faktor kepastian dan ketidakpastian. Secara umum logika fuzzy dapat menangani

M

CO

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Logika Fuzzy

Logika fuzzy atau sering dikenal sebagai logika kabur merupakan turunan

dari kecerdasan buatan, yang secara fungsi merupakan unit pemrosesan dengan

faktor kepastian dan ketidakpastian. Secara umum logika fuzzy dapat menangani

faktor ketidakpastian secara baik sehingga dapat diimplikasikan pada proses

pengambilan keputusan. Logika fuzzy berhubungan dengan deskripsi karakteristik

dari suatu objekyang digunakan, kebanyakan dari deskripsi objek tersebut berasal dari fakta-fakta yang telah ada.

Logika fuzzy adaiah suatu cara yang tepat untuk memetakan ruang input kedalam suatu ruang output [KUSO1 ]. Konsep ini diperkenalkan dan

dipublikasikan pertama kali oleh Lothfi A. Zadeh, seorang professor dari

university of California di Berkeley pada tahun 1965. Konsep logika kabur ini berbeda dengan analisa metode tradisional yang masih menggunakan teknik metode numerik atau matematis dalam memecahkan masalah. Logika fuzzy menggunakan ungkapan bahasa untuk menggambarkan nilai variabel. Logika fuzzy bekerja dengan menggunakan derajat keanggotaan dari sebuah nilai yang kemudian digunakan untuk menentukan hasil yang ingin dihasilkan berdasarkan

atas spesifikasi yang telah ditentukan. Telah disebutkan sebelumnyabahwa logika

fuzzy memetakan ruang input ke ruang output. Diantara keduanya ada suatu kotak hitam yang akan bekerja untuk menghasilkan output.

Salah satu cara yang mungkin masuk kedalam kotak hitam tersebut adaiah

fuzzy system. Fuzzy system adaiah sistem yang dibangun berdasarkan aturan-aturan (pengetahuan) yang berupa koleksi aturan-aturan IF-THEN (JIKA-MAKA).

Alasan mengapa menggunakan fuzzy system, yaitu:

1. Pada kenyataannya banyak hal di dunia ini yang bersifat kompleks.

2. Pengetahuan dan pengalaman manusia menjadi sangat diperlukan dalam

menyelesaikan masalah tersebut.

3. Perlu suatu teori yang mampu merumuskan pengetahuan dan pengalaman manusia kedalam bentuk matematis.

4. Fuzzy system akan melakukan transformasi dari pengalaman dan pengetahuan manusia kedalam bentuk matematis.

2.1.1 Ukuran Fuzzy

Teori himpunan fuzzy akan memberikan jawaban terhadap suatu masalah

yang mengandung ketidakpastian. Pada beberapa kasus khusus, seperti nilai

keanggotaan yang kemudian akan menjadi 0 atau 1, teori dasar tersebut akan identik dengan teori himpunan biasa, dan himpunan fuzzy akan menjadi himpunan crisp tradisional. Dalam menyelesaikan kasus-kasus khusus tersebut, yang menjadi ukuran adaiah sebagai berikut [KUS02]:

I. Ukuran fuzzy (fuzzy measure)

Ukuran fuzzy menunjukkan derajat kekaburan dari himpunan fuzzy. Secara umum ukuran kekaburan dapat ditulis sebagai suatu fungsi:

dengan P(X) adaiah himpunan semua subset dari X. f(A) adaiah suatu fungsi

yang memetakan subset A ke karakteristik derajat kekaburan. Dalam mengukur nilai kekaburan, fungsi f harus mengikuti hal-ha! sebagai berikut:

a. f(A) = 0, jika dan hanya jika A adaiah himpunan crisp..

b. Jika A < B, maka f(A) < f(B). Dalam hal ini, A < B berarti B lebih kabur

dibanding A atau A lebih tajam dibanding B. Relasi ketajaman A < B didefinisikan dengan:

Ma M - u M* Jika Mb M ^ °>5

juA [x] > u [x], jika fiB [x] > 0,5

c. f(A) akan mencapai maksimum jika dan hanya jika A benar-benar kabur secara maksimum.Tergantung pada interpretasi derajat kekaburan, nilai fuzzy maksimal biasanya terjadi pada saat /uR [x] = 0,5

untuk setiap x. 2. Indeks kekaburan

Indeks kekaburan adaiah jarak antara suatu himpunan fuzzy A dengan himpunan crisp C yang terdekat. Himpunan crisp C yang terdekat dari himpunan fuzzy A dinotasikan sebagai fic [x] = 0, jika fiA [x] < 0,5 dan juc [x] = 1, jika /y^ [x] > 0,5. Ada 3 kelas yang paling senng digunakan dalam

mencari indeks kekaburan, yaitu [KUS02]:

a. Hamming distance

f(A) =]T | fiA [x] - juc [x] \ atau

b. Euclidean distance

f(A) ={^[MaM-McM]2)'2

12.2]

c. Minkowski distance

f{A) = &[fiA[x]-nc[x]r)h*

[2.3]

dengan wc [1,~] 3. Fuzzy entropy

Fuzzy entropy didefinisikan dengan fungsi:

f{A) =~YJ{M.Jx]\ogMAMH^MA^og\\-^M]}

[2.4]

4. Ukuran kesamaan (similarity measure)

Ukuran kesamaan digunakan untuk menunjukkan derajat perbedaan antara 2

himpunan fuzzy.

Perbedaan antara premis suatu aturan dengan input fuzzynya kemudian dapat digunakan untuk menentukan nilai a pada suatu aturan.

2.2 Fuzzy Clustering

Fuzzy Clustering adaiah salah satu teknik untuk menentukan cluster optimal dalam suatu ruang vektor didasarkan pada bentuk normal Euclidean untuk jarak antar vektor [KUS02]. Cluster dikatakan fuzzy jika tiap-tiap objek dihubungkan dengan menggunakan derajat keanggotaan (bukan dengan keanggotaan crisp). Sebagai contoh suatu daerah akan masuk daerah cluster P tergantung pada seberapa derajat keanggotaannya terhadap data yang dimasukkan. Pada prakteknya, biasanya perlu dilakukan preprocessing terlebih dahulu. Akan lebih menguntungkan apabila data yang akan diolah dalam keadaan normal, misalkan

berada pada interval [0 1]. Dengan demikian perlu dilakukan normalisasi untuk

suatu nilai x, menjadi x normal (x) dengan rumus :

x= X~Xmm

[2.5]

x — X

m a x m m

dengan xmiti adaiah nilai terkecil yang terukur dan xmax adaiah nilai terbesar yang

terukur.

Dengan melakukan standarisasi, dapat mentransformasikan nilai rata rata {mean) tiap variabel menjadi 0 dan deviasi standar menjadi 1. jika data terdistribusi normal dengan mean m dan deviasi standar a, maka akan didapatkan

nilai standar:

-v = [2.6]

<j

Juga perlu dilakukan penskalaan nilai pada interval tertentu. Apabila penskalaan dilakukan secara linier pada interval [xxx2 ], maka :

x = ~{x2 -X\) + X\ [2.7]

x2 —xi

Setelah melakukan preprocessing, variabel variabel yang relevan dapat segera diplih, untuk sekumpulan data x = {xx,x2,....,xtl) dapat dicari :

1 ;V a. Mean : m~—Vjc, 12.8] 1 'V b. Variansi : v = ^ (x, -m)2 [2.9] N-\t( '

c. Deviasi Standar : a - Vv

[2.10]

d- Kange : s^xmax-xmm [2.11]

11

Yd(xl -m^iyj ~m2)

e. Koefisen Korelasi: r = ,=1 = [2.12]

;-l i-l

Dengan m, adaiah mean dari X dan m2 adaiah mean dan Y. Koefisien korelasi

akan bernilai pada interval [-1 I]. Jika r = -1, berarti ada korelasi negatif yang

kuat antara X dan Y. Jika r = 1, berarti ada korelasi positif yang kuat antara X dan

Y. Namun jika r = 0, berarti tidak ada korelasi antara X dan Y. Dua variabel yang

terkorelasi kuat mengindikasikan bahwa keduanya tergantung secara linier, Jika dua variabel tergantung secara linier berarti terjadi redundancy (ketidak perluan).

Sehinga jika hal ini terjadi, cukup dipilih salah satu variabel saja.

Fuzzy Clustering sangat berguna bagi pemodelan fuzzy terutama dalam mengidentifikasikan aturan aturan fuzzy. Pada dasarnya dalam clustering terdapat beberapa teknik untuk pengclusteran yaitu : fuzzy C-means (FCM), mountain clustering dan subtractive clustering. Dalam hal ini kita akan membahas metode fuzzy C-Means.

2.3 Fuzzy C-Means

Fuzzy C-Means adaiah suatu teknik pengclusteran data dimana keberadaan

tiap-tiap titik data dalam suatu cluster ditentukan oleh derajat keanggotaan [KUS02]. Fuzzy C-Means adaiah aigoritma pengclusteran yang terawasi, karena pada aigoritma fuzzy c-means jumlah cluster yang akan dibentuk perlu diketahui terlebih dahulu. Teknik ini pertama kali diperkenalkan oleh J. C. Bezdek pada tahun 1981, konsep dasar aigoritma fuzzy c-means adaiah menentukan pusat

12

cluster yang akan menandai lokasi rata-rata untuk tipa-tiap cluster. Pada kondisi

awal, pusat cluster ini masih belum akurat. Tiap-tipa titik data mcmiliki derajat

keanggotaan untuk tiap-tiap cluster. Dengan cara memperbaiki pusat cluster dan

derajat keanggotaan tiap-tiap titik data secara berulang-ulang, maka didapat lokasi

pusat cluster optimal. Perulangan ini didasarkan pada minimasi fungsi obyektif

yang menggambarkan jarak dari titik data yang diberikan ke pusat cluster yang

terbobot oleh derajat keanggotaan titik data tersebut.

Output dari fuzzy c-means bukan merupakan fuzzy inference system, namun merupakan deretan pusat cluster dan beberapa derajat keanggotaan untuk

tiap-tiap titik data. Informasi ini dapat digunakan untuk membangun suatu fuzzy

inference system.

Apabila terdapat suatu himpunan data {input atau output data dari sistem fuzzy) sebagai berikut:

X = (x!jx2, X3,...,XN)

Derajat keanggotaan suatu titik data ke-k di cluster ke-i adaiah : Mik(xk) e [0, 1] dengan ( 1< i < c; 1 <k < N)

Pada metode fuzzy c-means, matrik partisi didefinisikan sebagai :

M-f (c) =

M2[*2] M22[X2]- MC2[X2]

M\N[Xk\ ^vkv]'" MA**]

.[2. 13] dengan

£

fiik^l

[2.14]

i - i

13

yang berarti bahwa jumlah nilai keanggotaan suatu data pada semua cluster harus

sama dengan 1.

Fungsi obyektifiterasi ke-t P (c) pada matriks partisi adaiah :

,Y c

Pt(c)=XZ (H ikf I*- vii I

[2-15]

k = i i = I

dengan vfi adaiah pusat vektor pada cluster fuzzy ke-i

vf,= ^4

[2.16]

k = \

dan w adaiah bobot pada nilai-nilai keanggotan, |xk - vr | adaiah bentuk normal Euclidean yang digunakan sebagai jarak antara Xk dan Vf,.

2.3.1 Aigoritma FCM

Dalam aigoritma fuzzy c-means, input data yang akan dicluster berupa

matriks X berukuran n x m (n = jumlah sampel data dan m = atribut setiap data).

Xij = data sampel ke-i (i= 1,2, , n), atribut ke-j (j = 1,2,..., m). Aigoritma yang

akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan fuzzy clustering dengan menggunakan metode fuzzy c-means adaiah sebagai berikut:

1. Tetapkan

• Jumlah cluster = c

• Pangkat = w

• Maksimum iterasi = Maxlter

2.

3.

4.

• Fungsi obyek awal • Iterasi awal

Po = 0

t= I

Bangkitkan bilangan random p.^, dimana i = 1, 2, ... sebagai elemen-elemen matrik partisi awal ((if(0)).

Hitung jumlah setiap kolom (atribut):

c

Qj = Z^

t-=i

dengan j = 1, 2,..., m

Selanjutnya lakukan normalisasi pada Ujk

Hik

14

n ; k = 1, 2, ..., c

.[2. 17]

[2. 18]

dari setiap nilai u.,k yang terbentuk, kemudian disusun matrik partisi awal ^f (0) sebagai berikut:

iMc) =

Ank]

*J*i] .» Mc\Xi]

Mn[X2] M22[X2]-- MC2[X2]

Mvkv] M2y[Xx]•••

MAXA

•[2. 19]

Naikkan jumlah iterasi atau perulangan (t = t + 1).

Hitung pusat vektor tiap-tiap cluster untuk matriks partisi tersebut sebagai

berikut:

2>.)"

x,, Vfi = k = i k = \ .[2. 20] Dengan :

u.lk = derajat keanggotaan titik ke-k di cluster ke-i w = pangkat pembobot

x = data masukan ke-k

Modifikasi tiap-tiap nilai keanggotaan sebagai berikut

Jikaxk^ Vfi Mik 1' i

Ik

-v.r H'-l _>' = '

I

k = \ m . . 7 = 1 vi ~\ Jika Xk = Vfi Mik(Xk) = l,jikai = g; M,k(xk)^0,jikai^g dengan:

x,j : Sampel data ke-i, atribut ke-j Vkj : Pusat vektor ke-k untuk atribut ke-j

w : Pangkat pembobot

Modifikasi matriks partisi sebagai berikut:

JLif(c) =

A,k]

*J*il .» Mn[x>]

Mn[X2] M22[X2]- Mc2[X2}

A.vfe] MiAxA- mAxn]

15

[2.21]