Metode banyak langkah linear untuk menyelesaikan masalah nilai awal dalam persamaan diferensial biasa

147  10 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

i

METODE BANYAK LANGKAH LINEAR UNTUK

MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL DALAM

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Skripsi

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Fransiska Dwi Handriyani 093114010

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(2)
(3)
(4)

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Dan siapa pun yang memaksa engkau berjalan sejauh satu mil, berjalanlah bersama dia sejauh dua mil.”

(Matius 5:41)

“Barangsiapa tidak memikul salibnya dan mengikut Aku, ia tidak layak

bagi-Ku.” (Matius 10:38)

Karya ini aku persembahkan untuk orang-orang terkasih: Keluargaku tercinta

(5)
(6)

vi ABSTRAK

Fransiska Dwi Handriyani. 2013. Metode Banyak Langkah Linear untuk Menyelesaikan Masalah Nilai Awal dalam Persamaan Diferensial Biasa. Skripsi. Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Topik yang dibahas dalam skripsi ini adalah menyelesaikan masalah nilai awal dalam persamaan diferensial biasa dengan menggunakan metode banyak langkah linear. Pembahasan mengenai metode tersebut dalam skripsi ini dibatasi untuk persamaan diferensial linear tingkat pertama. Metode banyak langkah linear menggunakan beberapa nilai sebelumnya, yaitu �, ��−1, ��−2, … untuk menentukan nilai �+1. Masalah nilai awal mempunyai satu nilai awal, sedangkan metode banyak langkah linear memerlukan beberapa nilai sebelumnya untuk menentukan nilai �+1. Oleh karena itu, digunakan metode lain untuk menentukan nilai-nilai tersebut, di antaranya yaitu dengan menggunakan metode Euler dan metode Deret Taylor.

(7)

vii ABSTRACT

Fransiska Dwi Handriyani. 2013. Linear Multistep Methods to Solve Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations. A Thesis. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

The topic covered in this thesis is linear multistep methods for solving initial value problems in ordinary differential equations. The discussion about these methods, is limited to first order linear differential equations. Linear multistep methods use some previous values, that are �, ��−1, ��−2, … to determine the value of �+1. Initial value problems have one initial value, while linear multistep methods require some previous values to determine the value of ��+1. Therefore, other methods are used to determine these values, among which are the Euler method and Taylor Series method.

(8)

viii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus yang selalu memberikan hikmat dan menyertai penulis sehingga mampu menyelesaikan skripsi ini dengan baik dan lancar. Skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan serta dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan terima kasih kepada:

1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika atas dukungannya.

2. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing yang telah dengan sabar memberikan bimbingan, pengetahuan baru, dan saran-saran kepada penulis selama proses penulisan skripsi.

3. Bapak, Ibu, dan Romo, dosen-dosen yang telah memberi pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

(9)

ix

5. Teman-teman Matematika’09: Yohana, Faida, Etik, Rossi, Jojo, Sekar, Erlika, dan Dimas, terima kasih untuk semangat dan keceriaan yang selalu diberikan kepada penulis. Kalian sahabat-sahabat yang hebat.

6. Teman-teman OMK dan adik-adik PASAYES, terima kasih atas kebersamaan dan semangat yang selalu diberikan kepada penulis.

7. Santi, Mbak Cicil, dan Nica, terima kasih sudah menjadi teman untuk berbagi cerita dan menumbuhkan semangat.

8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah terlibat dalam proses penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, 17 Desember 2013

(10)
(11)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii

HALAMAN PENGESAHAN... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v

ABSTRAK... vi

ABSTRACT... vii

KATA PENGANTAR... viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... x

DAFTAR ISI... xi

DAFTAR TABEL... xiv

DAFTAR GAMBAR... xv

DAFTAR LAMPIRAN... xvi

BAB I PENDAHULUAN... 1

A. Latar Belakang Masalah... 1

B. Rumusan Masalah... 4

C. Batasan Masalah... 4

D. Tujuan Penulisan... 4

E. Manfaat Penulisan... 5

F. Metode Penulisan... 5

(12)

BAB II MASALAH NILAI AWAL DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL

BIASA... 8

A. Persamaan Diferensial... 8

1. Klasifikasi Persamaan Diferensial... 8

2. Penyelesaian Persamaan Diferensial... 12

3. Masalah Nilai Awal... 14

4. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan... 17

B. Persamaan Beda dengan Koefisien Konstan... 27

1. Persamaan Orde Pertama... 28

2. Persamaan Orde Kedua... 31

3. Persamaan Orde Tinggi... 34

C. Deret Taylor dan Orde Penghampiran... 34

1. Deret Taylor... 35

2. Orde Penghampiran... 35

D. Metode Satu Langkah... 37

1. Metode Euler... 37

2. Metode Deret Taylor... 47

BAB III METODE BANYAK LANGKAH LINEAR... 56

A. Pendahuluan... 56

B. Metode Adams-Bashforth... 56

C. Metode Dua Langkah Linear dan Konsistensi... 61

(13)

BAB IV STABILITAS DAN KONVERGENSI... 74

A. Stabil Nol... 74

B. Syarat Perlu untuk Konvergensi... 82

C. Syarat Cukup untuk Konvergensi ... 92

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN... 103

A. Kesimpulan... 103

B. Saran ... 104

(14)

xiv

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.4.1 Tabel Galat Total ... 47

Tabel 2.4.2 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total... 50

Tabel 2.4.3 Tabel Galat Total... 55

Tabel 3.2.1 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total... 60

(15)

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.1 � <� (kiri), � > � (kanan)... 20 Gambar 2.4.1 Grafik penyelesaian sejati, hampiran, dan galat total... 41 Gambar 2.4.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode

Euler (kiri) dan grafik galat total (kanan)... 42 Gambar 2.4.3 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran

dengan menggunakan metode Euler... 46 Gambar 2.4.4 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode

Deret Taylor orde dua (kiri) dan grafik galat total (kanan)... 49 Gambar 2.4.5 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran

dengan metode Deret Taylor orde dua... 55 Gambar 3.2.1 Grafik penyelesaian sejati, hampiran dengan metode ABE

(kiri) dan grafik galat total (kanan)... 59 Gambar 3.2.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode

ABT (kiri), grafik galat total (kanan)... 60 Gambar 3.3.1 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran... 67 Gambar 3.4.1 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode

ABT (kiri), grafik galat total... 71 Gambar 3.4.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode tiga

(16)

xvi

DAFTAR LAMPIRAN

(17)

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan (derivatif) dari suatu fungsi. Jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantung pada satu variabel bebas, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan berdasarkan dengan tingkatnya, yaitu tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut. Selain itu persamaan diferensial juga dibedakan dalam dua jenis, yaitu persamaan diferensial linear dan nonlinear. Persamaan diferensial dikatakan linear jika me-menuhi persyaratan berikut: fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya secara aljabar hanya berderajat satu, tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan turunannya atau dua atau lebih turunan-nya, dan tidak ada fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui dan tu-runan-turunannya. Persamaan diferensial yang tidak memenuhi ketiga syarat ter-sebut diter-sebut persamaan diferensial nonlinear. Semua persamaan diferensial yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah persamaan diferensial linear tingkat pertama.

(18)

khu-sus. Penyelesaian umum adalah penyelesaian yang masih memuat konstanta, se-dangkan penyelesaian khusus adalah penyelesaian yang sudah tidak memuat kons-tanta. Penyelesaian khusus ditentukan dengan bantuan syarat bantu, yaitu syarat awal (nilai awal) atau syarat batas.

Persamaan diferensial yang disajikan beserta syarat awalnya seperti berikut �= (,), � �

0 = �0

disebut masalah nilai awal. Penyelesaian masalah nilai awal adalah penyelesaian dari persamaan diferensial yang memenuhi syarat awal yang diberikan. Jika per-masalahan tersebut dapat diselesaikan secara analitik, maka penyelesaian yang dihasilkan disebut penyelesaian sejati (penyelesaian yang sesungguhnya). Namun, terkadang masalah nilai awal muncul dalam bentuk yang rumit, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Jika metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka penyelesaian tersebut dapat dicari dengan metode numerik. Penyelesaian yang dihasilkan metode numerik disebut penyelesaian hampiran (pendekatan terhadap penyelesaian sejati). Penyelesaian hampiran tidak tepat sa-ma dengan penyelesaian sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih ter-sebut diter-sebut galat. Semakin kecil galatnya berarti penyelesaian terter-sebut semakin baik.

(19)

kurang akurat karena mereka hanya menggunakan informasi dari satu titik sebelumnya.

Tugas akhir ini akan membahas mengenai Metode Banyak Langkah Linear untuk menyelesaikan masalah nilai awal. Metode Banyak Langkah Linear memer-lukan beberapa nilai sebelumnya, yaitu �, ��−1, ��−2, … untuk menentukan nilai ��+1. Tujuan utama dari Metode Banyak Langkah Linear adalah menggunakan informasi dari beberapa nilai di titik sebelumnya untuk menentukan nilai �+1 yang lebih akurat.

Persamaan diferensial biasa hanya mempunyai satu nilai awal, yaitu � �0 =�0, sedangkan Metode Banyak Langkah Linear memerlukan beberapa nilai sebelumnya untuk menentukan nilai �+1. Oleh karena itu, untuk menentu-kan nilai-nilai tersebut diperlumenentu-kan prosedur pendahuluan. Prosedur pendahuluan ini dilakukan dengan menggunakan salah satu dari metode-metode satu langkah yang disebutkan di atas. Setelah diperoleh nilai-nilai yang dibutuhkan, selanjutnya Metode Banyak Langkah Linear dapat diterapkan untuk menentukan nilai �+1. Jadi metode tersebut lebih efisien karena menggunakan informasi dari titik-titik yang sudah ada.

(20)

stabilitas, dan konvergensi, yang berpengaruh terhadap kebaikan suatu Metode Banyak Langkah Linear.

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu: 1. Apa yang dimaksud dengan Metode Banyak Langkah Linear?

2. Bagaimana menyelesaikan masalah nilai awal dalam persamaan diferensial biasa dengan Metode Banyak Langkah Linear dan bagaimana penerapannya dengan program Matlab?

3. Bagaimana hubungan antara konsistensi, stabilitas, dan konvergensi?

C. BATASAN MASALAH

1. Penerapan Metode Banyak Langkah Linear dalam tugas akhir ini hanya untuk masalah nilai awal dalam persamaan diferensial linear tingkat pertama.

2. Penyelesaian masalah nilai awal secara analitik hanya menggunakan metode integral langsung.

D. TUJUAN PENULISAN

(21)

E. MANFAAT PENULISAN

Memperoleh pengetahuan tentang penyelesaian masalah nilai awal secara numerik menggunakan Metode Banyak Langkah Linear dan penerapannya dengan program Matlab, serta mengetahui hubungan antara konsistensi, stabilitas, dan konvergensi dari suatu metode Metode Banyak Langkah Linear.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan Metode Banyak Langkah Linear untuk menyelesaikan masalah nilai awal dalam persamaan diferensial biasa.

G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN

(22)

BAB II MASALAH NILAI AWAL DALAM PERSAMAAN DIFEREN-SIAL BIASA

A. Persamaan Diferensial

1. Klasifikasi Persamaan Diferensial 2. Penyelesaian Persamaan Diferensial 3. Masalah Nilai Awal

4. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan B. Persamaan Beda dengan Koefisien Konstan

1. Persamaan Orde Pertama 2. Persamaan Orde Kedua 3. Persamaan Orde Tinggi

C. Deret Taylor dan Orde Penghampiran 1. Deret Taylor

2. Orde Penghampiran D. Metode Satu Langkah

1. Metode Euler

2. Metode Deret Taylor

BAB III METODE BANYAK LANGKAH LINEAR

A. Pendahuluan

B. Metode Adams-Bashforth

(23)

BAB IV STABILITAS DAN KONVERGENSI

A. Stabil Nol

B. Syarat Perlu untuk Konvergensi C. Syarat Cukup untuk Konvergensi BAB V PENUTUP

(24)

BAB II

MASALAH NILAI AWAL DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

A. PERSAMAAN DIFERENSIAL Definisi 2.1.1

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan (derivatif) dari suatu fungsi.

Contoh 2.1.1

Ketiga persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial: a. �

� = �2�

b. �= (�2+�) �

c. �′′ + 4�= (�2+ 1)3

1. Klasifikasi Persamaan Diferensial

(25)

Contoh 2.1.2 a. �

� = �

2+

b. �′′ + 4�= (�2+ 1)3

Kedua persamaan pada contoh (a) dan (b) merupakan persamaan diferensial biasa, dimana � menyatakan fungsi yang belum diketahui (variabel tak bebas) dan � menyatakan variabel bebas.

c. �

�� + � �� = 0

d. �2

��2 +

�2

��2 = 1 +�

Kedua persamaan pada contoh (c) dan (d) merupakan persamaan diferensial parsial, dimana menyatakan fungsi yang belum diketahui (variabel tak bebas), sedangkan � dan � menyatakan variabel bebas.

Definisi 2.1.2

Tingkat persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

Klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan tingkatnya adalah sebagai berikut: 1) Persamaan diferensial tingkat pertama

Bentuk umum: � �,�,�′ = 0 Contoh 2.1.3

a. �

� =�

(26)

b. �′ =�+�2

2) Persamaan diferensial tingkat kedua Bentuk umum:

� �,�,�′,�′′ = 0 Contoh 2.1.4

a. �′′ + 2�=� −1

b. �′′ = �′ +� − �

3) Persamaan diferensial tingkat ke-� Bentuk umum:

� �,�,�′,�′′,…,�(�) = 0

Contoh 2.1.5

a. �(4)−5�′′ = 4�+ 2�

b. �(3)= �′′ − �′ +�

Definisi 2.1.3

Persamaan diferensial biasa tingkat ke-� disebut linear dalam � jika persamaan diferensial itu dapat ditulis dalam bentuk

�� � � � +��−1 � � �−1 +⋯+�1 � �′ +�0 � �= �(�)

(27)

Jadi persamaan diferensial biasa adalah linear jika memenuhi syarat-syarat berikut:

a. Fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya secara aljabar hanya berderajat satu.

b. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya atau dua atau lebih turunan.

c. Tidak ada fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya.

Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear.

Contoh 2.1.6

a. �′′ −3�′ + 3�= �3, merupakan persamaan diferensial linear. b. ��′′′ +���+ 5 = 0, merupakan persamaan diferensial linear.

c. (�′)3+ 2= , merupakan persamaan diferensial nonlinear karena turunan pertama dari fungsi yang belum diketahui berderajat tiga.

d. ��′ + 3� = 0, merupakan persamaan diferensial nonlinear karena ��′ adalah hasil kali dari fungsi yang belum diketahui dengan turunannya.

e. �′′ + 5�= cos�, merupakan persamaan diferensial nonlinear karena cos�

(28)

2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Definisi 2.1.4

Penyelesaian persamaan diferensial tingkat ke-� pada interval � ≤ � ≤ adalah suatu fungsi yang mempunyai semua turunan yang diperlukan, yang jika menggantikan �,�′,�′′,…,�(�) menjadikan persamaan diferensial itu suatu identitas.

Contoh 2.1.7

Tunjukkan bahwa fungsi �= 2 +�−� adalah penyelesaian dari persamaan diferensial �′ +� −2 = 0.

Penyelesaian:

Diketahui �= 2 +�−�, maka diperoleh �′ = −�−�.

Kemudian substitusikan kedua fungsi tersebut ke dalam persamaan diferensial sehingga diperoleh

−�−� + 2 +−� 2 = 0

Ruas kiri dari persamaan tersebut bernilai 0 (sama dengan ruas kanan), maka fungsi �= 2 +�−� merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial �′ +� − 2 = 0.

Contoh 2.1.8

Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial berikut ini �′ = 3�

�2+5

(29)

Penyelesaian persamaan tersebut disajikan oleh

� � =

3�

�2+5

� = 32�+5

� = 3 � �2+ 5 −12

Misalkan = (�2+ 5), maka = 2� � atau

2 = � �, sehingga �= 3

1

2+ .

Karena = (�2+ 5), maka penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut adalah

� = 3 (�2+ 5)

1

2+ = 3 �2+ 5 +

Persamaan diferensial mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Misalnya pada Contoh 2.1.8 penyelesaiannya berbentuk �= 3 �2+ 5 + , dimana adalah kontanta real. Penyelesaian itu disebut keluarga penyelesaian. Pemberian nama untuk keluarga penyelesaian adalah berdasarkan banyaknya parameter yang termuat dalam penyelesaian, dalam kasus di atas maka �= 3 �2+ 5 + disebut keluarga berparameter-satu.

Definisi 2.1.5

(30)

Definisi 2.1.6

Suatu penyelesaian persamaan diferensial tingkat ke-� yang diperoleh dari penyelesaian umum dengan menentukan nilai � parameter disebut penyelesaian khusus.

Contoh 2.1.9

Penyelesaian umum dari �′′ + 9�= 0 adalah keluarga berparameter-dua �=

1cos 3�+ 2sin 3�. Jika diambil 1 = 2 dan 2 = 1, maka penyelesaian khusus dari persamaan diferensial tersebut adalah �= 2 cos 3�+ sin 3�.

3. Masalah Nilai Awal

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial tingkat ke-� memuat � konstanta sembarang. Sedangkan, penyelesaian khusus dari suatu persamaan diferensial diperoleh dari penyelesaian umum dengan memasukkan syarat bantu pada fungsi penyelesaian umum tersebut. Ada dua macam cara penentuan syarat bantu untuk memperoleh penyelesaian khusus dari suatu persamaan diferensial seperti dijelaskan dalam definisi berikut ini.

Definisi 2.1.7

(31)

2) Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui berhubungan dengan dua atau lebih nilai �, syarat itu disebut syarat batas atau nilai batas. Persamaan diferensial dengan syarat batasnya disebut masalah nilai batas.

Contoh 2.1.10

a. �′ +�= 3, � 0 = 1 merupakan masalah nilai awal.

b. �′′ − �′ +�= �3, � 0 = 2, �′ 1 =−1, merupakan masalah nilai batas.

Contoh 2.1.11

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial �′ +� = 1 adalah keluarga berparameter-satu �= 1 + �−�. Diberikan syarat bantu � 0 = 0, tentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui � 0 = 0, maka diperoleh

0 = 1 + �0 = −1

Jadi penyelesaian khusus dari persamaan diferensial tersebut adalah �= 1− �−�.

Contoh 2.1.12

Selesaikan masalah nilai awal berikut ini �′ = ��2

(32)

Penyelesaian:

Penyelesaian persamaan diferensial tersebut disajikan oleh

� = ��2��

�−2 = ��

Ruas kiri dari persamaan di atas mudah untuk diintegralkan langsung. Sedangkan untuk ruas kanan digunakan pengintegralan parsial dengan dimisalkan = � dan

=�� � sehingga = � dan =��, maka �−2 = ��

−�−1 = ��− � −�−1 = ��− �+

� = ��−�−1

+

Diketahui bahwa � 0 = 2, sehingga = 1 2.

Jadi penyelesaian dari masalah nilai awal tersebut adalah � = −2

2���−2��+1

Berikut ini diberikan definisi mengenai syarat Lipschitz yang akan digunakan dalam pembuktian teorema eksistensi dan ketunggalan.

Definisi 2.1.8

Fungsi �(�,�) dikatakan memenuhi syarat Lipschitz terhadap variabel � pada himpunan ⊂ �2 jika ada konstanta > 0 dengan

� �,�1 − �(�,�2) ≤ �1− �2

(33)

Contoh 2.1.13

Tunjukkan bahwa � �,� = 1−2� � memenuhi syarat Lipschitz pada interval

= �,� |1≤ � ≤ 2,−2≤ � ≤5 . Penyelesaian:

Untuk sembarang titik (�,�1) dan (�,�2) di , maka � �,�1 − �(�,�2) = 1−2� �1− 1−2� �2

= 1−2� (�1− �2)

= 1−2� (�1− �2) ≤5 �1− �2

Maka � memenuhi syarat Lipschitz pada terhadap variabel �. Sedangkan, konstanta Lipschitznya adalah 5.

4. Teorema Eksistensi dan Ketunggalan

Bentuk umum dari masalah nilai awal adalah sebagai berikut �′ =(,), � �

0 =�0 (2.1) Andaikan masalah nilai awal tersebut mempunyai titik awal (�0,�0) pada titik

(0, 0), maka

�′ = (,), 0 = 0 (2.2)

(34)

yang memenuhi syarat yang disebutkan dalam teorema nanti akan mempunyai penyelesaian dan penyelesaian tersebut adalah tunggal.

Teorema 2.1.1 Jika � dan ��

�� kontinu pada bidang �: � ≤ �, � ≤ , maka ada suatu interval

� ≤ ℎ ≤ � dimana ada penyelesaian tunggal �= �(�) dari masalah nilai awal

(2.2).

Bukti:

Andaikan ada �= �(�), yaitu fungsi yang terdiferensial dan memenuhi masalah nilai awal. Oleh karena itu, �=�(�) merupakan fungsi kontinu dan karena � kontinu, maka �[�,� � ] merupakan fungsi yang kontinu pada �. Jadi dengan mengintegralkan �′ = �(�,�) dari � = 0 sampai ke sembarang nilai �, diperoleh

� � = �0� [ ,� ] (2.3)

yang disebut persamaan integral.

(35)

eksplisit, maka digunakan metode iterasi Picard untuk mencari hampirannya. Metode tersebut dimulai dengan menentukan syarat awal �0 0 = 0. Kemudian �1 diperoleh dengan mensubstitusikan �0 untuk �( ) pada ruas kanan persamaan (2.3), sehingga diperoleh

�1 � = �[ ,�0 ]

0

�1 0 = 0 �2 diperoleh dari �1

�2 � = �0� [ ,�1 ] �2 0 = 0

dan secara umum,

��+1 � = �[ ,�� ]

0

��+1 0 = 0

Jadi setiap anggota barisan � =�0,�1,�2,…,�,… memenuhi syarat awal. Jika pada suatu tahap, misalnya � =�, �+1 � =� � , maka

��+1 � = �0� [ ,�� ] ��+1 � = �� �

�� � = �0� [ ,�� ]

sehingga � merupakan penyelesaian dari persamaan integral (2.3). Jadi � juga merupakan penyelesaian dari masalah nilai awal (2.2) karena masalah nilai awal dan persamaan integral tersebut adalah ekuivalen.

Pembuktian bahwa persamaan integral tersebut mempunyai penyelesaian dan tunggal akan dilakukan dalam beberapa langkah:

(36)

a. Pertama, akan dibuktikan bahwa semua anggota barisan � ada. Dari

teo-rema tersebut diketahui bahwa � dan ��

�� kontinu hanya pada bidang �: � ≤ �,

� ≤ . Anggota dari barisan � tidak dapat dihitung secara eksplisit dan jika

pada suatu tahap, misal �= � grafik dari �=� � memuat titik yang berada di luar bidang �, maka perhitungan untuk �+1 � tidak dapat dilakukan karena memuat perhitungan � �,� pada titik yang tidak diketahui kontinuitasnya. Oleh karena itu, diperlukan batasan untuk � agar semua anggota barisan tersebut terde-finisi. Karena � kontinu di dalam �, maka � terbatas dalam � dan ada bilangan positif � sedemikian sehingga � �,� ≤ � untuk setiap �,� di �. Karena � �,� � sama dengan �′+1 � , maka nilai maksimum gradien dari grafik

per-samaan �= �+1 � adalah �. Karena grafik tersebut memuat titik 0,0 , maka grafik ini terletak pada daerah arsiran (Gambar 2.1.1). Akhirnya diperoleh batasan untuk �, yaitu � ≤ ℎ dimana ℎ = min(�, �). Oleh karena itu, dengan adanya batasan untuk �, maka semua anggota barisan � terdefinisi.

Gambar 2.1.1 �<� (kiri), � >� (kanan)

b. Kedua, akan dibuktikan bahwa barisan � konvergen. Misalkan �,��−1(�) dan �,��(�) adalah dua titik sembarang di dalam �. Dengan

meng-x

x

x

x

x

x

(37)

gunakan teorema nilai rata-rata pada � dan menganggap �(�,�) sebagai fungsi dari �, maka diperoleh

� �,��−1(�) − � �,��(�) = ���� �,� (�) ��−1 � − ��(�) (2.5)

dimana � (�) berada di antara ��−1(�) dan �(�). Karena ��

�� kontinu di dalam �,

maka terbatas di dalam �, sehingga ada bilangan positif sedemikian sehingga

��

��(�,�) ≤ untuk setiap (�,�) di dalam � (2.6)

Dari (2.5) dan (2.6) berlaku bahwa untuk setiap pasang titik �,��−1(�) dan �,�(�) di dalam �, fungsi � memenuhi syarat

� �,��−1(�) − � �,��(�) ≤ ��−1 � − ��(�) (2.7)

Suatu fungsi � yang terdefinisi di dalam suatu himpunan � dan memenuhi syarat (2.7) untuk suatu konstanta positif dan setiap pasang titik �,��−1(�) dan �,�(�) di dalam � disebut kontinu Lipschitz dalam � di � dengan konstanta

Lipschitz .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa �(�), untuk � = 0, 1, 2,… ada di dalam � ≤ ℎ dan kontinu pada interval ini serta memenuhi ketaksamaan

��(�) ≤ untuk � ≤ ℎ, � = 0, 1, 2,… (2.8)

Pembuktian ini adalah untuk menunjukkan bahwa barisan (2.4) benar terdefinisi. Dibuktikan dengan induksi:

Untuk � = 0, �0 � = 0 kontinu dalam � ≤ ℎ (karena fungsi konstan kontinu dimana-mana). Jadi �0 � = 0≤ , sehingga (2.8) benar untuk � = 0.

(38)

��+1 � terdefinisi oleh (2.4), maka kontinu pada interval � ≤ ℎ (karena integral dari fungsi kontinu akan kontinu juga) dan diperoleh

��+1(�) = � ,��( )

Terbukti bahwa (2.8) berlaku untuk semua �.

(39)

ketaksa-Berdasarkan (2.4) dan (2.7), maka

Langkah selanjutnya dalam pembuktian ini yaitu menunjukkan bahwa barisan ��(�) konvergen seragam ke suatu limit fungsi pada interval � ≤ ℎ. Barisan

�� � dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari deret berikut

�� � − ��−1(�)

�=1 (2.11) Jadi deret (2.11) dan barisan � � mempunyai sifat-sifat kekonvergenan yang sama. Berdasarkan (2.9), maka deret (2.11) dipengaruhi oleh deret dengan suku-suku konstanta

� � −1

�!

�=1

(40)

Menurut uji−� Weierstrass, deret (2.11) konvergen mutlak dan seragam pada interval � ≤ ℎ. Oleh karena itu, barisan � � konvergen seragam pada interval � ≤ ℎ. Jadi dengan menyatakan limit fungsi dengan �(�), maka diperoleh

� � = lim�→∞ � (2.12) c. Ketiga, akan dibuktikan bahwa � � memenuhi persamaan integral, sehingga merupakan penyelesaian dari masalah nilai awal (2.2). Berdasarkan (2.4), maka � � memenuhi syarat awal

�� 0 = 0, �= 0, 1, 2,…

Diambil limit dari kedua ruasnya, maka untuk � → ∞ diperoleh � 0 = 0. � � kontinu pada interval � ≤ ℎ karena � � merupakan limit seragam dari fungsi kontinu � � di dalam interval � ≤ ℎ untuk �= 0, 1, 2,…. Berdasarkan (2.8), dengan mengambil limit dari kedua ruasnya juga bila � → ∞, maka untuk � ≤ ℎ

�(�) ≤

Jadi fungsi �(�,� � ) benar terdefinisi dan kontinu pada interval � ≤ ℎ, sehing-ga

� � ,�( )

0

ada. Berdasarkan (2.7), untuk � ≤ ℎ diperoleh � �,�(�) − � �,�(�) ≤ � � − �(�)

Karena barisan � � konvergen seragam ke � � pada interval � ≤ ℎ, maka barisan � �,�(�) juga konvergen seragam ke � �,�(�) dan akibatnya

(41)

Diambil limit pada kedua ruas dari (2.4) bila � → ∞ dan berdasarkan (2.12) dan (2.13), diperoleh

� � = � 0� ,�( ) (2.14)

Jadi terbukti bahwa �(�) memenuhi persamaan integral dan berarti merupakan penyelesaian dari masalah nilai awal (2.2).

d. Terakhir, akan dibuktikan bahwa � � merupakan penyelesaian tunggal dari masalah nilai awal (2.2). Misalkan ada penyelesaian lain dari masalah nilai awal (2.2), yaitu �(�), maka

�′()− �=� �,� � − � �,() (2.15)

Karena kedua penyelesaian tersebut memenuhi syarat awal, maka � 0 = 0 =

� 0 , sehingga dengan mengintegralkan kedua ruas (2.15) dari 0 sampai �, dipe-roleh

�(�)− � � = � 0� ,� − � ,�( ) (2.16)

Kemudian berdasarkan (2.7) maka diperoleh

�(�)− � � ≤ �0� ( )− � (2.17)

Misalkan

� = �0� ( )− � (2.18)

dimana

(42)

Berdasarkan (2.17) dan (2.18) maka diperoleh ′ � ≤ (�)

atau

() () 0 (2.21)

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan (2.21) dengan faktor pengintegralan �− �, maka diperoleh

�− � ′() () 0

�− � ′ � − �− � () 0

�− � () 0

Integralkan kedua ruas (2.22) dari 0 sampai � dan berdasarkan (2.19), maka dipe-roleh

�− � � ≤0 untuk 0

Karena �− � tidak pernah bernilai kurang dari atau sama dengan nol, maka

(�)≤ 0 untuk � 0, sehingga berdasarkan (2.20), diperoleh bahwa

0 ≤ (�)≤ 0

atau

(�) ≡0 (2.23) Jadi berdasarkan (2.18) dan (2.23) dapat diambil kesimpulan bahwa � � = � � , sehingga terbukti bahwa � � merupakan penyelesaian tunggal dari masalah nilai awal (2.2).

(43)

Persamaan diferensial pada masalah nilai awal yang diberikan dalam contoh-contoh sebelumnya dapat diselesaikan secara analitik dengan menggunakan metode pengintegralan langsung. Namun, masih ada beberapa metode analitik lain yang juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut, antara lain yaitu Metode Faktor Integral, Metode Substitusi, Metode Bernoulli. Akan tetapi masih tetap ada persamaan diferensial yang rumit jika diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, dibutuhkan metode numerik untuk menentukan penyelesaian hampiran (pendekatan) untuk persamaan diferensial tersebut.

B. PERSAMAAN BEDA DENGAN KOEFISIEN KONSTAN

Pembahasan mengenai metode numerik untuk menyelesaikan masalah nilai awal tidak lepas dari penggunaan persamaan beda. Oleh karena itu, dalam subbab ini akan dibahas mengenai persamaan beda linear dengan koefisien konstan ( li-near constant-coefficient difference equations). Persamaan beda adalah relasi an-tara �+ 1 suku berturut-turut dari barisan �0,�1,…,��,…, yang mana bentuk umumnya adalah

����+� +��−1��+�−1+⋯+�0�� = �� (2.24) dimana �,��−1,…,�0 merupakan koefisien dan �� adalah barisan bilangan.

(44)

penyele-saian khusus (particular solution), yaitu suatu penyelesaian dari persamaan beda yang diberikan. Konstanta-konstanta sembarang pada penyelesaian umum dapat ditentukan dengan memasukkan nilai � yang sesuai dari nilai-nilai awal yang di-ketahui, yaitu � = � untuk = 0, 1,…,� −1.

1. Persamaan Orde Pertama

Diberikan masalah koefisien konstan orde pertama

��+1 = ��� + , �= 0, 1,… (2.25) Kemudian untuk � = 0, 1, 2 diperoleh

�1 =��0+

�2 = ��1+ =� ��0+ + =�2�0+ �+ 1 �3 = ��2+ =� �2�0+ �+ 1 +

=�3

0+ �2+�+ 1

dan jika dilanjutkan akan diperoleh suatu suku dalam barisan �, meskipun suku ke-� yang sesungguhnya mungkin tidak dapat ditemukan.

Pertama, akan dicari fungsi pelengkap untuk (2.25). Diberikan persamaan homogen �+1 =��, dimana �1 = ��0, �2 =��1 =�2

0 dan dengan induksi diperoleh suku ke-� barisan tersebut, yaitu � = ���0, untuk suatu nilai �0. Di-ambil �0 = , yaitu sembarang konstanta, maka diperoleh fungsi pelengkap �� = ��.

(45)

��+1 =��� + � − �� =

1− � � = �=

1−� Maka,

�� = 1−� , � ≠1

Jumlahan dari fungsi pelengkap dan penyelesaian khusus menghasilkan

�� = �� + 1−� , � ≠1 (2.26)

yang merupakan penyelesaian umum dari (2.25) ketika � ≠1. Sedangkan, ketika �= 1, maka

��+1 − �� =

dan dengan syarat deret teleskop diperoleh

�� = �� − ��−1 + ��−1− ��−2 +⋯+ �1− �0 +�0

= + +⋯+ +�0

=� +�0

Sehingga penyelesaian umum dari persamaan tersebut adalah �� = +�

dimana adalah sembarang konstanta. Jadi penyelesaian umum dari (2.25) adalah

�� = � � +

1−� (� ≠1)

(46)

Setelah diperoleh penyelesaian umum dari (2.25), maka dapat dicari juga penyelesaian umum dari persamaan beda berikut

(47)

�� = �

���� +�

��

1−�

= �� + �� −1

1−�

= �� +

�−��� � = + � ��

�� = + � �� = �� + � ��

= �� + ���−1

Jadi penyelesaian umum dari (2.28) adalah

�� = � � +

�−��� (� ≠ �)

�� + ���−1 (= ) (2.30)

2. Persamaan Orde Kedua

Diberikan persamaan homogen

��+2+���+1 + �� = 0 (2.31) Persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian dalam bentuk � = �, di-mana adalah sembarang kontanta.

Maka,

�+2 + �+1+= 0

( 2+ + ) = 0

Karena � ≠0, maka

(48)

yang disebut persamaan tambahan (auxiliary equation). Andaikan bahwa persa-maan tersebut mempunyai akar-akar dan , maka

− − = 2− + +

Sehingga

� =− + dan =

Jadi persamaan tak homogen berikut

��+2 +���+1+ �� = �� (2.33) dapat ditulis menjadi

��+2 − + ��+1 + �� = �� atau

��+2− ��+1 − (��+1 − ��) =��

Didefinisikan = �+1− �, maka

�+1 − � =��

Jadi (2.33) dapat dinyatakan dengan sistem persamaan orde satu dari persamaan beda dengan koefisien konstan berikut

(i) �+1− � =

(ii) +1 =�

Ketika � ≡0, yaitu untuk kasus homogen, (ii) pada (2.34) menjadi

�+1 − � = 0

yang mempunyai penyelesaian umum = � �, dimana � adalah sembarang konstanta. Jadi (i) pada (2.34) menjadi

(49)

dimana bentuknya sama seperti (2.28), sehingga berdasarkan (2.30) diperoleh

dimana dan � adalah sembarang konstanta.

Persamaan tak homogen (2.33) yang akan dijelaskan yaitu untuk kasus

Substitusikan kedua penyelesaian tersebut ke (i) pada (2.34) sehingga diperoleh ��+1 − �� = � � +1� untuk ≠1

dan

��+1 − �� = �+�� untuk = 1

Penyelesaian umum dari kedua persamaan tersebut adalah

(50)

3. Persamaan Orde Tinggi

Bentuk umum dari pesamaan beda dengan koefisien konstan homogen ada-lah

����+� +��−1��+�−1+⋯+�0�� = 0 (2.37) Penyelesaian umum dari (2.37) adalah dalam bentuk

�� = �

Sehingga untuk menentukan penyelesaian tersebut dibutuhkan , yaitu akar dari persamaan tambahan

�� � +��−1 �−1+⋯+�0 = 0 (2.38) Andaikan bahwa setiap akar dari (2.38) mempunyai multiplisitas , maka kontribusi untuk fungsi pelengkap adalah

(�) �

dimana (�) adalah polinomial dalam � berderajat ( −1) (memuat semba-rang koefisien). Sebagai contoh, ketika = 1, polinomial (�) berderajat 0, yai-tu � = . Ketika = 2, polinomial (�) berderajat 1 dan bentuk umumnya adalah � = + �.

C. DERET TAYLOR DAN ORDE PENGHAMPIRAN

(51)

yang dihasilkan akan bergantung pada seberapa teliti polinom menghampiri

dapat diperluas ke dalam Deret Taylor � � = � �0 + �−�0

Persamaan (2.39) merupakan penjumlahan dari suku-suku yang disebut deret. Jika dimisalkan � − �0 = ℎ, maka � � juga dapat ditulis menjadi Deret Taylor panjangnya tak berhingga sehingga untuk alasan praktis deret tersebut dipotong sampai suku orde tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-� dinyatakan dengan

� � =� �0 + �−�0

(52)

big-Oh). Misalkan fungsi �(ℎ) dihampiri dengan fungsi (ℎ). Jika � ℎ − (ℎ) ≤

� ℎ� , dimana > 0 adalah konstanta real, maka dapat dikatakan bahwa ()

menghampiri � ℎ dengan orde penghampiran (ℎ�) dan ditulis � ℎ = ℎ + (ℎ�)

(ℎ�) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari fungsi hampiran. Nilai ℎ adalah kurang dari 1, maka semakin tinggi nilai � akan semakin kecil galat yang dihasilkan sehingga hampiran fungsinya semakin teliti. Misalnya, metode yang berorde (ℎ2) akan lebih teliti dibandingkan metode dengan orde (ℎ).

(53)

Persamaan (2.42) menyatakan bahwa jika fungsi �(�) dihampiri dengan deret Taylor derajat �, maka suku sisanya cukup dinyatakan dengan lambang (ℎ�+1). Suku sisa (ℎ�+1), yaitu suku yang dimulai dengan perpangkatan �+1.

D. METODE SATU LANGKAH

Masalah nilai awal yang telah dijelaskan pada contoh-contoh dalam subbab sebelumnya dapat diselesaikan secara analitik sehingga penyelesaiannya disebut penyelesaian sejati. Jika metode analitik tidak bisa lagi diterapkan, maka penyelesaian masalah nilai awal dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Penyelesaian yang dihasilkan oleh metode numerik adalah berupa hampiran (pendekatan) terhadap penyelesaian sejati sehingga terdapat selisih antara keduanya. Selisih tersebut disebut galat total. Ada beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal, diantaranya yaitu metode Euler dan metode Deret Taylor. Kedua metode tersebut merupakan metode satu langkah dimana untuk menghitung pendekatan pada titik tertentu digunakan data pada satu titik sebelumnya.

1. Metode Euler

Metode Euler merupakan metode yang paling sederhana untuk menyelesaikan masalah nilai awal dalam bentuk

�′=� �,� � , >

0 � �0 =�

yang mempunyai penyelesaian tunggal pada interval � ∈ [�0,�].

(54)

Langkah awal dari penyusunan metode Euler yaitu dengan membagi interval (�0,�) ke dalam subinterval yang sama besar. Sehingga dapat dihitung pendekatan terhadap penyelesaian sejati dari masalah nilai awal pada titik

�� =�0+�ℎ untuk � = 0, 1, 2,…,

dimana ℎ merupakan ukuran langkah. Metode Euler diturunkan dari deret Taylor pada �(�+ℎ) yang dipotong sampai suku orde dua

� �+ℎ =� � +ℎ�′ � +�1(�) (2.44)

Kemudian substitusikan �′ � =�(�,�(�)) ke dalam deret Taylor (2.44) sehingga diperoleh

� �+ℎ =� � +ℎ� �,� � +�1 � (2.45)

Ketika �= �, maka persamaan (2.45) menjadi � ��+1 =� �� +ℎ� ��,� �� +�1 �� , � = 0, 1, 2,…, −1

Suku �1 dapat dibuat sangat kecil dengan mengambil ukuran langkah ℎ yang cukup kecil, sehingga diperoleh bentuk umum dari metode Euler

��+1 =�� +ℎ��, untuk � = 0, 1, 2,…, −1 (2.46) dimana � =�(�,�), �+1 merupakan pendekatan terhadap � �+1 , � merupakan pendekatan terhadap � � , dan � merupakan pendekatan terhadap � ��,� �� .

Selanjutnya, karena metode Euler disusun dari deret Taylor yang dipotong sampai suku orde dua, maka metode tersebut mempunyai galat pemotongan, yaitu

(55)

Galat pemotongan tersebut juga dapat dinyatakan dengan �� = �1 �� = � ��+1 −� �� − � ��,� ��

yang diperoleh dengan memasukkan penyelesaian sejati dari masalah nilai awal ke dalam metode numerik dan membaginya dengan ukuran langkah ℎ. Pemberian pembagi ℎ tidak berpengaruh terhadap keakuratan metode tersebut karena ini hanya untuk pembobotan saja.

Seperti disebutkan di awal bahwa terdapat selisih antara penyelesaian sejati dengan penyelesaian hampiran dari suatu masalah nilai awal yang disebut galat total. Besar galat total dari suatu metode numerik didefinisikan dengan

�� = � �� − �� ,

dimana � � merupakan penyelesaian sejati dan � merupakan penyelesaian hampiran pada titik �.

Contoh 2.4.1

Gunakan metode Euler dengan ukuran langkah ℎ = 0.3 untuk menghitung penyelesaian hampiran masalah nilai awal

�′= 12� � � , > 0

� 0 = 1

(56)

Penyelesaian:

Dari masalah nilai awal yang diketahui maka diperoleh bahwa �0 = 0, � 0 = 1, �′ 0 = 1.

Kemudian dengan menggunakan informasi tersebut ditarik garis singgung melalui titik P0 �0,�0 = (0,1) dengan gradien �′0 =�′ 0 = 1 dan berhenti di titik P1 �1,�1 (lihat Gambar 2.4.1 (a)).

Perhitungan pada langkah selanjutnya diperoleh �1 = �0+ℎ= 0.3

�1 =�0+ℎ�′0 = 1 + 0.3 = 1.3

�′1 = 1−2�1 �1 = 1−0.6 1.3 = 0.52

Kemudian ditarik garis melalui titik P1 �1,�1 = (0.3, 1.3) dengan gradien �′

1 = 0.52 dan berhenti di titik P2 �2,�2 (lihat Gambar 2.4.1 (b)). Pada langkah berikutnya diperoleh

�2 =�1+ℎ= 0.6

�2 = �1+ℎ�′1 = 1.3 + 0.3 × 0.52 = 1.456 �′2 = 1−2�2 �2 = 1−1.2 1.456 =−0.2912

Kemudian ditarik garis melalui titik P2 �2,�2 = (0.6, 1.456) dengan gradien �′

2 = −0.2912 dan berhenti di titik P3 �3,�3 (lihat Gambar 2.4.1 (c)). Perhitungan untuk langkah terakhir diperoleh

�3 =�2+ℎ = 0.9

(57)

Gambar 2.4.1 Grafik penyelesaian sejati, penyelesaian hampiran, dan galat total.

Dari contoh ini dapat ditunjukkan penurunan metode Euler. Gambar 2.4.1 menunjukkan hampiran pada titik �+1 terhadap penyelesaian sejati masalah nilai awal dihitung dengan menggunakan persamaan garis yang melalui titik (�,�)

dengan gradien �′ sehingga �+1 =� +ℎ�′ yang tidak lain merupakan metode Euler.

Contoh 2.4.2

(58)

Penyelesaian:

Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada Gam-bar 2.4.2 berikut:

Gambar 2.4.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode Euler (kiri) dan grafik galat total (kanan)

(59)

Berikut ini diberikan lemma yang nanti akan digunakan dalam pembuktian teorema konvergensi dari Metode Euler.

Lemma 2.4.1

�� 1 + untuk semua 0.

Bukti:

Dibuktikan dengan menggunakan fakta bahwa �� 1 untuk semua � 0.

Kemudian dengan mengambil integral dari kedua ruasnya pada interval 0≤ � ≤ �

(dimana � 0), maka diperoleh �� �

0 1 �

0 �� − �0 � −0

�� 1 +�

Jadi terbukti bahwa �� 1 +�.

Teorema 2.4.1

Metode Euler akan diterapkan terhadap masalah nilai awal �′=�� � + (), 0 <� ≤ �

� 0 = 1

(60)

Bukti:

Metode Euler untuk masalah nilai awal tersebut adalah ��+1 =�� +�ℎ�� +ℎ ��

= 1 +�ℎ � +ℎ (�) (2.47) Sementara dari ekspansi deret Taylor (2.44) diperoleh

� ��+1 =� �� +ℎ�′ �� +�1(��)

= � � +ℎ �� � + � +�1 ��

= 1 +�ℎ � � +ℎ � +�1 �� (2.48) Kemudian kurangkan (2.48) dengan (2.47) diperoleh

� ��+1 = 1 +ℎ� � �� +ℎ �� +�1 �� ��+1 = 1 +ℎ� �� +ℎ (��)

��+1 = 1 +ℎ� �� +�1 ��

Selanjutnya untuk menyederhanakan penyimbolan, maka �1 diganti dengan ��+1, sehingga

(61)

Kemudian substitusikan � = 0, 1, 2 ke dalam persamaan (2.49) (gunakan �0 = 0), maka diperoleh

�1 =�1

�2 = 1 +ℎ� �1+�2 = 1 +ℎ� �1+�2

�3 = 1 +ℎ� �2+�3 = 1 +ℎ� 2�1+ 1 +ℎ� �2+�3 Sehingga rumus umumnya adalah

�� = 1 +ℎ� �−1�1+ 1 +ℎ� �−2�2+⋯+��

= �=1 1 +ℎ� �− � (2.50) Ruas kanan dari persamaan (2.50) harus dibatasi agar nilainya mendekati nol ketika ℎ →0.

Berdasarkan Lemma 2.4.1 (dengan �= ℎ � ), maka

1 +ℎ� ≤1 +ℎ � ≤ �ℎ �

dan karena � − ℎ= ��− ≤ � untuk �ℎ ≤ � dan 0 < ≤ �, maka

1 +ℎ� �− ≤e(n−j)ℎ � = e � �� − e � �.

Kemudian karena � ≤ �ℎ2 untuk suatu kontanta � (tidak bergantung pada ℎ atau ), setiap suku pada ruas kanan persamaan (2.50) dibatasi oleh ℎ2�e � ��

sehingga

�� ≤ �ℎ2�� � �� =ℎ���� � ��

(62)

Contoh 2.4.3

Jika interval pada Contoh 2.4.1 diperluas menjadi 0≤ � ≤ 3 dan dengan mengambil ukuran langkah ℎ= 0.3, ℎ= 0.15, dan ℎ= 0.075, maka dengan menggunakan program Matlab diperoleh hasil sebagai berikut:

Gambar 2.4.3 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran dengan menggunakan metode Euler

Gambar 2.4.3 menunjukkan bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil, maka nilai penyelesaian hampiran akan semakin mendekati penyelesaian sejati dari masalah nilai awal yang diberikan. Dengan program Matlab, penghitungan galat total pada titik 0.09 diperoleh hasil sebagai berikut,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5

t(i)

p

e

n

y

e

le

s

a

ia

n

Grafik Penyelesaian Sejati dan Penyelesaian Hampiran

(63)

h 0.3 0.15 0.075

Euler 0.2745 0.1325 0.0649

Tabel 2.4.1 Tabel Galat Total

Dari Tabel 2.4.1 nampak bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil setengah kalinya, maka galat totalnya akan mengecil sekitar setengah kalinya juga. Jadi sesuai dengan Teorema 2.4.1, metode Euler konvergen dengan orde satu, sehingga �� ∝ ℎ (galat total sebanding dengan ukuran langkah).

2. Metode Deret Taylor

Metode Euler yang dijelaskan sebelumnya disusun dari deret Taylor pada �(� +ℎ) di sekitar titik �= � yang dipotong sampai suku orde dua. Keakuratan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut dipengaruhi oleh besarnya ukuran langkah yang diambil. Metode tersebut menjadi kurang efektif karena untuk mencapai keakuratan yang baik, maka diperlukan ukuran langkah yang kecil dan berarti diperlukan komputasi yang lebih mahal. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang lebih efektif, yaitu metode deret Taylor dimana bisa menghasilkan penyelesaian hampiran yang lebih akurat ketika diambil ukuran langkah yang sama besar atau penyelesaian hampiran dengan keakuratan sama ketika diambil ukuran langkah yang lebih besar.

Diberikan masalah nilai awal �′=(,), >

0 � �0 = �

(64)

Sebelum masuk ke dalam pembahasan metode deret Taylor orde-� (bentuk umum), terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai metode deret Taylor orde dua. Ekspansi deret Taylor orde dua adalah sebagai berikut

� �+ℎ =� � +ℎ�′ � + 1

Suku sisa (ℎ3) dapat dibuat sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Jadi diperoleh bentuk umum dari metode deret Taylor orde dua

��+1 =�� +ℎ��′ +

Gunakan metode Deret Taylor orde dua untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut

= 12� � � � 0 = 1

(65)

Penyelesaian:

Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada Gambar 2.4.4 berikut:

(66)

Berdasarkan Gambar 2.4.2 (pada Contoh 2.4.2) dan Gambar 2.4.4 (pada Contoh 2.4.4), maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Euler dan Deret Taylor orde dua adalah seperti ditunjukkan dalam tabel di bawah ini.

Metode Galat Total Maksimum Jumlahan Galat Total

Euler 0.1808 0.9853

Taylor 0.0127 0.0842

Tabel 2.4.2 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total

Tabel 2.4.2 menunjukkan bahwa galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Deret Taylor orde dua lebih kecil daripada metode Euler. Jadi penyelesaian yang lebih akurat adalah penyelesaian yang dihasilkan oleh metode Deret Taylor orde dua.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai metode deret Taylor secara umum. Deret Taylor orde-� pada �(�+ℎ) beserta dengan suku sisanya adalah sebagai berikut

� �+ℎ =� � +ℎ�′ � + 1

2!ℎ

2′′++ 1

�!ℎ

+

�(�) (2.52)

dimana � � =1

+1 !ℎ

�+1 �+1 (), � ∈(,+). Jika ada bilangan positif

sedemikian sehingga � �+1 (�) ≤ � untuk semua � ∈(�0,��), maka �� � ≤+1 !ℎ�+1,

sehingga � � = (ℎ�+1).

(67)

��+1 =�� +ℎ��′ +

Berikut ini diberikan lemma yang nanti akan digunakan untuk membuktikan teorema konvergensi dari Metode Deret Taylor.

(68)

�� 1 ++ 1

Metode deret Taylor akan diterapkan terhadap masalah nilai awal �′=�� � + (), 0 <� ≤ �

Metode deret Taylor untuk masalah nilai awal tersebut adalah ��+1 =�� +ℎ��′ +

(69)

�′(

Kemudian kurangkan (2.57) dengan (2.56), maka diperoleh � ��+1 − ��+1 = � �� − �� +ℎ �� �� − ��� + Ruas kanan dari (2.58) harus dibatasi agar nilainya mendekati nol ketika ℎ →0.

(70)

Berdasarkan Lemma 2.4.2, maka untuk �= � diperoleh bahwa �ℎ ≤ �ℎ �

Dan karena � − ℎ=��− ≤ � untuk �ℎ ≤ � dan 0 < ≤ �, maka �ℎ �− ≤ �(�− )ℎ � = � �� − ≤ � � �

Kemudian karena � ≤ �ℎ�+1 untuk semua konstanta �, maka �� ≤ �ℎ�+1�� � �� = ℎ����� � ��

Jadi terbukti bahwa � = (ℎ�) dan metode deret Taylor konvergen pada orde �.

Contoh 2.4.5

Diketahui masalah nilai awal berikut �′= 12� �(), > 0

� 0 = 1

dimana mempunyai penyelesaian sejati � � = ��−�2. Gunakan metode deret Taylor orde dua untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut dengan mengambil ℎ = 0.3, ℎ= 0.15, dan ℎ= 0.075 pada interval 0≤ � ≤4.

Penyelesaian:

(71)

H 0.3 0.15 0.075

Taylor 0.0146 0.0027 0.0006

Tabel 2.4.3 Tabel Galat Total

Dari Tabel 2.4.3 nampak bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil setengah kalinya, maka galat totalnya akan mengecil sekitar seperempat kalinya. Jadi sesuai dengan Teorema 2.4.2, metode Deret Taylor orde dua konvergen dengan orde dua, sehingga � ∝ ℎ2 (galat total sebanding dengan kuadrat ukuran langkah).

Gambar 2.4.5 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran dengan menggunakan metode Deret Taylor orde dua

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5

t(i)

p

e

n

y

e

le

s

a

ia

n

Grafik Penyelesaian Sejati dan Penyelesaian Hampiran

(72)

BAB III

METODE BANYAK LANGKAH LINEAR

A. PENDAHULUAN

Dua metode numerik yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya masing-masing mempunyai kelemahan di dalam penerapannya. Kelemahan dari metode Euler yaitu untuk mencapai tingkat keakuratan yang sama dibutuhkan nilai ℎ yang lebih kecil dibandingkan metode deret Taylor, sehingga lebih banyak langkah yang harus diselesaikan. Sedangkan untuk metode deret Taylor yaitu diperlukannya perhitungan turunan-turunan hingga turunan ke-� dari persamaan diferensial yang diketahui. Secara umum kedua metode tersebut tergolong dalam metode satu langkah, yaitu metode yang hanya menggunakan nilai pada satu titik sebelumnya untuk menentukan penyelesaian hampiran pada titik tertentu. Oleh karena itu, pada bab ini akan dijelaskan mengenai metode banyak langkah linear, yaitu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal dimana menggunakan nilai pada beberapa titik sebelumnya untuk menentukan penyelesaian hampiran pada titik tertentu. Pembahasan mengenai metode banyak langkah linear dimulai dengan metode yang lebih sederhana, yaitu metode dua langkah linear.

B. METODE ADAMS-BASHFORTH

(73)

Sebelum masuk ke dalam pembahasan mengenai metode dua langkah linear secara umum, akan dijelaskan terlebih dahulu metode Adams-Bashforth yang tergolong dalam metode dua langkah linear. Penyusunan metode Adams-Bashforth dimulai dengan menggunakan ekspansi deret Taylor berikut

� �+ℎ = � � +ℎ� � +1

2ℎ

2′′+ (3) (3.1)

Kemudian untuk menentukan pendekatan terhadap �′′ � digunakan ekspansi pada �(� − ℎ) sebagai berikut

� − ℎ = � − ℎ�′′+ (2) sehingga

ℎ�′′ � = � � − � � − ℎ + (ℎ2) (3.2) Substitusikan (3.2) ke (3.1) sehingga diperoleh

� �+ℎ = � � +ℎ�+1 Jika (3.3) disusun ulang dengan indeks terkecil �, maka diperoleh

��+2 =��+1+ 1

2ℎ[3��+1 − �

(74)

Contoh 3.2.1

Gunakan metode Adams-Bashforth untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut

� = 1−2� � � � 0 = 1

untuk � ∈(0,4] dengan ℎ = 0.2. Sedangkan, untuk menentukan satu nilai awal yang dibutuhkan gunakan metode Euler dan deret Taylor orde dua. Kemudian bandingkanlah hasilnya.

Penyelesaian:

(75)

Gambar 3.2.1 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode ABE (kiri), grafik galat total (kanan)

(76)

Gambar 3.2.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode ABT (kiri), grafik galat total (kanan)

Berdasarkan Gambar 2.4.2 (pada Contoh 2.4.2), Gambar 2.4.4 (pada Contoh 2.4.4), Gambar 3.2.1 dan Gambar 3.2.2 (pada Contoh 3.2.1), maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Euler, Deret Taylor orde dua, ABE, dan ABT adalah seperti ditunjukkan dalam Tabel 3.2.1 di bawah.

Metode Galat Total Maksimum Jumlahan Galat Total

Euler 0.1808 0.9853

Taylor 0.0127 0.0842

ABE 0.0517 0.2495

ABT 0.0279 0.1704

Tabel 3.2.1 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total

(77)

Tabel 3.2.1 menunjukkan bahwa galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Deret Taylor orde dua lebih kecil daripada ketiga metode lainnya. Jadi, pada kasus ini penyelesaian yang lebih akurat adalah penyelesaian yang dihasilkan oleh metode Deret Taylor orde dua.

C. METODE DUA LANGKAH LINEAR DAN KONSISTENSI Bentuk umum dari metode dua langkah linear adalah

��+2 + 1��+1+ 0�� = ℎ( 2��+2 + 1��+1+ 0��) (3.5) dimana 1, 0, 2, 1, 0 adalah suatu konstanta.

Definisi 3.3.1

Metode dua langkah linear (3.5) disebut eksplisit jika 2 = 0 dan disebut implisit jika 2 ≠ 0.

Contoh 3.3.1

Metode Adams-Bashforth �+2 =�+1+1

2ℎ(3��+1 − �

) merupakan metode

dua langkah linear eksplisit dengan 1 =−1, 0 = 0, 2 = 0, 1 = 3

2, 0 =− 1 2.

Galat pemotongan untuk metode dua langkah adalah

�� = �

(�+)

2

=0 − 2=0 �(��+)

ℎ 2 =0

, 2 = 1.

(78)

numerik dan pada kasus ini dibagi dengan ℎ 2=0 sebagai pembobot. Kemudian

Buktikan bahwa metode Adams-Bashforth adalah metode yang konsisten. ��+2 =��+1+

1

2ℎ(3��+1 − �

(79)

Penyelesaian:

Koefisien-koefisien dari metode Adams-Bashforth adalah 2 = 1, 1 = −1,

0 = 0, 2 = 0, 1 = 3

2, dan 0 =− 1

2. Jadi galat pemotongan dari metode tersebut memenuhi �0 = 0, �1 = 0, �2 = 0, dan �3 = 5

12. Karena �0 = �1 =�2 =

0 dan �3 ≠0, maka metode tersebut konsisten dengan orde 2. Sedangkan konstanta galatnya adalah 5

12.

Jika suatu metode dua langkah linear adalah konsisten, maka galat pemotongan dari metode tersebut memenuhi �0 = 0 dan �1 = 0. Dengan kata lain, koefisien-koefisien dari metode tersebut memenuhi persamaan

1 + 1 + 0 = 0

2 + 1− 2+ 1+ 0 = 0

Kedua syarat (3.7) dapat dituliskan dalam bentuk polinomial karakteristik. Oleh karena itu, selanjutnya akan diberikan definisi dari polinomial karakteristik.

Definisi 3.3.3

Polinomial karakteristik pertama dan kedua dari metode dua langkah linear ��+2 + 1��+1+ 0�� = ℎ( 2��+2 + 1��+1+ 0��)

didefinisikan dengan � = 2 +

(80)

Berdasarkan definisi di atas, maka persamaan (3.7) dapat dinyatakan dengan polinomial karakteristik, yaitu

1 + 1 + 0 =� 1 = 0

2 + 1 − 2+ 1+ 0 =� 1 − � 1 = 0.

Jika metode dua langkah linear konsisten, maka polinomial karakteristik pertama dan kedua dari metode tersebut ketika = 1 memenuhi � 1 = 0 dan � 1 =

�(1). Jadi uji konsistensi dari metode dua langkah linear juga dapat dilakukan dengan menguji polinomial karakteristik pertama dari metode tersebut.

Contoh 3.3.3

Tunjukkanlah konsistensi dari Metode Adams-Bashforth dengan menggunakan polinomial karakteristik.

Penyelesaian:

Polinomial karakteristik dari metode tersebut adalah � = 2 −

� = 3

2 − 1 2 Ketika = 1, maka

� 1 = 0, �′ 1 = 1, � 1 = 1

Karena � 1 = 0 dan �′ 1 =� 1 , maka metode tersebut adalah konsisten.

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...