KAJIAN KONVERGENSI BARISAN RUANG NORM-(n-1) DENGAN n 2

(1)

Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2

Gamatika. No.2 Mei 2011 121

KAJIAN KONVERGENSI BARISAN

RUANG NORM-(n-1) DENGAN

n2

Faridatul Masruroh1, Erna Apriliani2, Sadjidon3

Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya1,2,3 Jl. Arief Rahman Hakim, Kampus Keputih – Sukolilo, Surabaya 60111 – Jawa Timur

[email protected], [email protected]

Abstrak

Penjelasan mengenai ruang norm telah banyak dikaji oleh para matematikawan. Baik kajian dalam ruang norm, ruang norm-2, dan ruang norm-n. Kajian tentang ortogonalitas dalam ruang norm diilhami oleh Ruang hasil kali dalam. Definisi ortogonalitas dalam ruang norm juga telah banyak dikembangkan oleh para matematikawan. Pada paper ini, dengan menggunakan aspek ortogonalitas dijelaskan bahwa jika terdefinisi suatu ruang norm-n maka ruang norm-(n-1) terdefinisi dengan n ≥ 2. Berikutnya dikaji konvergensi barisan ruang norm-(n-1).

Kata kunci: Ortogonalitas, Ruang norm-n, Ruang norm-(n-1)

Abstract

A description of the space norm has been widely studied by mathematicians. Both studies within the norm, a norm-2, and a norm-n. Studies on orthogonality in space norm is inspired by the inner product space. The definition of orthogonality in space norm also been developed by mathematicians. In this paper, by using the orthogonality aspects explained that when defining a space of norm-n the space norm-(n-1) defined by n ≥ 2. Next examined convergence sequence space norm-(n-1).

Keywords: Orthogonality, norm-n Space, Space norm-(n-1).

1. Pendahuluan

Penjelasan mengenai ruang norm telah banyak dikaji oleh para matematikawan. Baik kajian dalam ruang norm, ruang norm-2, dan ruang norm-n. Kajian tentang ortogonalitas dalam ruang norm diilhami oleh Ruang hasil kali dalam. Definisi ortogonalitas dalam ruang norm juga telah banyak dikembangkan oleh para matematikawan. Beberapa definisi ortogonalitas yang dikutip dari Kikianty (2008) diantaranya adalah Definisi Ortogonalitas Pythagoras, Isosceles dan Birkhoff-James. Misal



X,,,



adalah ruang norm-n dengan dimensi (n + 1) atau lebih.

1. Pythagoras-ortogonalitas: x dikatakan P-ortogonal terhadap y

(dinotasikan dengan x p y) jika dan hanya jika ada subruang V di X dengan

codim(V) = 1 sedemikian hingga

  2 n 2, ,x x , y x  x,x₂,,x_n 2 y,x₂,,x_n 2; x2,,xnV.

2. Isosceles-ortogonalitas: x dikatakan I-ortogonal terhadap y

(dinotasikan dengan x I y) jika dan hanya jika ada subruang V di X dengan

2 n 2 2 n 2, ,x x y,x , ,x x , y x     ; x₂,,x_nV.

(2)

3. Birkhoff-James-ortogonalitas: x dikatakan BJ-ortogonal terhadap y

(dinotasikan dengan x BJ y) jika dan hanya jika ada subruang V di X dengan

n n x x x x x y x , ₂,,  , ₂,, ;x2,,xnV dan R .

Misal



X,,,,



adalah ruang hasil kali dalam-n. untuk setiapx,yX , maka x adalah G-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x G y) jika dan

hanya jika ada subruang V di X dengan codim(V) = 1 sedemikian hingga

0 x , , x y , x 2  n  , x2,,xnV . (Gunawan, 2006)

Pada paper ini, dengan menggunakan aspek ortogonalitas akan dijelaskan bahwa jika terdefinisi suatu ruang norm-n maka harus terdefinisi terlebih dahulu ruang norm-(n-1) dengan n ≥ 2. Berikutnya akan dikaji konvergensi barisan dan lengkap pada ruang norm-n dan ruang norm-(n-1).

2. Pembahasan 2.1 Ruang Norm-n

Definisi 2.1a Misal X adalah ruang linear real dengan dim X n dan suatu fungsi ,, :Xn R, maka



X  disebut ruang norm-n linear jika ,, ,



(nN-1) x₁,,x_n 0 jika dan hanya jika x ₁, ,x_n bergantung linier; (nN-2) n 1 j j n 1, ,x x , ,x

x    untuk setiap permutasi



j 1, ,jn



dari



1 , ,n



;

(nN 3) x 1, ,xn = x 1, ,xn ;

(nN-4) xy,x₂,,x_n  x,x₂,,x_n  y,x₂,,x_n R dan x,y,x1,,xnX.

Fungsi , disebut norm-n pada X. (Chu, dkk, 2008) ,

Definisi 2.1b Misal



X ,, ,



adalah ruang norm-n dengan dimensi (n + 1) atau lebih, maka

1. Pythagoras-ortogonalitas:

x dikatakan P-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x p y) jika dan

2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x      , x₂,,x_nV. 2. Isosceles-ortogonalitas:

x dikatakan I-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x I y) jika dan

2 n 2 2 n 2, ,x x y,x, ,x x , y x     ,x₂,,x_nV. 3. Birkhoff-James-ortogonalitas:

x dikatakan BJ-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x BJ y) jika dan

n 2 n 2, ,x x,x , ,x x , y x    , x₂,,x_nV dan R.(Chu, dkk, 2008)

Definisi 2.1c Misal



X, ,,,



adalah ruang hasil kali dalam-n. berdimensi

1

n atau lebih. Untuk x,yX , maka x adalah G-ortogonalitas

(3)

di X dengan codim(V) = 1 sedemikian hingga x,yx₂,,x_n 0, untuk setiap

V x , ,

x₂  _n . (Gunawan, 2006)

2.2 Ortogonalitas di Ruang Norm-n dan Ruang Norm-(n-1)

Pada bagian ini akan dijelaskan bahwa dengan n2 jika suatu ruang norm-n

terdefinisi maka ruang norm-(n-1) terdefinisi dengan meninjau dari aspek ortogonalitas Pythagoras, Isosceles, Birkhoff-James, dan Gunawan. maksudnya

jika terdefinisi x dan y ortogonal di norm-n maka x dan y ortogonal di

norm-(n-1) terdefinisi.

Teorema 2.2 Jika x dan y ortogonal di norm-n maka ortogonal di norm-(n-1), dengan x dan y ortogonal terhadap x2,,xn dan n2 .

Bukti:

Diketahui :

 x dan y ortogonal di norm-n artinya 1. Ortogonalitas_ Pythagoras: 2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x      , x 2, ,xn0. 2. Ortogonalitas_ Isosceles: n 2 n 2, ,x x y,x , ,x x , y x     ,x2,,xn0. 3. Ortogonalitas_ Birkhoff-James: n 2 n 2, ,x x,x, ,x x , y x    ,x 2, ,xn0 danR. 4. Ortogonalitas_ Gunawan: 0 , , ,yx2 xn  x  , x ₂, ,x_n 0.

 x dan y ortogonal terhadap x₂,,x_n artinya x,x₂x₃,,x_n 0 dan

0 , , ,x₂x₃ x_n 

y  maka berakibat xy,x₂|x₃,,x_n 0 dan xy,x₂|x₃,,x_n 0. Akan ditunjukkan x dan y ortogonal di norm-1 artinya:

1. Ortogonalitas_ Pythagoras: 2 1 n 2 2 1 n 2 2 1 n 2, ,x x,x , ,x y,x, ,x x , y x  _   _   _ , x₂,,x_n_₁0. 2. Ortogonalitas_ Isosceles: 1 2 1 2, , , , , , _   _ y x xn x y x xn x   , x 2, ,xn10. 3. Ortogonalitas_ Birkhoff-James: 1 2 1 2, , , , , , _  _  y x x_n xx x_n x    , x ₂, ,x_n_₁0 danR. 4. Ortogonalitas_ Gunawan: 0 , , ,yx2 xn1  x  , x 2, ,xn10. 1. Diketahui 2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x, ,x x , y x      , x ₂, ,x_n0.

Akan dibuktikan bahwa

2 1 n 2 2 1 n 2 2 1 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x  _   _   _ ,x 2, ,xn10. 2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x      2 n 1 n 2 2 n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x,x , ,x ,x y,x , ,x ,x x , y x  _   _   _

(4)

   





   _     _ 2  n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x y x y,x, ,x ,x x , y x y x 4 1  





 _   _ 2  n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x x,x , ,x ,x x , x x 4 1  



2



2 2 2, , , , , , 4 1 n n y y x x x x y y    

Karena x dan y ortogonal terhadap x2,,xn

   





   _     _ 2  n 2 1 n 2 2 n 2 1 n 2, ,x x x y x y,x, ,x x x , y x y x 4 1  





 _   _ 2 2  1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x x x x x x x x x x  





2 2 1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x y y x x x x x y y  _    _ 2 1 2 2 1 2 2 1 2, , , , , , , , , _  _  _ y x xn x x xn y x xn x    2. Diketahui 2 2 2 2, , , , , ,x xn x y x xn y x     , x 2, ,xn0.

1 2 1 2, , , , , , _   _ y x xn x y x xn x   ,x 2, ,xn10. 2 2 2 2, , , , , ,x x_n x y x x_n y x    

Dari (Gunawan, 2006) diperoleh

   





   _     _ 2  n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x y x y,x, ,x ,x x , y x y x 4 1  

   





2 1 2 2 1 2, , , , , , , , 4 1 n n n n x x y x y x x x x x y x y x    _      _

Karena x dan y ortogonal terhadap x2,,xn

   





   _     _ 2 2  1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x x y x y x x x x x y x y x  

   





2 2 1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x x y x y x x x x x y x y x    _      _ 2 1 2 2 1 2, , , , , , _   _ y x xn x y x xn x   1 2 1 2, , , , , , _   _ y x x_n x y x x_n x   3. Diketahui 2 2 2 2, , , , , ,x x_n x x x_n y x    , x ₂, ,x_n0 danR. Akan dibuktikan bahwa

1 2 1 2, , , , , , _  _  y x x_n xx x_n x    ,x ₂, ,x_n_₁0 danR. 2 2 2 2, , , , , ,x x_n x x x_n y x   



 





   _ 2 n 1 n 2, ,x ,x x , y x y x 4 1   





 

 



_ 2



 n 1 n 2, ,x ,x x , y x y x   

(5)





2 n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x x,x , ,x ,x x , x x 4 1        1 2 1 2, , , , , , _  _  y x x_n x x x_n x    4. Diketahui 2 2 2 2, , , , , ,x x_n x x x_n y x    , x 2, ,xn0.

0 , , ,yx2 xn1  x  , x 2, ,xn10. 0 , , ,yx2 xn  x 



, , , , , ,



0 4 1 2 2 2 2    y x xn x y x xn x  



, , , , , , , ,



0 4 1 2 1 2 2 1 2    y x xn_ xn x yx xn_ xn x  



, , , , , ,



0 4 1 2 2 1 2 2 2 1 2    yx xn_ xn x yx xn_ xn x  



, , , , , ,



0 4 1 2 2 1 2 2 1 2    y x xn_ x y x xn_ xn x   0 , , ,yx₂ x_n_₁  x 

Jadi dapat dikatakan apabila terdefinisi suatu norm-n maka norm-(n-1) terdefinisi.

2.3 Konvergensi Barisan di Ruang Norm-n dan Ruang Norm-(n-1)

Selanjutnya akan dikaji kriteria konvergensi barisan di ruang norm-n sebagaimana definisi berikut

Definisi 2.3a Misal



X,,,



ruang norm-n, suatu barisanx

 

m di X dikatakan konvergen ke xX jika lim x

 

m x,x₂, ,x_n 0

m    , x2,,xnX.

Dalam hal ini dapat ditulis lim x

 

m x

m  dan x disebut limit barisan x

 

m .

(Gunawan, 2000)

Dari definisi konvergensi barisan di ruang norm-n dapat dikembangkan suatu teorema sebagai berikut

Teorema 2.3b Misal



X,,,



adalah ruang norm-n. X berdimensi d, dimana 2d. Misal



e₁,e₂,,e_d



basis dari X . Barisanx

 

m di X adalah

konvergen ke xX jika dan hanya jika lim x

 

m x,e_i, ,e_j 0

n    , d , , 2 , 1 j , i    .(Gunawan, 2000) Bukti :

 



Diketahui barisanx

 

m di X adalah konvergen ke xX , artinyalim x

 

m x

m 

Atau menurut definisi konvergensi barisan dalam

norm-nlim x

 

m x,x₂, ,x_n 0

m    , x2,,xnX

Akan ditunjukkan bahwa lim x

 

m x,ei, ,ej 0

n    , i,j1,2,,d

 Untuk i  j, maka sesuai dengan definisi barisan konvergen dalam norm-n diperoleh

(6)

1 2 e x  ,, dan x_n e₁ lim

 

 , ₁, , ₁ 0   x m x e e m  2 2 e x  ,, dan xn e2 lim__x

 

m x,e2, ,e2 0 m     d 2 e x  ,, dan x_n e_d  lim

 

 , , , 0   d d m x m x e  e Sehingga lim

 

 , , , 0   i j m x m x e  e , i,j1,2,,d.

 Untuk i j, maka sesuai dengan definisi barisan konvergen dalam norm-n diperoleh 1 2 e x  ,, dan xn e2 lim__x

 

m x,e1, ,e2 0 m  1 2 e x  ,, dan xn e3  lim__ x

 

m x,e1, ,e3 0 m     1 2 e x  ,, dan x_n e_d lim

 

 , ₁, , 0   d m x m x e  e    d 2 e x  , , dan x_n e₁ lim

 

 , , , ₁ 0   x m x ed e m  d 2 e x  _{, dan}_, 2 n e x   lim

 

 , , , ₂ 0   x m x ed e m     d 2 e x  ,, dan xn ed1 lim__

 

 , d, , d1 0 m x m x e  e Sehingga lim x_n x,e_i, ,e_j 0 n    , i,j1,2,,d.

 



Diketahui



e1,e2,,ed



basis dari X dan lim x

 

m x,ei, ,ej 0

n    ,,ij1,2,,d.

Akan ditunjukkan bahwa barisanx

 

m di X konvergen ke xX atau

 

m x,x , ,x 0 x lim ₂ _n m    , x2,,xnX X x , , x2 n

  dapat ditulis x₂ ₂₁e₁₂₂e₂ ₂_de_d , , dan

d nd 2 2 n 1 1 n n e e e

x    dimana _k_iR, k 2,,n, dengan sifat norm

(nN 1) dan kombinasi linear, diperoleh

 0 x

 

m x,x₂,,x_n

 

m x, ₂₁e₁ ₂₂e₂ ₂_de_d, x        d nd n n e  e  e    , 1 1 2 2

 

   ₂₁_n₁ x m x,e₁,,e₁ ₂₂_n₂ x

 

m x,e₂,,e₂ 

 

d d nd d 2  x m x,e ,,e   

 







   d 1 j , i j i nj i 2  x m x,e ,,e   0

 

₂ _n m x , , x , x m x lim    

(7)

 







     d 1 j , i j i nj i 2 nlim   xm x,e ,,e ; n N  0





0 0 d 1 j , i nj i 2   



    Sehingga lim x

 

m x,x₂, ,x_n 0

m    , x2,,xnX, dengan kata lain barisan

 

m

x konvergen ke x.

Jadi terbukti bahwa barisanx

 

m di X adalah konvergen ke xX jika dan hanya jika lim x

 

m x,e_i, ,e_j 0

n    , i,j1,2,,d.

Selanjutnya akan dikaji bahwa apakah jika barisan pada ruang norm-n konvergen maka barisan pada ruang norm-(n-1) juga konvergen.

Teorema 2.3c Misal



X,,,



adalah ruang norm-n. X berdimensi d, dimana 2d. Misal



e₁,e₂,,e_d



basis dari X . Jika barisan di ruang norm-n konvergen maka barisan di ruang norm-(n-1) konvergen.

Bukti :

Diketahui barisan pada ruang norm-n konvergen, artinya

 

m x,x , ,x 0 x

lim ₂ _n

m    , x2,,xnX

Akan ditunjukkan barisan pada ruang norm-(n-1) konvergen, artinya

 

m x,x , ,x_{ } 0 x

lim ₂ _n₁

m     , x2,,x n1 X

 0 x

 

m x,x₂,,x__n_₁_,x_n  x

 

m x,x₂,,x__n_₁_ x_n ; x 0  x

 

m x,x₂,,x__n_₁_  0

 

₂ __n ₁_ mlim x m x,x ,,x 

Diketahui



e₁,e₂,,e_d



basis dari X dan

 

m x,e , ,e 0 x lim _i _j n    , i,j1,2,,d. X x , , x₂ ₍_n ₁₎

  _ dapat ditulis x₂ ₂₁e₁₂₂e₂₂_de_d , , dan

 n 1  n 11e1  n 12e2  n1ded x _  _  _  _ dimana kiR, k 2,,(n1),  0

 

₂ __n ₁_ mlim x m x,x ,,x 

 

, 21 1 22 2  2d d,, mlim xm x e  e   e     n11e1 n12e2   n1de _d    

 

   ₂₁_n_₁₁ x m x,e₁,,e₁  n12

 

 2 2  22 xm x,e ,,e  n 1d

 

d d d 2  xm x,e ,,e   _   

 







    d 1 j , i j i j 1 n i 2  x m x,e ,,e 

(8)

 0

 

₂ _{ }_n ₁ mlimxm x,x , ,x    

 







      d 1 j , i j i j 1 n i 2 nlim   xm x,e ,,e ; n N   





0 0 d 1 j , i j 1 n i 2   



     Sehingga lim x

 

m x,x₂, ,x_{ }_n₁ 0 m   

 , x₂,,x_{ }_n_₁ X , dengan kata lain barisan

 

m

x konvergen ke x.

Jadi terbukti bahwa jika barisan di ruang norm-n konvergen maka barisan di ruang norm-(n-1) konvergen.

3. Kesimpulan

Dari hasil penelitian yang dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan aspek ortogonalitas Pythagoras, Isosceles, Birkhoff-James, dan Gunawan membuktikan bahwa jika terdefinisi suatu ruang norm-n maka ruang norm-(n-1) terdefinisi dengan n ≥ 2.

2. Terbukti bahwa jika x

 

m adalah barisan yang konvergen di ruang norm-n

maka x

 

m barisan yang konvergen ruang norm-(n-1).

3. Terbukti bahwa jika ruang norm-n lengkap maka ruang norm-(n-1) lengkap.

Daftar Pustaka

Chu, Hahng-Yun, Sung Kyu Choi, and Dong Seung Kang. (2008). Mapping of

Conservative Distances in Linear n-Normed Spaces. Elsevier.

Gunawan, H. (2006). G-Orthogonality in n-Inner Product Spaces. Simposium Matematika Analisis dan Aplikasinya. ITS. Surabaya.

Gunawan, H dan M. Mashadi. (2001). On n-Normed Spaces. Int. J. Math. Math. Sci. 27. 631 – 639.

Gunawan, H. (2002). On n-Inner Products, n-Norm, and The Cauchy – Schwarz

Inequality. Sciential Matematical Japanical. Japan. 53 – 60.

Gunawan, H, Mashadi, S. Gemawati, dan I. Sihwaningrum. (2006). On

Orthogonality in 2-Normed Spaces Revisited. Sciential Matematical

Japanical. Japan. 53 – 60.

Gunawan, H. E. Kikianty, Mashadi, S. Gemawati, dan I. Sihwaningrum. (2006).

Orthogonality in n-Normed Spaces. Submitted to J. Indones. Math. Soc.

(MIHMI).

Kikianty, Eder. (2008). Notion of Orthogonality in Normed Spaces. Victoria University. Melbourne.

Kreyszig, Erwin. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. New York.

Mazaheri, H. dan S. Golestani Nezhard. (2007). Some Results on b-Orthogonality

in 2-Normed Linear Spaces. Int. Journal of Math. Analisis. Vol.1. 681 –