Bab 7 Peluruhan Beta

Bila suatu partikel bergerak dalam medan magnet yang orbitnya berupa lingkaran dengan jari- jari r ditentukan oleh hubungan:

(7.1b) r 2 mv s F (7.1a) v q H m F v q B m F   

Persamaan (7.1a) = persamaan (7.1b) F_s F_m 2 m v H e v r Her v m    karena m o m 2 v 1 2 c   maka c2 2 v 1 o m r e H v  (7.1c)

Energi Kinetik Partikel β

 

E E T o 2 2 m c m c_o T 2 m c_{o 2} T m c o 2 v 1 2 c 1 2 T m c 1 7.2 o ₂ v 1 2 c                         

di mana om = massa diam dari elektron, e = muatan elektron, persamaan (7.1c):c c : 2 c 2 v 1 c o m e r H c v 2 c 2 v 1 o m r e H v    

Muatan spesifik elektron dalam satuan elektron adalah:

e ₇ emu 1,7588 x 10 m_o gr cm 10 c 2,99793 x 10 dt 1 2 m c_{o 2} H e r 1 (7.3) 2 e c _c v v             

Ada tiga macam peluruhan β 1. Pemancaran elektron(β-₎ e 0 1 Y A 1 Z X A Z    _(7.4) 2. Pemancaran positron (β ) e 0 1 Y A 1 Z X A Z    (7.5) 3. Penangkapan elektron Y A 1 Z e 0 1 X A Z    (7.6)

Ketiga gejala ini disebut transformasi isobarik, sebab nomor massa A tak berubah.

Apabila suatu inti berada di daerah inti-inti yang tidak stabil, maka akan meluruh sampai menjadi stabil. Jika inti tersebut berada di sebelah kiri daerah

stabil, maka ia akan memancarkan partikel β (elektron) sedangkan jika inti tersebut berada di sebelah kanan daerah stabil, maka ia akan memancarkan

partikel β (positron) atau penangkapan elektron (EC) sampai mencapai kestabilan.

B. Kestabilan Inti

Perbandingan antara cacah neutron dan proton 

    Z N

dalam suatu inti atom sangat menentukan kestabilan inti tersebut. Dengan demikian, menentukan apakah inti tersebut bersifat radioaktif atau tidak, dapat diperhatikan Tabel 7.1.

Tabel 7.1. Komposisi Inti Berbagai Isotop Fosfor

Isotop A Z N Z N Sifat inti 28_p 29_p 30_p 28 29 30 15 15 15 13 14 15 15 13 15 14 15 15 Radioaktif 31_{p 31 15 16} 15 16 Stabil 32_p 33_p 34_p 32 33 34 15 15 15 17 18 19 15 17 15 18 15 19 Radioaktif

Ada isotop Fosfor yang masing-masing mempunyai 15 proton dan sejumlah neutron yang berbeda-beda banyaknya, mulai dari 13 sampai 19 (lihat Tabel 7.1.). Pada Tabel 7.1., tampak bahwa stabil atau tidaknya inti atom isotop-isotop Fosfor

tergantung pada harga Z N . Harga 15 16 Z N _

yang merupakan isotop stabil. 15 16 Z N _ dan 15 16 Z N_ bersifat radioaktif.

Pada tabel nuklida di bawah ini, nuklida - nukida tidak memenuhi seluruh tabel melainkan hanya berada pada suatu pita yang berada di sekitar diagonal Tabel 7.2. tersebut.

Gambar Hubungan antara Z (Jumlah Proton) dengan N (Jumlah Neutron) dalam Nuklida.

Ternyata bahwa nuklida-nuklida stabil terletak di sekitar garis yang ada di tengah-tengah pita yang diduduki oleh nuklida-nuklida itu. Garis ini disebut garis kestabilan. Garis kestabilan ternyata berhenti hanya sampai nukida dengan nomor atom 82, yaitu Bismuth. Dari sudut pandang ini, nuklida-nuklida radioaktif

N = Z

Nuklida dengan N ˃ Z

adalah nuklida-nuklida yang harga Z N

lebih kecil atau lebih besar dari Z N

stabil yaitu di atas atau di bawah garis kestabilan. Di samping itu ada juga nuklida-nuklida radioaktif yang di luar garis kestabilan yaitu mempunyai nomor atom lebih dari 83. a. Z stabil N Z N _

Inti-inti di daerah ini tidak stabil karena mengandung terlalu banyak neutron dibandingkan dengan cacah protonnya. Untuk menstabilkannya, sebuah neutron (n) akan berubah menjadi proton (p+_{). Peluruhan ini akan diikuti}

dengan pancaran partikel beta (β ) dan sebuah anti neutrino ( ). Anti neutrino ( _{) adalah partikel elementer yang tidak mempunyai massa diam dan tidak} bermuatan listrik sehingga sangat sukar dibuktikan keberadaannya. Anti neutrino dipostulatkan ada agar hukum kekekalan massa dan tenaga dalam peluruhan β tetap terpenuhi.

Partikel neutrino

 

 yaitu partikel elementer yang tidak bermuatan (netral), mempunyai spin 2

1

dan massa diamnya = 0. 1_n 1_pβ 0 0 1 1 atau A_X A_Yβ 0 Z Z 1 1      _    _ _  b. Z stabil N Z N _

Nuklida-nuklida ini tidak stabil karena intinya mengandung proton terlalu banyak dibandingkan dengan neutronnya, untuk menstabilkannya,

sebuah proton akan berubah menjadi neutron. Dengan demikian menaikkan Z N

mendekati Z N

stabil.

Perubahan tersebut dapat melalui dua cara yaitu: 1). Peluruhan β . 1_p 1_nβ 0 1 0 1 A_X A_Yβ 0 Z Z 1 1   _{ } _    _ _  2). Penangkapan elektron 1_p 0 1_n 1 1 0 A_X 0 A_Y Z 1 Z 1 e e   _ _{ }   _  _ 

Syarat Terjadinya Peluruhan Beta a. Pemancaran Elektron (elctron emission)

Untuk pemancaran elektron berlaku persamaan: e 0 1 Y A 1 Z X A Z   

Misal Mp= massa inti induk X (inti mula- mula)

Md = massa dari inti anak Y (inti yang terjadi setelah peluruhan β)

me = massa elektron diam

Kp =0 (inti induk mula- mula diam)

Kd = energi kinetik dari inti anak

Ke = energi kinetik dari elektron

Menurut hukum kekekalan energi: Ei = Ef

di mana, Ei = Kp + Mp c2, karena inti induk mula-mula diam maka Kp=0

sehingga Ei = Mp c2

Ef = Md c2 + Kd + me c2 + Ke maka Ei = Ef 2 c e m 2 c d M 2 c p M e K d K e K 2 c e m d K 2 c d M 2 c p M        

Oleh karena itu, energi disintegrasi Q adalah

2 c e m d M p M Q 2 c e m 2 c d M 2 c p M e K d K Q     _{ }      

Untuk peluruhan spontan, maka energi disintegrasi Q harus positif.

Dari persamaan Q tersebut di atas dapat disimpulkan bahwa pemancaran elektron hanya mungkin jika massa diam inti induk lebih besar daripada massa diam inti anak, ditambah massa diam elektron.



M_d m_e



p

M  

maka Q = positif (pemancaran elektron)

Jika M(Z) = massa atom dari sebuah atom induk dengan nomor massa A dan nomor atom Z , M(Z+1) = massa atom dari sebuah atom inti anak dengan nomor atom (Z+1)

Di sini energi ikat dari elektron sangat kecil, sehingga dapat diabaikan:

 

 

M(Z) = M + m z _{p e}

M = M(Z) - m z _{p e}  inti induk maka dapat dituliskan

M(z+1) = M + m (z+1) _{d e}

M = M(z+1) - m (z+1) _{d e}  Inti anak Sehingga energi peluruhannya.

 

 

















 

 













 

 

2 Q = (M - M - m ) c_{p d e} 2 = M Z - m Z - M Z+1 - m Z+1 - m_{e e e} c 2 = M Z - m Z - M Z+1 + m Z+1 - m c_{e e e} = M Z - m Z_e      

 

- M(Z+1) + m Z_e + m_e  m_e





 





2 c 2 = M Z - M(Z+1) c

Syarat terjadinya peluruhan partikel beta spontan ádalah Q > 0. sehingga

 





 

 

2 M Z - M(z+1) c > 0 M Z - M(z+1) 0

Jadi M Z > M(z+1) Syarat terjadinya pemancaran elektron, dengan A tetap





.

b. Pemancaran positron (β )

Untuk pemancaran positron (β ) berlaku persamaan 

A_X A_Y 0_e

Z  Z-1 +1

Energi disintegrasi untuk pemancaran positron diberikan oleh Q = K + K_{d e}

2 = (M - M - m ) c_{p d e}

Dalam bentuk massa atomik dan energi ikat dari elektron diabaikan.

 

 

M(Z) = M + m Z p e M M(Z) - m Z inti induk p e M(Z-1) = M + m Z-1_{d e} M_d M(Z-1) - m Z-1_e inti anak 2 Q = (M - M - m ) c p d e    



 



2 Q = M(Z) - m Z - M(Z-1) - m (Z-1) -m_{e e e} c 2 = M(Z) - m Z - M(Z-1) + m (Z-1) - m_{e e e} c = M(Z) - m Z_e           - M(Z-1) + m Z _e









2 - m - m c_{e e} 2 = M(Z) - M(Z-1 ) - 2 m c e

Syarat terjadi peluruhan positron secara spontan adalah Q > 0, sehingga

 





 

2 M(Z) -M Z-1 - 2 m c > 0_e M(Z) -M Z-1 - 2 m > 0_e

Atau M(Z) > M(Z-1) + 2 me, Syarat terjadinya pemancaran positron dengan A

tetap.

c. Penangkapan Elektron

Untuk penangkapan elektron (EC) berlaku persamaan: Y e X A 1 Z 0 1 A Z    K L I n t i E l e k t r o n A u g e r

Elektron dalam kulit K ada kalanya masuk ke dalam inti dan ditangkap. Elektron yang ditangkap itu meninggalkan lubang dalam kulit K, sehingga terjadi transisi elektron dari kulit L untuk mengisi lubang di kulit K tersebut.

Akibat transisi itu dipancarkan sinar x yang energinya dapat dihitung dari: h υ = E - E_{K K L}

di mana EK= energi elektron di kulit K

EL= energi elektron di kulit L

Kadang-kadang sinar X yang dipancarkan berinteraksi dengan elektron di kulit L atau lainnya, sehingga dipancarkanlah elektron, yang disebut elektron Auger.

K = h υ - E_{e K L}

, karena

h υ = E - E_{K K}

L maka Energi kinetik elektron Auger: , L E 2 K E L E L E K E e K      diskrit

Penangkapan elektron tak dapat dideteksi secara langsung melainkan biasanya dengan mendeteksi elektron Auger yang dipancarkan pada saat terjadinya penangkapan elektron.

Ei = Mp c2 + Kp+ me c2+ Ke; karena Kp= 0 (diam), maka

Ei = Mp c2 + me c2 + Ke

2 E = M c + K_{f d d}

Menurut hukum kekekalan energi:

Ei=Ef

Mp c

2

_{+me c}

2

_{+ Ke= Md c}

2

_{+ Kd}

Mp c

2

_{+ me c}

2

_{+ Ke= Md c}

2

_{+ Kd}

Mp c

2

_{+ me c}

2

_{- Md c}

2

_{= Kd -Ke}

(Mp+me- Md) c

2

_{= Kd -Ke}

Q = Kd -Ke

Q = (Mp+me- Md) c

2

Jika M(Z) = Mp+me Z massa atom induk

Mp= M(Z) - me Z inti induk

dan M(Z-1) = Md + me(Z-1) massa atom anak

Md = M(z-1) - me(Z-1) inti anak

Sehingga energi disintegrasi: Q = (Mp + me - Md) c2 Q =









2 M(Z) - m Z + m - M(Z-1) - m (Z-1) c e e e      



_{M(Z) - m Z + m - M(Z-1) - m Z + m}







_c2 e e e e Q_{ } _   Q =



M(Z) - m Ze + me - M(Z-1) + m Ze - me



c2

Q = {M(Z) - M(Z-1)} c2

Syarat terjadinya penangkapan elektron ialah Q > 0 {M(Z) - M(Z-1)} c2 _{> 0}

M(Z) - M(Z-1) > 0

Jadi M(Z) > M(Z-1).  Syarat terjadinya penangkapan elektron dengan A tetap.

Spektrum Energi Partikel Beta.

Kecepatan atau momentum partikel beta diukur dengan pembelokan lintasan partikel dalam suatu medan magnet.

Gaya magnet Fm= H e v Gaya sentripetal F m r 2 s v  di mana r = jari-jari orbit

s m 2 F F m He r m He r e H r m v v v v     karena 2 2 o c 1 m m v  

maka kecepatan partikel beta dapat ditulis

2 2 o c 1 m e Hr v v  Energi kinetik: K = m c2

_{- mo c}

2 2 o 2 2 2 o _{m c} c 1 c m _   v

2 o ₂ 2 7 o 10 2 1 m c 1 1 c karena e 1,758810 emu m c 2,9979310 cm/s v                  2 2 o c 1 m e Hr v v  2 1 2 c 2 v 1 c v 5 , 704 1 r H 2 1 2 c 2 v 1 c v 7 10 1,7588. 10 10 2,99793. 2 1 2 c 2 v 1 c v e c o m r H 2 c 2 v 1 c o m e r H c v                                   

Energi partikel beta yang dipancarkan oleh suatu sunber mempunyai energi tidak sama. Spektrum energi beta yang diamati selama peluruhan dari nuklida tertentu diperoleh kontinyu, yaitu partikel beta yang dipancarkan oleh suatu sumber mempunyai range energi dari hampir nol sampai energi maksimum dari distribusi yang berhubungan dengan perbedaan antara massa inti induk dan massa inti anak.

Spektrum energi dari partikel beta dapat ditunjukkan dengan memplot energi kinetik partikel beta terhadap jumlah relatif partikel beta atau rigid magnetik terhadap jumlah relatif partikel beta.

Suatu inti meluruh dengan memancarkan β atau  β , spektrum energi β kontinu mempunyai karakteristik:

a. Di sini ada suatu nilai maksimum tertentu dalam distribusi dan berhubungan dengan energi yang bergantung pada tipe inti di bawah peluruhan partikel β. b. Di sini ada suatu titik akhir energi tertentu yang sama dengan sumber

disintegrasi yang tersedia. Energi titik akhir maksimum adalah fungsi dari peluruhan partikel β.

Karena jumlah partikel beta yang dipancarkan adalah berbeda dengan energi yang berbeda maka energi sering dinyatakan dalam bentuk energi rata- rata:





 0 0 E 0 E 0 dE N(E) dE E N(E) E

N(E) dE= jumlah elektron yang mempunyai energi antara E dan (E+dE) o

E

= energi titik akhir

E sekitar 3 1

energi maksimum yang tersedia.

Karena partikel beta yang dipancarkan dari suatu inti radioisotop mempunyai kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya maka geraknya digambarkan dalam teori relativitas khusus.

Dalam beberapa kasus pemancaran partikel β ditemukan bahwa spektrum kontinu dengan energi akhir adalah tunggal. Beberapa pemancaran partikel β mempunyai spektrum kompleks, di sini ada dua atau lebih spektrum dengan energi titik akhir dan intensitas yang berbeda.

Hasil pengukuran spektrum β beberapa isotop.  β dari isotop 64_Cu 0 , 4 1 , 2 1 , 6 2 , 0 0 , 2 0 , 8 1 , 0 1 , 4 1 , 8 p ß -N 0 , 8 0  β dari 64_Cu 0 , 0 8 0 , 2 0 0 , 2 4 0 , 3 0 , 7 1 , 1 1 , 5 1 , 9 p N 0 , 1 6 0 ß+ 0 , 2 8

Spektrum β dari  64_{Cu Spektrum} β dari  64_Cu  β dari 198_Au 1 0 3 0 4 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 p N 2 0 0 4 0 0 0 K L + M Spektrum β dari  198_Au

Menurut hipotesis Pauli: bersama-sama dengan partikel β ada partikel

lain yang dipancarkan. Partikel ini harus netral, mempunyai spin 2 1

dan massa diamnya = 0. Partikel ini sangat sukar dideteksi secara langsung, partikel ini disebut neutrino.

Untuk memenuhi hukum kekekalan energi maka haruslah:

Q = Eβ + E

v

di mana: Eβ = energi partikel beta

E

v= energi partikel neutrino

Energi beta (k eV) Jumlah elektron

Emaks= energi maksimum partikel β

Apabila Eβ = 0 maka Ev mencapai maksimum. Dari hipotesis ini maka

bentuk spektrum β dapat diterangkan tetapi pada saat itu neutrino belum dapat dideteksi secara langsung. Setelah ada liquid sentillator neutrino baru dapat dideteksi secara langsung oleh Reines dan Cowan (1953)

Ketiga macam peluruhan yaitu β ,  β dan penangkapan elektron dapat dianggap sebagai transformasi neutron menjadi proton atau sebaliknya. Proses ini terjadi dalam inti. Maka dapat ditulis:

1_n 1_pβ 0 0 1 1 1_p 1_nβ 0 1 0 1 1_p 0_e 1_n 1 -1 0      _          = neutrino  _{= anti neutrino}

Untuk lebih jelasnya lihat beberapa contoh sebagai berikut:

1. _Peluruhan β

t 12tahun

3_H 1/2 3_Heβ 0

1 2 1

Proses yang terjadi: 1_n 1_pβ 0 1 1 1    _    _   _  2. Peluruhan β t 20,5 menit 11_C 1/2 11_Bβ 0 6 5 1

Proses yang terjadi: 1_p 1_nβ 0 1 1 1    _    _   _  3. Penangkapan elektron

t 83,9 menit 7_Be 1/2 7_{Li e} 4 5  K     

Peluruhan dari neutron menjadi neutron baru ditunjukkan setelah adanya reaktor dari 1_n 56_Fe 1_H 56_Mn 0 26 1 25 t 26 jam 56_Mn 1/2 56_Feβ 0 25 26 1      _     _ 1_n 1_Hβ 0 0 1 1 

Perbedaan dari neutrino dan anti neutrino dapat dilihat dari helisitasnya

Helisitas= σ p

p  r r

= +1 untuk anti neutrino; = -1 untuk neutrino σ = spin Pauli, p= momentum linier

Neutrino Anti Neutrino

1 0 1 Proses yang terjadi: p e n_{1 1 1}  _ 

p p 1 θ cos 0 θ o   1 θ cos 180 θ o   

Untuk menentukan apakah neutrino atau anti neutrino yang dipancarkan dalam peluruhan beta, maka dapat digunakan hukum kekekalan lepton. Lepton adalah partikel ringan seperti: elektron, positron dan neutron. Setiap lepton diberi bilangan yang disebut bilangan lepton.

Bilangan lepton = +1, anti lepton = -1. partikel-partikel yang bukan termasuk lepton mempunyai bilangan lepton = 0

Hukum kekekalan lepton: dalam suatu reaksi jumlah bilangan lepton adalah kekal. Misal:

n  pβ  

n_{  }pβ  

Bilangan lepton = 0

Jumlah bilangan lepton = 0 Bilangan lepton = 0

Jumlah bilangan lepton = 0

C. Teori Elementer Peluruhan Beta.

Pada tahun 1934 Fermi telah mengajukan teori peluruhan beta berdasar-kan hipotesis Pauli. Asumsi yang dikemukaberdasar-kan dalam teori Fermi, yaitu karena elektron/positron dan neutron tidak ada di dalam inti, maka mereka harus dibentuk dahulu pada saat disintegrasi:

1_n 1_Hβ 0 0 1 1 

Menurut Fermi, ada interaksi antara neutron dengan β dan   menyatakan tranformasi dari neutron ke proton. Jadi ada interaksi antara medan elektron-neutron dengan nukleon.

Interaksinya adalah sangat lemah 10-13 _{dan berjangkauan pendek.}

Probabilitas transisi per satuan waktu untuk pemancaran partikel beta dengan range tipis momentum antara p ke (p+dp) dapat dihitung dari:

β 2 op _dE dn i | H | f 2π N(p)dp       f|H |i H_{if op}

dv ψ H ψ H * _{op i} f if 



i

ψ =fungsi gelombang pada keadaan awal dari sistem inti Ψ*

f = fungsi gelombang pada keadaan akhir dari sistem inti.

sehingga β 2 i op * f dE dn dv ψ H ψ 2π N(p)dp





Hop= operator hamilton, operator interaksi energi yang menyebabkan transisi.

β

dE dn

= faktor statistik yang menyatakan keadaan akhir per satuan energi atau rapat energi keadaan persatuan volume.

Jumlah keadaan total yang didapat dari suatu partikel dengan momentum antara p dan (p+dp) adalah peluruhan dengan volume suatu kulit bola dalam ruang momentum yang jari-jarinya p dan tebal dp adalah:

d p p 0 p z py p x 2 dv p sin θ dθ dp d π 2π 2 dv = p sin θ dθ d dp 0 0 2 dv 4 p dpπ      

Menurut ketidakpastian Heisenberg, yaitu ketidakpastian posisi dari partikel diberikan oleh:

x p h   

(Δx Δy Δz) (ΔpxΔpyΔpz)



h

3

Kita asumsikan bahwa interaksi mengambil tempat dalam satu satuan volume Ruang posisi: Δx Δy Δz = 1

Jumlah keadaaan awal (dn) dalam kulit bola tipis 2 3 3 dV 4 p dp h h π 

Jumlah keadaan dari elektron yang dipancarkan dengan momentum antara pβ dan

(p+dpβ) dengan neutrino dengan momentum dari pv

dan (p

v

+dp

v)

2 4 π p dn = dp β _h3 β 2 4 π p dn =_υ dp_υ 3 h

Jumlah keadaan total (dn) yang diberikan dalam suatu disintegrasi suatu elektron dengan momentum antara p dan (pβ+dpv) adalah:

dn = dnβ dnv υ dp β dp 2 p 2 β p 6 h 2 π 16 υ dp 2 p 3 h π 4 β dp 2 β p 3 h π 4 dn _  _

Karena dari hukum kekekalan energi pβ dan pv tidak saling bergantung, tetapi

dihubungkan dengan Eβ + Ev

= Emaks

(a)

β E maks E υ E  

Energi elektron dari teori relativistik:

 

4 2 2 2 E m c + p c β o_β β 1 2 4 _{2 2 2} m_oβ c + p c_β b     _ _

Sedang energi dari neutrino dengan asumsi bahwa neutrino memiliki massa diam = 0, sehingga mov= 0 sehingga energi dari neutrino menjadi:

 

2 4 2 2

E = m c + p c o

E = p c c_{ }   Jika persamaan (c) disubstitusikan ke dalam (a) memberikan

c β dE υ dp c 1 β dEυ dp c β E maks E υ p β E maks E c υ p β E maks E υ E                                                  c β dE β dp 2 c β E maks E 2 β p 6 h 2 π 16 dn 2 c β E maks E 2 cυ E 2 υ p υ dp β dp 2 p 2 β p 6 h 2 π 16 dn _





β dE β dp 2 β E maks E 3 c 6 4 π 4 2 β p dn β dE β dp 2 β E maks E 3 c 2 β p 6 6 64 2 π 16 dn β dE β dp 2 β E maks E c 2 β p 6 2 2 π 16 dn maka , 2 h karena β dE β dp 2 β E maks E c 2 β p 6 h 2 π 16 dn 3 3     _      _      _       _        

 

 

E_β E E_maks 1 2 2 4 2 2 4 2 2 m c p c p c m c p c β o _βmaks o

dari persamaan a dan c

E - E E β maks dE 1 dE_β dE dE_β E E p c p c dE dE c dp dp c atau dE c dp 1 dE c dp dp dE β _c β                                                  Probabilitas transisi:

 

β dE dn 2 dv i ψ op H * f ψ 2π dp p N  _  karena β dE β dp 2 β E maks E 3 c 6 4 π 4 2 β p dn  _  _  _maka

 

 

 

 

₃ c 7 3 π 2 2 β E maks E β dp 2 dv i ψ op H * f ψ 2 β p dp p N 3 c 7 3 π 2 β dp 2 β E maks E -2 dv i ψ op H * f ψ 2 β p dp p N β dE β dp 2 β E maks E 3 c 6 4 π 4 2 β p -β dE 1 2 dv i ψ op H * f ψ 2π dp p N β dE dn 2 dv i ψ op H * f ψ 2π dp p N          _                _                 _    

Harga ekspetasi Hif dan operator Hop diberikan:

2

2 *

Hψ H ψ dv_{if   f op i}

Untuk menentukan Hop, Fermi telah memakai analogi dari elektrostatik. Dalam

elektrostatik, energi potensial dinyatakan dengan V e  di mana:e = muatan, = potensial

Berdasarkan analogi itu, Fermi telah mengambil: Hopβ υg  

di mana g = suatu konstanta interaksi,  = fungsi gelombang elektron

Neutrino dapat dianggap suatu partikel bebas karena interaksinya lemah sekali. Jadi

i q =e

p di mana q ;

p momentum linear neutrino q bilangan gelombang r            r uur 

Elektron dipancarkan dengan kecepatan tinggi, sehingga elektrostatika (interaksi Coulomb) dapat diabaikan maka

β ik r e β p_β k

p momentum linear partikel k bilangan gelombang         r r r  r

r q k i e g op H r q i e r k i e g op H g op H                                                       maka

 

2 π3 7c3 2 β E maks E β dp 2 dv i ψ op H * f ψ 2 β p dp p N      _    2 β E maks E β dp 2 β p 2 dv i ψ r q k i e * f ψ 3 c 7 3 π 2 2 g -3 c 7 3 π 2 2 β E maks E β dp 2 dv i ψ r q k i e g * f ψ 2 β p     _            _                                   β dp 2 β p 2 β E maks E 2 dv i ψ r q k i e * f ψ 3 c 7 3 π 2 2 g 2 β E maks E β dp 2 β p 2 dv i ψ r q k i e * f ψ 3 c 7 3 π 2 2 g -    _            _                                 

Misalkan                    dv i ψ r q k i e * f ψ M sehingga

 

2 dp_β β p 2 β E maks E 2 3 c 7 3 π 2 2 g -dp p N  M _  _ 

Konstanta g melukiskan interaksi lemah yang besarnya g 1,4. 1049 erg.cm3. Perbandingan harga konstanta gandengan interaksi lemah, interaksi elektromagnetik dan interaksi nuklir.

Untuk interaksi lemah, konstanta gandengan mempunyai harga:

13 10 c 2 g _{ } 

Untuk interaksi elektromagnetik:

2 10 137,04 1 c 2 e _{  } 

Untuk interaksi nuklir : c 1 2

f _

 _.

Transisi yang diperbolehkan: (kelas 6b)

Dengan meninjau bentuk eksponensial ei k q

 

 r r

r r

dan diekspansikan dengan deret Taylor:

 

_{   }

n 2 x x x x e 1 .... n! 1! 2! n k q r i k q r e 1 i k q r .... 2!                r r r r r r r r r

Biasanya nilai k dan q kecil.

Sedang fungsi gelombang hanya mempunyai arti dalam inti, sehingga untuk

partikel beta dengan energi beberapa MeV berlaku: 10 1 r q k            sehingga ei k q

 

 r r r r = 1 Jadi ψidv 1 * f ψ     f i M

di mana Ψi dan Ψf masing-masing adalah fungsi gelombang sistem inti awal dan

akhir. Meskipun tidak diketahui Ψi dan Ψf tetapi diketahui bahwa fungsi-fungsi

gelombang adalah eigen fungsi dari operator spin inti I.

Jadi M = 0. kecuali jika Ii dan If tak berubah atau ΔI = If - Ii = 0. keadaan

tersebut disebut transisi yang diperbolehkan. K

urie Plot

Untuk transisi yang diperbolehkan berlaku:

 

 

 

 

β E maks E 3 c 7 3 π 2 g 2 1 2 p p N 2 β E maks E 3 c 7 3 π 2 2 2 g 2 p p N dp 2 p 2 β E maks E 3 c 7 3 π 2 2 2 g dp p N dp β dp dan p β p β dp 2 β p 2 β E maks E 3 c 7 3 π 2 2 2 g -dp p N     _              _      _        _      M M M M karena C = - 2 π3 7 c3 g  M maka

 

    _          β E maks E C 2 1 2 p p N β K maks K β E maks E β K 2 c o m maks K 2 c o m β E maks E sehingga maks K 2 c o m maks E β K 2 c o m β E maka maks E p E dan β K 2 c o m β E karena                

 

 

    _              _          β K maks K C 2 1 2 p p N ditulis dapat sehingga β E maks E C 2 1 2 p p N

Apabila digambarkan dalam grafik

 

2 1 2 p p N        

versus Kβ akan didapatkan grafik

yang berpotongan dengan sumbu K dan menimbulkan Kmaks.

Grafik disebut Kurie Plot. Kmaks atau Energi Kurie Plot.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 K ( K e V ) N e u t r o n

Gambar 2. Kurie Plot Peluruhan Neutron. Pengaruh Interaksi Coulomb pada Peluruhan Beta.

Jika teori di atas dikoreksi, Kurie plot didapat dari nilai experimen akan berupa garis lurus. Sebelum digunakan, teori ini perlu dites. Hal itu diperlukan karena permakaian koreksi sesuai dengan medan Coulomb dari inti pemancaran β

-dan β+

Untuk β- _{interaksi Coulomb menghalangi pemancaran.}

Untuk β+ _{interaksi Coulomb mendorong pemancaran.}

Pengaruh ini dapat dilihat dalam spektrum pancaran β-

_{dan β}

+

 

2 1 2 p p N        

p pm a k s

0

Gambar 3. Pengaruh Interaksi Coulomb dalam Spektrum Pancaran β-

_{dan β}

+

Koreksi interaksi Coulomb dinyatakan dengan faktor Coulomb F(Z;p)

 

2 π δ Ze E2 maks F Z;p di mana δ -2 π δ 2 1-e c p    

Tanda (+) untuk pancaran β- _{dan (–) untuk pancaran β}+

Maka kebolehjadian pemancaran partikel β jika pengaruh interaksi Coulomb diperhitungkan menjadi:

 





 





 





 





 





2 2 ₂ g M ₂ N p dp F Z,E E_maksβ E _β p dp_β 3 3 7 2 π c Bila p_β p dan dp_β dp Maka 2 N p dp ₂ c E E dp maksβ 2 F Z,E p 2 N p ₂ c E E maksβ 2 F Z,E p 1 2 N p c E_maksβ E 2 F Z,E p atau 1 2 N p c K K maksβ 2 F Z,E p    _  _        _  _      _  _     _{ }  _{    }         _  _{   }            

0 _{4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 K ( K e V )}

Gambar 4. Kurie Plot Peluruhan 3H

1 .

Transisi Terlarang

Ada kalanya pemancaran partikel beta tidak memberikan Curie plot yang lurus seperti pada transisi yang diperbolehkan. Hal ini disebabkan karena elemen matrik yang tergantung pada energi (E). Transisi seperti ini diklasifikasikan transisi terlarang. spektrum dari spektrum n terlarang

N (p) ~ F (Z,E) P (Emaks-E)2Sn(E)

Sn(E)= faktor shape (bentuk) dan tergantung pada tipe interaksi.

Transisi terlarang I: S1(E)=E2-mo2c4)+(Eo-E)2

Transisi terlarang II:



_{2 2 4}



2





4 _{10 2}

 

_{2 4}





2

S (E) E -m c E E E m c E E

2  o  o   _{ 3}  o o

Hal ini dapat diterangkan sebagai berikut:

 

 

 

i k q r M f e i 2 k q r i k q r f i f e i f i .... 2!     _{ }   _{ }     r r r r r r r r r   1 2Np 2FZ,E p     νβHe H3₂₁10 3 1 

Misal fi 0. Karena kaidah seleksi tak dipenuhi (Δℓ ≠ 0) maka suku ke- 2 dan ke- 3 belum tentu sama dengan nol, dan hal ini memungkinkan adanya transisi walaupun menurut kaidah seleksi transisi itu terlarang.

Jadi jika suku ke- 1 = 0 sedang suku ke- 2 dan ke- 3≠0 maka transisi tersebut disebut transisi terlarang II

0 _E

4 3 2 1

Gambar 5. Curie Plot Untuk Transisi Terlarang I Tidak Hurus seperti halnya dalam transisi yang diperbolehkan.

Laju Peluruhan Beta dan Comparative Life-Time (klas 6 a sampai di sini)

Probabilitas transisi (pemancaran partikel beta) per satuan waktu, dengan momentum antara p dan p+dβ

 

g M2 2









2 N p dp F Z,E K_maks K p dp 3 3 7 2  c   h

Probabilitas pancaran elektron per detik dengan mengintegrasikan persamaan tersebut di atas dari 0 sampai pmaks. Maka laju peluruhan dapat dihitung dari

 

p_maks 1 λ N p dp 0    _ di mana   2 1 2 p p N    

 









 

























2 2 5 4 g M m c ₂ N p dp F Z,E K_maks K p dp 3 5 7 7 2 m c 2 2 5 4 ₂ 2 g M m c p dp N p dp F Z,E K K maks 3 3 mc mc 2 p_{maks 2 2 5 4 2} 2 g M m c p dp λ dp F Z,E K_maks K 3 7 _{mc mc} 2 0 p 2 2 5 4 _{maks 2} 2 g M m c p dp λ F Z,E K_maks K 3 7 _{mc mc} 2 ₀ 2 2 5 4 g M m c λ f Z,K m 3 7 2            _{ }      _   _{ }      _  _{ }    h h h h h



aks



di mana







 



maks 2 p 2 maks maks 0 p dp f Z,K F Z,E K K mc mc     _{ }  



Dalam kasus khusus









c maks K maks p c maks p maks K karena 3 c m maks p 2 2 c m K maks K 3 1 c m dp maks p 0 2 c m p 2 2 c m K maks K c m dp maks p 0 2 c m p 2 2 c m K maks K maks K Z, f diperoleh maka 1 Z E, F dan 1 2 mc maks E atau 1 mc maks p                                                          

sehingga









5 maks K 1 5 maks K o K maks K Z, f 3 2 mc 1 3 1 o K mana di ; 5 maks K o K 3 2 c m maks K 2 2 c m maks K 3 1 maks K Z, f                             

Jika t_1/2 adalah waktu paruh peluruhan β maka dapat dituliskan ln 2 ln 2λ t _{1 2} λ = t 1 2 2 2 5 4 g M m c ln 2 f 3 7 t_{1/2 2π h} 3 7 2π h ln 2 f t 1/2 _{g M m c}2 2 5 4 C_o

f t_1/2 disebut comparative half life time 2 M 3 7 2 ln 2 di mana C_o 2 g         h 5 4 m c 1/2

f t = comparative half life-time, yakni waktu paruh yang telah dikoreksi dengan Z dan E. f t dipakai untuk membandingkan berbagai pemancaran1/2

partikel beta berdasarkan Z dan Kmaksnya

---TUGAS BAB 7 PELURUHAN .

1. Tentukan energi maksimum beta negative pada saat isotop Ne-23 menjadi Na-23, jika diketahui massa atomic masing-masing isotop adalah 22,994466 dan 22,98977 .

2. Peluruhan Cs-137 menjadi Ba-137 memiliki transisi 0,6616 MeV. Tentukan energi elektron konversi untuk kulit K dan L. Energi ikat kulit K dan L untuk Cs adalah 35,9 keV dan 5,7 keV, sedangkan untuk Ba adalah 37,4 keV dan 6,0 keV.

3. Hitunglah energi titik akhir spektrum beta neutron (MeV) dari massa neutron dan Hidrogen.

4. Assumsikan bahwa inti Be-7 dalam keadaan diam sebelum terjadi tangkapan elektron K. Tentukan kecepatan dan energi elektron setelah terjadi tangkapan elektron K, anggap massa neutrino nol. Perbedaan massa atomik Be-7 dan Li-7 adalah 0,86 MeV.