Kaedah lelaran dua-langkah dengan skema kuadratur bagi menyelesaikan sistem tak linear

KAEDAH LELARAN DUA-LANGKAH DENGAN SKEMA KUADRATUR BAGI MENYELESAIKAN SISTEM TAK UNEAR. ANA NOR ERYNA BINn TAIP. D1SERTASI INI D1KEMUKAKAN UNTUK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARIPADA SfARAT MEMPEROLEHI UAZAH SARJANA MUDA SAINS DENGAN KEPUJIAN. PROGRAM MATEMATIK DENGAN EKONOMI FAKULn SAINS DAN SUMBER AlAM UNIVERsm MALAYSIA SABAH. 2015 {. 'I. \ I. ( 1. UMS. UNIVEASITI MALAYSIA SABAH.

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH BORANG PENGESAHA.N STATUS TESIS D",~ LANG-i(~. h'lts N'1~~. CE:tf~. ~flLbo.J'i. V\ ~ TE:rfl. IJAZAH: _b_((l__ YN_·_(_'l._~~)__h1_~1'_~_IY1 __ 1~ _ _0l!:_~_N_GrPrN ___ ~-,---O_N_b_I'1_1_1_ __. SESI PENGAJIAN:. SAYA:. .rv' If I ;'-o-I-~-. (HURUF BESAR) Mengaku membenarkan tesis ·(LPSMlSarjana/Doktor Falsafah) ini disimpan di Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dengan syaratsyarat kegunaan seperti berikut:\.. Tesis adalah hakmilik Universiti Malaysia Sabah. Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dibenarkan membuat salinan untuk tujuan pengajian sahaja. Perpustakaan dibenarkan membuat salinan tesis ini sebagai bahan pertukaran antara institusi pengajian tinggi. Sila tandakan (I). 2. 3. 4.. '---_--'I. SULlT. (Mengandungi maklumat yang berdarjah keselamatan atau kepentingan Malaysia seperti yang termaktub di AKT A RAHSIA RASMI 1972). '---_->\. TERHAD. (Mengandungi maklumat TERHAD yang telah dilentukan oleh organisasi/badan di mana Penyelidikan dijalankan). cz:5. TIDAK TERHAD PERPUSTAKAAN lINMRSm. MALAYSIA SABAH DisahkaflijAUlAIN BINTI/SMAll. ,\. LIBRARIAN (TANDATANGAN PENULIS) Alamat tetap:. ~ IS. 1st 8 '1 0 S1-. t,. tJ1 Q~. -I.~~~~~.'ill.sm.MAWSIA SABAH. I. 5h6 .Jiw1..J. 9~f. mMJ~~ QL 1v!rOAf h\~IJ' NAMA PENYELlA. Tarikh: ;l,.r;' / /,. Catalan :-. I' r;. ~~_ __. Tarikh:_:KJ.....I.-"...:-1. • Patong yang tidak berkenaan. ·lika tesis ini SULIT atau TERHAD, sHa lampirkan surat daripada pihak berku~organisasi berkenaan dengan menyatakan seka1i sebab dan tempoh tesis ini perlu dikelaskan sebagai SULIT dan TERRAn. *Tesis dimaksudklin sebag~ tesis bagi Ijazah Doktor Falsafah dW Sarjann Secara penyelidikan stau disertai bagl pengaJlan secara kerja kursus dan Laparan Prajek Sarjana Muda (LPSM). PERPUSTAKAAN UMS. 111111111111111111111111 *1000368506*. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

PENGAKUAN. Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang set:iap satunya telah dijelaskan sumbernya.. ANA NOR ERYNA BINTI T AlP (B511160714) 23 Jun 2015. ii. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

DIPERAKUKAN OLEH. PENYEUA. (Prof.Madya DrJumat Bin Sulaiman). iii. UMS. UNIVERSITI MAlAYSIA SABAH.

PENGHARGAAN Syukur alhamdullilah saya panjatkan ke hadrat Allah S.W.T kerana dengan izinNya dapatlah saya menyiapkan disertasi ini dalam tempoh masa yang ditetapkan bagi memenuhi sebahagian daripada syarat memperolehi Ijazah Sarjana Muda Sains Dengan Kepujian (Matematik Dengan Ekonomi).. Jutaan ucapan terima kasih saya tujukan pertamanya buat ibu tercinta di atas segala pengorbanan yang telah beliau curahkan kepada saya kerana beliau masih setia menantikan saya untuk menamatkan pengajian saya dalam bidang Matematik dengan Ekonomi ini. Tanpa pengorbanan dan kepercayaan beliau, tidak mungkin saya masih berada dalam bidang ini.. Sekalung penghargaan saya tujukan kepacla penyelia saya, Prof. Madya Dr. Jumat Bin Sulaiman yang telah memberikan banyak bimbingan dan tunjuk ajar kepada saya sepanjang proses menyiapkan disertasi ini. Bermula dengan sifar, akhimya saya dapat menimba ilmu yang sangat berguna daripada beliau. Tanpa bimbingan daripada beliau, mustahil bagi saya untuk menyiapkan disertasi ini. Akhir sekali, ucapan terima kasih ini saya tujukan buat teman-ternan seperjuangan yang membantu saya secara langsung atau tidak langsung dalam menyiapkan disertasi ini. Sokongan yang diberikan oleh semua pihak sepanjang saya menyiapkan disertasi ini amatlah saya hargai.. Semoga dengan terhasilnya disertasi ini diharapkan agar ianya boleh dijadikan panduan dan menambahkan lagi ilrnu pengetahuan kepada para pembaca yang membaca disertasi ini.. iv. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

ABSTRAK. Sistem tak linear merupakan satu sistem yang banyak digunakan dalam cabang ilmu sains dan kejuruteraan. Hukum juzuk dan inersia merupakan antara contoh aplikasi yang terdapat dalam sistem tak linear. Sistem ini adalah bersifat kompleks dan memerlukan kaedah yang tertentu bagi menyelesaikan setiap permasalahan yang terdapat di dalamnya. Kaedah Ielaran merupakan antara kaedah penyelesaian yang telah banyak digunakan bagi menyelesaikan sistem tak linear di mana kaedah lelaran yang paling banyak digunakan dalam sistem ini ialah kaedah lelaran dua-Iangkah. Kaedah lelaran dua-Iangkah. mempertimbangkan. kaedah. peramal-pembetul. bagi. menyelesaikan. permasalahan yang terdapat dalam sistem tak linear. Kajian ini mempertimbangkan kaedah lelaran dua-Iangkah berasaskan skema kuadratur bagi menyelesaikan sistem tak linear • Dalam kajian ini, kaedah peramal-pembetul telah digunakan sebagai kaedah lelaran dua-Iangkah dengan penggunaan kaedah Newton selaku. kaedah kawalan.. Melalui eksperimen berangka yang dijalankan, hasil dapatan menunjukkan bahawa kaedah Ielaran dua-Iangkah ini bersifat lebih efisien jika dibandingkan dengan kaedah Newton satu-Iangkah dengan penelitian dari segi kadar bilangan lelaran yang semakin mengecil.. v. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

TWO-STEP ITERATIVE METHODS BASED ON QUADRATURE SCHEME FOR SOLVING NON-LINEAR SYSTEMS. ABSTRACT. Non-linear system is a system that is widely used in sdence and engineering. Constitutive law and inertia are some examples of applications that available in nonlinear systems. This system is very complex and it requires a certain method to solve every problem in it. Iterative methods are some of the methods that have been used to solve the iterative method where this system mostly used two-step iterative methods. This two-step iterative method considers predictor-corrector methods to solve non-linear problems. This study considers methcxl of two-step iterative methods based on quadrature scheme to solve non-linear system. In this study, a predictor-corrector methods used as the two-step methcxl where the first method used Newton method as controlled method. The numerical experiment show two-step iterative method is more effident compared to the first step method, Newton methcxl in terms of the number of iterations.. vi. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

KANDUNGAN Muka Surat. PENGAKUAN. ii. DIPERAKUKAN OLEH. iii. PENGHARGAAN. iv. ABSTRAK. v. ABSTRACT. vi. KANDUNGAN. vii. SENARAI JADUAL. x. SENARAI ALGORITMA. xi. SENARAI RAJAH. xii. SENARAI ISTILAH. xiii. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Pengenalan. 1. 1.2. Sistem Linear dan Aplikasinya. 3. 1.2.1. Bentuk Am Sistem Linear. 4. 1.2.2. Kaedah Penyelesaian Sistem Linear. 5. 1.3. 1.4. Sistem Tak Linear dan Aplikasinya. 7. 1.3.1. Bentuk Am Sistem Tak Linear. 8. 1.3.2. Jenis Persamaan Sistem Tak Linear. 8. a. b.. Sistem Tak Linear Berskala Kecil. 8. Sistem Tak Linear Berskala Besar. 11. Kaedah Penyelesaian Sistem Tak Linear. 11. 1.4.1. Famili Kaedah Lelaran MultHangkah. 12. a. b. c. d.. Kaedah Lelaran Satu-Iangkah. 13. Kaedah Lelaran Dua-Iangkah. 13. Kaedah Lelaran Tiga-Iangkah. 13. Kaedah Lelaran Empat-Iangkah. 14. vii.

1.4.2. Famili Kaedah lelaran Berperingkat. 14. a.. Kaedah lelaran Peringkat Kedua. 14. b.. Kaedah lela ran Peringkat Ketiga. 15. c.. Kaedah lela ran Peringkat Keempat. 15. d.. Kaedah lelaran Peringkat Tinggi. 15. 1.5. Objektif Kajian. 16. 1.6. Skop Kajian. 16. BAB 2 ULASAN UTERATUR. 2.1. Pendahuluan. 17. 2.2. Kaedah lela ran. 17. 2.2.1. Kaedah lelaran Satu-Iangkah. 19. 2.2.2. Kaedah lelaran Multi-Iangkah. 19. 2.2.3. a.. Kaedah lela ran Dua-Iangkah. 20. b.. Kaedah lelaran Tiga-Iangkah. 20. c.. Kaedah Ubahan langkah. 21. Kaedah lela ran Pelbagai Peringkat. 21. a.. Kaedah lela ran Peringkat Ketiga. 22. b.. Kaedah lelaran Peringkat Keempat. 22. c.. Kaedah lelaran Peringkat Kelima. 22. 2.3. Pernerihalan Peringkat Penumpuan. 23. 2.4. Rumusan. 24. BAB 3 PERUMUSAN KAEDAH LELARAN DUA-LANGKAH DENGAN SKEMA KUADRATUR KE ATAS SISTEM TAK UN EAR. 3.1. Pendahuluan. 3.2. Pernerihalan Perumusan Kaedah lelaran Satu-Iangkah 3.2.1. Skema lelaran Satu-Iangkah Menerusi Pendekatan Pengkamiran. 3.3. 26. Pernerihalan Perumusan Kaedah lelaran Dua-Iangkah 3.3.1. 25 25. 32. Skema lelaran Dua-Iangkah Menerusi Pendekatan Siri Taylor Peringkat Kedua. 32 viii. ,UMS. UNIVERSITI MALAYS1A SABAH.

3.4. 3.3.2. Skema Peramal. 34. 3.3.3. Skema Pembetul. 35 42. Rumusan. BAB 4 PUNCA HAMPIRAN BAGI SISTEM PERSAMAAN YAK UN EAR 4.1. Pendahuluan. 43. 4.2. Permasalahan Sistem Persamaan Tak Linear. 43. 4.3. Keputusan Berangka. 45. 4.3.1. 45. a. b. c.. Perbincangan Permasalahan Pertama. 48. Perbincangan Permasalahan Kedua Perbincangan Permasalahan Ketiga. 48 49. d.. Perbincangan Permasalahan Keempat. 50. e.. Rumusan. 51. Pelaksanaan Lelaran Titik Awal Bagi Kes B. 52. a.. Perbincangan Permasalahan Pertama. 54. b.. Perbincangan Permasalahan Kedua. 55. c.. Perbincangan Permasalahan Ketiga. 56. d.. Perbincangan Permasalahan Keempat. 57. e.. Rumusan. 57. Rumusan Perbincangan. 59. 4.3.2. 4.4. Pelaksanaan Lelaran Titik Awal Bagi Kes A. BAB 5 KESIMPULAN DAN CADANGAN 5.1. Kesimpulan. 61. 5.2. Kamen. 62. 5.3. cadangan Kajian Lanjut. 63. RUJUKAN. 64. ix. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAI1ADUAL. Muka Surat. No. Jadual. 4.1. Perbandingan hasil dapatan nilai berangka terhadap kaedah lelaran satu-Iangkah dan dua-Iangkah bagi kes A. 46. 4.2. Perbandingan hasil dapatan bilangan lelaran kaedah lelaran satu-Iangkah dan dua-Iangkah bagi kes A. 47. 4.3. Peratusan bilangan lela ran hasil kaedah lelaran satu-Iangkah dan dua-Iangkah bagi kes A. 47. 4.4. Perbandingan hasil dapatan nilai berangka terhadap kaedah Ielaran satu-Iangkah dan dua-Iangkah bagi kes B. 53. 4.5. Perbandingan hasil dapatan bilangan lelaran laedah lelaran satu-Iangkah dan dua-Iangkah bagi kes B. 53. 4.6. Peratusan bilangan Ielaran hasil kaedah lelaran satu-Iangkah dan dua-Iangkah bagi kes B. 54. x. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAI ALGORnMA. Muka Surat. No. Algoritma. 3.1. Kaedah Lelaran Satu-Iangkah. 29. 3.2. Kaedah Lelaran Dua-Iangkah. 35. 3.3. Rumus Kuadratur Tertutup-terbuka. 36. 3.4. Rumus Kuadratur Terbuka-tertutup. 37. 3.5. Rumus Kuadratur Tertutup Em pat Titik Newton-<:Osed. 39. xi. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAI RAJAH. Muka surat. No. Rajah. 1.1. Kaedah penyelesian sistem linear. 6. 1.2. Kaedah penyelesaian sistem tak linear. 12. 3.1. Pelaksanaan kaedah Ielaran satu-Iangkah. 31. 3.2. Pelaksanaan kaedah Ielaran dua-Iangkah. 41. xii. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

SENARAI ISTnAH. Istilah Bahasa Melayu. Istilah Bahasa Inggeris. Kaedah Gauss Seidel. Gauss-Seidel Method. Kaedah Jacobi. Jacobi Method. Kaedah Lelaran. Iterative Method. Kaedah Lelaran Dua-langkah. Two-step Iterative Method. Kaedah Multi-langkah. Multi-step Method. Kaedah Pembetul. Correcter Method. Kaedah Pengenduran Berlebihan Bertu rut-tu rut Kaedah Peramalan. Successive over Relaxation Method. Kaedah Tersirat. Implicit method. Kaedah Terus. Direct Method. Kriteria Penumpuan. Order of Convergence. Kaedah Usikan Homotopi. Homotopi Pertubation Method. Pendiskretan Beza Terhingga. Finite Difference Discretization. Predictor Method. xiii. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

BABt. PENDAHULUAN. 1.1. Pengenalan. Matematik merupakan salah satu cabang ilmu sains yang berkaitan dengan nombor dan pengiraan. Istilah matematik pada hari ini yang merujuk kepada sejumlah ilmu seperti kajian terhadap kuantiti, struktur dan ruang berasal daripada perkataan Yunani, mathema yang bermaksud sains, ilmu dan pembelajaran (mathematikos). Sebelum zaman moden dan pertuasan ilmu di dunia, kebanyakan teks matematik kuno yang diperolehi datang dari kerajaan Mesir Purba sekitar tahun 1300 hingga 1200 sebelum Masihi, datang dari Mesopotamia 1800 tahun sebelum Masihi dan dari India kuno sekitar tahun 800 sehingga. sao. sebelum Masihi . Kesemua teks matematik ini. dipanggil Theorem Phytagoras, yang membawa kepada perkembangan matematik terawal dan tersebar selepas ilmu aritmetik dan ilmu geometri asas. Penemuan tulang Ishano seawal 20 ribu tahun sebelum Masihi di kawasan hulu air Sungai Nil memberikan tafsiran awal bahawa tulang tersebut merupakan jujukan-jujukan nambor perdana dan nombor pendaraban Mesir yang terawal. Orang Mesir pada zaman pra dinasti sebelum Masihi telah menggabungkan gagasan-gagasan geometri seperti bulatan, elips dan Pythagoras dalam seni reka bentuk mereka dan mereka juga telah memperkenalkan sistem perpuluhan terawal yang membenarkan sistem pengiraan melalui simbol-simbol yang baru ( Norman,2011).. UMS. UNIVERSITI MAlAYSIA SABAH.

Proses evolusi matematik kemudiannya dilihat sebagai satu penambahan yang berterusan dalam siri-siri pengabstrakan yang kemudiannya disusuli dengan ilmu aritmetik seperti penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian. Pada kurun ke-18, Euler telah memperkenalkan banyak simbol-simbol matematik yang digunakan pada hari ini seperti simbol infiniti, pi, alpha, beta dan simbol lain yang telah diringkaskan untuk kemudahan era globalisasi moden pada hari ini (Norman, 2011). Secara umumnya, matematik dibahagikan kepada beberapa aspek kajian seperti kajian kuantiti, struktur, ruang dan perubahan. Sebagai contohnya ialah aritmetik, algebra, geometri dan analisis. Penerokaan hubungan dasar matematik kepada bidangbidang seperti logik matematik, teori set (asas), matematik empirikal dan matematik gunaan merupakan sub-bahagian dalam kajian matematik yang telah dikhususkan. Perkembangan ilmu matematik kemudiannya menjadi sangat penting dalam industri perniagaan dan perindustrian. Bidang kejuruteraan sebagai contohnya, menggunakan ilmu matematik secara meluas yang menjadi asas penghasilan teknologi baru dalam kehidupan manusia. Penciptaan alatan yang kompleks seperti televisyen dan komputer memerlukan pengetahuan yang tinggi dalam ilmu fizik yang mana matematik merupakan asas yang kukuh bagi ilmu fizik. Perkembangan ilmu fizikal adalah selari dengan ilmu matematik dimana terdapat satu cabang ilmu yang dikenali sebagai matematik pengkomputeran yang mengkaji kaedah-kaedah penyelesaian matematik yang terlalu besar untuk kapasiti manusia. Bagi menyelesaikan masalah kapasiti yang besar ini, analisis berangka telah digunakan untuk menyelesaikan masalah yang rumit dengan menggunakan idea-idea analisi fungsi dan teknik-teknik teori yang berkaitan. Kajian anal isis berangka ini termasuklah kajian tumpuan khas terhadap kaedah penghampiran dan pendikretan kepada ralat pembundaran (Norman, 2011). Bagi memahami dan menerangkan perubahan dalam sains semula jadi, ilmu kalkulus telah dibangunkan sebagai alat untuk menyiasat perubahan semulajadi ini dimana konsep utama yang digunakan untuk menerangkan perubahan kuantiti ialah fungsi. Kajian terperind nombor nyata dan fungsi-fungsi pembolehubah nyata dikenali sebagai analisi nyata. Analisis fungsi memfokuskan perhatian kepada dimensi tak terhingga tipikal bagi ruang-ruang fungsi itu sendiri. Konsep yang paling penting dalam 2. UMS. UNIVEASITI MALAYSIA SABAH.

ilmu ini ialah konsep vektor yang melibatkan ruang vektor (gabungan tiga lapangan asas matematik: kuantiti, struktur, dan ruang) yang membawa kepada hubungan antara kuantiti dan kadar perubahannya. Hubungan ini kemudiannya dikaji sebagai persamaan terbitan (Norman, 2011). Dalam kajian ini, aplikasi penggunaan ilmu aljabar linear akan dikaji terhadap dua sistem yang terdapat di dalam matematik iaitu sistem linear dan sistem tak linear. Kajian ini mempertimbangkan idea asal seorang ahli matematik, Madhava tentang konsep-konsep analisis. matematik terhadap perkembangan. i1mu. kalkulus yang. menfokuskan mengenai kaedah lela ran bagi menyelesaikan sistem persamaan tak linear, sebilangan siri tak terhingga serta ujian penumpuan terhadap sistem tak linear.. 1.2. Sistem Unear dan Aplikaslnya. Pengenalan sistem linear adalah saw disiplin yang telah berkembang dengan ket:ara . dalam tempoh 30 tahun yang lalu (Ljung, 1987; Soderstrom & Stoica, 1989). Aljabar linear merupakan salah satu cabang ilmu matematik yang mengkaji mengenai ruang vektor atau dikenali juga sebagai ruang linear. Bidang ilmu ini biasanya dihadkan pada ruang vektor dimensi yang terhingga dimana teori matriks digunakan sebagai sebahagian daripada aljabar linear. Aplikasi aljabar linear adalah unwk mendapatkan penyelesaian dalam sistem persamaan linear dalam beberapa anu (pekali). Penggunaan ilmu algebra linear banyak diaplikasikan secara meluas dalam biclang kejuruteraan, fizik, sains semula jadi, sains komputer dan sains sosial. Bidang kajian ilmu aljabar linear terbahagi kepada dua sistem iaitu sistem linear dan sistem tak linear. Sistem linear merupakan saw persamaan yang tetap atau diklasifikasikan juga sebagai gabungan beberapa persamaan hasil darab persamaan yang mempunyai pembolehubah dengan pekali malar. Selain itu, sistem persamaan linear juga boleh ditakrifkan sebagai gambaran hubungan di antara pernboleh-pernboleh ubah dalam suatu sistem. Sebagai contohnya dalam sesebuah perindustrian, faktor-faktor seperti tenaga buruh, kecekapan sesuatu alatan dan bahan mentah harus diambil kira sebagai. 3. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

kekangan dalam mencapai matlamat untuk memaksimumkan keuntungan (Junoh & Sulaiman, 2000).. 1.2.1 Bentuk Am Sistem Unear Bentuk am bagi sistem persamaan linear dapat ditunjukkan melalui persamaan (1.1) yang berikut, yang mana sistem ini mempunyai lebih daripada satu persamaan.. (1.1) Sistem persamaan (1.1) adalah satu set persamaan pada peringkat ke-n dengan nilai n yang tidak diketahui. Sistem persamaan (1.1) kemudiannya disusun semula untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk matrik, seperti yang ditunjukkan dalam persamaan (1.2) (1.2) dengan. A=. [. a~.l ~1. (1.3). 4. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Simbol-simbol yang terdapat pada persamaan (1.2) ditakrifkan sebagai: A = matriks pekali bagi sistem persamaan linear, ~=. vektor lajur dengan nilainya tidak diket:ahui,. ~= vektor lajur dengan nilainya yang diketahui.. 1.2.2 Kaedah Penyelesaian Sistem Linear Bagi menyelesaikan persamaan sistem linear (1.2), secara umumnya terdapat dua kaedah yang boleh digunakan. Kaedah penyelesaian bagi sistem linear adalah kaedah terus dan kaedah Ielaran. Kaedah terus dan kaedah lelaran merupakan dua pendekatan yang digunakan bagi menyelesaikan masalah sistern linear yang terjana daripada pendiskretan beza terhingga. Perkembangan teknologi berkomputer membolehkan kedua-dua kaedah terus dan kaedah lelaran ditulis menggunakan aturcara komputer. Jika matriks yang terdapat di dalam sistem linear ialah matriks jarang, kaedah terus akan digunakan bagi menukarkan kebanyakan pemasukan sifar kepada bukan sifar. Bagi kedah lelaran, satu nilai anggaran awal, Xo secara sebarangan akan digunakan untuk memulakan proses kaedah Ielaran. Kemudian rumus lelaran tertentu digunakan untuk mencari nilai anggaran baru,. Xl. yang akan dinilai secara berterusan. hingga tahap kejituannya dicapai. Tahap kejituan merupakan kriteria penumpuan yang terdapat dalam kaedah lelaran. Kaedah Jacobi, kaedah Gauss-Seidel (GS) dan kaedah pengenduran bertebihan berturut-turut (SOR) adalah contoh-contoh kaedah Ielaran yang klasik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan sistern linear (Smith,1985).. 5. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Kaedah penyelesaian sistem linear. Kaedah lela ran. Kaedah terus. lCiI~h. penSI!>nduran. berleb4 ....n berturut-turut. Rajah 1.1: Kaedah penyelesaian sistem linear. i) Kaedah. Kaedah terus terus. bagi. menyelesaikan. sistem. linear. termasuklah. kaedah. penghapusan, kaedah penggantian dan kaedah Gauss-Jordan.. ii). Kaedah lelaran. Kaedah Ielaran bagi menyelesaikan sistem linear merangkumi penggunaan kaedah Gauss-Seidel (GS), kaedah pengenduran berlebihan berturut-turut (SOR) dan kaedah Jacobi (Smith, 1985). Walau bagaimanpun di dalam disertasi ini, kajian ini hanya memfokuskan penyelesaian terhadap sistem tak linear.. 6. UMS. UNIVEASITI MALAYSIA SABAH.

1.3. Sistem Tak Linear dan Aplikasinya. Sistem tak linear ditakrifkan sebagai satu sistem yang terdiri daripada set persamaan tak linear serentak yang digambarkan sehagai persamaan terbitan terdiri daripada pekali polinomial dengan kuasa tertinggi lebih daripada satu. Sistem tak linear juga ditakrifkan sebagai. satu. sistem. persamaan. yang. tidak. menepati. ciri-ciri. tindihan. dan. kehomogenannya, di mana output bagi sistem ini tidak berkadar langsung terhadap inputnya. Sistem ini kebiasaanya mernpunyai banyak titik keseimbangan yang memerlukan dri kestabilannya dijelaskan secara tepat. Terdapat banyak pengaplikasian sistem tak linear seiring dengan kemajuan teknologi pada hari ini. Oi antara aplikasi sistem tak linear dalam kehidupan manusia ialah; i). Keputusan geometri tak linear apabila suatu struktur mengalami anjakan yang besar dan peningkatan daripada tenaga keupayaan (Amabili &. Paidoussis, 2003; Nayfeh & Pai, 2004).. ii). Inersia tak linear yang bera sa I dan segi halaju linear yang mempunyai pecutan dalam pergerakan di mana sumber halaju itu diambil daripada tenaga kinetik sistem tersebut. Contohnya dari segi pecutan perolakan dalam kontinum dan pecutan Coriolis dalam gerakan badan-badan yang bergerak relatif kepada bingkai berputar (Kerschen et al, 2006).. iii). Sifat sesuatu bahan tak linear boleh diperhatikan apabila hukum juzuk dan terikan adalah tak linear. Contohnya dalam situasi buih (White et aI., 2000 ; Schultze et al., 2001; Singh et aI., 2003) dan dalam sistem pernasangan berdaya tahan seperti pengasing getah (Richards &. Singh, 2001).. 7. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

1.3.1. Bentuk Am Sistem Tak Linear. Persamaan bagi sistem tak linear ditakrifkan melalui perumusan F(x) = 0 yang mana terdapat satu titik awalan, Xo yang bilamana kedudukan x mencapai Xo , nilai x itu akan berada pada titik. Xo •. Titik. Xo. yang juga dikenali sebagai titik awal boleh mempengaruhi. kestabilan sistem itu sendiri. Bentuk am bagi sistem tak linear ialah. (1.4) dengan setiap fungsi. Ii. menjadi pemetaan kepada vektor ~=. [Xl. X2 • ••••. xnf pada. dimensi -n dalam satu ruang Rn dalam satu garis nyata R. Sistem (1.4) ditunjukkan secara alternatif dengan gambaran fungsi F memetakan Rn. ~ Rn. melalui persamaan. (1.5) . (1.5) Dengan menggunakan notasi vektor untuk menggambarkan pekali (1.5) kemudiannya ditulis sebagai F(x). Xl. X2 • .... X n ,. sistem. = O. Fungsi Il.t2 ..... /ll dipanggil sebagai fungsi. koordinat F (Burden & Farires, 2011 ).. 1.3.2 Jenis Persamaan Sistem Tak Linear Terdapat dua jenis sistem persamaan yang terdapat di dalam sistem tak linear. Jenis persamaan ini terbahagi kepada dua kumpulan sistem iaitu sistem tak linear berskala keeil dan sistem tak linear berskala besar.. a.. Sistem Tak Unear Berskala Keeil. Sistem tak linear yang berskala kedl dapat dibahagikan kepada tiga kategori. Setiap kategori yang terdapat dalam sistem tak linear yang berskala kedl ini dijelaskan melalui. 8. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

dimensinya bersamaan penggunaan contoh persamaan yang telah dicadangkan oleh para penyelidik yang lepas . Setiap huraian kategori adalah seperti yang berikut :. Sistem Yak Unear satu Oimensi (10). i). Antara contoh fungsi persamaan tak linear dalam satu dimensi yang telah digunakan oleh penyelidik terdahulu adalah seperti yang dijelaskan dalam persamaan (1.6) dan persamaan (1.7).Fungsi persamaan ini telah dicadangkan oleh Soleymani et al, (2012). Contoh 1.1:. fl(x) = xex'l - sin 2 x + 3cosx + 5 ,Xo =-3. (1.6). Contoh 1.2: (1.7) Dalam persamaan sistem tak linear yang melibatkan persamaan tunggal, satu nilai awalan. Xo. diberikan bagi menyelesaikan persamaan tersebut.berdasarkan contoh (1.1). dan contoh (1.2), dijelaskan bahawa fungsi persamaan Xo. ii). 11 (x). = -3 dan fungsi persamaan 12(x) mempunyai nilai awalan. mempunyai nilai awalan. Xo. = 4.. Sistem Tak Unear Oua Oimensl (20). Persamaan dalam bentuk dua dimensi bagi sistem tak linear melibatkan gabungan dua persamaan tunggal dalam satu sistem seperti yang ditunjukkan dalam contoh (1.3) dan contoh (1.4). Contoh persamaan yang digunakan dalam sistem dua dimensi ini merujuk kepada contoh persamaan yang telah dicadangkan oleh Darvishi dan Barati (2007). Bagi sistem persamaan tak linear dalam dua dimensi, terdapat dua nilai awal yang akan digunakan untuk menyelesaikan sistem tak linear tersebut. Kedua-dua nilai awal ini dirujuk sebagai. Xo. dan Yo •. 9. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Contoh 1.3:. F3 (x). __ {fl(X,y) f2 (x, y). = x 2 -lOx + y2 + 8 = 0. = xy 2 + x -. lOy + 8. =0. • (xo.. YO) = (2,2). (1.8). Contoh 1.4:. =. 0 ( ) _ (0808) ) _ {fl (x, y) =x·y-xy+2x-y-1 F.. ( X - I I X O, Yo .•. f2(X,y) ye- r + X - y- e- = 0. =. iii). (1.9). Sistem Tak Unear Tiga Dimensi (3D). Selain fungsi persamaan tak linear dalam dua dimensi, Darvishi dan Barati (2007) juga telah mencadangkan beberapa contoh persamaan tak linear dalam bentuk tiga dimensi. Persamaan yang telah dicadangkan oleh mereka ditunjukkan dalam contoh (1.5) persamaan (1.10) dan contoh (1.6) persamaan (1.11). Persamaan yang dicadangkan oleh Darvishi dan Barati ini menunjukkan sistem tak linear ini terdiri daripada gabungan tiga persamaan tunggal yang membentuk satu sistem baru Fs(x)dan F6(X) dengan tiga nilai awalan Xo ,yodan. 20'. Contoh 1.5:. fl(X,y,Z) = 15x + y2 - 4z -13 = 0 Fs(x)= f2(x,y,z)=x 2 +10y-e-z - l l = 0 ) { f3(X,y,Z) = y3 - 25z + 22 = 0 dengan XQ. = (10,6,S). (1.10). Contoh 1.6:. F6 (x). =. ft(x,y,z) = 3x - cos(yz) - O.S 0 f2(X,y,Z) = x2 - 81(y+ 0.1)2 + sinz + 1.06. = {. dengan xQ. f 3 (x,y,2) =. e. -xy. =0. tOTf-l. + 202 +--= 0 3. =(1.1,1.1, 1.1). (1.U). 10. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

RU1UKAN Abbasbandy, S. 2003. Improving Newton-Raphson method for nonlinear equations by modified Adomian decomposition method. Journal of Applied Mathematics and Computation, 145:887-893.. Abdullah, A.R. 1990. Pengiraan Berangka. Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur.. Amabili, M. & Paidoussis, M.(2003). Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cytindrical shells and panels,with and without fluid-structure interaction.Applied Mechanics Reviews, 56(1):349-. 381. Awawdeh, f. 2009. On new iterative method for solving systems of nonlinear equations. Numerical Algorithms, 54:395-409.. Bi, W., Ren, H. & WU, Q. 2009. Three-step Iterative Methods with Eight-order Convergence for Solving. Nonlinear Equations.. Journal of Applied. Mathematics, 225: 105-112.. Burden, R. & faires,J.D. 2011. Numerical Analysis. Ninth Edition. Boston, USA.. Chompuvised, K. 2013. A Modified Method for Solving System of Nonlinear Equations. Journal of Mathematics and Statistics, 9(1):24-28.. Chun, C. 2005. Iterative Methods Improving Newton's Method by The Decomposition Method. Journal ofApplied Mathematics and Computation, 50:1559-1568.. Coredero, A. & Torregrosa, l.R. 2006. Variants of Newton's Method for Function of Several Variables. Applied Mathematics Computation, 183:199-208.. 64. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SA~AH.

Coredero, A., Hueso, J.L, Martinez, E. & Torregrosa, J.R. 2011. Efficient high-order methods based on golden ratio for nonlinear system. Applied Mathematics. Computation, 217:4548-4556.. Darvishi, M.T .2009. A Two-Step High Order Newton-Like Method for Solving System of Nonlinear. Equations.. International Journal of Pure and Applied. Mathematics, 4:543-555.. Darvishi, M.T. & Barati, A .2007. A Fourth Order Method from Quadrature Formulae to Solve System of Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and. Computation, 188: 257-261.. Dormand, J.R.1999. Numerical Methods for Differential Equations.CRC Press, New York.. Feng, X. & He,Y. 2007. High Order Iterative Methods without Derivatives for Solving Nonlinear equations. Journal of Applied Mathematics and Computation,. 186:1617-1623. Frontini , M. & Sormani, E. 2003. Some Variants of Newton's Method with Third Order Convergence and Multiple Roots. Journal of Applied Mathematics and. Computation, 156: 345-354.. Frontini , M. & Sormani, E. 2004. Third-order Method From Quadrature Formulae For Solving System of Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics. and Computation, 149: 771-782. Golbabai, A. & Javidi,M .2007. Newton-like iterative methods for solving system of nonlinear equations. Journal of Applied Mathematics and Computation,. 192:546-551. Grau, M. & Diaz-Barrero,l.L • 2006. An Improvement to Ostrowski root-finding method.. Journal of Applied Mathematics Computer.173:450-456.. 6S. UMS. UNIVERSITI MAlAYSIA SABAH.

Hafiz, M.A. & Bahgat, M.S.M .2012. Extended and Modified Halley's Iterative Method for Solving Nonlinear System. Journal of Mathematics and Computer Science,. 5: 1512-1521. Hafiz, M.A. & Bahgat, M.S.M. 2012. Modified of Householder Iterative Method for Solving Nonlinear System. Journal of Mathematics and Computer Science,. 5:1200-1208. Hafiz, M.A. & Bahgat,M.S.M • 2012. An Effident Two-Step Iterative Method for Solving System of Nonlinear Equations. Journal of Mathematics Research, 4:4.. Ham, Y.M. & Chun, C. 2007. Some Higher ModifICation of Newton's Method For Solving Nonlinear Equations. Journal of Computational and Applied Mathematics,. 222: 477-486. He, J.H. 1999. Homotopy Perturbation Technique. Journal of Applied MechaniCilI Engineering and Computation, 178:257-262.. He, J.H. 2003. A New Iterative Method For Solving Algebraic Equations. Joumal of Applied Mathematics and Computation, 135:81-84.. Hosseini, M.M & Kafash, B. 2010. An Effident Algorithm For Solving System of Nonlinear Equations. Joumal of Applied Mathematics and Sciences, 4:119-131.. Hueso, J.l., Martines, E. & Torregrosa, J.R. 2009. Third Order Iterative Methods Free From Second Derivatives For Nonlinear System. Joumal of Applied Mathematics and Computation, 215:58-65.. Inokuti, M., Sekine, H. & Mura, T. 1978. General Use of The lagrange Multiplier in Nonlinear Mathematical Physics. Pergamon Press,New York.. 66. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Jafari, H. & Gejji, V.D. 2006. Revised Adomian Decomposition Method For Solving a System of Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and. Computation, 175:1-7.. Kerschen, G., Worden, K., Vakakis, A.F. & Golinval, J.C. 2006. Past,Present and Future of Nonlinear System Identification in Structural Dynamics. Journal of. Mechanical Systems and Signal Processing, 20: 505-592.. Khattri,S.K & Argyros,1.K .2010.How to develop fourth and seventh order iterative methods? . Department of Engineering, Stord Haugesund University. College, Norway & Department of Mathematical Science, cameron University, uwton, U.S.A, 40(2):61-67.. Khirallah, M.Q & Hafiz, M.A .2012. Novel Three Order Methods for Solving a system cI Nonlinear. Equations. Bulletin of Society for Mathematical Services and. Standards, 2:2278-9634.. Kou, J., li,Y. & Wang, X. 2006. A Modification of Newton Method with Third-order Convergence.. Journal of Applied Mathematics and Computation,. 181:1106-1111.. Kui, Y.H. 1983. Theory of Nonlinear System. Journal of Franklin Institute Pergamon. Press Ltd, 315(1):1-26.. Kumar, S., Kanwar,V. & Singh,S. 2010. Modified Efficient Families of Two and ThreeStep. Predictor<.orrector Iterative. Methods. for. Solving. Nonlinear. Equations. Journal of Scientific Research and Applied Mathematics, 1:153-. 158. Ljung, L. 1987. System Identification-Theory for the User.Prentice-Hall,Englewood Cliffs.. 67. UMS. UNIVERSITI MAlAYSIA SABAH.

Maheswari, A.K. 2009. A Fourth Order Iterative Method for Solving Nonlinear Equations. Journal ofApplied Mathematics and Computation, 211: 383-391.. Mir, N.A, Yasmin,N. & Rafiq,N • 2008. Quadrature based two-step iterative methods for non-linear equations. General Mathematics, 16:33-45.. Mir, N.A, Ayub, K. & Zaman, T. 2007. Some Quadrature Based Three-Step Iterative Methods for Nonlinear Equations. Applied Mathematics and Computation, 193:366-373.. Molliq, R.Y., Noorani, M.S.M., Ahmad, R.R. & Alomari, A.K. 2013. A Step Variational Iteration Method for Solving Non-chaotic and Chaotic Systems. Journal of Sains Malaysia, 42(3): 347-358.. Nayfeh, A.H.& Pai,P.H. 2004. Linear and Nonlinear Structural Mechanics.WileyInterscience, New York.. Nedzhibov, G. 2002. On a Few Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations. Application of Mathematics in Engineering and Economics. Heron Press, Sofia.. Noor, M.A. 2oo7a. Some Iterative Schemes for Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 187:937-943.. Noor, M.A. 2007b. New Oasses of iterative methods for nonlinear equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 191:128-131.. Noor, M.A, Ahmad, F & Javeed, S. 2006. Two-step iterative methods for nonlinear equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 181:10681075.. 68. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Noor, M.A & Noor, K.I .2006.Three-step Iterative Method for Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 183: 322-327.. Noor, M.A & Noor, K.I. 2007a • Improved Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 184:270275.. Noor, M.A & Noor, K.I. 2007b. Fifth-order Iterative Methods for Solving Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 188:406410.. Noor, M.A, Noor, K.I, Khan, W.A & Ahmad, F. 2006. On Iterative Method for Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 183 :128-. 133. Noor, M.A & Waseem, M. 2009. Some iterative methods for solving a system d nonlinear equations. Journal of Computers and Mathematics with Applications, 57:101-106.. Noor, M.A. 2010. Iterative Methods for Nonlinear Equations Using Homotophy Perturbation Technique. Journal of Applied Mathematics and Science Information, 4:227-235.. Norman ,M.F. 2011. Discovering Mathematics. Joumal of Maktab Rendah Sains Mara Muar,Johor. 33(2):45-53.. Ortega,l.M & Reinbolt,W.C .1970. Iterative Solution d Nonlinear Equations in Several Variables. Academic Press.New York.. Ozel, M. 2010. A New Decomposition Method For Solving Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 15: 89-95.. 69. UMS. UNIVERSITI MAlAYSIA SABAH.

PodiSuk,M.,Chundang,U& Sanprasert,W. 2007. Single-step formulas and multi-step formulas of the integration method for solving the initial value problem of ordinary differential equations. Journal of Applied Mathematics and Computer. 190: 1438-1444.. Potra, F.A. & Ptak, V. 1984. Nondiscrete Induction and Iterative Processes. Research Notes in Mathematics, Vol 203. Pitman, Boston.. Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. 1992. Numerical Recipes in C: The art of scientific computing. Second Edition. Cambridge University Press. H. RafiQ, A. 2007. A note on "New Oasses of iterative methods for nonlinear equations and "some iterative methods free from second derivatives for nonlinear equations". Journal of Applied Mathematics and Computation, 193:572576.. Rafiq, A. & Rafiullah,M. 2009. Some Multi-step Iterative Method for Solving Nonlinear Equations. Journal of Computers and Mathematics with Application, 58:1589-1597.. Raza, M. 2012. Eleventh-order Convergent Iterative Method for Solving Nonlinear Equations. International journal ofApplied MathematiCS, 3:365-371.. Richards, C.M & Singh,R. 2001. Charaterization of rubber isolator nonlinearities in the context of single and multi-degree of freedom experimental system. Journal of Sound and Vibration, 247(1):807-834.. Saffari, H. & Mansouri,I. 2011. Non-linear analysis of structure using two-point method. International journal of Non-lin~r MechaniCS, 46:834-840.. 70. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Sharma, J.R. & Sharma, R. 2011. Some third order methcx:ls for solving systems of nonlinear equations. Journal of World Academic Science Engineering and Technology, 60:509-516.. See, P.P, Majid, Z.A & Suleiman, M. 2011. Solving Nonlinear Two point Boundary Value Problem Using Two Step Direct Methcx:l. Journal of Quality Measurement and AnalysiS, 7(1):129-140.. Schultze, J.F, Hemez,F.M ,Doebling,S.W & Sohn,H. 2001. Application of non-linear system model updating using feature extraction and parameter effect analysis. Journal of Shock and Vibration, 8(1):325-337.. Singh.P, Davies.P & Bajaj, A.K. 2003. Identification of nonlinear and viscoelastic properties of flexible polyurethane foam. Journal of Nonlinear Dynamics, 34(1):319-346.. Smith, G.D. 1985. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Method. Second Edition. Clarendon Press, Oxford.. Soderstrom.T & Stoica.P .1989. System Identification.Parentice-Hall, Englewood Cliffs.. Soleymani, F.2011. Revisit of Jarratt Method for Solving Nonlinear Equations. Journal of Numerical Algorithm, 57: 3n-388.. Traub, J.F. 1964. Iterative Methcx:ls for Solution of Equations. Prentice-Hall,New Jersey.. Ujevic, N.2006. A method for solving nonlinear equations. Journal of Applied Mathematics and Computation, 174:1416-1426.. Vahidi,A.,Javadi,Sh & Khorasani,S.M. 2012. Solving System d Nonlinear Equations by restarted Adomian's Method. Journal of Applied Mathematical and Computation. 6:509-516. 71. ,UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.

Weerakon,S. &. Fernando,T.G.I. 2000. A variant of Newton's Method with accelerated third-order convergence. Journal ofApplied Mathematics, 13:87-93.. White,S.W,Kim,S.K, Bajaj,A.K ,Davies.P, Showers,D.K &. Uedtke,P.E. 2000.Experimental techniques and identification ~ nonlinear and viscoelastic properties of flexible polyurethane foam. Joumal of Nonlinear Dynamics, 22(1):281-. 313.. PERPUSTAKAAN 'INIVfRSm MALAYSIA SABAI. 72. UMS. UNIVERSITI MALAYSIA SABAH.