Modul Pelatnas Online
Modul Pelatnas Online
Mekanika Benda Langit
Mekanika Benda Langit
L. Puspitarini
L. Puspitarini
Contents
1 Pendahuluan 4
1.1 Apakah Mekanika Benda Langit? . . . 4 1.2 Metode Mekanika Benda Langit . . . 4
2 Hukum Kepler 5
3 Hukum Newton dan Hukum Gravitasi Newton 6 3.1 Hukum Newton . . . 6 3.2 Hukum Gravitasi Newton . . . 6
4 Persamaan Dua Benda 8
4.1 Penurunan Koordinat Polar . . . 8 4.2 Persamaan Gerak Dua Benda dalam Koordinat Polar 9 4.3 Hukum Kekekalan Momentum Sudut . . . 9 4.4 Persamaan Irisan Kerucut . . . 10 4.5 Hukum Kekekalan Energi dan Orbit . . . 11
5 Elemen Orbit 12
5.1 Definisi-definisi . . . 12 5.2 Determinasi Orbit . . . 13 6 Kekekalan Energi dan Kecepatan Lepas 15
7 Limit Roche 16
8 Pusat Massa 17
8.1 Definisi Pusat Sistem . . . 17 8.2 Pusat Massa Sistem Dua Benda . . . 17 8.3 Pusat Massa N Benda . . . 18
Contents
1. Pendahuluan
1
Pendahuluan
1.1 Apakah Mekanika Benda Langit?
Mekanika merupakan cabang ilmu Fisika yang mempelajari gerak benda. Mekanika memiliki dua cabang: Kinematika dan Dinamika. • Kinematika mempelajari gerak tanpa melibatkan penyebab-nya. Kinematika melibatkan perpindahan, kecepatan, per-cepatan benda.
• Dinamika mempelajari penyebab gerak benda, yaitu gaya ( force ).
Sehingga, Mekanika Benda Langit merupakan ilmu yang mempelajari gerak benda langit. Mekanika Benda Langit menjelaskan karakteristik orbit dan evolusi orbit benda langit.
1.2 Metode Mekanika Benda Langit
Terdapat 2 jenis pendekatan dalam Mekanika Benda Langit: • Pendekatan Analitik: penurunan persamaan gerak • Pendekatan Numerik (komputasi)
2
Hukum Kepler
Mekanika Benda Langit merupakan cabang ilmu yang cukup tua, bahkan sudah ada sebelum ilmu mekanika sendiri. Oleh kare-nanya, penjelasan gerak benda yaitu secara empirik (misalnya, Hukum Kepler).
• Hukum I Kepler (Hukum Orbit / Hukum Elips) - tentang bentuk Orbit
Setiap planet bergerak dengan lintasan elips, Matahari be-rada di salah satu fokusnya.
• Hukum II Kepler (Hukum Area / Area Sama) - tentang ke-cepatan orbit
Luas daerah yang disapu pada selang waktu yang sama akan selalu sama
• Hukum III Kepler (Hukum Periode / Hukum Harmoni) Pe-rioda kuadrat suatu planet sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-ratanya dari Matahari.
3. Hukum Newton dan Hukum Gravitasi Newton
3
Hukum Newton dan Hukum
Gravitasi Newton
3.1 Hukum Newton
I Inersia (Kelembaman)
Benda akan terus menerus diam atau bergerak dengan ke-cepatan konstan jika tidak ada gaya yang bekerja.
II Gaya dan Percepatan
F = ma (1)
F dan a merupakan besaran vektor (punya besar dan arah).
F = F rˆ, dengan F merupakan besar vektor gaya dan ˆr meru-pakan vektor satuan (terkadang dituliskan sebagai er atau
r
r).
III Aksi Reaksi
F12 = −F21 (2)
dimana F12 merupakan gaya yang bekerja pada benda 1 oleh gaya tarik benda 2, sebaliknya F21 merupakan gaya yang bekerja pada benda 2 oleh gaya tarik benda 1.
3.2 Hukum Gravitasi Newton
Apel jatuh dan Bulan mengorbit Bumi disebabkan gaya yang sama, yaitu gaya gravitasi.
3.2. Hukum Gravitasi Newton Hukum Gravitasi Newton (inverse square law ):
F = Gm1m2 r2 rˆ = Gm1m2 r2 r r = Gm1m2 r3 r (3) dimana r = r2 −r1. F12 = Gm1m2 r3 r = m1¨r1 (4) F21 = − Gm1m2 r3 r = m2¨r2 (5) dimana ˙r1 = dr
dt merupakan kecepatan benda 1 dan ¨r1 = d2r
dt2 merupakan percepatan benda 1.
4. Persamaan Dua Benda
4
Persamaan Dua Benda
Jika kita turunkan persamaan r = r2 −r1 dan kita subsitusikan
persamaan 4 dan 5, maka diperoleh ¨ r = ¨r2 −¨r1 (6) ¨ r = Gm2 r3 r−(− Gm1 r3 r) = − Gm1 + m2 r3 r = −M r r3 (7) dimana M = G(m1 + m2). ¨r = −M r r3 (8) ¨r+M r r3 = 0 (9)
Persamaan 9 merupakan persamaan gerak dua benda. Solusi anal-itik persamaan tersebut yaitu dengan mengubah persamaan gerak ke dalam koordinat polar. Solusi dari persamaan gerak merupakan persamaan irisan kerucut.
4.1 Penurunan Koordinat Polar
ˆ
r = cosθx + sinˆ θyˆ ˆ
θ = −sinθx + cosˆ θyˆ
Turunan pertama persamaan diatas, ˙ˆ
r = −sinθθ˙x + cosˆ θθ˙y = ˙ˆ θθˆ ˙ˆ
θ = −cosθθ˙xˆ−sinθθ˙y =ˆ −θ˙rˆ
Selanjutnya, substitusikan persamaan tersebut pada persamaan gerak dua benda.
4.2. Persamaan Gerak Dua Benda dalam Koordinat Polar
4.2 Persamaan Gerak Dua Benda dalam Koordinat
Polar
r = rrˆ (10) Turunan dari persamaan di atas:
˙ r = ˙rrˆ + rr˙ˆ = ˙rrˆ + rθ˙θˆ (11) ¨ r = ¨rrˆ + ˙rr˙ˆ + ˙rθ˙θˆ + rθ¨θˆ + rθ˙θ˙ˆ (12) ¨ r = ¨rrˆ + ˙rθ˙θˆ + ˙rθ˙θˆ + rθ¨θˆ + rθ˙(−θ˙rˆ) (13) ¨r = (¨r −rθ˙2)ˆr + (2 ˙rθ˙ + rθ¨)ˆθ = (¨r −rθ˙2)ˆr + 1 r d dt(r 2 ˙ θ)ˆθ (14) Jika kita gabungkan persamaan gerak 8 dan 14, maka
¨ r = −M rˆ r2 = (¨r−rθ˙ 2 )ˆr + 1 r d dt(r 2 ˙ θ)ˆθ (15) maka untuk tiap komponen pada ˆr dan ˆθ, diperoleh
−M rˆ r2 = (¨r−rθ˙ 2 ) (16) 0 = d dt(r 2 ˙ θ) (17)
Solusi persamaan 17 menunjukkan bahwa r2 ˙
θ atau momentum sudut adalah konstan. Hal ini merupakan bukti hukum II Kepler.
4.3 Hukum Kekekalan Momentum Sudut
Momentum sudut = L = mr×v
Kita definisikan besaran baru yaitu momentum sudut per unit massa (momentum sudut spesifik), h = L/m = r×v.
4. Persamaan Dua Benda
4.4 Persamaan Irisan Kerucut
Sedangkan, untuk mendapatkan solusi persamaan 16, −M rˆ r2 =
(¨r−rθ˙2
), perlu mendefinisikan besaran baru u = 1/r(θ).
du dθ = du dt dt dθ = ˙u dt dθ = − ˙ r r2 1 ˙ θ = − ˙ r h (19) d2 u dθ2 = − 1 h d dθ ˙r = − 1 hr¨ 1 ˙ θ (20)
Substitusikan persamaan 16 pada persamaan di atas:
d2 u dθ2 = − 1 hθ˙(− M r2 + rθ˙) = M h2 − 1 r = M h2 −u (21) Sehingga d2 u dθ2 + u = M h2 (22)
Persamaan 22 merupakan persamaan osilator harmonik yang so-lusinya yaitu u(θ) = Mh2 + Acos(θ −ω), atau
1 r = M h2 + Acos(θ −ω) (23) r = M 1 h2 + Acos(θ −ω) = h 2 /M 1 + Mh1Acos(θ−ω) (24) Persamaan 25 di atas merupakan persamaan kerucut:
r = p
1 + ecosf (25)
dengan p = Mh2 yaitu semilatus rektum, e = AMh2 merupakan ek-sentrisitas orbit, dan f merupakan anomali benar.
• Jika 0 < e < 1, p = a(1−e2
), maka orbit berbentuk elips.
• Jika e = 1, p = 2a, maka orbit berbentuk parabola.
• e > 1, p = a(1 + e2
4.5. Hukum Kekekalan Energi dan Orbit
4.5 Hukum Kekekalan Energi dan Orbit
Jika persamaan 25 kita turunkan dan disubstitusikan pada per-samaan Hukum Kekekalan Energi E = 1
2µr˙ 2
− µmr (dimana massa tereduksi µ = m1m2/(m1 + m2) dan asumsi pada saat cosf = 0,
maka diperoleh E = µm2 p (e 2
− 1). Terdapat hubungan energi E dengan bentuk orbit e.
• E = 0, maka diperoleh e = 1 atau orbit parabola. • E > 0, hiperbola.
5. Elemen Orbit
5
Elemen Orbit
5.1 Definisi-definisi
a: sumbu semimayor b: sumbu semiminor e: eksentrisitas f : anomali benar i: sudut inklinasiΩ: longitude of ascending node
5.2. Determinasi Orbit
5.2 Determinasi Orbit
Untuk dapat mendeterminasi orbit, kita definisikan besaran baru, yaitu anomali eksentrik E .
Vektor radius dapat dituliskan sebagai berikut
r = a(cosE −e)ˆx + bsinE yˆ (26)
r.r = r2 = a2(1−2ecosE + e2cos2E ) (27) dimana
5. Elemen Orbit
Untuk menghitung E pada waktu tertentu, area yang ditandai (SPX)
A = πabt−τ P =
b
aarea SP’X (29)
dimana t−τ merupakan waktu elapse sejak dari Perihelion dan P
merupakan periode orbit.
A = b a(area CP’X - areaCP’S) = b a( 1 2aaE − 1
2aeasinE ) (30)
A = 1
2ab(E −esinE ) (31) Sehingga,
M = E −esinE (32) Persamaan 32 disebut sebagai persamaan Kepler. M disebut se-bagai anomali rata-rata dan M = −2P π (t−τ )
6
Kekekalan Energi dan Kecepatan
Lepas
Terdiri dari komponen energi potensial:
JikaU f −U imerupakan usaha yang dibutuhkan untuk memindahkan dari posisi awal (inisial) ke posisi final,
U f −U i = ∆U = −
rfri
Fdr (33)
Untuk gaya gravitasi, persamaan menjadi U f −U i = ∆U = −
rfri Gm1m2 r2 = −Gm1m2( 1 rf − 1 ri ) (34)
Dengan kata lain, gaya merupakan gradien dari energi potensial terhadap jarak.
Komponen energi kinetik: K = 1 2mv 2 (35) Sehingga E = 1 2m2v 2 − Gm1m2 r (36) Kecepatan lepas yaitu kecepatan saat seluruh energi potensial diubah menjadi energi kinetik.
1 2m2v 2 = Gm1m2 r (37) v2 =
2Gm1 r (38)7. Limit Roche
7
Limit Roche
Edouard Roche menghitung bahwa terdapat suatu batas dimana Bulan akan hancur akibat gaya tidal (pasang-surut) jika Bulan (m) terlalu dekat dengan planetnya (M ). Roche juga menjelaskan terbentuknya cincin Saturnus adalah akibat dari hal tersebut.
Perbedaan gaya gravitasi yang dialami bola-bola penyusun Bu-lan: ∆F = GM m( 1 (R−r)2 − 1 (R + r)2) GMm 4r R3 (39)
Gaya tarik menarik antara bola-bola kecil
F = Gm
2
(4r2 (40)
Apabila ∆F ¿ F
, maka bola-bola kecil penyusun ”Bulan” akan terpecah. Gaya-gaya ini akan sama pada limit Roche:
GMm4r R3 = Gm2 (4r2 (41) R = (16r 3 M m ) 1/3 2.5Radius planet (42)
8
Pusat Massa
8.1 Definisi Pusat Sistem
• Matahari - Heliocentric
• Bumi - Geocentric
• Jupiter - Jovicentric
• Pusat massa - Barycentric
8.2 Pusat Massa Sistem Dua Benda
Dalam sistem 2 benda, pusat massa berada di alah satu titik di sepanjang garis yang menghubungkan benda m1 dan m2, posisi
8. Pusat Massa R = m1 m1 + m2 r1 + m2 m1 + m2 r2 (43)
Gaya total pada sistem ini, yaitu
Ft = F12 + F21 + Feks = (m1 + m2) ¨R (44)
Jika tidak ada gaya eksternal, dan kita berada di pusat massa, maka m1 m1 + m2 rCM 1 + m2 m1 + m2 rCM 2 = 0 (45) r = r2 −r1 = rCM 2 −rCM 1 rCM 1 = − µ m1 r (46) rCM 1 = µ m2 r (47) dengan µ = m1m2/(m1 + m2).
8.3 Pusat Massa
N
Benda
Untuk N benda, R = m1 m1 + m2 + ... + mN r1+ m2 m1 + m2 + ... + mN r2+...+ mN m1 + m2 + ... + mN rN (48) R = N
i=1 mi m1 + m2 + ... + mi ri (49) Gaya total yang bekerja pada sistem:Ft =
i
j Fij + Feks = (m1 + m2 + ... + mN ) ¨R (50) N
i=1 mir¨i = (m1 + m2 + ... + mN ) ¨R (51)Jika tidak ada gaya eksternal, pusat massa tidak memiliki ke-cepatan.
Persamaan gerak akibat total gaya gravitasi yang bekerja pada
N benda sulit diselesaikan secara analitik.
9
Masalah Tiga Benda Terbatas
Masalah N benda dimana N > 2 sulit diselesaikan secara
anal-itik. Sistem yang terdiri dari tiga benda dimana massa benda ketiga sangat kecil dibandingkan dua benda lainnya, disebut seba-gai masalah tiga benda terbatas. Solusi persamaannya merupakan titik-titik Lagrange.
