KEBERADAAN DAN KETUNGGALAN DARI ITERASI
PICARD TERHADAP PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
LINEAR ORDE PERTAMA
(Skripsi)
Oleh
HELMI FIRDAUS
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
EXISTENCE AND UNIQUENESS OF PICARD ITERATION FOR THE FIRST ORDERLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
By
HELMI FIRDAUS
Differential Equations is a branch of Mathematics that related directly in life. One type of differential equations used is linear ordinary differential equations. Numerical solution methods in ordinary linear equations is known Picard iteration. This iteration solve a linear ordinary differential equation by
determining the approximation of the general solution by means of iteration. The existence of iterations and singularity, is the guarantee of this method can be used in an initial value problem of first order linear ordinary differential equations.
This study involves a continuous function as well as the initial value problem of a differential equation can be performed iterations and known approximations of the solutions generally. Then the sufficient conditions | |
| | defined in the definition of Lipschitz to help ensure the existence of the Picard iteration by iteration ∫ ( ) . Results of iterations
for is an exponential power series will converge to the upper limit
for any and ; . Furthermore, with
the Gronwall inequality theorem, can be obtained uniqueness properties of Picard iteration for first order linear ordinary differential equations.
From these studies, a sufficient condition of a differential equation can be used Picard iteration is must have the initial value problem and a continuous function in [ . Then Picard iteration ensure a presence of a general solution of a linear ordinary differential equations with a first order approximation solution in the form of an exponential power series .
ABSTRAK
KEBERADAAN DAN KETUNGGALAN DARI ITERASI PICARD TERHADAP PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE
PERTAMA
OLEH
HELMI FIRDAUS
Persamaan Diferensial merupakan cabang ilmu dari Matematika yang
bersinggungan langsung dengan kehidupan. Salah satu jenis persamaan diferensial yang sering digunakan ialah persamaan diferensial biasa linear. Metode
penyelesaian numerik pada persamaan biasa linear yang dikenal ialah iterasi Picard. Iterasi ini menyelesaikan suatu persamaan diferensial biasa linear dengan cara menentukan hampiran dari solusi umum dengan cara melakukan iterasi. Keberadaan iterasi serta ketunggalannya, merupakan jaminan dari metode ini bisa digunakan dalam suatu masalah nilai awal persamaan diferensial biasa linear orde pertama.
Penelitian ini melibatkan fungsi yang kontinu [ serta masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial bisa dilakukan iterasi dan diketahui hampiran dari solusi umumnya. Kemudian syarat cukup | | | | didefinisikan ke dalam definisi Lipschitz yang membantu menjamin keberadaan iterasi Picard dengan bentuk iterasinya ∫ ( ) . Hasil dari
iterasi dari adalah suatu deret pangkat eksponensial yang nantinya akan konvergen ke batas atas untuk suatu dan
m dengan . Selanjutnya dengan teorema ketaksamaan Gronwall, dapat diperoleh sifat ketunggalan dari iterasi Picard terhadap persamaan
diferensial biasa linear orde pertama.
Dari penelitian tersebut, syarat cukup dari suatu persamaan diferensial bisa digunakan iterasi Picard ialah harus mempunyai masalah nilai awal dan fungsi yang kontinu [ . Kemudian bahwa iterasi Picard menjamin suatu adanya solusi umum dari suatu persamaan diferensial biasa linear orde pertama dengan solusi hampiran yang berupa deret pangkat eksponensial.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Hadimulyo, Kecamatan Metro Pusat, Kota Metro pada
tanggal 29 April 1993, dan merupakan anak bungsu dari 3 bersaudara, anugerah
cinta dari pasangan Bapak Hi. Hidayat dan Ibu Hj. Sri Sumarni
Penulis menyelesaikan pendidikan di Taman Kanak-Kanak Dharma Wanita pada
tahun 1999/2000, Sekolah Dasar Negeri 4 Kota Metro pada tahun 2004/2005,
Sekolah Menengah Pertama Negeri 6 Kota Metro pada tahun 2007/2008, Sekolah
Menengah Atas Muhammadiyah 1 Kota Metro pada tahun 2010/2011.Selanjutnya
pada tahun 2011 penulis mengikuti Seleksi Penerimaan Mahasiswa Perluasan
Akses Pendidikan (PMPAP) dan berhasil diterima sebagai mahasiswa di
Universitas Lampung Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama menjadi mahasiswa penulis aktif diberbagai organisasi kampus
diantaranya pernah menjadi anggota muda HIMATIKA tahun 2011-2012,
Anggota muda ROIS FMIPA tahun 2011-2012, Anggota Bidang Dana dan Usaha
HIMATIKA tahun 2012-2013, Kepala Biro Sosial Budaya Masyarakat (SBM)
Rois FMIPA Unila tahun 2013/2014, Anggota Bidang Keilmuan HIMATIKA
vi
Selanjutnya sebagai bentuk pengabdian mahasiswa dan menjalankan Tri Dharma
Perguruan Tinggi penulis telah mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) yang
merupakan mata kuliah wajib untuk strata satu di Desa Adiluwih Kecamatan
Kalirejo, Kabupaten Pringsewu, Lampung Tengah yang dilaksanakan pada
tanggal 23 Januari 2013 sampai dengan tanggal 4 Maret 2013.
Sebagai bentuk penerapan pada bidang lmu yang telah dipelajari, pada bulan
Agustus 2014, penulis melaksanakan kegiatan Kerja Praktek (KP) di Kantor
Moto
-(
Qur’a Al
-Alaq : 1)-
Bacalah, dengan menyebut Nama Rabbmu...
-(Uzumaki Naruto)-
attebayo! Bel eve t!
-(Beswan Djarum)-
Normal Bor g!!
-(Descartes)-
PERSEMBAHAN
Alhamdulillahirabbil’alamin, syukur yang indah kuucapkan kepada
ALLAH Rabbul Ta’ala, atas ridhoNYA skripsi ini dapat terselesaikan, atas
ridhoNYA diberikan segala kemudahan, dan atas ridhoNYA pula akan
didatangkan suatu kemanfaatan.
Dengan segala kerendahan hati, kupersembahkan sebuah karya kecil
ini untuk orang-orang yang kusayangi, orang-orang yang
menyemangati tanpa henti, menemani serta mendoakan dengan ikhlas
tanpa pamrih.
Untukmu BAPAK (Hi. Hidayat) dan IBU (Hj. Sri Sumarni) tersayang
yang menjadi kebahagiaan serta motivasi terbesar dalam menyelesaikan
studiku. Kepada Mamas-mamasku, Mas Arif Fatkhurrrohman dan Mas
Habib A’maludin serta saudara-saudaraku, bentuk perhatian,
pengertian, doa, semangat, dan bantuannya, terima kasih untuk
segalanya. Kepada teman-teman Rois FMIPA Unila, Beswan Djarum,
Matematika 2011, kontrakan Anti-Galau, serta Almamater tercinta
Universitas Lampung, semangat serta keceriaan kalian semuanya
menjadi peneambah kekuatan semangat dalam hidup.
SANWACANA
Alhamdulillahirabbil’alamin, rasa syukur yang indah hanya milik Allah SWT,
karena atas rahmat dan ridho–Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Shalawat dan salam selalu tercurah kepada junjungan Nabi Agung Muhammad
SAW, yang menjadi teladan dan membawa pada Cahaya Islam.
Dalam proses penyelesaian skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu penulis
dalam memberikan bimbingan, dorongan, dan saran-saran. Sehingga dengan
segala ketulusan dan kerendahan hati pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si., selaku pembimbing utama yang telah bersedia
memberi saran, bimbingan serta meluangkan waktu kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku pembimbing kedua, yang tlah
memberikan bimbingan, saran,motivasi dan bantuannya selama penulis
menyelesaikan skripsi ini.
3. Bapak Drs. Suharsono S, M.S, M.Sc., Ph.D., selaku penguji utama yang telah
banyak memberikan saran dan petunjuk serta kemurahan hatinya dalam
penyelesaian akhir penulisan skripsi ini.
4. Bapak Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
x
5. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku Pembimbing Akademik yang telah penulis
anggap sebagai “bapak” di kampus yang selalu memberikan motivasi, saran,
semangat serta humor beliau yang banyak membantu penulis selama dalam
masa perkuliahan.
6. Bapak Drs. Suharso Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
7. Dosen, staf dan karyawan jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu
pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis.
8. Ibu serta Bapakku tercinta, terkasih dan tersayang atas segala pengorbanan,
perhatian serta yang selalu membantu memberi semangat dan mendoakan
penulis setiap waktu.
9. Mamas serta saudara-saudaraku atas bantuan, dukungan serta motivasiyang
selalu bersama.
10.Masashi Kishimoto serta manganya “Naruto Shippuden” yang telah
memberikan anime inspiratif bagi penulis hingga saat ini.
Otsukaresamadeshita-sensei!
11.Dias, Asmawi, Sepria, Wahyu, Kak Udin, Irul, serta Sigit, bro keren satu
kontrakan yang memberi suasana kekeluargaan.
12.Annastasia Nika Susanti yang telah banyak membantu penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
13.Untuk teman-teman Rois FMIPA Unila atas pengertian dan kebaikan yang
diberikan, sampai kapanpun lillahirabbil’alamin. Jazakumullah khairan wa
xi
14.Keluarga besar Matematika 2011 serta HIMATIKA atas kebersamaan dan
keceriaannya selama ini, semoga terjalin sampai kapanpun, unforgettable
guys.
15.Andre, Gusmau, Muflikha, Rifka, Vianna, Qori, serta Sartika selaku member
Beswan Djarum DSO Lampung 2013/2014, amazing you’re!!
16.Teman-teman Beswan Djarum tahun 2013/2014 seluruh Indonesia dan
Djarum Foundation yang telah memberikan pengalaman serta penanaman soft
skill yang luar biasa dan bisa penulis rasakan manfaatnya hingga saat ini.
17.Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini,
yang tidak dapat penulis sebut kan satu persatu.
Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat meyadari bahwa skripsi ini masih
jauh dari sempurna, karena itu segala kritik dan saran yang membangun
senantiasa penulis harapkan.
Penulis berharap semoga Allah Ta’ala membalas kebaikan mereka dan semoga
laporan ini nantinya bermanfaat bagi penulis dan seluruh pembaca.
Bandar Lampung, Februari 2015
Penulis
DAFTAR ISI
halaman
ABSTRAK ... i
HALAMAN JUDUL ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
RIWAYAT HIDUP ... v
MOTTO ... vii
PERSEMBAHAN ... viii
SANWANCANA ... ix
DAFTAR ISI ... xii
I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakangdan Masalah ... 1
1.2. TujuanPenelitian... 2
1.3. Manfaat Penelitian... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial ... 4
xiii
2.3 Persamaan Diferensial Biasa Linear ... 5
2.4 Derajat Persamaaan Diferensial Biasa ... 5
2.5 Orde ... 6
2.6 Persamaan Diferensial Biasa Orde Pertama ... 6
2.7 Lipschitz ... 6 4.1 Teorema masalah nilai awal Lipschitz ... 12
4.2 Keberadaan iterasi Picard ... 13
4.3 Ketaksamaan Gronwall ... 20
4.4 Ketunggalan Iterasi Picard ... 23
4.5 Penerapan Iterasi Picard pada PDB orde pertama ... 27
V. KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan... 35
5.2 Saran ... 36
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Matematika adalah suatu bidang ilmu yang disebut-sebut sebagai “Mother of
Science” karena dalam setiap bidang ilmu pengetahuan alam yang lain seperti
kima, fisika, komputer, dan biologi selalu ada matematika sebagai alat bantu. Oleh
karena itu, matematika menjadi bidang yang memiliki kajian yang luas. Salah satu
kajian dalam matematika adalah persamaan diferensial.
Dalam perkembangannnya, persamaan diferensial sangat berguna untuk
menyelesaikan aplikasi dalam bidang eksakta, misalnya pada bidang Fisika.
Banyak sekali cabang ilmu Fisika yang menerapkan konsep ilmu dasar persamaan
diferensial, seperti pada bidang hidrodinamik, fluida, gaya, dan lain sebagainya.
Persamaan diferensial lahir pada tahun 1683 oleh Sir Issac Newton dalam analisis
Matematikanya, namun karena Newton tidak mempublikasikannya dengan baik,
sepuluh tahun kemudian atau tepatnya pada tahun 1693, Leibniz
mempublikasikan teorinya tentang persamaan diferensial yang di dalamnya juga
ada percobaan dari Newton yang ia gunakan.
Persamaan diferensial dalam matematika merupakan cabang ilmu yang membahas
tentang fungsi diferensial dari suatu fungsi kontinu. Banyak sekali metode dalam
menyelesaikan suatu permasalahan persamaan diferensial. Umumnya persamaan
diferensial diselesaikan dengan cara analitik seperti pemakaian transformasi
2
metode analitik sulit dilakukan sehingga alternatif pemecahan solusinya dilakukan
dengan cara metode numerik.
Banyak sekali metode pendekatan yang bersifat numerik yang bisa menyelesaikan
suatu persamaan diferensial, seperti metode Euler, deret Taylor, runge-kutta, dan
lainnya. Hanya saja metode-metode di atas, menyebabkan penyelesaian yang
dihasilkan bukanlah penyelesaian umum, namun penyelesaian khusus dengan nilai
awal yang ditentukan.
Untuk itulah ditemukan metode yang bisa melanjutkan permasalahan pada metode
di atas dengan cara menggunakan iterasi Picard. Metode merupakan hasil buah
pemikiran dari Emile Picard, Rudolf Lipschitz, Ernst Lindelof serta
Augustin-Louise Cauchy. Adapun metode ini menggunakan masalah nilai awal (initial
value problem) dari suatu persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial orde
pertama. Metode ini menerapkan sistem deret pada setiap solusinya. Untuk itulah,
terlebih dahulu diteliti mengenai keberadaan dan ketunggalan dari iterasi Picard
tersebut. Karena bila diketahui dari metode iterasi Picard ada serta tunggal maka
bisa membantu mencari solusi umum dari suatu persamaan diferensial orde
pertama.
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini diantaranya :
1. Mengetahui metode iterasi Picard di dalam persamaan diferensial linier
biasa orde pertama
2. Mencari keberadaan dari metode iterasi Picard di dalam suatu persamaan
3
3. Menganalisis ketunggalan dari metode iterasi Picard di dalam suatu
persamaan diferensial biasa linear orde pertama
4. Menggunakan penerapan metode iterasi Picard dalam pencarian solusi
suatu persamaan diferensial biasa linear orde pertama dengan masalah
nilai awalnya.
1.3 Manfaat Penelitian
1. Mengetahui keberadaan dari metode iterasi Picard di dalam persamaan
diferensial biasa linear orde pertama
2. Mengetahui ketunggalan dari metode iterasi Picard di dalam persamaan
diferensial biasa linear orde pertama
3. Mengetahui solusi dari suatu persamaan diferensial biasa linear orde
II. TINJAUAN PUSTAKA
Untuk menuju ketahap pembahasan mengenai keberadaan dan ketunggalan dari
iterasi Picard di dalam persamaan diferensial orde pertama, perlu diketahui
beberapa bagian dari persamaaan diferensial itu sendiri serta definisi
pendukungnya. Oleh karena itu, dalam bagian ini akan diberikan konsep yang
mendukung yakni definisi persamaan diferensial, defnisi Lipschitz, ketaksamaan
Gronwall, metode iterasi Picard, serta barisan dan deret yang menjadi hasil dari
iterasi Picard itu sendiri.
Berikut ini diberikan beberapa definisi yang digunakan dalam penelitian.
2.1 Persamaan Diferensial Definisi 2.1
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang
dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya, dan diketahui
jumlah serta fungsinya (Birkhoff, 1978).
Contoh 2.1
( )
( )
5 Persamaan diferensial dalam penelitian kali ini ialah jenis persmaan diferensial
biasa orde pertama. Untuk definisi selanjutnya akan menjelaskan terkait
persamaan diferensial biasa dan definisi orde dari suatu persamaan diferensial.
2.2 Persamaan Diferensial Biasa
Suatu persamaan diferensial yang mempunyai turunan hanya tergantung pada satu
variabel bebas, maka persamaan diiferensial tersebut dikatakan persamaan
diferensial biasa (PDB) (Dafik, 1999).
Contoh 2.2
1.
2.
2.3Persamaan Diferensial Biasa Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara
varibel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya. Dengan kata lain, semua
koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. (Nugroho, D.B, 2011: 3)
2.4Derajat Persamaaan Diferensial Biasa
Derajat (degre) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari suku derivatif
tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. (Nugroho, D.B, 2011: 2)
1.
6 2.5Orde
Tingkat (order) dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari
derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. (Nugroho, D.B,
2011: 2)
Contoh 2.3
1. merupakan PD tingkat 1
2.
merupakan PD tingkat 3
2.6Persamaan Diferensial Biasa Orde Pertama
Suatu persamaan diferensial biasa ordo satu adalah suatu persamaan yang memuat
satu variabel bebas, biasanya dinamakan x, satu variabel tak bebas, biasanya
dinamakan y, dan derivatif
. Suatu persamaan diferensial biasa ordo satu
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan adalah fungsi kontinu pada x dan y (Dafik, 1999).
2.7 Lipschitz
Suatu fungsi ) dikatakan memenuhi syarat Lipschitz dalam variabel y dalam
suatu domain jika ada konstanta sedemikian sehingga
| | | |
untuk sebarang Selanjutnya konstanta L disebut konstanta
7
2.9. Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)
Secara umum, problem persamaan diferensial biasa selalu melibatkan nilai awal
(initial-value), yang dapat ditulis sebagai berikut
dengan kondisi awal dapat disebut sebagai masalah nilai awal (initial
value problem) (Verner, 2010).
2.10 Iterasi Picard
Dalam metode iterasi atau proses iteratif, proses dimulai dari dengan aproksimasi
untuk suatu akar / solusi dan dari hasil tersebut dilakukan aproksimasi
sebelum demikian seterusnya (Zakaria, 2006).
Adapun metode iterasi Picard digunakan untuk penyelesaian secara hampiran
persamaan diferensial dengan nilai awal
8 ∫ ( )
bila disubsitusikan nilai ke dalam bentuk persamaan di atas, didapat
hasil dari solusi
∫ ( )
Kemudian subsitusikan hasil dari ke dalam persamaan sebelumya dengan
langkah yang sama diperoleh yaitu
∫ ( )
Hingga langkah ke-n, didapat suatu fungsi hampiran yaitu
∫ ( )
Langkah ini mendapatkan barisan hampiran
(Sutrisno, 2013).
2.11 Barisan
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan
dengan range dalam (Riyanto, 2009).
Contoh :
1. Barisan (xn) dengan (xn) = adalah barisan -1,1,-1,1,-1,1... ,...
9 2.12 Deret
Jika barisan di , maka deret tak berhingga (cukup disebut deret) yang
dibentuk barisan yang didefinisikan dengan
disebut suku dari deret dan disebut jumlahan partial (partial sum). Jika limS
ada, maka deret dikatakan konvergen, dan nilai limitnya adalah hasil jumlahan
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu Dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2014/2015 di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Pada penelitian ini metode yang digunakan adalah studi literatur. Pada tahap
pertama adalah mendefinisikan suatu iterasi picard pada persamaan diferensial
biasa linear orde pertama. Kemudian hasil dari iterasi Picard yang berbentuk deret
yang sudah ada, diambil deret n+1 dan n. Selanjutnya dengan menggunakan
definisi Lipschitz, akan diperoleh selisih dari deret n+1 dan n. Kemudianakan
ditunjukan keberadaan dari iterasi Picard pada persamaan diferensial biasa linear
orde pertama dengan menemukan adanya nilai dari limit deret tak hingga pada
iterasi Picard. Selanjutnya, akan ditunjukkan pembuktikan teorema ketaksamaan
Gronwall yang menjadi alat untuk membuktikan ketunggalan dengan
menggunakan iterasi Picard. Kemudian dengan deret iterasi Picard,diambil hasil
iterasi dan dengan adalah hasil iterasi lain yang juga dibatasi
11
Karena dua solusi tersebut adalah fungsi integral pada interval [ ] maka
solusi tersebut kontinu pada [ ]. Kemudian dengan menggunakan akibat
dari teorema ketaksamaan Gronwall dan definisi Lipschitz, akan ditunjukan
bahwa dari iterasi Picard pada persamaan diferensial biasa linear orde pertama
adalah tunggal. Setelah keberadaan dan ketunggalan iterasi Picard diketahui, maka
akan diterapkan metode iterasi Picard dalam pencarian solusi salah satu
persamaan diferensial biasa linear orde pertama. Hal ini dikarenakan, metode ini
harus memiliki fungsi persamaan diferensial tertentu agar solusi yang dihasilkan
(hampiran) bisa diketahui dengan baik dengan masalah nilai awal yang sudah
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dikaji sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa :
1. Metode iterasi Picard terhadap persamaan diferensial orde pertama ialah
∫ ( )
dengan adalah nilai awal persamaan diferensial orde pertama.
2. Keberadaan iterasi Picard ditentukan oleh syarat cukupnya yaitu
a) Persamaan diferensial harus kontinu di selang tertutup [
b) Memenuhi definisi Lipschitz dengan persamaan
| | | |
dengan dimana dan konstanta .
3. Iterasi Picard dari PDB linear orde pertama ialah tunggal, terbatas diatas
oleh dengan dan | | sehingga
iterasi konvergen.
4. Setiap hasil iterasi Picard dalam PDB linear orde pertama untuk suatu
36 5.2 Saran
1. Keberadaan dan ketunggalan PDB linear orde kedua, ketiga, dan
seterusnya.
2. Bentuk solusi akhir dari iterasi Picard pada PDB linear orde kedua, ketiga,
dan seterusnya.
DAFTAR PUSTAKA
Birkhoff, G. and Rota, G. C. 1978. Ordinary Differential Equations. 3rd Edition. John Wiley & Sons, Inc., USA.
Dafik. 1999. Persamaan Diferensial Biasa : Masalah Nilai Awal dan Batas.
Universitas Jember, Jawa Timur.
Deo, S.G. and Raghavendra, V. 1980. Ordinary Differential Equations and Stability Theory. Tata McGraw-Hill Publishing Company, New Delhi.
Nugroho, D.B. 2011. Persamaan Diferensial dan Aplikasinya. Graha Ilmu. Jakarta.
Rao, K.S. 2001. Numerical Methods for Scientists and Engineers. Jay Print Pack Private Limited, New Delhi.
Sutrisno, A. 2013. Prosiding Semirata FMIPA Unila : Keujudan dan Ketunggalan Solusi dari Iterasi Picard. Universitas Lampung, Lampung.
Verner, J.H. 2010. Numerically Optimal Range-Kutta Pairs with Interpolants.
Pearson Education, Inc., USA.
