SISTEM KENDALI KLASIK

SISTEM KENDALI KLASIK



Pemodelan Matematika



Analisis



Diagram Bode, Nyquist, Nichols



Step & Impulse Response



Gain / Phase Margins



Root Locus



Disain



Simulasi

MODEL MATEMATIKA

MODEL MATEMATIKA



Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model

matematika dari sistem.



Mengapa harus dengan model matematika ?



Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.

Misalnya:



Bagaimana hubungan antara input dan output.



Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik

dari sistem kendali tersebut.

Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari

sistem kendali:

1.

Fungsi Pindah (

Transfer Function

) dalam domain frekuensi

(menggunakan Transformasi Laplace).

2.

Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (

State Space

RANGKAIAN RLC

V(t) L R C i(t)

( )

_R

( )

_L

( )

_C

( )

v t



v t



v t



v t

Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff.

Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output

Menggunakan KVL: 0

( )

1

( )

_R

( )

di t

t

( )

v t

v t

L

i

d

dt

C

 









Menggunakan persamaan diferensial :

• Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ?

• Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput dari sistem ?



Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan

diatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.



Transformasi Laplace memberikan:

 Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah.

 Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.



Keterbatasan dari Transformasi Laplace :

 Bekerja dalam domain frekuensi.

TRANSFORMASI LAPLACE

Time Domain Circuit Time Domain Circuit s-Domain Circuit

L

1

L



x(t)

y(t)

X(s)

Y(s)

s j Complex Frequency

2 Types of s-Domain Circuits

With and Without Initial Conditions

    

Laplace

Transform

Inverse

Laplace

Transform

TRANSFORMASI LAPLACE

 Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.  Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida

teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.

 Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks.

 Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan

mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.

 Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan

persamaan diferensial sistem.

 Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen keadaan tunak (steady state).

VARIABEL KOMPLEKS

 Variabel kompleks: s =  + j

dengan :  adalah komponen nyata j adalah komponen maya

Bidang s o  j j₁ ₁ s₁

FUNGSI KOMPLEKS

 Suatu fungsi kompleks: G(s) = G_x + jG_y

dengan : G_x dan G_y adalah besaran-besaran nyata

Bidang G(s) O Re Im G_y G_x G q

 Besar dari besaran kompleks:  Sudut : 2 2 y x G G ) s ( G   x y

G

G

tan

1



q

TURUNAN FUNGSI ANALITIK

 Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:

s G lim s ) s ( G ) s s ( G lim ) s ( G ds d s s             0 0

 Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.  Karena s =  + j , maka s dapat mendekati nol dengan

 Untuk lintasan s =  (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)                         y x y x s G j G G j G lim ) s ( G ds d 0

 Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka

                         y x y x s G G j j G j j G lim ) s ( G ds d 0

 Jika dua harga turunan ini sama

              G_{x j} Gy Gy _j G_x  Syarat Cauchy-Riemann       G_x Gy        G_{y Gx}

CONTOH SOAL

Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?

1 1   s ) s ( G Jawab: y x jG G j ) j ( G           1 1 dimana





2 2 1 1        x G





2 2 1        y G dan

Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1,=0), G(s) memenuhi syara Cauchy-Riemann:













2 2 2 2 2 1 1 y x G G                













2 2 2 1 1 2 x y G G                

Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.

Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah                 G j G Gy j Gx ) s ( G ds d _x y





2 1 1       j





2 1 1    s

Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s





_

_

2 1 1 1 1           _s s ds d

Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler. Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole

KUTUB-KUTUB DAN NOL-NOL

• Zeros dari G(s) roots numerator

• Poles dari G(s) roots denominator

• Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0

Im

Re

Pola pole-zero

poles

CONTOH SOAL

Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut:

Jawab:



Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2



Mempunyai sebuah zero di s=-3.



Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan:

2 2 1 3 ) s ( ) s ( ) s ( K ) s ( G      0 2       s K lim ) s ( G lim s s



Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga.



Jadi G(s) mempunyai jumlah pole dan zero yang sama, yaitu

3 buah pole dan 3 buah zero (satu zero terhingga dan dua

zero tak terhingga).

PEMETAAN KONFORMAL

 Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut.

 Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan Nyquist.

 Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai pemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z / bidang F(s).

 Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’ pasangannya pada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.

 Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva halus s=s(), yang melalui suatu titik ordiner.

 Jika kita tulis z_o=F(s_o), maka: ) s s ( s s ) s ( F ) s ( F z z _o o o o  _    Dengan demikian, o o o o _{s s} s s ) s ( F ) s ( F z z         

s - s_o adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari s_o ke s.

 Jika s mendekati s_o sepanjang kurva halus s(), maka s - s_o

adalah sudut q₁ antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut pada s_o.

 Dengan cara sama, jika z mendekati z_o, maka z - z_o mendekati

sudut ₁ yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis singgung dari F(s) pada z₀. Dengan demikian diperoleh

 Dengan kurva halus yang lain s=s₂(), yang melalui titik so, kita

dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh

₂ - q₂ = F’(s_o)

 Oleh karena itu

₁ - q₁ = ₂ - q₂

atau

₂ - ₁ = q₂ - q₁

 Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga.  Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s)

adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F’(s)  0.

DEFINISI TRANSFORMASI LAPLACE



Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai



 





0

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)]

t

(

f

[

L

st

dengan:

f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0

s = variabel kompleks

26



 





0 st

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)]

t

(

f

[

L

1

dt

e

)

t

(

)]

t

(

[

L

0 st













 0 st 0 st 0)e dt e t t ( )] t ( f [ L    _  





f(t)

t

)

t

(



t

f(t)

)

t

t

(



₀



0

t

CONTOH

•Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut:

f(t) = 0

untuk t < 0

= A

untuk t > 0

s

A

s

e

A

dt

Ae

)}

t

(

f

{

st st























   _



0 0

L

f(t)

t

A

Jawab:

28 2 0 st 0 st 0 st

s

a

dt

e

s

a

s

ate

dt

ate

)]

t

(

r

[

L

_



























     0   at untuk t ) t ( f

f(t)

t

•Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut:

f(t) = 0

untuk t < 0

= Ae

-at

_{untuk t > 0}

Jawab:





      

_

_

0 0

Ae

e

dt

A

e

dt

}

Ae

{

at at st (s a)t

L

)

a

s

(

A

)

a

s

(

e

A

(s a)t



























   0

e

-at

t

A

•Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut:

f(t) = 0

untuk t < 0

= A sin



t

untuk t > 0

Jawab:





_







0

A

sin

t

e

dt

}

t

sin

A

{

st

L



    

_



0

2

j

(

e

e

)

e

dt

A

)}

t

(

f

{

j t j t st

L

e

jt

_{= cos}

_

_{t + j sin}

_

_t

e-

jwt

_{= cos}

_

_{t - j sin}

_

_t

sin

t

j

(

e

e

)

t j t j

_

 





2

1

2 2

1

2

1

2





















s

A

j

s

j

A

j

s

j

A

f(t)

F(s)

Step function, u(t)

e

-at

t

e-at

sin(



t )

cos(t ) t n

1/s

1/(s+a)

1/(s+a)2



/ ( s

2

₊



2

₎

/ ( s2 _{+ } 2₎ n!/sn+1 ) e e ( a b bt at   _  1 ) b s )( a s (   1

f(t)

F(s)=L[f(t)]

n t at e ) t (  ₁ ) t ( u t

)

sin(

at

)

cos(

at

)

(

at

sh

) at ( ch ) 1 n ( s / ! n  2 s / 1 ) a s /( 1  ) a s /( a 2  2 ) a s /( s 2  2 ) a s /( a 2  2 ) a s /( s 2  2 s / 1 ) at sin( ebt a /[(s b)2 a2] ) b s )( a s /( 1   ] a ) b s /[( ) b s (   2  2 ) at cos( ebt b a  ) a b /( ) e e ( bt  at  b a  ) b s )( a s /( s   ) a b /( ) ae be ( bt  at 

SIFAT LINIERITAS

)] t ( f [ L ) s ( F₁  ₁ )] t ( f [ L ) s ( F₂  ₂ ts tan Cons c , c_{1 2} 

)

s

(

F

.

c

)

s

(

F

.

c

)]

t

(

f

[

L

.

c

)]

t

(

f

[

L

.

c

)]

t

(

f

.

c

)

t

(

f

.

c

[

L

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1











SIFAT TRANSLASI

)

a

s

(

F

)]

t

(

f

e

[

L

at





a) Jika F(s)=L[f(t)]

)

a

s

(

F

dt

e

)

t

(

f

dt

e

]

)

t

(

f

e

[

)]

t

(

f

e

[

L

(s a)t 0 st 0 at at





 





  





Contoh

4

s

s

)]

t

2

(

Cos

[

L

₂





5

s

2

s

1

s

4

)

1

s

(

1

s

)]

t

2

(

Cos

e

[

L

t _{2 2}



















35

• Translasi [time]

b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a

= 0 for t<a

)

s

(

F

e

)]

t

(

g

[

L



as

du

e

)

u

(

f

e

du

e

)

u

(

f

dt

e

]

)

a

t

(

f

)]

t

(

g

[

L

su 0 as ) a u ( s 0 st 0        















a

t

f(t)

_g(t)

Contoh

3 _{4 4}

s

6

s

!

3

]

t

[

L





2

t

,

0

)

t

(

g

2

t

,

)

2

t

(

)

t

(

g

3











4 s 2

s

e

6

)]

t

(

g

[

L





36

•Perubahan skala waktu

₎

a

s

(

F

a

1

)]

t

.

a

(

f

[

L



)

a

s

(

F

a

1

a

du

e

)

u

(

f

dt

e

]

)

t

.

a

(

f

)]

t

.

a

(

f

[

L

a su 0 st 0







   





Contoh

1

s

1

)]

t

(

Sin

[

L

₂





9

s

3

1

3

s

1

3

1

)]

t

3

(

Sin

[

L

2 2

















TEOREMA DIFERENSIASI

Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan

sebagai



 















0

)

(

)

(

dt

e

dt

t

df

dt

t

df

_st

L

Integrasi bagian demi bagian memberikan



_



_

_

 _

















0 0

(

)

)

(

)

(

dt

e

t

f

s

e

t

f

dt

t

df

_{st st}

L

 

f

(

t

)

s

)

0

(

f

dt

)

t

(

df

L

L



















Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah

38

Turunan Pertama [Derivative first order]

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

f

[

L

]

dt

df

[

L

)]

t

(

'

f

[

L

 













_



     _ 

_

_

_



0 0 0

dt

)

t

(

f

se

)

t

(

f

e

dt

)

t

(

f

e

)]

t

(

'

f

[

L

st st st

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

'

f

[

L







t

)

0

(

f



f(t)

)

(

f

)

s

(

sF







0

39

Turunan orde tinggi

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

f

[

L

]

dt

df

[

L

)]

t

(

'

f

[

L

 









)

0

(

'

f

)

0

(

f

.

s

)

s

(

F

.

s

]

)

t

(

f

[

L

)]

t

(

"

f

[

L





2









  ) 1 n ( ) 1 ( 2 n 1 n n ) n (

)

0

(

f

...

)

0

(

f

s

)

0

(

f

s

)

s

(

F

s

)]

t

(

f

[

L

  

_

_





) 1 i ( n 1 i i n n ) n (

)

0

(

f

.

s

)

s

(

F

s

]

)

t

(

f

[

L

  







•Jika discontinuity pada a

)]

a

(

f

)

a

(

f

[

e

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

'

f

[

L







as 





)

a

(

f

)

a

(

f







40

Contoh Turunan

2 2

s

)]

t

(

Sin

[

L











2 2

s

s

)]

t

(

Cos

[

L









dt

)]

t

(

Sin

[

d

1

)

t

(

Cos





 

2 2 2 2

s

s

)

s

(

s

)

0

(

Sin

)]

t

(

Sin

[

L

s

)]

t

(

Cos

[

L































)

t

(

Cos

dt

)]

t

[sin(

d









)

t

(

Sin

dt

)]

t

(

Cos

[

d











dt

)]

t

(

Cos

[

d

1

)

t

(

Sin











)

s

(

)

0

(

Cos

)]

t

(

Cos

[

L

s

)]

t

(

Sin

[

L

_{2 2}

























APLIKASI RANGKAIAN RC

C

R

e(t)

v(t)

0 ) 0 ( v ) t ( v dt dv RC ) t ( e   

Persamaan rangkaian

Transformasi Laplace

:

E(s)  RCsV(s)V(s)  V(s)[1RCs]

RCs

1

)

s

(

E

)

s

(

V





INTEGRASI





t 0

s

)

s

(

F

]

du

)

u

(

f

[

L

)

s

(

F

)

0

(

g

)]

t

(

g

[

sL

)]

t

(

g

[

L











)

t

(

f

)

t

(

g









t 0

]

du

)

u

(

f

)

t

(

g

F

(

s

)



L

[

f

(

t

)]

PERKALIAN DENGAN FAKTOR T

dt

)

t

(

f

e

[

ds

d

)

s

(

F

ds

)

s

(

dF

0 st '



 





_{Leibnitz’s rule}

)]

t

(

tf

[

L

dt

]

)

t

(

tf

[

e

]

dt

)

t

(

f

e

[

s

ds

)

s

(

dF

0 st st 0



















   

)

s

(

F

)]

t

(

tf

[

L





'

Rumus umum

n n n n ds ) s ( F d ) 1 ( )] t ( f t [ L  

PEMBAGIAN DENGAN FAKTOR T

t

)

t

(

f

)

t

(

g



f

(

t

)



tg

(

t

)

)

s

(

F

ds

)

s

(

dG

ds

)]

t

(

g

[

dL

)]

t

(

f

[

L















 







s s

du

)

u

(

F

du

)

u

(

F

)

s

(

G







s

du

)

u

(

F

]

t

)

t

(

f

[

L

   s 0 ) s ( LimG

FUNGSI PERIODIK

)

t

(

f

)

kT

t

(

f







t

,

k

sT T 0 st

e

1

dt

e

)

t

(

f

)

s

(

F

)]

t

(

f

[

L

_ 









... dt ) t ( f e dt ) t ( f e dt ) t ( f e ) s ( F )] t ( f [ L T 3 T 2 st T 2 T st T 0 st







 _  _    ... du ) T 2 u ( f e du ) T u ( f e dt ) t ( f e ) s ( F )] t ( f [ L T 0 ) T 2 u ( s T 0 ) T u ( s T 0 st







           ... du ) u ( f e e du ) u ( f e e dt ) t ( f e ) s ( F )] t ( f [ L T 0 su sT 2 T 0 su sT T 0 st







 _   _     ] dt ) t ( f e [ e ) s ( F )] t ( f [ L T 0 st 0 n nsT





      sT 0 n nsT e 1 1 e _     



FUNGSI PERIODIK SINUS & COSINUS

)

t

(

jSin

)

t

(

Cos

e

jt









dt

e

dt

e

e

)]

t

(

Sin

[

jL

)]

t

(

Cos

[

L

]

e

[

L

0 t ) s j ( 0 st t j t j





     

_

_

_

_

_

_

sT T 0 t ) s j ( t j

e

1

dt

e

]

e

[

L

_   











[

e

1

]

s

j

1

]

1

e

e

[

s

j

1

e

s

j

1

dt

e

(j s)t T₀ j T sT sT T 0 t ) s j (























     



2 2 t j

s

j

s

)

j

s

)(

j

s

(

j

s

j

s

1

]

e

[

L

































PERILAKU BATAS LIMIT : NILAI INISIAL

)

0

(

f

)

s

(

sF

)]

t

(

f

[

L

 











  



s

0

]

dt

)

t

(

f

e

[

Lim

0 st

Exponential order

}

s

}...{

0

t

{

)]

s

(

sF

lim[

)]

t

(

f

[

Lim









0

t

)

0

(

f

)]

t

(

f

[

Lim















s

)

0

(

f

)]

s

(

sF

[

Lim

FUNGSI IMPULSIONAL

)

t

(

e

)

t

(

e



₀



E

(

s

)



e

₀

RCs

1

e

)

s

(

V

0





RC

t

Impulse response

CR t 0

e

RC

e

)

t

(

v





RC

e

₀ CR t

e



RC

e

)

RC

1

s

(

1

)

s

(

V

0





)

1

RCs

(

se

)

s

(

sV

0









s

0

s



FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL

)

t

(

u

e

)

t

(

e



₀

s

e

)

s

(

E



0

)

RCs

1

(

s

e

)

s

(

V

0





)

RC

1

s

(

e

s

e

)

s

(

V

0 0







]

e

1

[

e

e

e

e

)

t

(

v

CR t 0 CR t 0 0  









e0

RC

0 e 63 , 0

]

e

1

[

e

)

t

(

v

cr t 0 





FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL

Step function dan initial conditions v(0)



0

RCs

1

)

0

(

RCv

)

RCs

1

(

s

e

)

s

(

V

0









)

RC

1

s

(

e

)

0

(

v

s

e

)

s

(

V

0 0









CR t 0 0

[

v

(

0

)

e

]

e

e

)

t

(

v









) 0 ( RCv ] RCs 1 )[ s ( V ) s ( V )] 0 ( v ) s ( sV [ RC ) s ( E       cr t 0 0

[

v

(

0

)

e

]

e

e

)

t

(

v









0

e

)

0

(

v

1

RCs

]

e

)

0

(

v

[

RCs

e

)

s

(

sV

₀ 0









FUNGSI RAMP

t

)

t

(

r

)

t

(

e





₂

s

1

)

s

(

E



)

RCs

1

(

s

1

)

s

(

V

₂





)

RC

1

s

(

RC

s

RC

s

1

)

s

(

V

₂









CR t

RCe

RC

t

)

t

(

v









RC

CR

t



)

t

(

v

CR t

e

1

dt

dv

_

_



sV

(

s

)

1

_s

RC

₍

_RCs

(

RC

)

s

₁

₎

2









ANALISIS HARMONIK

)

t

sin(

e

)

t

(

e



₀



0 _{2 2}

s

e

)

s

(

E









) 2 2 0

s

)(

a

s

(

ae

)

s

(

V











)

s

C

Bs

a

s

A

(

ae

)

s

(

V

_{0 2 2}















2 2 2 2 2 2

a

a

C

a

1

B

a

1

A





















)

s

s

s

a

a

s

1

(

a

ae

)

s

(

V

₂ 0 _{2 2 2 2 2}























RC

1

a



)

s

s

s

a

a

s

1

(

a

ae

)

s

(

V

₂ 0 _{2 2 2 2 2}























)]

t

cos(

)

t

sin(

RC

1

e

[

a

ae

)

t

(

v

CR t 2 2 0





























)

RC

(

tg

2

)

RC

(

1

1

)

(

Cos









]

e

)

sin(

)

t

)[sin(

(

Cos

e

)

t

(

v

CR t 0 















Forced

Transient

TRANSFORMASI LAPLACE INVERSE

Diketahui: F(s)=L[f(t)]



Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?

)]

s

(

F

[

L

)

t

(

f



1

ds

).

s

(

F

e

i

.

.

2

1

)

t

(

f

)]

s

(

F

[

L

. i . i st 1



      







Pada kontour Bromwich

a) Method Analitik

b) Metoda Tabel

f

(

t

)

e

at

a

s

1

)

s

(

F











           n i t p i n n ae i p s a ... p s a p s a ) s ( A ) s ( B ) s ( F 1 2 2 1 1



     _{  }  n i t p i t p n t p t p _{a e ...a e n a e i} e a ) t ( f 1 2 1 1 2

c) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda

Harga a_k (residu pada pole s=-p_k) dapat diperoleh dengan:

k k s p k n n k k k k p s k k B_A(₍s_s)₎ (s p ) _s a_p (s p ) ... _s a_p (s p ) ... _s a_p (s p ) a                             1 1

Semua suku uraian menjadi nol, kecuali a_k. Jadi residu ak diperoleh:

k p s k k B_A(₍s_s)₎ (s p ) a          

CONTOH SOAL

Carilah transformasi Laplace balik dari

)

s

)(

s

(

s

)

s

(

F

2

1

3









Jawab:

Transformasi Laplace balik dari: pt -e a p s a L _        1

)

s

(

a

)

s

(

a

)

s

)(

s

(

s

)

s

(

F

2

1

2

1

3

_{1 2}

















2

1

2

1

3

1 1

























  s

)

s

(

)

s

)(

s

(

s

a

1

2

2

1

3

2 2



























  s

)

s

(

)

s

)(

s

(

s

a

 

_































  

)

s

(

L

)

s

(

L

)

s

(

F

L

2

1

1

2

₁ 1 1

 

F

(

s

)

e

e

untuk

t

0

L

1



t



2t



2

CONTOH SOAL

)

3

s

)(

2

s

)(

1

s

(

4

s

2

)

s

(

F

2











)

3

s

(

2

7

)

2

s

(

4

3

)

1

s

(

6

1

)

s

(

F

















2

7

4

3

6

3 2t t t

_e

_e

e

)

t

(

f









