Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 121
KAJIAN KONVERGENSI BARISAN
RUANG NORM-(n-1) DENGAN
n2Faridatul Masruroh1, Erna Apriliani2, Sadjidon3
Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya1,2,3 Jl. Arief Rahman Hakim, Kampus Keputih – Sukolilo, Surabaya 60111 – Jawa Timur
sinus_girl@yahoo.co.id1, april@matematika.its.ac.id2
Abstrak
Penjelasan mengenai ruang norm telah banyak dikaji oleh para matematikawan. Baik kajian dalam ruang norm, ruang norm-2, dan ruang norm-n. Kajian tentang ortogonalitas dalam ruang norm diilhami oleh Ruang hasil kali dalam. Definisi ortogonalitas dalam ruang norm juga telah banyak dikembangkan oleh para matematikawan. Pada paper ini, dengan menggunakan aspek ortogonalitas dijelaskan bahwa jika terdefinisi suatu ruang norm-n maka ruang norm-(n-1) terdefinisi dengan n ≥ 2. Berikutnya dikaji konvergensi barisan ruang norm-(n-1).
Kata kunci: Ortogonalitas, Ruang norm-n, Ruang norm-(n-1)
Abstract
A description of the space norm has been widely studied by mathematicians. Both studies within the norm, a norm-2, and a norm-n. Studies on orthogonality in space norm is inspired by the inner product space. The definition of orthogonality in space norm also been developed by mathematicians. In this paper, by using the orthogonality aspects explained that when defining a space of norm-n the space norm-(n-1) defined by n ≥ 2. Next examined convergence sequence space norm-(n-1).
Keywords: Orthogonality, norm-n Space, Space norm-(n-1).
1. Pendahuluan
Penjelasan mengenai ruang norm telah banyak dikaji oleh para matematikawan. Baik kajian dalam ruang norm, ruang norm-2, dan ruang norm-n. Kajian tentang ortogonalitas dalam ruang norm diilhami oleh Ruang hasil kali dalam. Definisi ortogonalitas dalam ruang norm juga telah banyak dikembangkan oleh para matematikawan. Beberapa definisi ortogonalitas yang dikutip dari Kikianty (2008) diantaranya adalah Definisi Ortogonalitas Pythagoras, Isosceles dan Birkhoff-James. Misal
X,,,
adalah ruang norm-n dengan dimensi (n + 1) atau lebih.1. Pythagoras-ortogonalitas: x dikatakan P-ortogonal terhadap y
(dinotasikan dengan x p y) jika dan hanya jika ada subruang V di X dengan
codim(V) = 1 sedemikian hingga
2 n 2, ,x x , y x x,x2,,xn 2 y,x2,,xn 2; x2,,xnV.
2. Isosceles-ortogonalitas: x dikatakan I-ortogonal terhadap y
(dinotasikan dengan x I y) jika dan hanya jika ada subruang V di X dengan
codim(V) = 1 sedemikian hingga
2 n 2 2 n 2, ,x x y,x , ,x x , y x ; x2,,xnV.
Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 122
3. Birkhoff-James-ortogonalitas: x dikatakan BJ-ortogonal terhadap y
(dinotasikan dengan x BJ y) jika dan hanya jika ada subruang V di X dengan
codim(V) = 1 sedemikian hingga
n n x x x x x y x , 2,, , 2,, ;x2,,xnV dan R .
Misal
X,,,,
adalah ruang hasil kali dalam-n. untuk setiapx,yX , maka x adalah G-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x G y) jika danhanya jika ada subruang V di X dengan codim(V) = 1 sedemikian hingga
0 x , , x y , x 2 n , x2,,xnV . (Gunawan, 2006)
Pada paper ini, dengan menggunakan aspek ortogonalitas akan dijelaskan bahwa jika terdefinisi suatu ruang norm-n maka harus terdefinisi terlebih dahulu ruang norm-(n-1) dengan n ≥ 2. Berikutnya akan dikaji konvergensi barisan dan lengkap pada ruang norm-n dan ruang norm-(n-1).
2. Pembahasan 2.1 Ruang Norm-n
Definisi 2.1a Misal X adalah ruang linear real dengan dim X n dan suatu fungsi ,, :Xn R, maka
X disebut ruang norm-n linear jika ,, ,
(nN-1) x1,,xn 0 jika dan hanya jika x 1, ,xn bergantung linier; (nN-2) n 1 j j n 1, ,x x , ,x
x untuk setiap permutasi
j 1, ,jn
dari
1 , ,n
;(nN 3) x 1, ,xn = x 1, ,xn ;
(nN-4) xy,x2,,xn x,x2,,xn y,x2,,xn R dan x,y,x1,,xnX.
Fungsi , disebut norm-n pada X. (Chu, dkk, 2008) ,
Definisi 2.1b Misal
X ,, ,
adalah ruang norm-n dengan dimensi (n + 1) atau lebih, maka1. Pythagoras-ortogonalitas:
x dikatakan P-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x p y) jika dan
hanya jika ada subruang V di X dengan codim(V) = 1 sedemikian hingga
2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x , x2,,xnV. 2. Isosceles-ortogonalitas:
x dikatakan I-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x I y) jika dan
hanya jika ada subruang V di X dengan codim(V) = 1 sedemikian hingga
2 n 2 2 n 2, ,x x y,x, ,x x , y x ,x2,,xnV. 3. Birkhoff-James-ortogonalitas:
x dikatakan BJ-ortogonal terhadap y (dinotasikan dengan x BJ y) jika dan
hanya jika ada subruang V di X dengan codim(V) = 1 sedemikian hingga
n 2 n 2, ,x x,x , ,x x , y x , x2,,xnV dan R.(Chu, dkk, 2008)
Definisi 2.1c Misal
X, ,,,
adalah ruang hasil kali dalam-n. berdimensi1
n atau lebih. Untuk x,yX , maka x adalah G-ortogonalitas
Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 123
di X dengan codim(V) = 1 sedemikian hingga x,yx2,,xn 0, untuk setiap
V x , ,
x2 n . (Gunawan, 2006)
2.2 Ortogonalitas di Ruang Norm-n dan Ruang Norm-(n-1)
Pada bagian ini akan dijelaskan bahwa dengan n2 jika suatu ruang norm-n
terdefinisi maka ruang norm-(n-1) terdefinisi dengan meninjau dari aspek ortogonalitas Pythagoras, Isosceles, Birkhoff-James, dan Gunawan. maksudnya
jika terdefinisi x dan y ortogonal di norm-n maka x dan y ortogonal di
norm-(n-1) terdefinisi.
Teorema 2.2 Jika x dan y ortogonal di norm-n maka ortogonal di norm-(n-1), dengan x dan y ortogonal terhadap x2,,xn dan n2 .
Bukti:
Diketahui :
x dan y ortogonal di norm-n artinya 1. Ortogonalitas_ Pythagoras: 2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x , x 2, ,xn0. 2. Ortogonalitas_ Isosceles: n 2 n 2, ,x x y,x , ,x x , y x ,x2,,xn0. 3. Ortogonalitas_ Birkhoff-James: n 2 n 2, ,x x,x, ,x x , y x ,x 2, ,xn0 danR. 4. Ortogonalitas_ Gunawan: 0 , , ,yx2 xn x , x 2, ,xn 0.
x dan y ortogonal terhadap x2,,xn artinya x,x2x3,,xn 0 dan
0 , , ,x2x3 xn
y maka berakibat xy,x2|x3,,xn 0 dan xy,x2|x3,,xn 0. Akan ditunjukkan x dan y ortogonal di norm-1 artinya:
1. Ortogonalitas_ Pythagoras: 2 1 n 2 2 1 n 2 2 1 n 2, ,x x,x , ,x y,x, ,x x , y x , x2,,xn10. 2. Ortogonalitas_ Isosceles: 1 2 1 2, , , , , , y x xn x y x xn x , x 2, ,xn10. 3. Ortogonalitas_ Birkhoff-James: 1 2 1 2, , , , , , y x xn xx xn x , x 2, ,xn10 danR. 4. Ortogonalitas_ Gunawan: 0 , , ,yx2 xn1 x , x 2, ,xn10. 1. Diketahui 2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x, ,x x , y x , x 2, ,xn0.
Akan dibuktikan bahwa
2 1 n 2 2 1 n 2 2 1 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x ,x 2, ,xn10. 2 n 2 2 n 2 2 n 2, ,x x,x , ,x y,x , ,x x , y x 2 n 1 n 2 2 n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x,x , ,x ,x y,x , ,x ,x x , y x
Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 124
2 n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x y x y,x, ,x ,x x , y x y x 4 1
2 n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x x,x , ,x ,x x , x x 4 1
2
2 2 2, , , , , , 4 1 n n y y x x x x y y Karena x dan y ortogonal terhadap x2,,xn
2 n 2 1 n 2 2 n 2 1 n 2, ,x x x y x y,x, ,x x x , y x y x 4 1
2 2 1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x x x x x x x x x x
2 2 1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x y y x x x x x y y 2 1 2 2 1 2 2 1 2, , , , , , , , , y x xn x x xn y x xn x 2. Diketahui 2 2 2 2, , , , , ,x xn x y x xn y x , x 2, ,xn0.Akan dibuktikan bahwa
1 2 1 2, , , , , , y x xn x y x xn x ,x 2, ,xn10. 2 2 2 2, , , , , ,x xn x y x xn y x
Dari (Gunawan, 2006) diperoleh
2 n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x y x y,x, ,x ,x x , y x y x 4 1
2 1 2 2 1 2, , , , , , , , 4 1 n n n n x x y x y x x x x x y x y x Karena x dan y ortogonal terhadap x2,,xn
2 2 1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x x y x y x x x x x y x y x
2 2 1 2 2 2 1 2, , , , , , 4 1 n n n n x x y x y x x x x x y x y x 2 1 2 2 1 2, , , , , , y x xn x y x xn x 1 2 1 2, , , , , , y x xn x y x xn x 3. Diketahui 2 2 2 2, , , , , ,x xn x x xn y x , x 2, ,xn0 danR. Akan dibuktikan bahwa1 2 1 2, , , , , , y x xn xx xn x ,x 2, ,xn10 danR. 2 2 2 2, , , , , ,x xn x x xn y x
Dari (Gunawan, 2006) diperoleh
2 n 1 n 2, ,x ,x x , y x y x 4 1
2
n 1 n 2, ,x ,x x , y x y x Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 125
2 n 1 n 2 2 n 1 n 2, ,x ,x x x,x , ,x ,x x , x x 4 1 1 2 1 2, , , , , , y x xn x x xn x 4. Diketahui 2 2 2 2, , , , , ,x xn x x xn y x , x 2, ,xn0.Akan dibuktikan bahwa
0 , , ,yx2 xn1 x , x 2, ,xn10. 0 , , ,yx2 xn x
Dari (Gunawan, 2006) diperoleh
, , , , , ,
0 4 1 2 2 2 2 y x xn x y x xn x
, , , , , , , ,
0 4 1 2 1 2 2 1 2 y x xn xn x yx xn xn x
, , , , , ,
0 4 1 2 2 1 2 2 2 1 2 yx xn xn x yx xn xn x
, , , , , ,
0 4 1 2 2 1 2 2 1 2 y x xn x y x xn xn x 0 , , ,yx2 xn1 x Jadi dapat dikatakan apabila terdefinisi suatu norm-n maka norm-(n-1) terdefinisi.
2.3 Konvergensi Barisan di Ruang Norm-n dan Ruang Norm-(n-1)
Selanjutnya akan dikaji kriteria konvergensi barisan di ruang norm-n sebagaimana definisi berikut
Definisi 2.3a Misal
X,,,
ruang norm-n, suatu barisanx
m di X dikatakan konvergen ke xX jika lim x
m x,x2, ,xn 0m , x2,,xnX.
Dalam hal ini dapat ditulis lim x
m xm dan x disebut limit barisan x
m .(Gunawan, 2000)
Dari definisi konvergensi barisan di ruang norm-n dapat dikembangkan suatu teorema sebagai berikut
Teorema 2.3b Misal
X,,,
adalah ruang norm-n. X berdimensi d, dimana 2d. Misal
e1,e2,,ed
basis dari X . Barisanx
m di X adalahkonvergen ke xX jika dan hanya jika lim x
m x,ei, ,ej 0n , d , , 2 , 1 j , i .(Gunawan, 2000) Bukti :
Diketahui barisanx
m di X adalah konvergen ke xX , artinyalim x
m xm
Atau menurut definisi konvergensi barisan dalam
norm-nlim x
m x,x2, ,xn 0m , x2,,xnX
Akan ditunjukkan bahwa lim x
m x,ei, ,ej 0n , i,j1,2,,d
Untuk i j, maka sesuai dengan definisi barisan konvergen dalam norm-n diperoleh
Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 126
1 2 e x ,, dan xn e1 lim
, 1, , 1 0 x m x e e m 2 2 e x ,, dan xn e2 limx
m x,e2, ,e2 0 m d 2 e x ,, dan xn ed lim
, , , 0 d d m x m x e e Sehingga lim
, , , 0 i j m x m x e e , i,j1,2,,d. Untuk i j, maka sesuai dengan definisi barisan konvergen dalam norm-n diperoleh 1 2 e x ,, dan xn e2 limx
m x,e1, ,e2 0 m 1 2 e x ,, dan xn e3 lim x
m x,e1, ,e3 0 m 1 2 e x ,, dan xn ed lim
, 1, , 0 d m x m x e e d 2 e x , , dan xn e1 lim
, , , 1 0 x m x ed e m d 2 e x , dan , 2 n e x lim
, , , 2 0 x m x ed e m d 2 e x ,, dan xn ed1 lim
, d, , d1 0 m x m x e e Sehingga lim xn x,ei, ,ej 0 n , i,j1,2,,d.
Diketahui
e1,e2,,ed
basis dari X dan lim x
m x,ei, ,ej 0n ,,ij1,2,,d.
Akan ditunjukkan bahwa barisanx
m di X konvergen ke xX atau
m x,x , ,x 0 x lim 2 n m , x2,,xnX X x , , x2 n dapat ditulis x2 21e122e2 2ded , , dan
d nd 2 2 n 1 1 n n e e e
x dimana kiR, k 2,,n, dengan sifat norm
(nN 1) dan kombinasi linear, diperoleh
0 x
m x,x2,,xn
m x, 21e1 22e2 2ded, x d nd n n e e e , 1 1 2 2
21n1 x m x,e1,,e1 22n2 x
m x,e2,,e2
d d nd d 2 x m x,e ,,e
d 1 j , i j i nj i 2 x m x,e ,,e 0
2 n m x , , x , x m x lim Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 127
d 1 j , i j i nj i 2 nlim xm x,e ,,e ; n N 0
0 0 d 1 j , i nj i 2
Sehingga lim x
m x,x2, ,xn 0m , x2,,xnX, dengan kata lain barisan
mx konvergen ke x.
Jadi terbukti bahwa barisanx
m di X adalah konvergen ke xX jika dan hanya jika lim x
m x,ei, ,ej 0n , i,j1,2,,d.
Selanjutnya akan dikaji bahwa apakah jika barisan pada ruang norm-n konvergen maka barisan pada ruang norm-(n-1) juga konvergen.
Teorema 2.3c Misal
X,,,
adalah ruang norm-n. X berdimensi d, dimana 2d. Misal
e1,e2,,ed
basis dari X . Jika barisan di ruang norm-n konvergen maka barisan di ruang norm-(n-1) konvergen.Bukti :
Diketahui barisan pada ruang norm-n konvergen, artinya
m x,x , ,x 0 xlim 2 n
m , x2,,xnX
Akan ditunjukkan barisan pada ruang norm-(n-1) konvergen, artinya
m x,x , ,x 0 xlim 2 n1
m , x2,,x n1 X
Dari (Gunawan, 2000) diperoleh
0 x
m x,x2,,xn1,xn x
m x,x2,,xn1 xn ; x 0 x
m x,x2,,xn1 0
2 n 1 mlim x m x,x ,,x Diketahui
e1,e2,,ed
basis dari X dan
m x,e , ,e 0 x lim i j n , i,j1,2,,d. X x , , x2 (n 1) dapat ditulis x2 21e122e22ded , , dan
n 1 n 11e1 n 12e2 n1ded x dimana kiR, k 2,,(n1), 0
2 n 1 mlim x m x,x ,,x
, 21 1 22 2 2d d,, mlim xm x e e e n11e1 n12e2 n1de d
21n11 x m x,e1,,e1 n12
2 2 22 xm x,e ,,e n 1d
d d d 2 xm x,e ,,e
d 1 j , i j i j 1 n i 2 x m x,e ,,e Kajian Konvergensi Barisan Ruang Norm-(n-1) Dengan n2
Gamatika. No.2 Mei 2011 128
0
2 n 1 mlimxm x,x , ,x
d 1 j , i j i j 1 n i 2 nlim xm x,e ,,e ; n N
0 0 d 1 j , i j 1 n i 2
Sehingga lim x
m x,x2, ,x n1 0 m , x2,,x n1 X , dengan kata lain barisan
mx konvergen ke x.
Jadi terbukti bahwa jika barisan di ruang norm-n konvergen maka barisan di ruang norm-(n-1) konvergen.
3. Kesimpulan
Dari hasil penelitian yang dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Dengan menggunakan aspek ortogonalitas Pythagoras, Isosceles, Birkhoff-James, dan Gunawan membuktikan bahwa jika terdefinisi suatu ruang norm-n maka ruang norm-(n-1) terdefinisi dengan n ≥ 2.
2. Terbukti bahwa jika x
m adalah barisan yang konvergen di ruang norm-nmaka x
m barisan yang konvergen ruang norm-(n-1).3. Terbukti bahwa jika ruang norm-n lengkap maka ruang norm-(n-1) lengkap.
Daftar Pustaka
Chu, Hahng-Yun, Sung Kyu Choi, and Dong Seung Kang. (2008). Mapping of
Conservative Distances in Linear n-Normed Spaces. Elsevier.
Gunawan, H. (2006). G-Orthogonality in n-Inner Product Spaces. Simposium Matematika Analisis dan Aplikasinya. ITS. Surabaya.
Gunawan, H dan M. Mashadi. (2001). On n-Normed Spaces. Int. J. Math. Math. Sci. 27. 631 – 639.
Gunawan, H. (2002). On n-Inner Products, n-Norm, and The Cauchy – Schwarz
Inequality. Sciential Matematical Japanical. Japan. 53 – 60.
Gunawan, H, Mashadi, S. Gemawati, dan I. Sihwaningrum. (2006). On
Orthogonality in 2-Normed Spaces Revisited. Sciential Matematical
Japanical. Japan. 53 – 60.
Gunawan, H. E. Kikianty, Mashadi, S. Gemawati, dan I. Sihwaningrum. (2006).
Orthogonality in n-Normed Spaces. Submitted to J. Indones. Math. Soc.
(MIHMI).
Kikianty, Eder. (2008). Notion of Orthogonality in Normed Spaces. Victoria University. Melbourne.
Kreyszig, Erwin. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. New York.
Mazaheri, H. dan S. Golestani Nezhard. (2007). Some Results on b-Orthogonality
in 2-Normed Linear Spaces. Int. Journal of Math. Analisis. Vol.1. 681 –