Kaedah lelaran multi-langkah bagi menyelesaikan persamaan tak linear

KAEDAH LELARAN MULII-LANGKAH BAG I MENYELESAIKAN PERSAMAAN TAK LINEAR

NELL VIAN A JULIAN

t'~RPUSTAKAArt

"MWERS\Tl MALAYSIA SABA~

DISERTASI YANG DIKEMUKAKAN UNTUK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARIPADA SY ARA T MEMPEROLEHI IJAZAH SARJANA MUDA SAINS

DENGAN KEPUJIAN

PROGRAM MA TEMA IlK DENGAN EKONOMI SEKOLAH SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

April 2009

PUMS99:1 UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS@

JUDUL: ~AEPA t\ _l"ElM-A/V Munl-L..IINElrAt\ Oil£,\ MttJ'yH-r-.rIl1\~U

!

~J..rAM~ 1JI~ lIN"fA~

IJAZAH: :t:'1"711 t\ ~ ~~'"J11 "'" N\ "" 0" S" A 1 ^{\J(' ()} pt-Jb W \'-'E P ^{ujJ#J i}

! I

"'"En

v I i\tJ II 1V1L.,AV SESI PENGAJIAN: l.OOc::;- H>o, ^I

SAYA

(HURUF BESAR) ^!

;

mengaku membenarkan tesis (LPSMlSaJjana/Doktor Falsafah) ini disimpan di Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dengan syarat-syarat kegunaan seperti berikut:-

I. Tesis adalah hakmilik Universiti Malaysia Sabah.

2. Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dibenarkan membuat salinan untuk tujuan pengajian sahaja.

3. Perpustakaan dibenarkan membuat salinan tesis ini sebagai bahan pertukaran antara institutsi pengajian tinggi. PERPUSTAKAAI'4

4. Sila tandakan ( / ) U"'VEItSITI MALAYSIA SABA~

D

^SULIT (Mengandungi maklumat yang berdarjah keselamatan atau Kcpentingan Malaysia scperti yang termaktub di dalam

D

AKT A RAHSIA RASMI 1972)

TERHAD

(Mengandungi maklumat TERHAD yang tclah ditentukan

D

oleh organisasilbadan di mana penyelidikan dijalankan)

TlDAK TERHAD

Disahkan Olch

1IJJ

NURULAIN BINTIIS

~ lIBAARIM~

(f ANDA T ANGAN PENULIS) (f~'Al<:'A

At

J

_i

Alamat Tetap:~\J -r~, "-~ ~"\),ttu

f ~, LPC."l.·\I· lJ"-l, _.1' .... ~ ~" 0)" O~- j~MI'I' .r~l~

.

-rr2.~· ~"IIAtA~ Nama Penyelia

I

~AtJ

Tarikh: l.~lO~(uCf. Tarikh: t"L~O~

CAT AT AN:- *Potong yang tidak berkcnaan.

"Jika tcsis ini SULIT atau TERHAD, sila lampirkan surat daripada pihak bcrkuasa /organisasi berkenaan dcngan menyatakan sekali sebab dan tempoh tesis ini perlu dikelaskan sebagai SULIT dan TERHAD.

@Tcsis dimaksudkan sebagai tesis bagi Ijazah Doktor Falsafah dan Sarjana seeara penyelidikan atau disertai bagi pcngajian secara kerja kursus dan Laporan Projek Sarjana Muda (LPSM).

- - ^-.

11

PENGAKUAN

Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah dijelaskan sumbernya.

30 April 2009

~.

NELL VIANA JULIAN HS2005-3751

III

PENGESAHAN

DIPERAKUKAN OLEH

T andatangan

1. PENYELIA

(PROF. MADYA DR. JUMAT SULAIMAN)

-

2.

PEMERIKSA

(PN. ASDALIF AH TALI BE)

3. DEKAN

(PROF. DR. MOHO. HARUN ABDULLAH)

IV

PENGHARGAAN

Syukur kepada Tuhan atas berkat dan penyertaanNya dalam menyelesaikan disertasi ini. Saya sangat bersyukur kerana dapat menyelesaikan disertasi ini dengan jayanya.

Di sini, saya ingin mengucapkan ribuan terima kasih kepada Prof. Madya Dr. Jumat Sulaiman selaku penyelia saya atas bimbingan dan kerjasama beliau sepanjang kajian ini. Pertolongan dan dorongan beliau akan saya hargai. Saya juga ingin mengucapkan terima kasih kepada Pn. Asdalifah Talibe, selaku pemeriksa bagi disertasi ini. Terima kasih atas sokongan beliau.

Tidak lupa juga atas dorongan dan sokongan keluarga saya. Mereka banyak membantu saya dari segi kewangan juga sokongan moral. Bagitu juga kepada rakan- rakan seperjuangan saya, Jennifer Michael, Edith Anthony, Ann Brenda Charles, Joe Sarnat, dan Aliuddin Japaruddin, yang sentiasa membantu saya dan memberikan sokongan dalarn persiapan disertasi ini. Terima kasih atas kerjasarna mereka.

Akhir sekali, saya juga ingin mengucapkan ribuan terima kasih kepada semua pihak yang terlibat samada secara langsung atau tidak langsung dalam menjayakan disertasi ini. Sekian dan terima kasih.

v

ABSTRAK

Dalam kajian ini, persamaan tak linear diselesaikan dengan menggunakan kaedah lelaran satu-langkah dan multi-langkah. Kaedah lelaran multi-Iangkah yang digunakan adalah dua-Iangkah, tiga-Iangkah, dan empat-Iangkah. Operator tak linear dihuraikan dengan menggunakan kaedah penguraian barn. Keputusan berangka dibincangkan dan hasil kajian ini mendapati kaedah lelaran multi-Iangkah iaitu empat-langkah adalah lebih baik berbanding daripada kaedah lelaran satu-langkah termasuklah kaedah Newton. Perbandingan dilakukan terhadap beberapa persamaan bagi mendapatkan keputusan berangka.

Vl

MULTI-STEP ITERATIVE METHODS FOR SOLVING NONLINEAR EQUATIONS

ABSTRACT

In this study, one-step and multi-step iterative methods are used to solve nonlinear equations. Several multi-step iterative methods which are two-steps, three-steps, and four-steps have been used in this study. The nonlinear operator is decomposed by using a new decomposition method. It has shown that multi-step iterative methods mainly on the four-steps iterative method are more efficient than the one-step iterative method including the Newton method. Several numerical examples are given to illustrate these comparisons.

UMS

UNIVEASITI MALAYSIA SABAH

KANDUNGAN

PENGAKUAN PENGESAHAN PENGHARGAAN ABSTRAK

ABSTRACT

SENARAI KANDUNGAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH

BABI PENDAHULUAN

1.1 Persamaan Linear 1.2 Persamaan Tak Linear

1.3 Pengelasan Persamaan Pembezaan 1.3.1 Persamaan Pembezaan Biasa 1.3.2 Persamaan Pembezaan Separa 1.4 Kaedah Berangka

1.5 Kaedah Siri Taylor 1.6 Kaedah Penguraian

1.6.1 Kaedah Penguraian Adomian 1.6.2 Kaedah Penguraian Lain 1.6.3 Kaedah Penguraian Barn 1.7 ObjektifKajian

1.8 Skop Kajian

DAD 2 ULASAN LITERA TUR

2.1 Pendahuluan 2.2 Kajian Terdahulu

2.2.1 Kaedah Lelaran Satu-Langkah dan Dua-Langkah 2.2.2 Kaedah Lelaran Tiga-Langkah

V11

Muka surat

u

11 III

IV V

vi

V11

ix x

1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 9

10

10

s

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

BAB3 KAEDAH MULTI-LANGKAH DALAM MEYELESAIKAN PERSAMAAN T AK LINEAR

3.1 Pengenalan

3.2 Kaedah Penguraian Adomian

3.3 Pernerihalan Perumusan Kaedah Lelaran 3.3.1 Kaedah Lelaran Satu-Langkah 3.3.2 Kaedah Lelaran Dua-Langkah 3.3.3 Kaedah Lelaran Tiga-Langkah 3.3.4 Kaedah Lelaran Empat-Langkah

3.4 Perbandingan Di Antara Kaedah Penguraian Barn Dan Adomian

BAB4 KEPUTUSAN DAN PERBINCANGAN

4.1 Pendahuluan

4.2 Keputusan Berangka 4.3 Perbincangan

BABS KESIMPULAN DAN CADANGAN

5.1 Kesimpulan 5.2 Kornen 5.3 Cadangan

RUJUKAN

Vlll

15 16 21 21 26 28 31

34

35 35 36

39

40

41

42

IX

SENARAI JADUAL

No.ladual Muka Surat

4.1 Perbandingan di antara empat kaedah lelaran dari segi bilangan lelaran, L, dan ralat, R.

4.2 Perbandingan peratusan bilangan lelaran dengan menggunakan kaedah lelaran multi-Iangkah dengan satu-Iangkah.

36

37

x

SENARAI RAJAH

No. Rajah Muka Surat

3.1 Carta alir bagi kaedah lelaran satu-Iangkah 25

3.2 Carta alir bagi kaedah lelaran dua-Iangkah 27

3.3 Carta alir bagi kaedah lelaran tiga-langkah 30

3.4 Carta alir bagi kaedah lelaran empat-Iangkah 33

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Persamaan Linear

Kebanyakan masalah dalam sains, kejuruteraan, dan ekonomi melibatkan penyelesaian terhadap sistem persamaan linear sarna ada secara langsung ataupun tidak langsung.

Penyelesaian dikatakan secara langsung sekiranya pemodelan matematik masalah itu sendiri menghasilkan sistem persamaan linear. Manakala dalam beberapa masalah ataupun kes, penggunaan kaedah-kaedah tertentu dalam pengiraan berangka terhadap model-model matematik akan mewujudkan sistem persamaan linear (Abdullah, 1990).

Sistem persamaan linear merupakan persamaan yang tetap atau merupakan hasil darab dari persamaan yang mempunyai pembolehubah dengan pekali yang malar.

Sistem pcrsamaan linear ini boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah matriks.

Bentuk arn persarnaan linear yang mempunyai n persamaan linear dengan n anu ditunjukkan seperti berikut:

allx, + a12x2 + ... + a'nxn

=

bl

a_2lx,

+

_{a22 x2} + ... + _{a2n xn}

=

_b2

(1.1 )

dengan x"x2, ... ,xn adalah pembolehubah. Manakala alj dan b_j adalah pekali malar.

A·x=b

I) 1)SI1 ~A 'SIA~

Persarnaan (1.1) boleh ditulis dalam bentuk yang berikut:

2

dengan A, x dan b masing-masing adalah matriks dengan saiz n x n, vektor tidak diketahui.

1.2 Persamaan Tak Linear

Persamaan tak linear melibatkan pennasalahan matematik yang melibatkan persamaan pembezaan, pengoptimurnan, dan lain-lain lagi. Mencari punca bagi persamaan yang berbentuk

f{x} =

0 (1.3)

merupakan masalah yang biasa ditemui dalam matematik. Penyelesaian atau punca bagi persamaan (1.3) tidak dapat dinyatakan secara tersirat.

1.3 Pengelasan Persamaan Pembezaan

Persamaan pembezaan ialah persamaan yang melibatkan fungsi anu bagi satu atau lebih pembolehubah. Persamaan pembezaan terdiri daripada persamaan pembezaan biasa dan separa.

Jika fungsi tersebut bersandar terhadap satu pembolehubah tak bersandar, maka terbitan yang wujud dalam persamaan ini ialah terbitan biasa. Dengan demikian persamaan ini dinamakan persamaan pembezaan biasa. Sebaliknya jika fungsi tersebut bergantung pada beberapa pembolehubah yang tidak bersandar, maka terbitan yang wujud dalam persamaan ini ialah terbitan separa. Dengan demikian persamaan pembezaan ini dinamakan persamaan pembezaan separa.

3

1.3.1 Persamaan Pembezaan Biasa

Satu persamaan pembezaan biasa berbentuk

F(x,y,y',y", ... )

= o.

^(1.4)

Melibatkan pembolehubah tak bersandar x, dan satu fungsi y dan terbitan y', y", ...

yang bersandar terhadap pembolehubah x , dengan

(1.5)

1.3.2 Persamaan Pembezaan Separa

Suatu persamaan pembezaan separa adalah berbentuk:

(1.6) Persamaan ini melibatkan beberapa pembolehubah tak bersandar x,y, ...• fungsi u bagi pembolehubah ini, dan terbitan separa u x' U y , ... , u;u, u yy ,... bagi fungsi tersebut.

Terbitan separa ini ditakrifkan sebagai

(1.7)

UMS

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

4

1.4 Kacdah Berangka

Kaedah yang digunakan bagi menyelesaikan pennasalahan yang me1ibatkan persamaan tak linear seperti persamaan pembezaan adalah kaedah analitik. Kaedah analitik ini tidak memadai untuk menyelesaikan persamaan pembezaan seperti yang dinyatakan oleh Donnand (1999). Dengan itu, kaedah berangka diperlukan bagi mendapatkan penyelesaian yang altematif. Dormand (1999) juga menyatakan bahawa dengan menggunakan kaedah berangka bagi menyelesaikan persamaan pembezaan dapat membantu mencari penyelesaian hingga ke tahap kejituan yang dikehendaki.

Kesemua kaedah berangka ini tennasuk dalam satu kelas kaedah yang dikenali sebagai kaedah lelaran (Abdullah, 1990).

Pada umumnya, kaedah lelaran ini dapat dibahagikan kepada dua kategori.

Kategori yang pertama ialah kaedah yang menumpu secara sejagat dengan penumpuannya terjamin, tetapi biasanya perlahan. Manakala kategori yang kedua ialah kaedah yang penumpuannya dapat dijamin, sekiranya anggaran awal cukup hampir dengan punca. Kaedah ini dikenali sebagai kaedah yang menumpu secara setempat (Abdullah, 1990).

Bagi menyelesaikan persamaan pembezaan biasa yang melibatkan masalah nilai awal dalam kaedah berangka biasanya diselesaikan dengan menggunakan kaedah satu-Iangkah ataupun multi-Iangkah.

5

1.5 Kaedah Siri Taylor

Masalah nilai awal bagi persamaan pembezaan biasa peringkat pertama diberikan oleh

y'

=

f(x,y).

(1.8)

Pengembangan bagi

Y(X;+I)

dalam sebutan polinomial Taylor berdarjah n pada Xj

memberikan

untuk suatu 0 ~ OJ ~ 1 dan h = x_H^{\ -} Xi •

Daripada persamaan (1.8), diperoleh

y'(x)

=

f(x, y{x)) ,

/2) (x) = .!!..- (f(x, y{x )))

dx

a a dy

= -(f(x,y{x)))+-{f{x,y{x)))-

ax

^{By dx}

dan seterusnya

d(k-I)

y(k )(x)

^{= dx/c-l}

(J(x, y{x ))).

(1.11)

(1.12)

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

6

Jika persamaan (1.10) hingga (1.13) digantikan ke dalam persamaan (1.9) akan diperoleh satu pengembangan dalam h dan jika sebutan yang mengandungi () diabaikan maka nilai y pada X'+I dapat dikira. Pengembangan tersebut ialah:

(1.14)

dengan ralat pangkasan (Abdullah, 1990), diberikan oleh

(1.15)

1.6 Kaedah Penguraian

Terdapat pelbagai kaedah penguraian bagi menyelesaikan pelbagai masalah dalam kaedah berangka. Dalam kajian ini, kaedah penguraian Adomian (Abbasbandy, 2003) akan dibandingkan dengan kaedah penguraian yang baru (Noor & Noor, 2006b).

Kedua-dua kaedah ini akan ditunjukkan dalam bab tiga kemudian.

1.6.1 Kaedah Penguraian Adomian

Kaedah penguraian Adomian dipelopori oleh George Adomian (1922-1996), seorang ahli matematik dari Amerika pada awal 1980. Kaedah ini diperkenalkan dengan tujuan menyelesiakan persamaan algebra, pembezaan, terbitan separa, pengamiran, dan lain- lain lagi (Casasus & AI-Hayani, 2002). Pada mulanya kegunaan penguraian Adomian

adalah dengan bertujuan menyelesaikan masalah sempadan fizikal UNIVEASITI MALAYSIA SABAH

s

7

diaplikasikan meluas kepada masalah penentuan dan stokastik, masalah linear dan tak linear, masalah dalam gerak balas fizikal, biologi, kimia, dan sebagainya. Banyak kajian telah dilakukan terhadap kaedah baru ini (Chen & Lu, 2004).

Kaedah penguralan Adomian juga dikenali sebagai kaedah penguralan Adomian piawai. Kaedah penguraian Adomian merupakan satu pendekatan baru untuk membekalkan suatu penghampiran ahalisis bagi masalah linear dan tak linear. Kaedah ini juga membekalkan penyelesaian hampiran berangka bagi kedua-dua persamaan terbitan linear dan tak linear tanpa melibatkan proses pelinearan atau pendiskretan (Shawagfeh & Kaya, 2004).

Polinomial Adomian merupakan faktor utama yang penting dalam kaedah penguraian Adomian. Langkah pengiraan yang penting dalam kaedah penguraian Adomian adalah pengukuran operator tak linear dalam sesuatu persamaan kepada sirl

..

polinomial khas LAn di mana An dikenali sebagai polinomial Adomian (Chen & Lu, ,,-1

2004). Kaedah penguraian Adomian ini akan diterangkan lagi dengan lebih jelas dalam bab metodologi iaitu pada bab tiga.

1.6.2 Kaedah Penguraian Lain

Selain daripada kaedah penguraian yang dinyatakan sebelum ini iaitu kaedah penguraian Adomian, terdapat juga beberapa kacdah penguraian yang lain. Berikut merupakan sebahagian daripada beberapa kaedah penguraian yang lain.

1. Kaedah penguraian Adomian dua-Iangkah.

UMS

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

8

11. Kaedah penguraian Adomian terubah-suai.

1.6.3 Kaedah Penguraian Baru

Dalam kajian ini, kaedah penguraian baru digunakan bagi menguraikan operator tak linear,

N{x}.

Kaedah penguraian ini akan ditunjukkan dengan terperinci dalam bahagian metodologi. Kaedah ini dibangun oleh Noor dan Noor (2006b) bagi menguraikan operator tak linear,

N{x}.

Noor dan Noor (2006b) menyatakan bahawa kaedah penguraian ini lebih ringkas dan senang berbanding daripada kaedah penguraian Adomian.

1. 7 Objektif Kajian

Terdapat tiga objektif di dalam kajian ini seperti yang disenaraikan di bawah:

1. Memahami bagaimana untuk menerbitkan kaedah multi-langkah di dalam menyelesaikan persamaan tak linear.

11. Membangunkan algoritma kaedah multi-Iangkah yang akan dilaksanakan di dalam menyelesaikan persamaan tak linear.

111. Untuk menganalisa keberkesanan kaedah lelaran satu-langkah, dua-Iangkah, tiga-langkah, dan empat-langkah dalam aspek kecepatan dan ketepatan.

UMS

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

9

1.8 Skop Kajian

Kajian ini hanya akan memfokuskan kaedah lelaran multi-Iangkah sehingga kaedah lelaran empat-Iangkah bagi menyelesaikan masalah persamaan tak linear. Perlaksanaan kaedah ini tidak melibatkan terbitan peringkat yang lebih tinggi.

BAB2

ULASAN LITERA TUR

2.1 Pendahuluan

Kajian-kajian terdahulu tentang kaedah lelaran multi-Iangkah akan dibincangkan dalam bahagian ini. Dalam kajian-kajian terdahulu, kaedah lelaran multi-Iangkah yang diperoleh hanyalah schingga kaedah lelaran tiga-Iangkah. Dalam bab tiga, kaedah lelaran empat-Iangkah akan ditunjukkan berdasarkan konsep kaedah lelaran tiga- langkah.

2.2 Kajian Terdahulu

Dalam kajian yang terdahulu, terdapat pelbagai kaedah yang telah dibangunkan bagi menyelesaikan persamaan tak linear. Noor dan Ahmad (2006) menyatakan bahawa kaedah scperti Regula Falsi dan Newton adalah beberapa kaedah yang telah dibangunkan bagi menyelesaikan persamaan tak linear

f{x)

⁼ O.

Kaedah-kaedah ini juga dibangunkan dengan menggunakan kaedah Taylor interpolasikan polinomial, kuadratur, dan pelbagai teknik lagi. Semua kaedah yang telah dibangunkan ataupun kaedah yang baru dibangunkan ini boleh dikategorikan kepada dua kategori iaitu kaedah satu-Iangkah dan kaedah multi-Iangkah

2006a). UNIVEASITI MALAYSIA SABAH

s

11

Javidi (2007) juga tclah menyusulkan kaedah lelaran usikan homotopi bagi menyelesaikan persamaan tak linear. Kaedah yang telah diusulkan olch beliau adalah dengan menulis kembali persamaan tak linear yang diberi kepada satu pasang sistem tak linear. Teknik yang digunakan oleh beliau ini telah pun digunakan oleh beberapa pengkaji sebelumnya iaitu Chun (2005) dan Noor (2007).

Rao (2006) juga telah mengkaji kaedah multi-Iangkah iaitu kaedah multi- langkah khas. Kaedah ini diperkenalkan bagi menyelesaikan masalah nilai awal.

Kaedah multi-Iangkah Inl berdasarkan kaedah kamiran berangka seperti kaedah Adams-Bashforth.

2.2.1 Kaedah Lelaran Satu-Langkah dan Dua-Langkah

Kaedah satu langkah adalah kaedah yang pertama dalam kaedah berangka bagi persamaan pembezaan biasa (Dormand, 1999). Kaedah satu-langkah yang biasa atau yang terkenal adalah algoritma Taylor peringkat k dan kaedah Runge-Kutta.

Kaedah dua langkah biasanya dikenali sebagai kaedah peramal-pembetul seperti yang dinyatakan oleh Noor et al. (2006d). Kacdah lelaran dua-langkah telah pun dicadangkan oleh Noor et al. (2006c) dengan menggabungkan kaedah Newton dengan kaedah satu-langkah yang lain bagi menyelesaikan persamaan tak linear.

Dalam kaedah dua-Iangkah ini, Noor et al. (2006c) mencadangkan beberapa kaedah lelaran dua-Iangkah bagi menyelesaikan persamaan tak line

s

UNIVEASITI MALAYSIA SABAH

12

menggunakan kombinasi yang padan dan sesuai bagi kaedah satu-langkah yang baru dan kaedah satu-Iangkah yang telahpun dikenali.

Dalam kaedah dua-Iangkah Noor et al. (2006c) juga menyatakan bahawa terdapat dua formula yang digunakan bagi mencari penghampiran punca dalam persamaan tak linear. Formula yang pertama dikenali sebagai peramal yang memberikan ramalan bagi punca dengan menggunakan nilai awalan. Formula yang kedua pula dikenali sebagai pembetul yang rnernberikan nilai hampiran yang betul dengan rnenggunakan nilai yang diramal dalam formula yang pertama.

Dalam kajian yang dilakukan oleh Abbasbandy (2003) dan Chun (2005), te1ah rnencadangkan dan mengkaji beberapa kaedah lelaran satu-langkah dan dua-langkah yang rnelibatkan penumpuan peringkat yang lebih tinggi dengan menggunakan teknik penguraian Adornian. Penguraian Adornian yang digunakan oleh Abbasbandy (2003) akan diterangkan dalarn bahagian rnetodologi.

Noor dan Noor (2006a) rnenyatakan bahawa teknik yang digunakan oleh Abbasbandy (2003) dan Chun (2005) ini rnempunyai kelernahan yang sangat serius kerana ia melibatkan terbitan peringkat yang lebih tinggi. Bagi mengatasi kelernahan ini, Noor dan Noor (2006b) telah rnencadangkan dan mengupas satu farnili kaedah multi-langkah bagi menyelesaikan persamaan tak linear. Mereka rnenggunakan kaedah penguraian yang berbeza daripada kaedah yang digunakan oleh Abbasbandy (2003) dan Chun (2005) iaitu keadah penguraian baru. Kaedah yang digunakan ini tidak melibatkan terbitan peringkat yang tinggi. Kaedah ini adalah lebih mudah berbanding

daripada teknik penguraian Adomian.

U M S

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

RUJUKAN

Abbasbandy, S. 2003. Improving Newton-Raphson method for nonlinear equations by modified Adomian decomposition method. Journal of Computational and Applied Mathematics 145, ms. 887-893.

Abdullah, A. R. 1990. Pengiraan Berangka. Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur.

Atkinson, K., Han, W. 2004. Elementary Numerical Analysis. Ed. ke-3. John Wiley &

Sons, London.

Casasus, L. & AI-Hayani, W. 2002. The decomposition method for ordinary differential equations with discontinuities. Journal of Computational and Applied Mathematics 131, ms. 245-251.

Chen, W. & Lu, Z. 2004. An algorithm for Adomian decomposition method. Journal a/Computational and Applied Mathematics 159, ms. 221-233.

Chun, C. 2005. Iterative methods improving Newton's method by the decomposition method. Journal of Computers and Mathematics with Application 50, ms.

1559-1568.

Donnand, J.R.1999. Numerical Methods for Differential Equations: A Com

Approach. CRC Press, New York. UNIVERSIll MALAYSIA SA BAH

s

43

Han, D. & Wu, P. 2008. A family of combined iterative methods for solving nonlinear equation. Journal of Computational and Applied Mathematics 195, ms. 448- 453.

Hueso, 1. L., Martinez, E. & Torregrosa, 1. R. 2008. A note on some three-step iterative mothods for nonlinear equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 202, ms. 252-255.

lae, H. Y. 2008. A note on three-step iterative method for nonlinear equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 202, ms. 401-405.

lavidi, M. 2007. Iterative methods to nonlinear equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 193, ms. 360-365.

Noor, M. A. 2007. New iterative schemes for nonlinear equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 187, ms. 937-943.

Noor, M. A. & Ahmad, F. 2006. Numerical comparison of iterative methods for solving nonlinear equations. Journal of Computational and Applied lvlathematics 180, ms.167-172.

Noor, M. A. & Noor, K. I. 2006a. Three-step iterative methods for nonlinear equations. Journal of Computational and Applied Mathematics 183, ms. 322- 327.

44

Noor, M. A. & Noor, K. I. 2006b. Some iterative schemes for nonlinear equations.

Journal o/Computational and Applied Mathematics 183, ms. 774-779.

Noor, M. A. & Noor, K. 1. 2007. Improved iterative methods for solving nonlinear equations. Journal

0/

Computational and Applied Mathematics 184, ms. 270- 275.

Noor, M. A., Ahmad, F. & Javeed, S. 2006c. Two-step iterative methods for nonlinear equations. Journal o/Computational and Applied Mathematics 181, ms. 1068-

1075.

Noor, M. A., Noor, K. 1., Khan, W. A. & Ahmad, F. 2006d. On iterative methods for nonlinear equations. Journal

0/

Computational and Applied Mathematics 183, ms. 128-133.

Rafiq, A. 2007. A note on "New family of iterative methods for nonlinear equations".

Journal o/Computational and Applied Mathematics 192, ms. 280-282.

Rao, P. S. 2006. Special multistep methods based on numerical differentiation for solving the initial value problem. Journal

0/

Computational and Applied

Mathematics 181, ms. 500-510.

Shawagfeh, N. & Kaya, D. 2004. Comparing numerical methods for solution of system of ordinary differential equations. Journal

0/

Applied Mathematics Letters 17,

ms.323-328. ~ UMS

UNIVEASITI MALAYSIA SA8AH