# KEBERADAAN DAN KETUNGGALAN DARI ITERASI PICARD TERHADAP PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE PERTAMA

30  13

## Teks penuh

(1)

### LINEAR ORDE PERTAMA

(Skripsi)

Oleh

HELMI FIRDAUS

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

ABSTRACT

EXISTENCE AND UNIQUENESS OF PICARD ITERATION FOR THE FIRST ORDERLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

By

HELMI FIRDAUS

Differential Equations is a branch of Mathematics that related directly in life. One type of differential equations used is linear ordinary differential equations. Numerical solution methods in ordinary linear equations is known Picard iteration. This iteration solve a linear ordinary differential equation by

determining the approximation of the general solution by means of iteration. The existence of iterations and singularity, is the guarantee of this method can be used in an initial value problem of first order linear ordinary differential equations.

This study involves a continuous function as well as the initial value problem of a differential equation can be performed iterations and known approximations of the solutions generally. Then the sufficient conditions | |

| | defined in the definition of Lipschitz to help ensure the existence of the Picard iteration by iteration ∫ ( ) . Results of iterations

for is an exponential power series will converge to the upper limit

for any and ; . Furthermore, with

the Gronwall inequality theorem, can be obtained uniqueness properties of Picard iteration for first order linear ordinary differential equations.

From these studies, a sufficient condition of a differential equation can be used Picard iteration is must have the initial value problem and a continuous function in [ . Then Picard iteration ensure a presence of a general solution of a linear ordinary differential equations with a first order approximation solution in the form of an exponential power series .

(3)

ABSTRAK

KEBERADAAN DAN KETUNGGALAN DARI ITERASI PICARD TERHADAP PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE

PERTAMA

OLEH

HELMI FIRDAUS

Persamaan Diferensial merupakan cabang ilmu dari Matematika yang

bersinggungan langsung dengan kehidupan. Salah satu jenis persamaan diferensial yang sering digunakan ialah persamaan diferensial biasa linear. Metode

penyelesaian numerik pada persamaan biasa linear yang dikenal ialah iterasi Picard. Iterasi ini menyelesaikan suatu persamaan diferensial biasa linear dengan cara menentukan hampiran dari solusi umum dengan cara melakukan iterasi. Keberadaan iterasi serta ketunggalannya, merupakan jaminan dari metode ini bisa digunakan dalam suatu masalah nilai awal persamaan diferensial biasa linear orde pertama.

Penelitian ini melibatkan fungsi yang kontinu [ serta masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial bisa dilakukan iterasi dan diketahui hampiran dari solusi umumnya. Kemudian syarat cukup | | | | didefinisikan ke dalam definisi Lipschitz yang membantu menjamin keberadaan iterasi Picard dengan bentuk iterasinya ∫ ( ) . Hasil dari

iterasi dari adalah suatu deret pangkat eksponensial yang nantinya akan konvergen ke batas atas untuk suatu dan

m dengan . Selanjutnya dengan teorema ketaksamaan Gronwall, dapat diperoleh sifat ketunggalan dari iterasi Picard terhadap persamaan

diferensial biasa linear orde pertama.

Dari penelitian tersebut, syarat cukup dari suatu persamaan diferensial bisa digunakan iterasi Picard ialah harus mempunyai masalah nilai awal dan fungsi yang kontinu [ . Kemudian bahwa iterasi Picard menjamin suatu adanya solusi umum dari suatu persamaan diferensial biasa linear orde pertama dengan solusi hampiran yang berupa deret pangkat eksponensial.

(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

### RIWAYAT HIDUP

tanggal 29 April 1993, dan merupakan anak bungsu dari 3 bersaudara, anugerah

cinta dari pasangan Bapak Hi. Hidayat dan Ibu Hj. Sri Sumarni

Penulis menyelesaikan pendidikan di Taman Kanak-Kanak Dharma Wanita pada

tahun 1999/2000, Sekolah Dasar Negeri 4 Kota Metro pada tahun 2004/2005,

Sekolah Menengah Pertama Negeri 6 Kota Metro pada tahun 2007/2008, Sekolah

pada tahun 2011 penulis mengikuti Seleksi Penerimaan Mahasiswa Perluasan

Akses Pendidikan (PMPAP) dan berhasil diterima sebagai mahasiswa di

Universitas Lampung Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

Selama menjadi mahasiswa penulis aktif diberbagai organisasi kampus

diantaranya pernah menjadi anggota muda HIMATIKA tahun 2011-2012,

Anggota muda ROIS FMIPA tahun 2011-2012, Anggota Bidang Dana dan Usaha

HIMATIKA tahun 2012-2013, Kepala Biro Sosial Budaya Masyarakat (SBM)

Rois FMIPA Unila tahun 2013/2014, Anggota Bidang Keilmuan HIMATIKA

(9)

vi

Selanjutnya sebagai bentuk pengabdian mahasiswa dan menjalankan Tri Dharma

Perguruan Tinggi penulis telah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang

merupakan mata kuliah wajib untuk strata satu di Desa Adiluwih Kecamatan

Kalirejo, Kabupaten Pringsewu, Lampung Tengah yang dilaksanakan pada

tanggal 23 Januari 2013 sampai dengan tanggal 4 Maret 2013.

Agustus 2014, penulis melaksanakan kegiatan Kerja Praktek (KP) di Kantor

(10)

## Moto

(11)

### PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirabbil’alamin, syukur yang indah kuucapkan kepada

ALLAH Rabbul Ta’ala, atas ridhoNYA skripsi ini dapat terselesaikan, atas

ridhoNYA diberikan segala kemudahan, dan atas ridhoNYA pula akan

didatangkan suatu kemanfaatan.

Dengan segala kerendahan hati, kupersembahkan sebuah karya kecil

ini untuk orang-orang yang kusayangi, orang-orang yang

menyemangati tanpa henti, menemani serta mendoakan dengan ikhlas

tanpa pamrih.

Untukmu BAPAK (Hi. Hidayat) dan IBU (Hj. Sri Sumarni) tersayang

yang menjadi kebahagiaan serta motivasi terbesar dalam menyelesaikan

Habib A’maludin serta saudara-saudaraku, bentuk perhatian,

pengertian, doa, semangat, dan bantuannya, terima kasih untuk

segalanya. Kepada teman-teman Rois FMIPA Unila, Beswan Djarum,

Matematika 2011, kontrakan Anti-Galau, serta Almamater tercinta

Universitas Lampung, semangat serta keceriaan kalian semuanya

menjadi peneambah kekuatan semangat dalam hidup.

(12)

SANWACANA

Alhamdulillahirabbil’alamin, rasa syukur yang indah hanya milik Allah SWT,

karena atas rahmat dan ridho–Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Dalam proses penyelesaian skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu penulis

dalam memberikan bimbingan, dorongan, dan saran-saran. Sehingga dengan

segala ketulusan dan kerendahan hati pada kesempatan ini penulis mengucapkan

1. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si., selaku pembimbing utama yang telah bersedia

memberi saran, bimbingan serta meluangkan waktu kepada penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku pembimbing kedua, yang tlah

memberikan bimbingan, saran,motivasi dan bantuannya selama penulis

menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Suharsono S, M.S, M.Sc., Ph.D., selaku penguji utama yang telah

banyak memberikan saran dan petunjuk serta kemurahan hatinya dalam

penyelesaian akhir penulisan skripsi ini.

4. Bapak Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

(13)

x

5. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku Pembimbing Akademik yang telah penulis

anggap sebagai “bapak” di kampus yang selalu memberikan motivasi, saran,

semangat serta humor beliau yang banyak membantu penulis selama dalam

masa perkuliahan.

6. Bapak Drs. Suharso Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

7. Dosen, staf dan karyawan jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu

pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis.

8. Ibu serta Bapakku tercinta, terkasih dan tersayang atas segala pengorbanan,

perhatian serta yang selalu membantu memberi semangat dan mendoakan

penulis setiap waktu.

9. Mamas serta saudara-saudaraku atas bantuan, dukungan serta motivasiyang

selalu bersama.

10.Masashi Kishimoto serta manganya “Naruto Shippuden” yang telah

memberikan anime inspiratif bagi penulis hingga saat ini.

11.Dias, Asmawi, Sepria, Wahyu, Kak Udin, Irul, serta Sigit, bro keren satu

kontrakan yang memberi suasana kekeluargaan.

12.Annastasia Nika Susanti yang telah banyak membantu penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

13.Untuk teman-teman Rois FMIPA Unila atas pengertian dan kebaikan yang

diberikan, sampai kapanpun lillahirabbil’alamin. Jazakumullah khairan wa

(14)

xi

14.Keluarga besar Matematika 2011 serta HIMATIKA atas kebersamaan dan

keceriaannya selama ini, semoga terjalin sampai kapanpun, unforgettable

guys.

15.Andre, Gusmau, Muflikha, Rifka, Vianna, Qori, serta Sartika selaku member

Beswan Djarum DSO Lampung 2013/2014, amazing you’re!!

16.Teman-teman Beswan Djarum tahun 2013/2014 seluruh Indonesia dan

Djarum Foundation yang telah memberikan pengalaman serta penanaman soft

skill yang luar biasa dan bisa penulis rasakan manfaatnya hingga saat ini.

17.Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini,

yang tidak dapat penulis sebut kan satu persatu.

Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat meyadari bahwa skripsi ini masih

jauh dari sempurna, karena itu segala kritik dan saran yang membangun

senantiasa penulis harapkan.

Penulis berharap semoga Allah Ta’ala membalas kebaikan mereka dan semoga

laporan ini nantinya bermanfaat bagi penulis dan seluruh pembaca.

Bandar Lampung, Februari 2015

Penulis

(15)

DAFTAR ISI

halaman

ABSTRAK ... i

HALAMAN JUDUL ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

RIWAYAT HIDUP ... v

MOTTO ... vii

PERSEMBAHAN ... viii

SANWANCANA ... ix

DAFTAR ISI ... xii

I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakangdan Masalah ... 1

1.2. TujuanPenelitian... 2

1.3. Manfaat Penelitian... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial ... 4

(16)

xiii

2.3 Persamaan Diferensial Biasa Linear ... 5

2.4 Derajat Persamaaan Diferensial Biasa ... 5

2.5 Orde ... 6

2.6 Persamaan Diferensial Biasa Orde Pertama ... 6

2.7 Lipschitz ... 6 4.1 Teorema masalah nilai awal Lipschitz ... 12

4.2 Keberadaan iterasi Picard ... 13

4.3 Ketaksamaan Gronwall ... 20

4.4 Ketunggalan Iterasi Picard ... 23

4.5 Penerapan Iterasi Picard pada PDB orde pertama ... 27

V. KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan... 35

5.2 Saran ... 36

(17)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Matematika adalah suatu bidang ilmu yang disebut-sebut sebagai “Mother of

Science” karena dalam setiap bidang ilmu pengetahuan alam yang lain seperti

kima, fisika, komputer, dan biologi selalu ada matematika sebagai alat bantu. Oleh

karena itu, matematika menjadi bidang yang memiliki kajian yang luas. Salah satu

kajian dalam matematika adalah persamaan diferensial.

Dalam perkembangannnya, persamaan diferensial sangat berguna untuk

menyelesaikan aplikasi dalam bidang eksakta, misalnya pada bidang Fisika.

Banyak sekali cabang ilmu Fisika yang menerapkan konsep ilmu dasar persamaan

diferensial, seperti pada bidang hidrodinamik, fluida, gaya, dan lain sebagainya.

Persamaan diferensial lahir pada tahun 1683 oleh Sir Issac Newton dalam analisis

Matematikanya, namun karena Newton tidak mempublikasikannya dengan baik,

sepuluh tahun kemudian atau tepatnya pada tahun 1693, Leibniz

mempublikasikan teorinya tentang persamaan diferensial yang di dalamnya juga

ada percobaan dari Newton yang ia gunakan.

Persamaan diferensial dalam matematika merupakan cabang ilmu yang membahas

tentang fungsi diferensial dari suatu fungsi kontinu. Banyak sekali metode dalam

menyelesaikan suatu permasalahan persamaan diferensial. Umumnya persamaan

diferensial diselesaikan dengan cara analitik seperti pemakaian transformasi

(18)

2

metode analitik sulit dilakukan sehingga alternatif pemecahan solusinya dilakukan

dengan cara metode numerik.

Banyak sekali metode pendekatan yang bersifat numerik yang bisa menyelesaikan

suatu persamaan diferensial, seperti metode Euler, deret Taylor, runge-kutta, dan

lainnya. Hanya saja metode-metode di atas, menyebabkan penyelesaian yang

dihasilkan bukanlah penyelesaian umum, namun penyelesaian khusus dengan nilai

awal yang ditentukan.

Untuk itulah ditemukan metode yang bisa melanjutkan permasalahan pada metode

di atas dengan cara menggunakan iterasi Picard. Metode merupakan hasil buah

pemikiran dari Emile Picard, Rudolf Lipschitz, Ernst Lindelof serta

Augustin-Louise Cauchy. Adapun metode ini menggunakan masalah nilai awal (initial

value problem) dari suatu persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial orde

pertama. Metode ini menerapkan sistem deret pada setiap solusinya. Untuk itulah,

terlebih dahulu diteliti mengenai keberadaan dan ketunggalan dari iterasi Picard

tersebut. Karena bila diketahui dari metode iterasi Picard ada serta tunggal maka

bisa membantu mencari solusi umum dari suatu persamaan diferensial orde

pertama.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini diantaranya :

1. Mengetahui metode iterasi Picard di dalam persamaan diferensial linier

biasa orde pertama

2. Mencari keberadaan dari metode iterasi Picard di dalam suatu persamaan

(19)

3

3. Menganalisis ketunggalan dari metode iterasi Picard di dalam suatu

persamaan diferensial biasa linear orde pertama

4. Menggunakan penerapan metode iterasi Picard dalam pencarian solusi

suatu persamaan diferensial biasa linear orde pertama dengan masalah

nilai awalnya.

1.3 Manfaat Penelitian

1. Mengetahui keberadaan dari metode iterasi Picard di dalam persamaan

diferensial biasa linear orde pertama

2. Mengetahui ketunggalan dari metode iterasi Picard di dalam persamaan

diferensial biasa linear orde pertama

3. Mengetahui solusi dari suatu persamaan diferensial biasa linear orde

(20)

II. TINJAUAN PUSTAKA

iterasi Picard di dalam persamaan diferensial orde pertama, perlu diketahui

beberapa bagian dari persamaaan diferensial itu sendiri serta definisi

pendukungnya. Oleh karena itu, dalam bagian ini akan diberikan konsep yang

mendukung yakni definisi persamaan diferensial, defnisi Lipschitz, ketaksamaan

Gronwall, metode iterasi Picard, serta barisan dan deret yang menjadi hasil dari

iterasi Picard itu sendiri.

Berikut ini diberikan beberapa definisi yang digunakan dalam penelitian.

2.1 Persamaan Diferensial Definisi 2.1

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang

dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya, dan diketahui

jumlah serta fungsinya (Birkhoff, 1978).

Contoh 2.1

( )

( )

(21)

5 Persamaan diferensial dalam penelitian kali ini ialah jenis persmaan diferensial

biasa orde pertama. Untuk definisi selanjutnya akan menjelaskan terkait

persamaan diferensial biasa dan definisi orde dari suatu persamaan diferensial.

2.2 Persamaan Diferensial Biasa

Suatu persamaan diferensial yang mempunyai turunan hanya tergantung pada satu

variabel bebas, maka persamaan diiferensial tersebut dikatakan persamaan

diferensial biasa (PDB) (Dafik, 1999).

Contoh 2.2

1.

2.

2.3Persamaan Diferensial Biasa Linear

Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara

varibel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya. Dengan kata lain, semua

koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. (Nugroho, D.B, 2011: 3)

2.4Derajat Persamaaan Diferensial Biasa

Derajat (degre) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari suku derivatif

tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. (Nugroho, D.B, 2011: 2)

1.

(22)

6 2.5Orde

Tingkat (order) dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari

derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. (Nugroho, D.B,

2011: 2)

Contoh 2.3

1. merupakan PD tingkat 1

2.

merupakan PD tingkat 3

2.6Persamaan Diferensial Biasa Orde Pertama

Suatu persamaan diferensial biasa ordo satu adalah suatu persamaan yang memuat

satu variabel bebas, biasanya dinamakan x, satu variabel tak bebas, biasanya

dinamakan y, dan derivatif

. Suatu persamaan diferensial biasa ordo satu

tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk

2.7 Lipschitz

Suatu fungsi ) dikatakan memenuhi syarat Lipschitz dalam variabel y dalam

suatu domain jika ada konstanta sedemikian sehingga

| | | |

untuk sebarang Selanjutnya konstanta L disebut konstanta

(23)

7

2.9. Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)

Secara umum, problem persamaan diferensial biasa selalu melibatkan nilai awal

(initial-value), yang dapat ditulis sebagai berikut

dengan kondisi awal dapat disebut sebagai masalah nilai awal (initial

value problem) (Verner, 2010).

2.10 Iterasi Picard

Dalam metode iterasi atau proses iteratif, proses dimulai dari dengan aproksimasi

untuk suatu akar / solusi dan dari hasil tersebut dilakukan aproksimasi

sebelum demikian seterusnya (Zakaria, 2006).

Adapun metode iterasi Picard digunakan untuk penyelesaian secara hampiran

persamaan diferensial dengan nilai awal

(24)

8 ∫ ( )

bila disubsitusikan nilai ke dalam bentuk persamaan di atas, didapat

hasil dari solusi

∫ ( )

Kemudian subsitusikan hasil dari ke dalam persamaan sebelumya dengan

langkah yang sama diperoleh yaitu

∫ ( )

Hingga langkah ke-n, didapat suatu fungsi hampiran yaitu

∫ ( )

Langkah ini mendapatkan barisan hampiran

(Sutrisno, 2013).

2.11 Barisan

dengan range dalam (Riyanto, 2009).

Contoh :

1. Barisan (xn) dengan (xn) = adalah barisan -1,1,-1,1,-1,1... ,...

(25)

9 2.12 Deret

Jika barisan di , maka deret tak berhingga (cukup disebut deret) yang

dibentuk barisan yang didefinisikan dengan

disebut suku dari deret dan disebut jumlahan partial (partial sum). Jika limS

(26)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu Dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014/2015 di Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung.

3.2 Metode Penelitian

biasa linear orde pertama. Kemudian hasil dari iterasi Picard yang berbentuk deret

yang sudah ada, diambil deret n+1 dan n. Selanjutnya dengan menggunakan

definisi Lipschitz, akan diperoleh selisih dari deret n+1 dan n. Kemudianakan

orde pertama dengan menemukan adanya nilai dari limit deret tak hingga pada

iterasi Picard. Selanjutnya, akan ditunjukkan pembuktikan teorema ketaksamaan

Gronwall yang menjadi alat untuk membuktikan ketunggalan dengan

menggunakan iterasi Picard. Kemudian dengan deret iterasi Picard,diambil hasil

iterasi dan dengan adalah hasil iterasi lain yang juga dibatasi

(27)

11

Karena dua solusi tersebut adalah fungsi integral pada interval [ ] maka

solusi tersebut kontinu pada [ ]. Kemudian dengan menggunakan akibat

dari teorema ketaksamaan Gronwall dan definisi Lipschitz, akan ditunjukan

bahwa dari iterasi Picard pada persamaan diferensial biasa linear orde pertama

akan diterapkan metode iterasi Picard dalam pencarian solusi salah satu

persamaan diferensial biasa linear orde pertama. Hal ini dikarenakan, metode ini

harus memiliki fungsi persamaan diferensial tertentu agar solusi yang dihasilkan

(hampiran) bisa diketahui dengan baik dengan masalah nilai awal yang sudah

(28)

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari pembahasan yang telah dikaji sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa :

1. Metode iterasi Picard terhadap persamaan diferensial orde pertama ialah

∫ ( )

dengan adalah nilai awal persamaan diferensial orde pertama.

2. Keberadaan iterasi Picard ditentukan oleh syarat cukupnya yaitu

a) Persamaan diferensial harus kontinu di selang tertutup [

b) Memenuhi definisi Lipschitz dengan persamaan

| | | |

dengan dimana dan konstanta .

3. Iterasi Picard dari PDB linear orde pertama ialah tunggal, terbatas diatas

oleh dengan dan | | sehingga

iterasi konvergen.

4. Setiap hasil iterasi Picard dalam PDB linear orde pertama untuk suatu

(29)

36 5.2 Saran

1. Keberadaan dan ketunggalan PDB linear orde kedua, ketiga, dan

seterusnya.

2. Bentuk solusi akhir dari iterasi Picard pada PDB linear orde kedua, ketiga,

dan seterusnya.

(30)

DAFTAR PUSTAKA

Birkhoff, G. and Rota, G. C. 1978. Ordinary Differential Equations. 3rd Edition. John Wiley & Sons, Inc., USA.

Dafik. 1999. Persamaan Diferensial Biasa : Masalah Nilai Awal dan Batas.

Universitas Jember, Jawa Timur.

Deo, S.G. and Raghavendra, V. 1980. Ordinary Differential Equations and Stability Theory. Tata McGraw-Hill Publishing Company, New Delhi.

Nugroho, D.B. 2011. Persamaan Diferensial dan Aplikasinya. Graha Ilmu. Jakarta.

Rao, K.S. 2001. Numerical Methods for Scientists and Engineers. Jay Print Pack Private Limited, New Delhi.

Sutrisno, A. 2013. Prosiding Semirata FMIPA Unila : Keujudan dan Ketunggalan Solusi dari Iterasi Picard. Universitas Lampung, Lampung.

Verner, J.H. 2010. Numerically Optimal Range-Kutta Pairs with Interpolants.

Pearson Education, Inc., USA.

Memperbarui...

Memperbarui...