METODE ITERASI KELUARGA CHEBYSHEV-HALLEY UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR
Yuli Syafti Purnama1∗
1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗yulisyafti@gmail.com
ABSTRACT
This article discusses the family of Chebyshev-Halley iterative method with two parameters obtained through a linear combination of the Newton methods with one parameter. Analytically it is shown that this method of order three for any value of the two parameters. If the value of the first parameter is equal one and the value of the second parameter can be determined appropriately, so that this method is of order four. Furthermore, the computational test shows that the discussed method is better than Chebyshev method, Halley method and Super Halley method in terms of the error produced in obtaining the estimated root.
Keywords: Newton method, Chebyshev-Halley method, order of convergence,
non-linear equation.
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode iterasi keluarga Chebyshev-Halley dengan dua pa-rameter yang diperoleh melalui kombinasi linear dari dua metode Newton dengan satu parameter. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode ini berorde tiga untuk sebarang nilai dari kedua parameter. Jika dipilih nilai perameter pertama sama dengan satu dan nilai parameter kedua ditentukan dengan tepat, maka metode ini berorde empat. Selanjutnya dari uji komputasi terlihat bahwa metode yang didiskusikan lebih baik dari pada metode Chebyshev, metode Halley dan metode Super Halley jika dilihat dari error metode dalam mendapatkan akar pendekatan.
Kata kunci: Metode Newton, metode Chebyshev-Halley, orde konvergensi,
per-samaan nonlinear.
1. PENDAHULUAN
Salah satu persoalan matematika yang sering dijumpai adalah bagaimana mene-mukan akar dari persamaan nonlinear yang dinyatakan dalam bentuk f (x) = 0. Tidak semua persamaan nonlinear dapat diselesaikan menggunakan metode anali-tik, oleh sebab itu penyelesaian dilakukan menggunkan metode numerik.
Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari per-samaan nonlinear, beberapa diantaranya adalah seperti metode Newton [2, h. 45] yang memiliki orde konvergensi dua dengan bentuk iterasi
xn+1 = xn−
f (xn)
f′(xn)
, n = 0, 1, 2, ...,
metode Chebyshev [7, h.88] yang memiliki orde konvergensi tiga dengan bentuk iterasi xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) ( 1 + Lf(xn) 2 ) , n = 0, 1, 2,· · · ,
metode Halley [7, h.86] yang memiliki orde konvergensi tiga dengan bentuk iterasi
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) ( 2 2− Lf(xn) ) , n = 0, 1, 2,· · · ,
metode Super-Halley [5] yang memiliki orde konvergensi tiga dengan bentuk iterasi
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) ( 1 + Lf(xn) 2(1− Lf(xn)) ) , n = 0, 1, 2,· · · , dengan Lf(xn) = f (xn)f′′(xn) f′(xn)2
, dan metode Chebyshev-Halley [4].
Pada artikel ini akan dibahas metode baru dengan memodifikasi metode Chebyshev-Halley dengan kekonvergenan orde tiga yang diperoleh dengan kombinasi linear dari dua metode Newton, yang bergantung pada parameter β dimana β ∈ R dan dapat ditulis sebagai
Gβ(x) = 1 2β [Nβ(x)− (1 − 2β) N0(x)] , (1) dimana Nβ(x) = x− f (x) f′(x) ( 1 1− βLf(x) ) , dan N0(x) = x− f (x) f′(x).
Sehingga diperoleh bentuk iterasi dari metode Chebyshev-Halley dengan kekonver-genan orde tiga tersebut adalah
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) ( 1 + 1 2 Lf(xn) 1− βLf(xn) ) , (2) dengan Lf(xn) = f (xn)f′′(xn) (f′(xn))2
. Apabila dipilih parameter tertentu pada per-samaan (2), yaitu β = 0, 1
sudah dikenal sebelumnya. Selanjutnya dengan memodifikasi persamaan (1) untuk mempercepat iterasi menuju akar atau memperkecil tingkat kesalahannya (error ) dengan dua parameter β yang berbeda yaitu β1 dan β2 sehingga diperoleh metode
Chebyshev-Halley dua paramater yang memiliki kekonvergenan paling sedikit orde tiga dan jika dipilih nilai β1 dan β2 yang tepat maka metode ini memiliki
kekonver-genan orde empat.
Artikel ini merupakan review dari artikel yang berjudul ”On the
Chebyshev-Halley Family of Iteration Function and the n-th Root Computation Problem”[4].
Pembahasan diawali dengan pendahuluan, dibagian kedua pembahasan tentang metode Chebyshev-Halley satu parameter, kemudian dibagian ketiga pembahasan tentang metode Chebyshev-Halley dua parameter beserta analisa kekonvergenan-nya dan dibagian empat melakukan uji komputasi.
2. METODE CHEBYSHEV-HALLEY SATU PARAMETER
Salah satu metode iterasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear f (x) = 0 adalah metode Chebyshev-Halley yang memiliki orde konvergensi tiga. Metode Chebyshev-Halley diperoleh dengan kombinasi linear dari dua metode Newton
N (x) = x− f (x)
f′(x). (3)
Misalkan β ̸= 0 dan diberikan Gβ(x) seperti pada persamaan (1). Selanjutnya ganti
f (x) pada persamaan (3) dengan f (x)
f′(x)β dengan β ∈ R, sehingga diperoleh
Nβ(x) = x− f (x) f′(x)β ( f (x) f′(x)β )′, (4)
kemudian dengan menggunakan turunan u
v diperoleh ( f (x) f′(x)β )′ = 1 (f′(x))β−1 − βf(x) f′′(x) (f′(x))β+1. (5)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), diperoleh
Nβ(x) = x− f (x) f′(x) ( 1 1− βLf(x) ) . (6)
Berdasarkan persamaan (4) dengan mengganti nilai β menjadi 0 diperoleh
N0(x) = x− f (x)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (6) dan (7) ke dalam persamaan (1) sehingga diperoleh Gβ(x) = x− f (x) f′(x) ( 1 + 1 2 Lf(x) 1− βLf(x) ) . (8)
Berdasarkan persamaan (8) diperoleh bentuk iterasi dari metode Chebyshev-Halley adalah sebagai berikut
xn+1 = xn− f (xn) f′(xn) ( 1 + 1 2 Lf(xn) 1− βLf(xn) ) , (9) dengan Lf(xn) = f (xn)f′′(xn) (f′(xn))2 .
Metode Chebyshev-Halley pada persamaan (9) memiliki orde konvergensi tiga [4]. Selanjutnya perhatikan kembali persamaan (9). Jika diambil tiga variasi nilai yang berbeda untuk parameter β, misalkan β = 0, β = 1
2, dan β = 1 maka akan diperoleh metode iterasi lainnya sebagai berikut:
• untuk β = 0, maka akan dipeoleh metode Chebyshev, • untuk β = 1
2, maka akan dipeoleh metode metode Halley,
• untuk β = 1, maka akan dipeoleh metode metode Super Halley.
3. METODE CHEBYSHEV-HALLEY DUA PARAMETER
Selanjutnya perhatikan kembali persamaan (1). Jika diambil dua nilai berbeda dari parameter β, misalkan β1 dan β2 dimana β1, β2 ∈ R\{0}, β1 ̸= β2 dan berdasarkan
kombinasi linear
Gβ1,β2(x) =
1 2(β2− β1)
((1− 2β1)Nβ2(x)− (1 − 2β2)Nβ1(x)) (10)
dimana Nβ1 dan Nβ2 adalah metode Newton dengan parameter β1 dan β2 seperti
pada persamaan (6), yaitu
Nβ1(x) = x− f (x) f′(x) ( 1 1− β1Lf(x) ) , (11) dan Nβ2(x) = x− f (x) f′(x) ( 1 1− β2Lf(x) ) . (12)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (11) dan (12) ke persamaan (10) diperoleh Gβ1,β2(x) = x− f (x) f′(x) ( 1 − ( (β1+ β2)− 1 2 ) Lf(x) 1− (β1+ β2)Lf(x) + β1β2L2f(x) ) . (13)
Persamaan (13) disebut metode Chebyshev-Halley dua parameter. Bentuk iterasi dari persamaan (13) adalah sebagai berikut
xn+1= xn− f (xn) f′(xn) ( 1− ( (β1+ β2)− 1 2 ) Lf(xn) 1− (β1+ β2)Lf(xn) + β1β2L2f(xn) ) , (14) dengan Lf(xn) = f (xn)f′′(xn) (f′(xn))2 , β1, β2 ∈ R\{0}, β1 ̸= β2.
Analisa Kekonvergenan Metode Chebyshev-Halley Dua Parameter
Teorema 1 Misalkan α ∈ I adalah akar sederhana dari fungsi f : I → R yang
terdiferensialkan secukupnya untuk interval buka I. Jika x0 cukup dekat ke α, maka
orde konvergensi dari metode Chebyshev-Halley dua parameter yang didefinisikan oleh persamaan (14) mempunyai orde konvergensi tiga. Apabila dipilih nilai β1 = 1
dan β2 = 1 2 c3 c2 2
maka metode Chebyshev-Halley dua parameter mempunyai orde konvergensi empat.
Bukti: Misalkan α adalah akar sederhana dari f (x) = 0 maka f (α) = 0, dan f′(α) ̸= 0. Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor, untuk f(xn) disekitar
xn = α sampai orde ke empat diperoleh
f (xn) = f (α) + f′(α) (xn− α) 1! + f ′′(α)(xn− α)2 2! + f ′′′(α)(xn− α)3 3! + f′′′′(α)(xn− α) 4 4! + O(e 5 n). (15)
Karena f (α) = 0 dan en= xn− α, maka persamaan (15) dapat ditulis menjadi
f (xn) = f′(α)en+ f′′(α) e2n 2! + f ′′′(α)e3n 3! + f ′′′′(α)e4n 4! + O(e 5 n), atau f (xn) = f′(α) ( en+ f′′(α) 2!f′(α)e 2 n+ f′′′(α) 3!f′(α)e 3 n+ f′′′′(α) 4!f′(α)e 4 n+ O(e5n) ) , (16) dengan memisalkan ck= f(k)(α)
k!f′(α), k = 2, 3, ..., maka persamaan (16) menjadi
f (xn) = f′(α) ( en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n+ O(e 5 n) ) . (17)
Selanjutnya dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk f′(xn) disekitar xn = α, setelah dilakukan penyederhanaan maka diperoleh
f′(xn) = f′(α) ( 1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ O(e 4 n) ) , (18)
dan (f′(xn))2 = (f′(α))2(1 + 4c2en+ ( 4c22+ 6c3 ) e2n+ (12c2c3+ 8c4) e3n +(16c2c4+ 9c23 ) e4n+ O(e4n)). (19) Kemudian dengan cara yang sama digunakan ekspansi Taylor untuk f′′(xn) disekitar
xn = α, diperoleh f′′(xn) = f′(α) ( 2c2+ 6c3en+ 12c4e2n+ O(e 3 n) ) . (20)
Selanjutnya dari persamaan (17) dan (18) diperoleh
f (xn) f′(xn) = en+ c2e 2 n+ c3e3n+ c4e4n+ O(e5n) 1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ O(e4n) . (21)
Kemudian dengan menggunakan deret geometri, untuk r = 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+
O(e4
n), sehingga setelah disederhanakan persamaan (21) menjadi,
f (xn) f′(xn) = en− c2e 2 n+ 2 ( c22− c3 ) e3n+(−4c32+ 7c2c3 − 3c4 ) + O(e5n). (22)
Maka Lf(xn) yang ditunjukkan oleh persamaan (14) dapat ditulis dalam bentuk
Lf(xn) = 2c2en+ ( 6c3− 6c22 ) e2n+(16c32− 28c2c3+ 12c4 ) e3n +(−40c42+ 100c22c3− 30c32− 50c2c4 ) e4n+ O(e5n), (23) dan L2f(xn) = 4c22e 2 n+ (+24c2c3− 24c32)e 3 n+ (36c 2 3+ 100c 4 2− 184c 2 2c3+ 48c2c4)e4n + O(e5n). (24) Sehingga 1− ( (β1+ β2)− 1 2 ) Lf(xn) = 1 + (−2β2c2− 2β1c2+ c2)en+ (6β1c22 − 6β1c3− 6β2c3+ 6β2c22− 3c 2 2 + 28β1c2c3+ 3c3)e2n+ (6c4− 16β1c32+ 8c32− 16β2c32− 12β2c4 − 12β1c4− 14c2c3+ 28β2c2c3)en3 + (30β1c23+ 40β2c42+ 50β1c2c4 − 25c2c4+ 30β2c23− 100β2c22c3+ 40β1c42+ 50β2c2c4− 20c42− 15c 2 3 − 100β1c22c3+ 50c22c3)e4n+ O(e 5 n). (25)
Selanjutnya menghitung 1 − (β1 + β2)Lf(xn) + β1β2L2f(xn) menggunakan per-samaan (23) dan (24), diperoleh
1− (β1+ β2)Lf(xn) + β1β2L2f(xn) = 1 + (−2β2c2− 2β1c2)en+ (6β1c22+ 6β2c22− 6β1c3− 6β2c3+ 4β1β2c22)e 2 n + (−24β1β2c32− 16β1c32− 12β2c4− 12β1c4− 16β2c32+ 24β1β2c2c3 + 28β2c2c3+ 28β1c2c3)e3n+ (30β1c23+ 40β2c42 + 50β2c2c4+ 50β1c2c4 + 40β1c42+ 36β1β2c23+ 100β1β2c42− 100β2c22c3 − 100β1c22c3 − 184β1β2c22c3+ 48β2β2c2c4+ 30β2c23)e 4 n+ O(e 5 n). (26)
Kemudian dari persamaan (25) dan (26), dengan menggunakan deret geometri dan setelah dilakukan penyederhanaan maka diperoleh
1− ( (β1+ β2)− 1 2 ) Lf(xn) 1− (β1+ β2)Lf(xn) + β1β2L2f(xn) = 1 + c2en+ (−3c22+ 2β2c22+ 2β1c22− 4β1β2c22 + 3c3)e2n+ (28β1β2c32 − 12β2c32+ 8c 3 2+ 4β 2 1c 3 2− 12β2c32− 14c2c3− 8β12c 3 2β2+ 12β1c2c3+ 4β22c 3 2 − 24β1β2c2c3 + 12β2c2c3+ 6c4− 8β22c 3 2β1)e3n+ (24β1c2c4− 92β1c22c3 + 24β2c2c4− 92β2c22c3− 36β1β2c23− 136β1β2c42+ 220β1β2c22c3− 48β1β2c2c4 + 18β1c23+ 50β2c42+ 18β2c23+ 50β1c42− 36β 2 2c 4 2− 36β 2 1c 4 2+ 8β 3 2c 4 2+ 8β 3 1c 4 2 − 15c2 3− 25c2c4− 20c42+ 50c 2 2c3− 72β12c3β2c22− 72β 2 2c3β1c22+ 36β 2 1c3c22 + 36β22c3c22+ 80β22c42β1+ 80β12c42β2− 16β12β22c42− 16β32c42β1− 16β13c42β2)e4n + O(e5n). (27)
Jika persamaan (27) disubstitusikan ke persamaan (14) maka diperoleh
xn+1= α + (−2β2c22− c3 − 2β1c22+ 2c 2 2+ 4β1β2c22)e 3 n+ (−12β2c2c3+ 14β1c32 − 9c3 2− 3c4+ 8β12c 3 2β2+ 14β2c32+ 12c2c3+ 24β1β2c2c3+ 8β22c 3 2β1 − 4β2 1c 3 2− 12β1c2c3− 32β1β2c32− 4β 2 2c 3 2)e 4 n+ O(e 5 n), (28) karena en+1= xn+1− α maka en+1= (− 2β2c22− c3− 2β1c22+ 2c 2 2+ 4β1β2c22)e 3 n+ (−12β2c2c3+ 14β1c32 − 9c3 2− 3c4 + 8β12c32β2+ 14β2c32+ 12c2c3+ 24β1β2c2c3+ 8β22c32β1 − 4β2 1c 3 2− 12β1c2c3− 32β1β2c32− 4β 2 2c 3 2)e 4 n+ O(e 5 n). (29)
Berdasarkan Definisi orde konvergensi dan persamaan tingkat kesalahan [6] maka pada persamaan (29) menujukkan bahwa metode iterasi Chebyshev-Halley dua parameter memiliki orde konvergensi tiga. Apabila diambil nilai β1 = 1 dan memilih β2 = 1 2 c3 c2 2
maka koefisien e3n sama dengan nol sehingga persamaan (29) menjadi
en+1 = ( 7c2 3 c2 − c3 2− 3c4+ 5c2c3 ) e4n+ O(e5n). (30)
Berdasarkan Definisi orde konvergensi dan persamaan tingkat kesalahan [6] maka persamaan (30) menunjukkan bahwa metode iterasi Chebyshev-Halley dua pa-rameter memiliki orde konvergensi empat.
4. UJI KOMPUTASI
Pada bagian ini dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar hampiran dari persamaan nonlinear antara metode Chebyshev (MC), metode Halley (MH), metode Super-Halley (MSH), metode Chebyshev-Halley (MCH), dan metode Chebyshev-Halley dua parameter (MCHDP).
Berikut ini adalah beberapa contoh fungsi [3],[1] dan nilai tebakan awal beserta akar yang digunakan untuk membandingkan metode-metode tersebut.
f1(x) = sin2(x)− x2+ 1 x0 = 2.3 α = 1.4044916482153412 f2(x) = x2− 5x + 6 x0 = 1.0 α = 2.0000000000000000 f3(x) = x− 2 − e−x x0 = 2.0 α = 2.1200282389876412
Untuk melakukan uji komputasi dari ketiga contoh fungsi persamaan nonlinear di atas, digunakan program Maple13. Untuk mendapatkan solusi numerik dari ketiga contoh fungsi di atas, terlebih dahulu ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk semua metode, yaitu jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika selisih nilai mutlak antara dua akar hampiran yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi.
Tabel 1 merupakan tabel perbandingan hasil komputasi dari lima metode yang berbeda. Fungsi fnmenyatakan fungsi persamaan nonlinear, x0merupa-kan tebakan
awal iterasi, n merupakan banyaknya iterasi, xn merupakan akar hampiran yang diperoleh dari setiap metode, |f(xn)| merupakan nilai mutlak dari fungsi untuk akar hampiran ke-n dan |xn− xn−1| merupakan selisih nilai mutlak antara dua akar hampiran yang berdekatan.
Berdasarkan Tabel 1 semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar yang diharapkan dari semua contoh fungsi yang diberikan. Pada semua contoh tampak bahwa metode Chebyshev-Halley (MCH), metode Chebyshev-Halley dua parameter dengan konvergensi orde tiga (MCHDP), memerlukan iterasi yang relatif sedikit atau sama jika dibandingkan dengan metode Chebyshev (MC), metode Halley (MH) dan metode Super-Halley (MSH). Oleh karena itu metode Chebyshev-Halley dua parameter dengan konvergensi orde tiga dapat dikatakan sebanding dengan metode berorde tiga lainnya atau dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear berorde tiga.
Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi Metode n xn |f(xn)| |xn− xn−1| f1(x), x0 = 2.3 MC 5 1.4044916482153412 1.341011e− 71 1.679494e − 24 MH 9 1.4044916482153412 2.222147e− 61 1.951391e − 31 MSH 6 1.4044916482153412 5.368109e− 35 7.429238e − 18 MCH 5 1.4044916482153412 8.314178e− 74 3.204809e − 25 MCHDP 4 1.4044916482153412 1.157327e− 41 5.101564e − 14 f2(x), x0 = 1.0 MC 5 2.0000000000000000 2.497743e− 56 2.320096e − 19 MH 10 2.0000000000000000 1.656053e− 54 7.429790e − 28 MSH 7 2.0000000000000000 6.002816e− 54 3.464914e − 27 MCH 5 2.0000000000000000 7.547073e− 59 3.474044e − 20 MCHDP 4 2.0000000000000000 1.337012e− 39 1.883802e − 13 f3(x), x0 = 2.0 MC 3 2.1200282389876412 2.452184e− 50 1.217931e − 16 MH 5 2.1200282389876412 3.694783e− 54 4.530093e − 27 MSH 4 2.1200282389876412 8.507592e− 39 5.324657e − 19 MCH 3 2.1200282389876412 4.812443e− 50 1.501499e − 16 MCHDP 3 2.1200282389876412 4.119228e− 48 5.969782e − 16
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada dosen Pembim-bing Bapak Supriadi Putra, M.Si, dan Bapak Khozin Mu’tamar, M.Si yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan skripsi penulis yang menjadi acuan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Basto, M., Semiao, V., & Calheiros, F. L. 2006. A New Iterative Method to Compute Nonlinear Equations. Applied Mathematics and Computation. 173: 468–483.
[2] Burden, R. & Faires, J. D. 2011. Numerical Methods, 3th Ed. Brooks Cole, Belmont.
[3] Chun, C. 2007. Some Second-Derivative-Free Variants of Chebyshev-Halley Methods. Applied Mathematics and Computation. 191: 410–414.
[4] Dubeau, F. & Gnang, C. 2013. On the Chebyshev-Halley Family of Iteration Functions and the n-th Root Computation Problem. International Journal of
[5] Gutierrez, J. M. & Hernandez, M. A. 1997. A Family of Chebyshev-Halley Type Methods in Banach Spaces. Bull. Austral. Math. Soc. 92: 113–130.
[6] Sharma, J. R. & Guha. R.K. 2011. Some Modified Newton Methods with Fourth-Order Convergence. Advance in Science Research. 2: 240–247.
[7] Wait, R. 1979. The Numerical Solution of Algebraic Equations. John Wiley & Sons, Inc., Chicester.
