1001 Pembahasan UAS Kalkulus I KATA PENGANTAR

i

KATA PENGANTAR

Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara) menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana mendapatkan ide menyelesaikan soal.

Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup. Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana cara mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di dalam otak kita.

“1001 soal dan pembahasan “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca, text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal- soal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru silahkan pembaca menyimak pembahasannya.

ii Semoga bermanfaat !

Penulis

Arip Paryadi

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... iii

MATHEMATIC FORMULAE ... v

SOAL SOAL ... 2

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP)... 3

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 ... 4

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 ... 5

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 ... 6

Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 ... 7

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 ... 8

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 ... 9

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ... 10

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 ... 11

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ... 12

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 ... 13

Uas 2002-2003 Kalkukus I ... 14

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 ... 15

Uas 2000-2001 Kalkulus I ... 16

PEMBAHASAN ... 17

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP)... 18

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 ... 21

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 ... 25

iv

Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 ... 32

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 ... 36

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 ... 40

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ... 45

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 ... 49

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ... 52

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 ... 56

Uas 2002-2003 kalkulus I ... 61

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 ... 66

Uas 2000-2001 Kalkulus I ... 71

v MATHEMATIC FORMULAE

( )

uv '=u'v+v'u 2 ' ' ' v u v v u v u − =       dx dy dy du dx du ⋅ =

( )

1 '= n− n nx x

( )

x x e e '=

( )

ax '=axlna

(

sinx

)

'=cosx

(

cosx

)

'=−sinx

(

tanx

)

'=sec2x

(

cotx

)

'=−csc2x

(

secx

)

'=secxtanx

(

cscx

)

'=−cscxcotx

(

)

x x 1 ln '=

(

)

'( ) ) ( 1 ) ( ln ' f x x f x f =

(

)

2 ' 1 1 1 sin x x − = −

(

)

2 ' 1 1 1 cos x x − − = −

(

)

2 ' 1 1 1 cot x x + − = − ∫ − = ∫udv uv vdu ∫ + + = + c n x dx x n n 1 1 c x dx x = + ∫1 ln c e a dx eax = ax+ ∫ 1 ∫ +      = − − _c a x x a dx ₁ 2 2 sin ∫sinxdx=−cosx+c c x xdx= + ∫cos sin c a x a x dx + ∫       = + −1 2 2 sinh c x xdx=− + ∫tan lncos c x xdx= + ∫cot lnsin c x x xdx= + +

∫sec lnsec tan c x x xdx= − + ∫csc lncsc cot c a x a a x dx +       = ∫ + −1 2 2 tan 1

(

)

2 ' 1 1 1 tan x x + = −

Arip Paryadi , IT Telkom 2

Arip Paryadi , IT Telkom 3 UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010

KALKULUS I/MA1114 15 AGUSTUS 2009

TUTUP BUKU

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP)

1. Diketahui daerah D dibatasi kurva y= x , garis y=1 , garis x=4 . a. Gambarkan daerah D

b. Hitung luas daerah D

c. Hitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y. 2. a. Cari turunan dari y=esin−1x

b. Hitung

(

x

)

x x x e 1 2 lim − + ∞ → bila ada 3. Hitung integral a. ∫2 0 5 cos π xdx b. ∫ + − − dx x x x 10 6 3 2

4. Periksa kekonvergenan integral tak wajar

(

)(

)

∫ − + + ∞ 0 3 2 4 dx x x x No 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4 Nilai 2 4 7 4 7 7 7 7

Arip Paryadi , IT Telkom 4 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009

KALKULUS I MA1114 SELASA / 13 JANUARI 2009

TUTUP BUKU

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114

1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva x2 +y=4dan garis

2 + = x y

a. Gambarkan daerah D dan cari titik-titik potongnya b. Hitung luas daerag D

c. Hitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x

2. Bila x

( )

ax

a x

f( )=1tan−1 +tan−1 , a konstanta. Tentukan a sehingga

2 ) 0 ( ' = f 3. Hitung

(

)

x x x cot lim 0+ → , bila ada. 4. Hitung integral a. ∫ − + −x2 4x 3 dx b. ∫x3 x2 +4 dx

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∞∫x e x dx

∞ − − 3 2 Soal 1 2 3 4 5 Nilai 8 8 8 8 8 Selamat Mengerjakan !

Arip Paryadi , IT Telkom 5 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008

KALKULUS I/MA1114 TUTUP BUKU

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114

1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva

2 4 x

y= − , garis y=3x dan sumbu y. a. Gambarkan daerah D dan hitung luasnya

b. Hitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis x=4

2. Diketahui

( ) (

)

        − = 2 1 sin π x x x f a. Hitung f

( )

x x lim 2 + →π

b. Tentukan turunan pertama dari f

( )

x

3. a. Hitung integral ∫ − − + dx x x x x 6 6 2 3 3

b. periksa kekonvergenan integral tak wajar ∞∫ −

0

dx xe x

No 1 2 3

Nilai 12 14 14 Selamat mengerjakan denga jujur !

Arip Paryadi , IT Telkom 6 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007

KALKULUS I MA1114 SABTU / 13 JANUARI 2007

TUTUP BUKU

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 Berdoalah sebelum mulai mengerjakan!

Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafiky=1−x2, garis x = 1, dan garis y = 1

d. Hitung luas daerah D

e. Volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y. 2. a. Tentukan 'y ( untuk x > 0 dan y > 0) jikayx =xy

b. Diketahui ∫ = − 3 0 ). 1 (cos ) ( x x x dt t f π Tentukan nilai f(8). 3. Hitung ∫ + + dx x x x 2 3 2 1 4. Selidiki kekonvergenan ∫ + − 0 1 1 dx x x 5. Diketahui 1 ) ( + = x x x f

a. Selidiki apakah f(x) mempunyai invers ? b. Cari f −1

( )

−1 !

NOMOR 1 2a 2b 3 4 5

NILAI MAKS 8 4 4 8 8 8

PENGOREKSI FDA JDN ERW ZKA DMA SSI

Arip Paryadi , IT Telkom 7 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006

KALKULUS 1 MA1114 SENIN 2 JANUARI 2006

TUTUP BUKU

Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 Berdoalah sebelum mulai mengerjakan!

Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi dua bagian yang sama.

a. Gambarkan daerah D b. Tentukan m

2. Tentukan panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1). 3. Carilah a. ∫sin4(x)cos3(x)dx b. 1∫ − 0 1 ) ( tan xdx 4. Selidiki kekonvergenan ∫ − 3 0 _{9 x}2 dx

5. Diketahui f(x) = (x-π)tan x. Tentukan a. f'

( )

x .

b. lim f(x) x→π+

No 1 2 3 4 5 Jumlah

Nilai Max 8 8 8 8 8 40

Pengoreksi ERW BZL FDA SSI JDN -o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-

Arip Paryadi , IT Telkom 8 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005

MA-1114 KALKULUS I SENIN 10 JANUARI 2005

TUTUP BUKU

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui D dibatasi oleh _y=x2 _{, x = 2 dan y = 1}

a. Hitung luas D

b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap garis x = 3 2. Bila x x x x f( )=( +sin ) , tentukan : a. f'(x) b. lim ( ) 0 x f x_→ + 3. Hitung ∫ + + + − 1 1 2 2 5 5 dx x x x 4. Hitung ∫ − dx x2 ₁₎32 4 ( 1

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ − 2 1

) 1 ln(x dx

Arip Paryadi , IT Telkom 9 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004

MA 1122 KALKULUS I 23 DESEMBER 2003

TUTUP BUKU

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 1. Diketahui 1 ) ( ₂ + = x x x f Tentukan :

a. Daerah dimana grafik f naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta jenisnya (bila ada)

b. Daerah dimana grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik beloknya (bila ada)

c. Garis-garis Asimtot d. Sketsa grafik f 2. Diketahui ∫ + = −4 2 4 3 , 1 ) ( x x dt t x x H tentukan H’(2)

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4 a. Gambar daerah D dan hitung luas daerah tersebut

b. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis y = -1

4. Diberikan f(x)=

(

x2+1

)

lnx, tentuka f ‘(x) 5. Hitung integral-integral berikut

a. ∫ 9−exdx Dengan menggunakan subtitusi x e u= 9− b. π∫ 0 2 cos xdx x

Arip Paryadi , IT Telkom 10 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004

PU 1333 KALKULUS SENIN 5 JANUARI 2004

TUTUP BUKU

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333

1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva y= x, garis 0

=

x dan garis y = 3 a. Hitung luas daerah D

b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis y = -1 2. Diketahui f(x)=

(

cosx

)

cosecx

a. Hitung : lim ( )

0

x f x→

b. Tentukan turunan pertama f(x) 3. Hitung integral berikut:

a. ∫ + − x dx x x 5 2 2 2 b. ∫ln

(

2+x

)

dx

4. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut: a.

(

)

∫ + +∞ 0 _{2x 3} 32 dx b. ∫ − − − 3 1 2 6 1 2 dx x x x

Arip Paryadi , IT Telkom 11 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004

MA 1314 KALKULUS I SENIN 5 JANUARI 2004

TUTUP BUKU

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 1. Tentukany'dari bentuk emplisit x+exy =1

2. Hitung ∫ln(2+x)dx 3. Diketahui ∫ − − − 3 1 2 6 1 2 dx x x x

a. Periksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar ? b. Jika integral tak wajar, periksa kekonvergenannya! 4. a. Tentukan selang kekonvergenan deret :

(

)

∑∞ + = + + + =0 2 ... 3 2 1 1 n n _{x x} x n

b. Tentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :

x x x x − = + + + + 1 1 ... 1 2 3

5. Tentukan deret McLaurin dari fungsi

x x x f + = 1 ) (

Arip Paryadi , IT Telkom 12 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003

KALKULUS / PU 1333 6 JANUARI 2003

TUTUP BUKU

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 Kerjakan dengan singkat dan jelas!

Jangan lupa berdo’a sebelum mengerjakan!

1. Diketaui f(x)=(x+1)cosecx

a. Tentukan f'(x) b. Hitung lim ( ) 0 x f x_→ + 2. Hitung integral berikut

a. ∫ln

(

5x+2

)dx

b. ∫ − 2 2 4 x x dx

3. Selidiki kekonvergenan dari a.

(

)

∫ + +∞ 0 x 132 dx b. ∫ + ∞ − 0 2 1 e dx e x x

4. Diketahui daerah D dibatasi oleh y= x , x = 4 , sumbu x. a. Tentukan luas D

b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y.

Arip Paryadi , IT Telkom 13 UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003

MA1314 KALKULUS I JUMAT, 13 JUNI 2003

TUTUP BUKU

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 1. Hitung a.

(

)

(

)

∫ + − + − 4 1 6 4 3 2 2 2 3 x x x x x b. ∫ + dx x x 1 1 2 2

2. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar

(

x

)

dx x ∫ + +∞ 1 2 ₁32 3. Diketaui f(x)=

(

cotx

)

x2 Tentukan :

a. Turunan pertama dari f(x) ! b. lim ( )

0

x f x→ +

4. Tentukan selang kekonvergenan ∑∞

(

+

)

=12 +1 2 1 n n n n x

Arip Paryadi , IT Telkom 14 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003

KALKULUS I TUTUP BUKU Uas 2002-2003 Kalkukus I 1. Hitunglah

(

)

x x xsin 0 tan lim + →

2. Tentukan f'(x)dari f(x)=(2+sinx)x2

3. Hitung integral berikut ∫ − dx x

x 1

4 2

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar di bawah

a. dx e e x x ∫ + ∞ ∞ − − − 2 1 b. ∞∫ ∞ − x x dx 3 ln

5. a. Periksa kekonvergenan deret ∑∞

= + 1 1 ! 3 n n n

b. Tentukan selang kekonvergenan deret ∑ + ∞ = − 0 2 1 ) 1 ( 2 n n n n x

Arip Paryadi , IT Telkom 15 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002

DA 1314 KALKULUS I SENIN 15 JANUARI 2001

TUTUP BUKU

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314

1. Diberikan fungsi f(x)=x2+2x+2,x≤−1. Tunjukkan bahwa fungsi )

(x

f mempunyai invers kemudian carilah f−1(x)

2. a. Carilah integral tak tentu ∫ + + dx x x x 4 4 3 b. Hitunglah ∫3 − 1 2 2 9 dx x x

3. selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut a. ∫ x+ dx ∞ 0 ) 1 ln( b. ∫ 1 0 2 dx x ex

4. Tentukan selang/himpunan kekonvergenan dari deret pangkat ∑ + − ∞ = + 0 1 3 2 ) 2 ( n n n n x

5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin (minimal 4 suku pertama) untuk

fungsi ₂ 4 1 ) ( x x f − =

Arip Paryadi , IT Telkom 16 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2000/2001

KALKULUS 1 SENIN / 24 NOVEMBER 2000 TUTUP BUKU Uas 2000-2001 Kalkulus I 1. Diketahui _{f x} x x 1x ) 4 2 ( ) ( = + a. Tentukan f'(x) b. Hitunglah lim f(x) x→∞ ( jika ada ) 2. Hitung a. ∫

{

(

−

)(

−

)

}

5 3 2 1 ln x x dx b. ∫ − − dx x x 2 9 3 2 3. Hitung ∫ + + − − − dx x x x x x ) 2 2 )( 1 ( 3 2 2 2

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut :

a. ∫2 0 tan π θ θd b. ∫ ∞ − 0 2 dx xex

5. Tentukan selang ( himpunan ) kekonvergenan deret ∑

+ − ∞ = + 1 1 ) 1 ( ) 1 ( k k k k k x

Arip Paryadi , IT Telkom 17

Arip Paryadi , IT Telkom 18 PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010 KALKULUS I/MA1114

15 AGUSTUS 2009

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP) 1. Diketahui daerah D dibatasi kurva

x

y= , garis y=1 , garis x=4 .

a. Gambar daerah D diperlihatkan pada gambar di samping

b. Menghitung luas daerah D

luas salah satu partisi dari D adalah :

(

y

)

y

A= − ∆

∆ 4 2

apabila luas seluruh partisi dari D dijumlahkan akan diperoleh luas daerah D yaitu

(

)

2 1 3 3 1 2 1 2 4 4 y dy y y A=∫ − = −

(

) (

)

₃5 3 1 3 8 ₄ 8− − − = =

c. Menghitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y.

Jika salah satu partisi dari D diputar terhadap sumbu y maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari-jari bagian dalam _y2 _{dan jari-jari bagian luar 4}

serta tebal ∆y . Volume cakram tersebut yaitu

(

r r

)

t

(

y

)

y

V = l − d = − ∆

∆ π 2 2 π16 4 Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah

(

)

π

(

)

π π 2 49₅ 1 5 5 1 2 1 4 ₁₆ 16 = − = ∫ − = y dy y y V 1 x y= 4 0 D D daerah y ∆ 1 _4−y2 4 0 1 2 y ∆ • 2 y rd = 4 = l r

Arip Paryadi , IT Telkom 19 2. a. Mencari turunan dari y=esin−1x

misalkan u=sin−1x maka

2 1 1 x dx du − = , y=eu dan eu du dy = . Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh :

2 sin 2 1 1 1 1 x e x e dx du du dy dx dy u x − = − = = − b. Menghitung

(

x

)

x x x e 2 1 lim − + ∞ →

(

x

)

x x x e 1 2 lim − + ∞ →

(

)

(

)

2 1 2 ln 1 lim exp ln exp lim e x x x e x x x x x + = + = − ∞ → − ∞ →

(

)

2 _** lim exp * ln lim exp 2 2 x e x e x x e x x x x x ₊ + − = + = − − ∞ → − ∞ →

( )

0 1 exp 2 2 lim exp = = + − + = − − ∞ → _{e x} e x x x

Note : * dan ** limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H dapat diterapkan. 3. Menghitung integral a. ∫2 0 5 cos π xdx

∫cos5 xdx =∫

(

cos2 x

)

2cosxdx =∫

(

1−sin2 x

)

2cosxdx

(

)

∫ − +

= 1 2sin2 x sin4 x cosxdx

(

)

(

)

∫ − +

= 1 2sin2 x sin4 xdsinx c x x x− + + = 5 5 1 3 3 2_{sin sin} sin ∫2 0 5 cos π xdx

(

)

₁₅8 0 5 5 1 3 3 2 2 sin sin sin − + = = π x x x b. ∫ + − − dx x x x 10 6 3 2 ∫ + − − dx x x x 10 6 3 2

(

)

∫ + − + − = 10 6 10 6 2 2 2 1 x x x x d c x x − + + = 2 6 10

Arip Paryadi , IT Telkom 20 Alternative lain adalah dengan melihat kenyataan bahwa

∫ + − − dx x x x 10 6 3 2 ∫

₍

₎

+ − − = dx x x 1 3 3

2 kemudian lakukan substitusi

t x−3=tan

4. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar

(

)(

)

∫ − + + ∞ 0 3 2 4 dx x x x

(

)(

)

∫ − + + ∞ 0 3 2 4 dx x x x

(

)(

)

∫

(

+

)(

−

)

+ + ∫ − + + = + − → → 3 2 0 2 3 2 4 lim 2 3 4 lim b b a a dx x x x dx x x x

(

3

)(

2

)

...

( )

* 4 lim 3 ∫ − + + + ∞ → c c dx x x x Misalkan

(

3

)(

2

) (

3

) (

2

)

4 − + + = − + + x b x a x x x

. Untuk mendapatkan nilai a dan b kita kalikan kedua ruas dengan

(

x+3

)(

x−2

)

menjadi

(

2

)

(

3

)

4= − + +

+ a x bx x

untuk x=2 diperoleh 6=5batau _b=56

untuk x=−3diperoleh 1=−5aatau _a=−51 _sehingga

(

)(

)

∫ − + + dx x x x 2 3 4

(

x

)

(

x

)

dx=− x+ + x− +c ∫ _      − + + − = ln 3 ln 2 2 5 6 3 5 1 5 6 5 1 _.

Sekarang kita selesaikan limit bagian pertama pada ruas kanan (*)

(

)(

)

∫ − + + − → a a dx x x x 0 2 3 2 4 lim

(

)

a a x x 0 5 6 5 1 2 2 ln 3 ln lim − + + − = − →

(

− + + −

) (

− − + −

)

=−∞ = − → 2 ln 3 ln 2 ln 3 ln lim ₅1 ₅6 ₅1 ₅6 2 a a a Ini menunjukkan bahwa

(

)(

)

∫ − + + − → a a dx x x x 0 2 3 2 4

lim divergen yang berakibat

(

)(

)

∫ − + + ∞ 0 3 2 4 dx x x x juga divergen.

Arip Paryadi , IT Telkom 21 PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009 KALKULUS I MA1114

SELASA / 13 JANUARI 2009 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh

kurva x2+ y=4dan garis y=x+2

a. Menggambar daerah D dan mencari titik-titik potongnya

Titik potong kurva antara x2 +y=4 dan

2 + = x y 4 2 _+y= x 4 2 2 = + +x x 0 2 2_{+x− =} x

(

x+2

)(

x−1

)

=0 2 − = x atau x=1 b. Menghitung luas daerah D

luas salah satu partisi dari D adalah :

(

)

(

)

(

x x

)

x A= − + − + ∆ ∆ 2 4 2

(

−x −x+

)

∆x = 2 2

Jika luas semua partisi dari D kita jumlahkan akan didapat luas daerah D yaitu :

(

)

∫ − − + = − 1 2 2 2dx x x A 1 2 2 3 2 2 1 3 1 − + − − = x x x 2 9 4 2 3 8 2 2 1 3 1 =       − − −       + − − = 2 + =x y 4 2 + − = x y 2 − D 1 x ∆

(

−x2+4

)

−

(

x+2

)

Arip Paryadi , IT Telkom 22 c. Menghitung volume benda putar, bila

D diputar mengelilingi sumbu x.

Bila sebuah partisi dengan tinggi

2 2

+ −

−x x dan alas ∆xdiputar terhadap sumbu x maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari – jari dalam x+2

dan jari jari bagian luar −x2+4serta tebal ∆x. Luas volume cakram tersebut adalah

(

r r

)

t V = l2− d2 ∆ π

(

x

)

(

x

)

∆x      + − + − =π 2 42 22

(

) (

)

(

x − x + − x + x+

)

∆x =π 4 8 2 16 2 4 4

(

x − x − x+

)

∆x =π 4 9 2 4 12

Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :

(

)

∫ − − + = − 1 2 2 4 12 4 9x x dx x V π 1 2 2 3 5 12 2 3 5 1 −       + − − =π x x x x             − − + − −       + − − = 24 8 24 5 32 12 2 3 5 1 π π 5 108 =

2. Menentukan a sehingga f'(0)=2 jika x

( )

ax a x f( )=1tan−1 +tan−1

( )

( )

2 2 1 1 1 1 ' ax a x a x f + + + = karena f'(0)=2 maka a a+ = 1 2 2 1 2a= +a 0 1 2 2 = + − a a

(

a−1

)

2 =0 , 1 = a x ∆ 2 + =x r_d 4 2 + − = x r_l

Arip Paryadi , IT Telkom 23 3. Menghitung

(

)

x x x cot lim 0+ →

(

)

x x x cot lim 0+ →

(

x

)

x

(

x

)

x x x cot ln lim exp cot ln exp lim 0 0+ → + → = =

(

)

* 1 cot ln lim exp 0 _      = + → x x x       −        ₋ = + → 2 2 0 1 cot csc lim exp x x x x x x x x x x x x x x x cos lim sin lim exp cos sin sin lim exp 0 0 2 2 0+ _→+ _→ + → = =

( )

1.0 1 exp = =

Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H bisa diterapkan. 4. Mengitung integral a. ∫ − + −x2 4x 3 dx

(

)

* 2 1 2 ∫ − − = x dx

(

x−

)

+c =sin−1 2

Note: * jika kurang faham lakukan substitusi x−2=sint

b. ∫x3 x2 +4 dx

misalkan : u=x2 +4 maka du=2xdx atau

x du dx 2 = _sehingga dx x x ∫ 3 2 +4 =∫ x du u x 2 3 ∫ = x2 udu 2 1

(

)

∫ − = u 4 udu 2 1 ∫       − = u32 ₄u12 du 2 1 c u u +      − = 52 32 3 8 5 2 2 1

(

x +

)

−

(

x +

)

+c = 2 52 2 32 4 3 4 4 5 1

Arip Paryadi , IT Telkom 24 5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∞∫x e x dx

∞ − − 3 2 dx e x x ∫ ∞ ∞ − − 3 2 _∫ + ∫ = − ∞ → − −∞ → b x b a x a dx e x dx e x 0 2 0 2 3 3 lim lim misalkan _{u x}3 − = maka du=−3x2dx sehingga ∫ − dx e x2 x3 =− ∫eudu 3 1 c eu+ − = 3 1 c e x + − = − 3 3 1 dx e x x ∫ ∞ ∞ − − 3 2 b x b a x a e e 0 0 3 3 3 1 lim 3 1 lim − ∞ → − −∞ → − + − = ∞ = + − + + − = − ∞ → − −∞ → 3 1 3 1 lim 3 1 3 1 lim 3 3 _b b a a e e Jadi ∞∫x e x dx ∞ − − 3 2 _divergen.

Arip Paryadi , IT Telkom 25 PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008 KALKULUS I/MA1114

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang

dibatasi oleh kurva _y=4−x2 _{, garis y=3x}

dan sumbu y.

a. Gambar daerah D luas daerahnya Perhatikan gambar disamping ! Titik potong antara kurva 2 4 x y= − dan x

y=3 terjadi saat 4−x2 =3x yaitu

0 4 3 2 = − + x x

(

x+4

)(

x−1

)

=0 4 − =

x (tidak memenuhi karena D pada kwadran I) atau x=1

Luas salah satu partisi dari D adalah :

(

)

(

x x

)

x

(

x x

)

x

A= − − ∆ = − − + ∆

∆ 4 2 3 2 3 4

Jika kita jumlahkan luas seluruh partisi dari D akan didapat luas daerah D yaitu

(

)

∫ − − + =1 0 2 _{3x 4dx} x A 6 13 1 0 2 2 3 3 3 1 _{− +4 =} − = x x x satuan luas. b. Menghitung volume benda putar, bila D

diputar terhadap garis x=4

Apabila salah satu partisi dengan tinggi

4 3 2 + − − = x x

t dan alas ∆x serta berjarak 4−x dari garis x=4 diputar terhadap garis x=4 akan diperoleh sebuah kulit tabung dengan dengan tinggi t=−x2−3x+4 , jari-jari r=4−x serta tebal ∆x . x y=3 1

(

4−x2

)

−3x x ∆

Arip Paryadi , IT Telkom 26 Volume kulit tabung tersebut adalah :

(

x

)

(

x x

)

x r

rt

V = ∆ = − − − + ∆

∆ 2π 2π 4 2 3 4 =2π

(

−x3−x2−16x+16

)

∆x Apabila volume seluruh kulit tabung dijumlahkan akan diperoleh volume benda putar yang dimaksud yaitu

(

)

∫ − − − + = 1 0 2 3 _{16 16} 2 x x x dx V π π

(

)

1 ₆5π 0 2 3 3 1 4 4 1 _{8 16 15} 2 − − − + = = x x x x 2. Diketahui

( ) (

)

( 2) 1 sin −π = x x x f a. Menghitung f

( )

x x lim 2 + →π

( )

(

)

( ₂) 1 2 2 sin ln exp lim lim π π π − + + → → = x x x f x x

(

)

(

)

* sin ln lim exp sin ln exp lim 2 2 2 2 π π _π π − = − = + + → → x x x x x x

( )

0 1 exp sin cos lim exp 2 = = = + → x x x π

Note :*limit berbentuk 0/0 sehingga L’H dapat diterapkan.

b. Menentukan turunan pertama dari f

( )

x

( ) (

)

      − = 2 1 sinx x π x f

( )

(

)

2 2 1 sin ln sin ln ln π π − = =      ₋ x x x x f x

( )

_       − = 2 sin ln ln π x x D x f Dx x

( )

( )

(

)

(

)

2 2 2 sin cos _lnsin ' π π − − − = x x x x f x f x x

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

      ₋ − − − = − − − = 2 1 2 2 2 2 2

2 cot lnsin cot lnsin _sin

' π π π π π x x x x x x x f x x x x x f

Arip Paryadi , IT Telkom 27 3. a. Menghitung integral

(

)(

)

∫ + − + = ∫ − − + dx x x x x dx x x x x 2 3 6 6 6 3 2 3 3 misalkan

(

3

)(

2

)

3 2 6 3 + + − + + = + − + x d x c x b a x x x x

untuk mendapatkan nilai a, b, c dan d kita kalikan kedua ruas dengan

(

x−3

)(

x+2

)

x menghasilkan

(

3

)(

2

)

(

3

)(

2

)

(

2

)

(

3

)

...

( )

* 6 3 − + + + + − + + − = + axx x bx x cxx dxx x

kemudian dengan menyulihkan nilai x=0,x=3,x=−2 dan x=−1

ke dalam (*) secara berturut turut kita peroleh b 6 6=− atau b=−1 c 15 33= atau _c=11₅ d 10 2= − atau _d=−51 d c b a 4 4 4 5= − − + atau a=1

Dengan demikian kita memiliki

(

x

)

(

x

)

C x x dx x x x dx x x x x + + − − + − = ∫ _      + − − + − = ∫ − − + 2 ln 3 ln ln 2 3 1 1 6 6 5 1 5 11 5 1 5 11 2 3 3

b. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∞∫ −

0

dx xe x

Misalkan u=x dan dv=e−xdx maka du=dx dan _v=−e−x _sehingga

∫ − = ∫ = ∫ − vdu uv udv dx xe x c e xe dx e xe x+∫ x =− x− x+ − = − − − − ∫ ∞ − 0 dx xe x x x a a a x a e xe dx xe 0 0 lim lim − − ∞ → − ∞ → − − = ∫ = 1 1 lim 1 * * 1 lim 1 1 lim− − + = + − − = + − = = ∞ → ∞ → − − ∞ → a a a a a a a _{e e} a e ae Jadi ∞∫ − 0 dx xe x konvergen ke 1.

Arip Paryadi , IT Telkom PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007 KALKULUS I MA1114

SABTU / 13 JANUARI 2007 Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik

2 1 x

y= − , garis x = 1, dan garis y = 1. a. Menghitung luas daerah D

Perhatikan gambar di samping !

Luas salah satu partisi dari D adalah x x x x A= − − ∆ = ∆ ∆ (1 (1 2)) 2 .

Sehingga luas daerah D adalah : luas satuan 3 1 3 1 1 0 3 1 0 2 _{= =} ∫ = x dx x A

b. Menentukan volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y.

Metode kulit tabung

Jika salah satu irisan dengan tinggi

2 2₎ 1 (

1− −x =x dan alas ∆xserta berjarak xdari sumbu ydiputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi _x2_{, jari jari}

x dan tebal ∆x. Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :

( )

x x x x x V = ∆ = ∆ ∆ 2π 2 2π 3 2 4 1 2 2 1 0 4 1 0 3 π π π _ =      = ∫ = x dx x V 1 = y 1 y= − 28 UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007

x y 1 = x 2 x − D x ∆

Arip Paryadi , IT Telkom 29 2. a. Menentukan y' _jika yx =xy y x _x y = y x x y ln ln = x y y xln = ln

(

x y

)

D

(

y x

)

D_x ln = _x ln y x x y x y y y 1 ' 'ln 1 ln + = + y x y x y y y x ln ln ' '− = − y x y y x y x ln ' ln _ = −      − x y x y x y y ln ln ' − − =

b. Menentukan f(8) jika diketahui () (cos 1)...

( )

*

3 0 ∫ = − x x x dt t f π

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspilisit dari f(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus pada (*)

] ). 1 (cos [ ) ( 3 0 ∫ = − x x x f t dt D x x D π π π π 1) ( sin ) (cos 3 ) (x3 x2 x x x f = − + − 1 sin cos 3 ) (x3 x2 = x− x x− f π π π 2 3 3 1 sin cos ) ( x x x x x f = π −π π −

Dengan menyulihkan nilai x = 2 ke persamaan terkahir kita peroleh

2 3 2 . 3 1 2 sin 2 2 cos ) 8 ( ) 2 ( = f = π− π π − f 0 12 1 0 1 = − − =

Arip Paryadi , IT Telkom 30 3. Menghitung ∫ + + dx x x x 2 3 2 1 misalkan 1 ) 1 ( 1 2 2 2 + + + = + + x c x b x a x x x maka : ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 2 2 + + + + + = + + x x cx x b x ax x x x 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 axx b x cx x + = + + + +

untuk x=0 kita peroleh b=1 untuk x=−1kita peroleh c=2

untuk x=1 kita peroleh 2=2a+2b+catau a=−1

sehingga : ∫ + + dx x x x 2 3 2 ₁ ∫       + + + − = dx x x x 1 2 1 1 2 =− x−_x+2lnx+1+C 1 ln 4. Menyelidiki kekonvergenan ∫ + − 0 1 1 dx x x ∫ + = ∫ + →− − 0 1 0 1 1 lim 1 a a dx x x dx x x ∫ + − + = − → 0 1 1 1 ) 1 ( lim a a dx x x ∫ _      + − + = − → 0 1 1 1 1 lim a a dx x x dx x x a a       + − + ∫ = − − → 2 1 2 1 0 1 ) 1 ( ) 1 ( lim 0 2 1 2 3 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 2 lim a a x x       + − + = − → 3 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 2 2 3 2 lim 2 1 2 3 1 − =       + − + −       − = − → a a a Dengan demikian ∫ + − 0 1 1 dx x x konvergen ke 3 4 −

Arip Paryadi , IT Telkom 31 5. Diketahui 1 ) ( + = x x x f

a. Menyelidiki apakah f(x)mempunyai invers

Untuk menyelidikinya kita periksa apakah f monoton murni untuk setiap selang pada R(sesuai dengan domainnya). Sekarang perhatikan bahwa R x x x x x x f > ∀ ∈ + = + − + = 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ' _{2 2}

Ini menunjukkan bahwa f selalu naik yaitu f monoton murni sehingga f memiliki invers.

b. Mencari f−1(−1) misalkan x= f−1(y) 1 ) ( + = x x x f 1 + = x x y x x y( +1)= x y yx+ = y x yx− =− y x y−1) =− ( y y y y x − = − − = 1 1 y y y f − = − 1 ) ( 1 x x x f − = − 1 ) ( 1 2 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 − = − − − = − − f

Arip Paryadi , IT Telkom 32 2 x y= x y= m x y= PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006 KALKULUS 1 MA1114

SENIN 2 JANUARI 2006 Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114

1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi y=xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama.

a. Menggambar daerah D

b. Menentukan nilai m

Karena Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama, maka luas daerah yang dibatasi fungsi y = xm dan y = x adalah setengah luas D. secara matematis dapat dituliskan dalam : ∫ − = ∫ − 1 0 2 1 0 ) ( 2 1 ) (x xm dx x x dx 1 0 3 2 1 0 1 2 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1       − =       + − x + x x m x m       − =       + − 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 m 12 1 1 1 2 1 =       + − m 12 5 12 1 2 1 1 1 = − = + m 5 7 = ⇒ m 2 x y= x y=

Arip Paryadi , IT Telkom 33 2. Menentukan l = panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).

∫       + = 1 0 2 1 dx dx dy l ∫       + = 1 0 2 2 1 2 3 1 x dx ∫ + = 1 0 4 9 1 x dx 1 0 2 3 9 4 4 9 1 3 2               + = x         −       = 1 4 13 27 8 32 3. Menentukan : a. ∫sin4(x)cos3(x)dx

∫sin4(x)cos3(x)dx=∫sin4(x)cos2(x)cos(x)dx

(

)

∫ −

= sin4(x)1 sin2(x)cos(x)dx

(

)

∫ −

= sin4(x) sin6(x)cos(x)dx

(

)

(

)

∫ −

= sin4(x) sin6(x)dsinx

( )

x −

( )

x +c = 5 sin7 7 1 sin 5 1 b. 1∫ − 0 1 ) ( tan xdx

misalkan : u=tan−1(x) dan dv=dx

maka : dx x du 2 1 1 + = dan v=x sehingga ∫ =

∫tan−1(x)dx udv =uv−∫vdu dx

x x x x ∫ + − = −1 ₂ 1 ) ( tan

(

)

∫ + + − = − 2 2 2 1 1 1 1 ) ( tan x x d x x C x x x − + + = −1 ln1 2 2 1 ) ( tan dengan demikian1∫ − 0 1 ) ( tan xdx 1 0 2 1 1 ln 2 1 ) ( tan _      + − = x − x x       − −       − = − ln1 2 1 0 2 ln 2 1 ) 1 ( tan 1 ln2 2 1 4− =π

Arip Paryadi , IT Telkom 34 4. Menyelidiki kekonvergenan ∫ − 3 0 _{9 x}2 dx ∫ − 3 0 _{9 x}2 dx ∫ − = − → a a _x dx 0 2 3 ₉ lim

misalkan : x=3sinθmaka dx=3cosθdθ

jika x=0maka θ =0 jika _x→3−_maka − → 2 π θ sehingga ∫ − − → a a _x dx 0 2 3 ₉ lim ∫ − = − → b b d 0 2 2 9 9sin cos 3 lim θ θ θ π ∫ − = − → b b d 0 2 2 ) sin 1 ( 9 cos 3 lim θ θ θ π ∫ = − → b b d 0 2 2 cos 9 cos 3 lim θ θ θ π ∫ = − → b b d 0 2 cos 3 cos 3 lim θ θ θ π ∫ = − → b b d 0 2 lim θ π lim 2 2 π π = = − → b b Jadi ∫ − 3 0 _{9 x}2 dx konvergen ke 2 π Alternative lain ∫ − 3 0 _{9 x}2 dx ∫ − = − → a a _x dx 0 2 3 ₉ lim a a x 0 1 3 3 sin lim       = − → − 2 3 sin lim 1 3 π =       = − →− a a yaitu ∫ − 3 0 _{9 x}2 dx konvergen ke 2 π

Arip Paryadi , IT Telkom 35 5. Diketahui _f

( )

_{x =(x−π)}tanx a. Menentukan f'

( )

x x x y=( −π)tan x x y ln( )tan ln = −π ) ln( ) tan( lny= x x−π

( ) (

)

[

−π

]

=D x x y D_xln _x tan ln

(

)

( )

x x x x y y tan 1 ln ) ( sec ' 1 2 π π − + − =

( ) (

)

( )

x y x x x y _      − + − = sec ln 1 tan ' 2 π π

( ) (

)

( ) (

)

x x x x x x

y' sec2 ln 1 tan π tan

π π _ −      − + − = b. Menghitung lim f(x) x→π+ ) ( lim f x x→π+ x x x )tan ( lim π π − = + →       − = + → x x x )tan ln( exp lim π π

[

tan( )ln( )

]

exp lim π π − = + → x x x

[

tan( )ln( )

]

lim exp π π − = + → x x x

(

)

* ) cot( ln lim exp       ₋ = + → x x x π π             −       − = + → csc ( ) 1 lim exp 2 x x x π π * 2 ) ( sin lim exp π π − − = + → x x x 1 ) cos( ) sin( 2 lim exp x x x − = + →π

( )

0 1 exp = 0= = e

Arip Paryadi , IT Telkom 36 PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005 MA-1114 KALKULUS I

SENIN 10 JANUARI 2005 Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui D dibatasi oleh _y=x2 _{, x = 2 dan y}

= 1

a. Menghitung luas D

Luas salah satu partisi pada D adalah

(

x

)

x

A= − ∆

∆ 2 1

sehingga luas daerah D adalah

(

)

∫ − =2 1 2 ₁ dx x A 2 1 3 3 1       − = x x 3 4 1 3 1 2 3 8 =       − −       − =

b. Menghitung volume benda jika D diputar terhadap garis x = 3

jika salah satu irisan dengan tinggi x2−1

dan alas ∆xserta berjarak 3−xdari garis x = 3 diputar terhadap garis x=3 akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi

1 2

−

x , jari jari 3−x dan tebal ∆x. Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :

(

)

(

)

(

x x x

)

x x x x V ∆ − + + − = ∆ − − = ∆ 3 3 2 1 3 2 2 3 2 π π

(

)

∫ − + + − = 2 1 2 3 _{3 3} 2 x x x dx V π 11 2 7 3 2 1 4 1 2 2 1 2 3 4 = =       − + + − = π x x x x π } x ∆ 2 x y = 1 = y 2 = x 1 4 x y

}

x2 −1 } x ∆ 3 0 x x − 3

Arip Paryadi , IT Telkom 37 2. Diketahui _{f(x)=(x+sinx)}x a. Menentukan f'(x) x x x y=( +sin ) x x x y ln( sin ) ln = + x x x y ln( sin ) ln = +

(

)

(

x x x

)

D y D_x(ln )= _x ln +sin

(

)

x x x x x x y y sin cos 1 sin ln ' 1 + + + + =

(

)

x y x x x x x y _      + + + + = sin cos 1 sin ln '

(

)

(

)

x x x x x x x x x y sin sin cos 1 sin ln ' _ +      + + + + = b. Menghitung lim ( ) 0 x f x→ + ) ( lim 0 x f x→ +

(

)

x x x x sin lim 0 + = + →

(

)

x x x x sin ln exp lim 0 + = + →

(

)

[

x x x

]

x sin ln exp lim 0 + = + →

(

)

[

x x x

]

x sin ln lim exp 0 + = + →

(

)

* 1 sin ln lim exp 0                   + = + → x x x x                   −       + + = + → 2 0 1 sin cos 1 lim exp x x x x x

(

)

* * sin cos 1 lim exp 2 0         + + − = + → x x x x x

(

)

(

)

        + − + + − = + → x x x x x x 1 cos sin cos 1 2 lim exp 2 0 1 ) 0 exp( 2 0 exp = = 0 =      = e

Arip Paryadi , IT Telkom 38 3. Menghitung ∫ + + + − 1 1 2 2 5 5 dx x x x ∫ + + + − 1 1 2 2 5 5 dx x x x

(

)

∫ + + + = − 1 1 12 22 5 dx x x

misalkan : x+1=2tanθ maka dx=2sec2θdθ

jika x=−1maka θ =0 jika x=1maka 4 π θ = sehingga

(

)

∫ + + + − 1 1 12 22 5 dx x x ∫ + + − = 4 0 2 2 2sec 4 tan 4 5 ) 1 tan 2 ( π θ θ θ θ d ∫ + + = 4 0 2 2 ₁₎2sec (tan 4 4 tan 2 π θ θ θ θ d =4∫ + 0 2 2 ₎ 2sec (sec 4 4 tan 2 π θ θ θ θ d

(

)

∫ + = 4 0 4 tan 2 2 1 π θ θ d

[

]

4 0 4 cos ln 2 2 1 π θ θ + − =

( )

      −       + − = 2 0 2 1 ln 2 2 1 π 2 2 1 ln 2 − =π 4. Menghitung ∫ − dx x2 32 ) 1 4 ( 1 misalkan : secθ 2 1 =

x maka dx secθtanθdθ

2 1 = sehingga ∫ − dx x2 ₁₎32 4 ( 1

(

)

∫ − = θ θ θ θ d tan sec 2 1 1 sec 1 2 3 2 ∫ = θ θ θ θ d 2 3 2 ) (tan tan sec 2 1 ∫ = θ θ θ θ d 3 tan tan sec 2 1 ∫ = θ θ θ d 2 tan sec 2 1 ∫ = θ θ θ θ d cos 1 sin cos 2 1 2 2 ∫ = θ θ θ θ sin d cos sin 1 2 1 ∫ = cscθcotθdθ 2 1 C + − = cscθ 2 1 C x + − − = 1 4 2 2 1 θ x 2 1 2 4 1− x

Arip Paryadi , IT Telkom 39 5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ −

2 1 ) 1 ln(x dx ∫ − 2 1 ) 1 ln(x dx = ∫ − + → 2 1 ) 1 ln( lim a a dx x

Misalkan u=ln(x−1)dan dv=dx maka

1 − = x dx du dan v=xsehingga ∫ln(x−1)dx=∫udv=uv−∫vdu ∫ − − − = dx x x x x 1 ) 1 ln( ∫ − + − − − = dx x x x x 1 1 ) 1 ( ) 1 ln( ∫       − + − − = dx x x x 1 1 1 ) 1 ln(

(

x x

)

C x x − − + − + = ln( 1) ln( 1) C x x x x − − − − + = ln( 1) ln( 1) C x x x− − − + =( 1)ln( 1) jadi ∫ − 2 1 ) 1 ln(x dx

[

]

2 1 ) 1 ln( ) 1 ( lim a a x x x− − − = + →

(

) (

(

) (

)

)

[

a a a

]

a − − − − − = + → 1 ln 1 2 lim 1 ) 1 ln( ) 1 ( 2 lim 1 − − − − = + → a a a a ) 1 ln( ) 1 ( lim ) 2 ( lim 1 1 − − − − = + + _→ → a a a a a       − − − − = + → 1 1 ) 1 ln( lim 1 1 a a a         − −       − − − = + → 2 1 ) 1 ( 1 1 1 lim 1 a a a ) ( 1 ) 1 ( lim 1 1 ans a a − = − − − − = + → 1 ke konvergen ) 1 ln( 2 1 − ∫ − ∴ x dx

Arip Paryadi , IT Telkom 40 PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA1122 KALKULUS I

23 DESEMBER 2003 Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 1. Diketahui 1 ) ( ₂ + = x x x f

a. Daerah kemonotonan f dan titik ekstrimnya beserta jenisnya Kemonotonan dari f dapat ditentukan dari f'(x)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)(

)

(

₂

)

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 ) ( ' + + − = + − = + − + = x x x x x x x x x x f

• f monoton naik jika f'(x)>0 yaitu pada selang (-1,1)

• f monoton turun jika jika f'(x)<0 yaitu pada selang

) , 1 ( ) 1 , (−∞− ∪ ∞

• karena terjadi perubahan kemonotonan pada x=−1 (-- ++) maka titik

(

−1,f

( )

−1

) (

= −1,−12

)

merupakan titik minimum. Begitu juga padax=1 terjadi perubahan kemonotonan (++ --) maka titik

(

1,f

( )

1

) (

= 1,12

)

merupakan titik maksimum. b. Daerah grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik beloknya

Daerah kecekungan dari f dapat ditentukan dari f"

( )

x

(

)

(

)

(

) (

)

(

₂

)

4 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ) ( " + − + − + − = x x x x x x x f

(

)

(

)

(

)

(

₂

)

3 2 2 1 1 4 1 2 + − − + − = x x x x x

(

₂

)

3 3 3 1 4 4 2 2 + + − − − = x x x x x

(

₂

)

3 3 1 6 2 + − = x x x

(

)(

)

(

₂

)

3 1 3 3 2 + + − = x x x x • • 1 − ₁ + + + + + −−−−− − − − − −

_{( )}

x f' • • 3 − 3 + + + − − −

_{( )}

x f" • 0 + + + −−−

Arip Paryadi , IT Telkom 41 4 3 , 3 0 , 0 • • • • • 4 3 , 3− − 2 1 , 1 2 1 , 1− − ( ) 1 grafik 2₊ = x x x f

• f cekung ke atas jika f"

( )

x >0 yaitu pada selang

) , 3 ( ) 0 , 3 (− ∪ ∞

• f cekung ke bawah jika f"

( )

x <0 yaitu pada selang

) 3 , 0 ( ) 3 , (−∞− ∪

• Karena terjadi perubahan kecekungan pada x=± 3 , x=0dan

( ) (

3 ,f 3

)

,f

( )

0

f − ada, maka titik

(

3,f

( )

3

) (

= 3, 3 4

)

dan

(

)

(

− 3,f − 3

) (

= − 3,− 3 4

)

serta

(

0,f

( )

0

) ( )

= 0,0 merupakan titik belok.

c. Garis-garis Asimtot

• Asimtot datar/miring bebentuk y=ax+b

( )

0 1 1 lim lim ₂ = + = = ∞ → ∞ → x x x f a x x

( )

0 1 lim lim ₂ = + = − = ∞ → ∞ → _x x ax x f b x x

Dengan demikian f hanya memiliki asistot datar yaitu y = 0. • Asimtot tegak

f tidak memiliki asimtot tegak. d. Sketsa grafik f

Arip Paryadi , IT Telkom 42 2. Menentukan H'(2) jika diketahui ∫

+ = −4 2 4 3 1 ) ( x x dt t x x H

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspisit dari H(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus.

        ∫ + ∫ = + = − − 4 2 4 4 2 4 3 3 1 1 1 ) ( ' x x x x x x dt t x D dt t x D x H ∫ + + ∫ + = − − 4 2 4 4 2 4 3 3 1 1 1 1 x x x x x dt t xD dt t

(

)

( )

         + − − + + ∫ + = − 4 4 3 2 4 2 4 _{1 2} 2 4 1 3 1 1 3 x x x x dt t x x

( )

257 12 256 1 2 256 1 8 2 1 1 2 ' 4 4 4 =         + − + + ∫ + = dt t H

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4

a. Menggambar daerah D dan menghitung luas daerahnya.

luas salah satu partisi dari D adalah :

(

x

)

x

A= − ∆

∆ 4 2

Apabila luas seluruh partisi kita jumlahkan maka akan diperoleh luas dari D yaitu :

(

)

2 2 3 2 2 2 3 1 4 4 − − − = ∫ − = x dx x x A 3 32 3 8 8 3 8 8 =      + − −       − = 2 2 − 2 x y= 4 D x ∆ 2 4−x

Arip Paryadi , IT Telkom 43 b. Menghitung volume benda putar yang

terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis y = -1

Apabila sebuah partisi diputar terhadap garis y = -1 maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari luar rl =5 dan jari jari dalam

1

2₊

=x

r_d serta tebal t=∆x. volume dari cakram tersebut yaitu

(

r r

)

t V = _l2− _d2 ∆ π

(

x

)

∆x      + − =π 25 2 12

(

−x − x +

)

∆x =π 4 2 2 24

Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :

(

)

∫ − − + = − 2 2 2 4 24 2x dx x V π 2 2 3 5 ₂₄ 3 2 5 1 −       + − − =π x x x             − + −       + − − = 48 3 16 5 32 48 3 16 5 32 π π 15 1088 = 4. Menentukan y'jika y=

(

x2+1

)

lnx

(

1

)

ln

( )

ln

(

1

)

ln lny= x2 + lnx = x x2+

( )

(

)

(

ln ln 1

)

lny=D x x2 + D_{x x}

(

)

1 ln 2 1 ln ' 2 2 + + + = x x x x x y y

(

)

y x x x x x y _       + + + = 1 ln 2 1 ln ' 2 2

(

)

(

)

x x x x x x x ₂ ln 2 2 1 1 ln 2 1 ln +         + + + = 4 x ∆ 5 = l r 1 2₊ =x r_d 1 −

Arip Paryadi , IT Telkom 44 5. Hitung integral-integral berikut

a. ∫ 9−exdx Misalkan x e u= 9− maka x x e dx e du − − = 9 2 atau x x x e udu e du e dx=−2 9− =−2 sehingga ∫ 9−exdx =− ∫ x e du u2 2 du u u ∫ − − = 2 2 9 2 du u u ∫ − = 9 2 2 2 du u ∫ − + = 9 9 1 2 2 = ∫ +_u− −_u+3du 2 3 3 2 3 1 2

(

u

)

(

u

)

c u +      + − − + = ln 3 2 3 3 ln 2 3 2

(

u

)

(

u

)

c u+ − − + + =2 3ln 3 3ln 3

(

)

(

u

)

c u u + + − + = 3 3 ln 3 2 c e e e x x x ₊         + − − − + − = 3 9 3 9 ln 3 9 2 b. π∫ 0 2 cos xdx x =∫

(

+

)

π 0 2 2 cos 1 dx x x = ∫

(

+

)

π 0 2 cos 2 1 dx x x x         ∫ + = π π 0 0 2 _{cos2 *} 2 1 2 1 xdx x x         ∫ − + = π π π 0 0 2 2 sin 2 1 2 sin 2 2 1 4 x xdx x 4 2 cos 4 1 0 2 1 4 2 0 2 _π π π =         + + = x

Arip Paryadi , IT Telkom 45 PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 PU 1333 KALKULUS

SENIN 5 JANUARI 2004 Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333

1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva y= x, garis

0 =

x dan garis y = 3

a. Menghitung luas daerah D

Luas salah satu partisi pada D adalah

(

x

)

x

A= − ∆

∆ 3

sehingga luas daerah D adalah

(

)

9 0 2 3 9 0 3 2 3 3         − = ∫ − = xdx x x A 9

( )

0 9 3 2 27 2 3 =         −         − =

b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis

1 − =

y

jika salah satu irisan diputar terhadap garis y=−1 maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam x−

( )

−1 = x+1 dan jari jari luar 4 serta tebal ∆x. Sehingga volume cakram tersebut adalah : t r t r V =π_l2 −π_d2 ∆ x ∆ x − 3 x y= 3 9 0 x ∆ 3 9 1 + x 4 1 −

Arip Paryadi , IT Telkom 46 t r r_{l d}) ( 2− 2 =π =π(42−

(

x+1

)

2)∆x

(

x+ x+

)

∆x − =π(16 2 1)

(

−x− x+

)

∆x =π 2 15

(

)

∫ − − + = x x dx V π 2 15 9 0 2 3 2 ₁₅ 3 2 . 2 2 1         + − − =π x x x 9 0 2 3 2 15 3 4 2 1         + − − =π x x x

( )

      −       + − − = .27 135 0 3 4 81 . 2 1 π π 2 117 =

2. Diketahui f(x)=

(

cosx

)

cosecx a. Menghitung : lim ( ) 0 x f x→ ) ( lim 0 x f x→ + x x x csc 0 ) (cos lim + → =

(

)

(

x

)

x xcsc 0 cos ln exp lim + → =

(

)

(

x

)

x xcsc 0 cos ln lim exp + → =

(

x

)

x x cos ln . csc lim exp 0+ → = . sin ) ln(cos lim exp * 0 x x x→ + = x x x x cos cos sin lim exp 0       = + → 1 ) 0 exp( = =

Arip Paryadi , IT Telkom 47 b. Menentukan turunan pertama f(x)

(

)

ecx x y= cos cos x x y ln(cos )csc ln = ) ln(cos csc lny= x x

[

csc ln(cos )

]

lny D x x D_x = _x x x x x x x y y cos sin . csc ) ln(cos cot . csc ' 1 + − =

[

x x x x

]

y

y'= −csc .cot ln(cos )+sec

[

]

x x x x x x

y'= −csc .cot ln(cos )+sec . (cos )csc

3. Menghitung a. ∫ + − x dx x x 5 2 2 2 ∫ + − x dx x x 5 2 2 2 ∫

₍

₎

+ − = dx x x 2 2 2 1 2

misalkan x−1=2tanθ maka dx=2sec2θdθ sehingga :

(

)

∫ + − dx x x 2 2 2 1 2 ∫ + + = θ θ θ θ d 2 2 2sec 4 tan 4 ) 1 (tan 2 ∫ + + = θ θ θ θ d 2 2 2sec ) 1 (tan 4 2 tan 2 ∫ + = θ θ θ θ d 2 2 2sec sec 4 2 tan 2 ∫ + = θ θ θ θ d 2 2 2sec sec 4 2 tan 2

(

− +

)

+c = 2lncosθ 2θ 2 1 c + − =θ lncosθ c x x x + + − −       − = − 5 2 2 ln 2 1 tan 2 1 θ x−1 2