dan akhirnya mendapatkan nilai optimal kadangkadang memerlukan langkahlangkah perula -ngan yangrcukup lama.Perull'!-ngan ini biasanya lalu mengarah

•

pada penghampiran numeris. Perhitungan secara m<:"nual akan memakan waktu yang sangat lama dibanding jika perhitungan ini dilakukan dengan komputerisasi. Menterjemahkan alClJO -ritme metoda-metoda penyelesai~n ke dalam bentuk program komputer tidak selF~lU mudah dilakukan. Kekuatan dan kele-mahan masing-masing metoda sangat menentukan cepat atau

TINJ AU AN PU STAK A

Program non linear dengan kendala mempunyai beberapa meta-de P eny el esai an, y ai tu:

1. Untuk kendala bebbentuk persamaan:

1.1. Metoda Jacobian {Bronson, 1983], (Hamdy,1982), [Beightler, 1979), (Mital, 1979),(Ravindran, 1976) 1.2. Metoda Lagrange l8ronson, 1983), lHamdy, 1982),

{Mital, 19791, (Ravindran, 1976)

1.3~ Metoda Newton Rhapson {Bronson, 1983), (Hamdy,1982)

tMi tal, 19791

1.4. fYletoda Fungsi Penalti (Bronson, 1983), {Hamdy,1982) {JVlital, 1979), tRavindran, 1976)

2. Untuk Kendala berbentuk PP.rtidaksamaan:

2.1. Metoda Lagrange {Bronson, 1983), {Hamdy, 198?], [fHtal, 1979), (Ravindran, 1976)

2.?. Metoda Kuhn-Tucker (Bronson, 1983), tHamdy, 1982) [Mi ta-l, 1979)

Metoda Newton Rhapson dFllam Drograrn non linear dengan ken-. dala bebbentuk persamaan ml'!rupakan metoda yang paling ce -pat mengarah ke nilai optimal (Hamdy, 198?), [Kuester, 19731

sedangkan metoda-metoda yang lain relatif lebih lama lagi untuk sampai ke nilai optimal.

Akan tetapi kecepatan memdapr:Jtkan nilai optimal juga sangat tergantung kepada penentuan titik awal penghampiran {Hamdy, 1982), sedangkan ke empat metoda yang ada sama sekali t i

-dak memberikan informasi untuk penentuan titik awal tersee but (Beightler, 1979), [Mital, 19791, tHamdy, 1982), ·(Ra-vindren, 1976). !ienentuan daerah penyidikan yang mengarah ke konvergensi

I

unimodal lebih banyak di dapatkan melalui mE'toda coba-coba (Hamdy, 19821, (Beightler, 1979), (Mital, 1979), lRavindran, 1976),lKuester, 1973).

Metoda Lagrange pada program non liner:~r dengan kendala ber-bentuk pertidaksamaan relatif lpbih lemah dibanding metoda Kuhn-Tucker (Bronson, 1983), (Hamdy, 198?), (Mital, 1979). Penerjemahan kedalam program komputer untuk metoda

pada-D~.FTfl.R I SI Kata pengantar

.

.

.

.

. .

.

. .

.

. . .

~

. . .

. .

. . .

.

. .

.

. .

. .

.

.

.

Intisari

. .

.

.

. . . .

.

.

.

. . .

. .

.

.

.

. . .

.

.

.

. .

.

. . .

.

. .

. .

.

.

.

. . .

Tinjauan Pustak8

. .

. . .

.

. . .

.

. .

. .

. .

.

.

. . .

.

. . .

.

.

.

.

Daftar Isi

.

. . . .

.

. .

.

.

. . . .

.

. . .

.

. . .

.

. . .

.

.

.

. . .

.

. .

.

8118 I • Pencfahuluan

BAB II

Pembahasan

BnB III

Kesimpulan

.

.

.

.

. . .

.

. . .

. .

. . . .

.

.

.

.

.

.

. . .

. .

. .

.

.

.

. . .

.

. .

.

. .

. .

. .

. .

.

.

.

.

. .

. .

. .

.

. .

. . .

.

. .

.

.

.

. .

.

8Pberapa definisi dari istilah-istilah

. . . .

. .

. . .

.

.

.

.L\1 go r i tm a

.

.

. .

. .

.

.

.

.

. . .

.

. . .

. . .

. . .

.

.

.

. .

. .

FloiJ Chart Daftar Pustall:a

.

.

. .

. . . .

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

. .

. .

. .

. .

. .

.

.

.

. . .

. . .

.

.

. .

.

. . .

.

.

. .

.

.

. . .

. .

.

.

. .

.

. .

.

.

. . .

. . .

i ii i i i v 1 2 7 11 13 20 25

BAS I PEN DAHULU AN

Secara garis besar, program non linear dapat dibeda -kan menjadi dua, yaitu:

1. Program non linear tanpa kendala dan 2. Program non linear dPngan kendala.

Pembahasan mP.ngenai program non linear tanpa kendala su dah dikup as di dal am pen eli ti an t er dahulu, m pl ipu ti top ik mengenai ppnentuan daerah penyeligikan, metoda-metoda yang ada, p~nghampiran numerisnya dan penyususnan program

kompu-ter.

Untuk melpngkapi penelitian terdahulu, dalam bab II akan dibahas program non linear dengan kendala menyangkut topik metoda-metoda yang ada, penghampiran numerisnya. dan penyusunan program komputer. Penentuan daPrah penyelidik akan dibahas didalam pembahasan masing-masing metodanya.

Pada bab I I I tentang Kesimpulan akan dicoba dikete -ngahkan beberapa hasil yang didapatkan dari pembahasan pada bab II. KAsimpulan itu menyangkut kekuatan dan kelemahan masing-masing metoda yang ada, metoda yang paling cepat me nuju ke konvergen

I

nilai optim?.l dan kpsulitan-kesulitan yang timbul pada saRt men,rj emahkan algoritme metoda-metoda ke dalam program komputer.

Bahasa komputer yang dipakai untuk menyusuR~program -komputernya dipilih bahasa PASCAL, dengan pertimbangan ka-rena bahasa Pn.SCAL lebih efisien dan mempunyai tibgkat ke-telitian tinggi. Tingkat keke-telitian yang tinggi ini sangat diperlukan pada program-program komputpr sem8cam ini kare-na akan memberikan hasil penghampiran yang lebih akurat.

Perangkat keras yang digunakan untuk mencoba peogram kom-putE!rnya adalah PC-AT

386/ex.

3

Metoda optimasi untuk program non line:!ar te~npa kendRla

a-dalah:

1. Untuk pro gram non 1 in ear tanpa kende~la satu p erubah:

1. 1. Me to de~ three paint interval

1.?. Metoda Fibonaci

1. 3. Metoda Go! den Mean

1.4. Metoda Rosen brock 1. 5. Meta da Bisection

1. 6. Meta da Fa! s e position 1.7.' Metoda Newton Rhapson

.

2· Untuk program non linear tanpa k en d a 1 a p e r u bah banyak: 2. 1. Metoda Hooke Jeeves

2. 2. Metoda Axial.

2. 3. Meta da Steep est Ascent

2.4. Metoda Newton Rhap son

Pembahase~n mengenai program non linear tanpa kendala dan

metoda-mp,toda yang ada sudah dilakukan pade~ penelitian te!:, dahulu.

II. PROGRAM NON LIN£"AR DENGAN KENO.QLA

Program non linear dengan kendala dapat dibedakan menjadi: 1. Program non linear dP.ngan kendala persamaan dan

2. Program non linear dengan kendala pertidaksamaan. 1. Program Non Linear dengan kendala persamaan

Bentuk umum: M em ak s i m a 1 k an z = f(X) , untuk X En Meminimalkan dengan syarat gj(x) = 0 j

=

1,2, •••

,m ;

m n

Metoda optimalisasi:

1.1. Metoda Oerivatir (Jacobian)

Oengan mengambil titik awal penghampiran Xo Di su sun X

= (

Y, Z)

dfhi tung

Vf'(Y,Z)

= (

Vyf', Vzf') Vg(Y,Z) = ( Vy9• Vzg) d i d P.

r

in i s i k an

J = Vyg = (9yg1, Vyg21 ••• , C = fJyg

=

('Vyg1, Vyg2, ••• , dihitung

.

nilai (J-1c)X 0

s

cr

=

('Vzr - 'Vyf

J-1

c). Cbz

f>v

=- J-1

c.f>z

hasil perhitungan d'iatas r~kan mengakibatkan nilai

SX

d aP at di ten tu k an.

Selanjutnya dihi tung X1 = Xo +

bX

Oengan memakai nilai X1, proses diulangi.

Demikian se>tPrusnya samp8i diperoleh nil;::Ji dengan ba-tas ralat yang diinginkan/d~syaratkan.

2. 2. M e to d a L a gran g e Oi su sun b en tu k : F(X1

L)

=

f(X) -

l'G

den gan m L ' G =

i:

1 . ~. (X) j=1 J J

Syarat perlu a·gar F(X,L) mencapai ekstrim adalah:

&F

- =

0 1 i = 11 2, ••• 1n·

- =

0

&

1. 1 j = 112, ••• ,m J

2. 3. Metoda Newton Rhapson

Oisusun fungsi seperti dalam metoda Lagrange F(X,L), kemudian dibentuk L(Z), sebagai bPrikut.:

L(Z) = F(X1L)

5

Deng;:m rumus iterasi berikut ini nilai

z

akan dapat

dip erol eh

zk+1

=

zk - (HL/Zk)-1_ L/Zk

Jika L(Z) konvergen akan diperoleh nilai Z yang op-timal, itu berarti nilai X juga optimal.

2.4. Metoda Fungsi Penalti

Metoda ini member-ikan petunjuk dalam hal menentukan nilai awal penghampiran, yaitu dengan mengambil

m 2

-

2:

P· g .. (x)

1=1 ~ ~

z

=

r(x)

den gan · p•)' 0 konstanta (disebut tetapan penal-ti).

Pr-oses sel anj u tny a men ggun ak an me to da-m eta da s eb elup_ nya.

2. Program Non LinPar dengan Kendala Pertidaksamaan Ben tuk Umum:

Memak simal kan Meminimalkan Metoda optimalisasi: 2.1. Metoda Lagrange

z

=

f(

X) dengan sy ar at gj(x) ~

o

hk (X) = 0 , j = 1,2, ••• ,n , k

=

1,2, ••• ,p

Oiambil suhtu kombinasi dari g.(X) = 0 yang

diga-J

bungkan dengan hk(X)

=

0, hasilnya diuji/dikaji di d'a 1 am g . ( X) ~ 0.

J

Bila memenuhi kondisi fungsi g, berarti diperoleh titik stasioner.

Proses diatas diulangi sehingga untuk semua kombi-nasi ( satu unsur, dua unsur, ••• , atau n unsur ) y~nq munakin dari n unsur a.(X)

=

0 semuanva su

-2.2~ Metoda Kuhn - Tucker

Syarat perlu agar ekstrim dapat di.tulis sebagai b er iku t-: gj (X)

<

0 I j = 1121 ••• 1m hk (X) = 0 I k = 1,2, ••• ,p 1 . g. = 0 j = 1,2, ••• ,p J J I di susun z

=

m p f(X)

*

2"

1. g. (X) + ~ hk(X) j=1 J J k=1 5

· Oalam kond'i~i seperti diatas, syarat perlu akan menjadi syarat cukup jika f(X) dan spmua gj(X) ko~ kaf, itu bere~rti z akan mencapai optimal (dalam -hal ini z mencapai maksimal).

Nilai z mencapai optimal minimum jika f(X) konvex dan g. ( x) konk

ar.

BAS III KESIMPUL AN

Metoda-metoda optimisasi untuk program non linear de>ngan kendala telah disajikan dalam bab II. Masing-ma-sing metoda kemudian diterjemahkan ke dalam program kom-puter. Pengujian dilakukan dengan mengambil nilai awal U!:!_

tuk penghampiran dengan nilai yang sama. PenP.ntuan nilai awal menggunakan pro~edur y<'lng ada pada metoda rungsi pe-nalt'i.· Banyaknya perulangan yang terjadi dan lama proses menuju konvergensi dicatat. Pengujian diulangi d'P.ngan me!!!_

berikan nilai awal penghampiran yang berbeda-beda.

Dengan beberapa kali pengujian dapat diperoleh kesimpulan yang terangkum pada uraian berikut ini.

1. Untuk Progre~m Non Linear dengan kendala pP.rsamaan 1.1. Metoda Jacobian

Metoda ini dapat dibawa ke bl?.ntuk program kompu-ter tanpa banyak kesulitan. Meskipun demikian, m~ sih saja dibutuhkan perhi tungan secara manual (s2_ ma sekali tidak dapat diserahkan kepada komputer untuk menghitungnya), misalnya menghitung

deriva-tir parsial.

Secara umum., metoda ini cukup balk untuk d'igunakan karena cepat menuju ke konvergensi

I

nilai optimal dan cukup mudah untuk membawanye menjadi program kompu ter.

;:7..

Metoda Lagrange

P en gu j i an o p tim a 1 i s as i den g an m e to d a in i sed i k i t

banyak akan membawa kita kedalam suatu kesulitan, karena metoda ini hanya mengandalkan derivatif' parsial dari masing-masing variabelnya. Akibatnya pengujian ini tidak banyak menolong untuk men9a

-rah p~da nil;:!i optimal atau tidak. Semua nilai b~

8

Keterbuk~an nilai pendekatan yang ternyata masih mP.mpunyai kemungkinan mengEJrah ke konvorge:on maupun divergen, ak.gn membat.ra kit~ kedalam suatu kesulitan karena perulangan itu tidak akan pernah selesai j i k2 fTle:>mang kenyataannya fungal tersebut tidak opti-mal.

Proses me:>ncari nilai optimal 8khirnya seperti sek.!:!_ dar melakukRn proses triRl ~nd error. Nilai opti -mal akan berhasil jika fungsinya konvergen dengan penetapan niL:oi e1wal penghr.:lmpitan SPCE~ra kebetulc>n

tepRt. Seb2liknyC1 jika fungsinya divergf?n dengan.

pemilih;:~n nilai aw81 tidak tepat, proses looping

tetap br?rj;:~l~n tanpa bise didet-:>ksi diwaktu kapan seharusnya perulang,qn tersebut harus berhenti dan eksekusi program komputer diangg?p cukup.

Seandainy~ program terpaksa dihentikan secara

pak-sa kita tirlak bida menarik kesimpulan b,qhwa fungsi tersebut dinyatakan konvergen ;:~tau rlivergen.

Jika fungsinya sejak semula sudah diketahui konveL gen, metoda ini cuku~ baik untuk digunAkan mencari nilai optimr~l. Oe:>nr.:~::Jn meng8mbil nilai ::>wd menurut arahan mptoda fun<;:₁ ~i r,<?r•::-,1 ti, metod;:~ ini ternyata sel81U berhr1sil mpncrJpai nil::li optimal.

P-:>rhit.ung~n manual mAsih h<HUs rilakukr1n pad8 pen,g_ gun a an m e to rl :::~ i n i , m i s ;"J 1 n y a de 1 ~ m m en g hi t u n g d e r i -vatif parsiAl tingket pr-rtAma dFJn tingkat kprfua. N;:HTJUn dPmiki::>n, metod;, ini mempunyai kepastian me-ngenai konvergensi ~tFJu divergensi fungsinya.

Sehingga secarR umum, metoda ini bisa dianggap pa-ling baik dib?nding mptoda-mptocfe y?.ng lc:dnnya, kR

r en ;;:a c eP e t c! an P. f is i en •

1.4. Metoda Fungei PenRlti

Metoda ini juga memberikan arah yAng cukup jelas d al am mend e t e>k s i fun g sin

y

Fl k on v erg en at au tid ak. Hanya sElja, pementu,,n bilangan positip konstanfta· p

9

hambPttan, sebalikmya jika pengambilannya sal~h a-kan membunt pengujiannya menjadi tid;~k efisil!!n k.2, renR k~sAlahan itu baru bisa disa~ari setelah p~ rulangan berlRngsung cukup lama. JikC'I kemungkinan itu bP.nar-bpnar tP.rjadi, make~ nilai p harus diga!!,

ti dengan nilai p yang baru dan nilai inipuh be -lum dapat rliketahui benar tidaknya.

Sehingga mp,tnr.la ini ~ianggap tidak begitl.J erisien kpcuali jikr~ penggunar~n mptoda ini dikombinr~si dE' ngan metoda yang lain.

Jika Penentuan nilai p ·tidak secera trial and error

mele~inkan dengan bat.asan-bateeen tertentu sehingga

selalu t~pat, metoda ini sr:~ngat baik k;uena perhi-tungan manu<'ll sudah banyak r.lihinderi.

2. Untuk Program Non Linear rlengan Kendala Pertidaksamaan

2. 1. M e to d a L a g r an g e

Metoda ini tidak dapat berbuat banyak dalam menje-min rungsinya menuju optimal atau tidak, sehingga akan menimbulkan masalah yang mirip dengc:m metoda Lagrange pada program Non Linear dengan kendala -p er sam FJ an •

Pengujian secara numeris dengan memak;:d komputer masih menyisakan banyak tahap yang perhitungannya harus dilakukan secara manual.

Penentuc:m nilc:d awal penghampirf'!n mutlak herus di-lakukan secara manual, padahal tidak selalu pene!!, tuan itu langsung bprhasil mendapatkan nilai opt!_ malnya.

2. 2. Metoda Kuhn - Tucker

Metoda ini lebih mudah diter!jemahkan kedalam pro-gram komputer. Banyak tahap yang bisa didelegasik kan menjadi perhitungan komputasi, misalnya pemi-lihan nilai awal P£mghampiran. Akan tetapi dengan diberikannya syssat yang harus dipenuhi oleh nilai awal tersebut dan Pengujie~nnyn cukup dengan perhi tunoan manual (kerena .iika diu.ii denqan komputer

10

SE'f)r-!rtinyn mP.njildi tidnk br1ny;Jk meno]nng, l~1rena

bebP.repn tahe1p yang justru sCJngat rnenentukan

ha-ru~ rlihitung ~ecnrn m:=tnusl.

Uraian-uraian PndA keoup mPtod~ diatas membprikan ke -simpulAn bnht.IFl pP.nyusunan progrBm komput~r untuk meto-da optimasi P2ri8 progrr:!m non line;u dnng8n kendala Per. tioAks;:~m8?n tidak banyak rnpmb2ntu pr>ngujien n1etoda se-cara numerik. Bebl?rapa lnnokah P8d<'1 :=~lgoritrne harus di

-

'

-hitung secRr? manual dan beberapR langkah ynng lain

t!

dak memb~rikan pprbedaan ynng cukup berarti jikn

BEBER~PA

DEFINISI DARI ISTILAH-ISTILAH

1. Oefini t po si tip:

MRtrik M disebut definit positip jika untuk se-mua X'!- 0 dipenuhi baht..ra bF?ntuk kuadrat X'MX">O menj adi syaratnya.

2. Oefinit negatip:

Matrik L disPbut definit negatip jika untuk se-m u a V

'F

0 d i p en u h i b a h w <'! b en t u ll: k u a d r a t Y ' L Y .( 0

m enj adi sy era tny a.

3. Semf definit:

M?trik M disebut semi definit positip lnegatip jika X'MX)-0 atau X'MX~O dan ada X

'1-

0 yang memberikan harga X'MX = 0.

4. IndPfini t

I

tak menentu:

S. Gaadi en:

Matrik M disebut indpfinit

I

tak mpnentu jika ada matrik A dan matrik 8 sehingga terpenuhi

A' MA) 0 dan 81_MB(O.·

Oalam En, bila f mempunyai derivatif pertama maka: Gradi Pn f = grad f

= ( - , - ,

bx1 bx2

...

.,

bxn )

6.· Syarat cukup unt1.,1k titik ekstrim

Syarat cukup agar fungsi f(X) mencapai ekstrim (maksimumlminmmum) di Xo adalah:

1. V

f(

Xo) = 0

2. H(Xo) adalah definit positip ldefinit nega-tip, itu berarti fungsi f adalah fungsi kon kaf

I

konvex tegas.

7. Syarat cukup untuk titik pelana

Syarat cukup agar fungsi f(X) mempunyai titik pelana

I

titik penalti di Xo adalah:

1. Vf( Xo)

=

0

2. H(Xo) indefinit

I

tidak menentu. B. Himpunan Konvex:

S disebut himpunan konvex bila terdapat X1 dan

X?

sehingga X1, X2 S --- X S dan berlaku V - ~ V1 - (~-~' V~ n m 1

12

9.

Fungsi Konvex:

Un tuk

X

E. S C

En den gan

S

ad~l

ah himpun an konv ex

maka fungsi f(X)

dis~but

fungsl konvex bila un

-tuk sebnrang dua titik X1 dan X2 dengan X1, X2

€ S

dan

0

<

m

~ 1

akan dip enuhi

f(m.X1+(1-m).X2)

~

m.f(X1) + (1-m).f(X2)

Catatan:

Jika sP.mua tanda diubah menjadi <make fung

si

r

disebut konvex tegas.

10. Fungsi Konkaf:

Fungsi f(X) disebut konkaf

d~=>.ngan

X

G.S

dan

Shim-punan konves bila -f(X) konvex didalam

s.

Catatan:

Fungsi konkaf tegas didefinisikan sejalan

d~

ngan pendefinisian konvex tegas.

11. Matrik Hessian:

Oalam En, jikn fungsi f mempunyai derivatif

kedu~

maka matrik Hessian untuk

f

adalah

1 2 • Teo rem a I :

't}·r

Hf(X)

=

den gan

f>x.

&x.

l. J i

=

1,?, ••• ,n j

=

1,2, ••• ,n

Jika semua derivatif kedua fungsi f(X) ada dengan

X E.S

dan H(X) matrik Hessian untuk f maka f'ungsi

f(X) disebut konkaf/konvex tegas dalam S bila dan

hanya bila H(X) definit negatip atau definit posi

tip untuk ·semua X didalam

s.

1 3. Teo r em

~

I I :

Jika semue derivatif k

X didalam S dan H(X) m

fungsi

r(x)

disebut ko·

dan hanya bila H(X) s

midefinit negatip untu

14. Teorema III:

dua fungsi f(X) ada dengan

trik Hessian untuk

f

make

kaf/konvex dalam S bila

-i def-in-i

t

po si ttip a tau

se~

semu a X didal am

s.

Jika fungsi f(X) konkaflkonvex dalam S maka

seti-ap maksimum

I

minimum lokal dalam S akan merupaka

kan maksimum

I

minimum global dalam

s.

ALGORITMA METODA PEr.,IYELESAIAN SECARA UMUM

1. Menentukan nilai awal pendekatan ( Xo)

2. Menghitung nilai pendek?tan selanjutnya ( X1 )

3. Menguji apakah nilai X1 merupakan nilai optimal atau tidak

4. Mengulangi proses jika ternyata nilai pendekatan yang baru bukan merupakan nilai optimal.

' ALGORITMA UNTUK METODA OERIVATIF (JACOBIAN)

1. Menentukan nilai Xo

2. Menyusun Yo dan Zo sebagai beriku t Xo

₌

(Yo, Zo)

3.

Menghi tung df(Yo, Zo)

=

_{( dyfo, dzfo)} 4. Men ghi tung dg( Yo, Zo)

₌

( dyfo, dzfo) 5. Men ghi tung:

J

=

dygo

=

( dyg10 J dy g2o,

...

'

dygmo ₎

'

c

=

dzgo

=

( d Z g 1 o , . d Z g 2o , • • • I dzgmo )

'

0

6. Menghitung invers J

7. Menghitung nilai

J-

1 .c untuk Xo

e.

Men ghi tung Z*

9. _{Menghitung Y*}

=

_-J

-1 _{.c.z* untuk Xo}

10. Menentukan X* = (Y*,Z*) 1 'f. Menentukan X1 = Xo

+

X*

12. Mengul an g proses diatas sehingga dip erol eh X yang op-timal.

AL GORI TMA UN TUK M

E:TODA lAGRANGE

1. Menentukan fa= ( x1a, x2a, •• , xna, 11a, 12a, •• , lma)

2. Menyusur.t:·. Fa(X,L)

=

f( Xo) - La'. G( Xo)

3. Men ghi tung

dx1f' dx2f'

.

.

.

,

dxn f untuk nilai Xo d11 f' dl2f'

.

. .

,

dln f untuk nilai Xo 4. Menguji apakah masing-masing

~ d .f )o untuk i _X1 = 1,2, •• ,n dan

( d 1 j f ) o u n tu k j = 1 , 2, •• , m sama dengan nol atau tidak

5. Jika sama dengan no! maka program optimal 6. Jike tidak sama dengan nol, disusun

f1 = ( xio + (dxif)o , ljo + (d₁jf)o ) dengan

i = 1, 2, ••• , n

AL GO RI TM A UN TUK M ETO OA NEWTON RHAP SON

1. Menyusun Fo

=

(x1o, x2o, •• , xno, 11o, 12o, •• , lmo) 2. Menghitung (dr)o

3. Men en tukan der i vati f k edu a dari r y aitu ( d 2 r)o

4. Menyusun matrik Hessian H(X,L) berdasarkan derivatir kedua dari F, sekaligus dihitung H(X,L)o

5. Mertcari invers dari H(X,L)o 6. M enyu susn

/

/

1. 2. 3. 4.

s.

6.

ALGORITMA UNTUK METODA TITIK PELANA / fUNGSI PENAL TI

Men en tukan Xo dan po dengan pia 0 un tuk 1

=

1,2, •• ,m Men ghi tung G2o = G2( Xo)

Men ghi tung PGo

=

po. G2o

Men ghi tung Zo = fo - P Go dengan fa = r( xo) Men en tuk an X1 = Zo

ALGORITMA UNTUK METODA LAGRANGE

PROGRAM NON LINEAR DENGAN KENDALA PERTIOAKSAMAAN

1. Menentuken Xo sehingga G(Xo) = 0 dan H(Xo) = 0 2. Menguji Xo apakah G(Xo) _{0 atau tidak}

3. Mengulangi proses untuk semua unsur dari kombinasi yang ada.

4. Mengambil kombinasi yang lain dan mengulang proses se-b el"umny a sam ap ai dip ero 1 eh ni 1 ai optimal.

1\LGORITMA UNTUK METODA KUHN - TUCKER

PROGRAM NON LINEAR DENGAN KENDALA PERTIDAKSAMAAN

1. Menentukan Fo

=

(x1o, x2o, ••• , xno, 11o, 12o, •• , lmo)

2. Menghitung P

F 1

=

f ( Xo ) + L o • G ( Xo ) + ~ H • ( Xo) i=1 1 3. Menguji apakah F1 optimal atr~u tidak

.

4. Jika tidak proses diulangi sehingga diperoleh nilai op-timal.

FLOW CHAin UNTUK MENCARlT HATRIK TRANPOS

matrik A(al,a2)

1:11

~

1-

AT(j,i)=A(i,j)

I

.---l~~~~·=~i~+~lr---~

-....

FLOW CHARI' UNTUK P£RKALIAN DUA MATRIK

matrik A(nl,n2) dan

B(n2,n3)

AB(i,j)

=

AB(i,j)

+

A(i,k)*B(k,j)

'>---...;'

k

j

=

j+ll;---1

F'LOW CHART UNTUK Pl!:HJUHLAHAN HATRIK

A ( n , k ) , B{m , k )

i=l

j=l

AB(i,j)

=

A(i,j)

±

B(i,j)

/l

....__ J. =n

.>---~/

L . . - - - - . - . J

FLOW CIIART UNTUK HENENTUKAN INVERS HATRIK

jl+D-u:~

__ ,;-..

i]

_____

-=r--,~,j2)

• a(1,j2)/a(1,1) ...

-<'f2 _...

_{...._}

=

__

n·H

-

_u=r-~:D

(o) - --- ---~ -'

...

N

---~~;·· ~

t

1

J--®

---·-...

'

...

"'

.

DAFTilR PlJSTI\KA

Beightler, C.

s.,

D. T. Phillips, D.J. Wilde, 1979, "Founda-tions of Optimization", Prentice Hall, India

Bronson, Riche~rd, 1983, ''Operations Research", Schaum's out-line Series, Singapore

Hamdy. A. Taha, 1982, "Operations ~esearch in Introduction"' Macmillan Publishing CO INC, India

Kuester, J.L., JH MizP., 1rJ73, "Optimization Techniques with

~ORTRAN", Mac Graw Hill, New York

Mital, K.V., 1979, "Optimization Methods in Operations R-e-search and Systems Analysis", Wiley Eastern Ltd, New York

Ravindran, A.,

o.

T. Phillips, J.J. Solberg, 1976, ''Opera• t-ions Research, Principles e~nd Practice", John Wiley & Sons; N etJ York.